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- あいと たつざわ
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1 暫定版修正 加筆の可能性あり ( 付録 球面波 回折 (. グリーンの定理. キルヒホッフの積分定理 3. ホイヘンスの原理 4. キルヒホッフの回折公式 5. ゾンマーフェルトの放射条件 6. 補足 付録 (90~904 のアプローチ : 回折 (diffaction までの道標. 球面波 (pheical wave のみ対象 : スカラー表示. 虚数単位 i を使用する 3. お詫び : 自己流かつ説明が飛躍する場面があります 以下の件 詳細区別しません! キルヒホッフの積分定理 :Kichhoff' integal theoem Fenel-Kichhoff integal theoem Kichhoff Helmholtz integal theoem キルヒホッフの回折公式 :Kichhoff' diffaction fomula Fenel Kichhoff diffaction fomula Huygen Fenel equation ホイヘンスの原理 :Huygen pinciple ホイヘンス ( 原語 ハイゲンス ( 英語 Huygen Fenel pinciple 90-
2 グリーンの定理 ( 参照 :90-9 ガウスの発散定理 ( 参照 74-8: divegence theoem dsna dv A ( ( n n ( ( A f g ds f g dv f g dv f g + dv f g A g f ds g f dv g f dv g f + dv g f グリーンの定理 : een' theoem ( ( dsn f g g f dv f g g f 限定 : 領域を無限に大きくとることで面積分項が零になる場合 ( ( dsn f g g f dv f g g f 0 90-
3 グリーンの定理 ( グリーンの定理 : een' theoem 注意 : 領域は有限 面積分項が非零になる場合 g f ds f g dv ( f g g f 0 球座標 : 勾配 (divegence f f f f n f n θ n e + e + e θ inθ φ g g g g n g n θ n e + e + e θ inθ φ φ φ グリーン関数 : een' function グリーン関数 : 球対称関数 ' (, ' ( ' ( (, ' k(, ' δ ( ' + ± ik ' ± ik e e 4 π ' 90-3
4 グリーンの定理 (3 グリーンの定理 : een' theoem g f ds f g dv f g g f ( f (, ' 代入 : グリーン関数 e 4 π ' ± ik ' 代入 : グーリン関数を満足する線形常微分方程式 (, ' (, ' ( ' + k δ ややこしいかな : 数学的手段としてのグリーン関数 微分方程式 ( グリーン関数 を物理的に解釈すれば置に点源を持つ波動方程式になる ' の位 次頁 但し 以下では微分方程式を純粋に数学的等式として扱う 右辺は単なるデルタ関数であり 物理的な意味をもたせない 目的 : 線形常微分方程式の解をグリーン関数で記述する ( k ( ( + ρ 注意 : グリーン関数は球対称関数であるが 関数 Ψ や関数 ρ の対称性は とりあえず 問わない 90-4
5 グリーンの定理 (4 計算例 f (, ' ( g (, '{ ( ρ( } ( { (, ' δ ( ' } ( (, ' ( ( (, ' dv f g g f dv dv k k (, ' ρ( ( δ ( ' ρ( (, ' ( ' dv + dv + ( (, ' ( ' ds (, ' ( + dvρ, ' ( ( 領域 V: 空領域の場合 ( 0, V ρ キルヒホッフの積分定理 : Kichhoff' integal theoem 境界表面 S と領域 V ( ' ( ds S, 境界表面 S: 青色 (, ' ( 領域 V: 赤色 ' V (, ' ' V S 90-5
6 キルヒホッフの積分定理 ( グリーンの定理 : een' theoem ( ( ' dvρ( (, ' + ds, ' ( ( (, ' 何が言いたいのかな : グリーンの定理とキルヒホッフの積分定理 線形常微分方程式 領域 V 内のとその境界面 S 上でのが分かれば解を得る! 領域 V 内で ( k ( ( + ρ ρ ( ( ρ ( 0, は ( であれば 領域 V に関する積分 ( 上式右辺第一項 は零となり キルヒホッフの積分定理 (Kichhoff integal theoem となる ( ( ± ik ', ' e ( ' ds (, ' (, (, ' 4 π ' 90-6
7 キルヒホッフの積分定理 ( 書き換え : キルヒホッフの積分定理 ( ( ' ds (, ' ( ' (, ' ( (, ' ± ik ' ± ik e e 4 π ' お詫び グリーンの定理 キルヒホッフの積分定理 やや数学的になりましたので次頁以降で物理的事象を挙げたいと思います ± ik ± ik e e ( ' ds ( ± ik ± ik e e ds ( ( ( 教科書でお馴染みの表現 : 正符号 を採用 ( もちろん実世界の物理現象に合うように選べば 正負 どちらでもよいが ik ik e e ( ' ds ( ( 90-7
8 ホイヘンスの原理 ( これから考える状況 キルヒホッフの積分定理を点光源 ( 原点 に適用 ホイヘンスの原理 (Huygen pinciple を確認 灰色枠内 : 有限な領域 V( どんな形でも構わないが 空っぽ お約束 : 発散球面波 点光源の位置 : 原点 ( 0,0,0 境界面 S 上での位置ベクトル : お約束 : 青色 S 点光源 ( 原点 ( ' V 空っぽ S 領域 V 内での位置ベクトル : お約束 : 赤色 領域 V は空 ' V 境界面 S 上で以下の値が分かれば 領域 V 内波動の振舞い を記述することができる (, ( キルヒホッフの積分定理 ( ' ( ( ', e ds (, ' (, (, ' ' ± ik ' 90-8
9 ホイヘンスの原理 ( 球座標 : 勾配 (divegence ( 球対称関数 ( ( ( f f f f n f ( n e + eθ + e θ inθ φ ( ( ( ( n ( f f f f f f ( ne φ 発散球面波 : 点光源 ( 原点 ( ( ( ( n ( ± ik ± ik e e グリーン関数 : やや複雑です! 大事なお約束 : ベクトルの長さ ± ik ' ± ik e e π π ' (, ' ( 4 ' 4 ( (, ' n ( ' ( ' 90-9 '
10 ホイヘンスの原理 (3 キルヒホッフの積分定理 : 点光源 ( 原点 位置確認 : 有限領域 ( x y z ' ', ', ' ( ( ' (, ' ( 境界表面 S 領域 V ( ' S ' V ( ds 点光源 ( 0,0,0 n: 表面に垂直な外向きベクトル ( 茶色 (, ' ( ( n ( ( (, ' e ± ik coδ ( ( n ( ( (, ' ' e δ ( xyz,, ± ik coδ ( n δ ' V 下線部注意 : ベクトルの向き ( ' co δ n 観測点 S 複号同順 : 参照 90-5 理由は後回し! 90-0 空っぽ
11 ホイヘンスの原理 (4 キルヒホッフの積分定理 : 点光源 ( 原点 計算例 : 参照 90-4 ( ( co ( ( ' ' ik ds δ co δ,, S, ' V 物理的な記述実在する点光源 ( 原点 ± ik ± e e ( ( ik ± ik ' ± ik ' ± ik e e e π π π ' (, ' ( 4 ' 4 ' 4 数学的な記述 : グリーン関数 位置確認 : 有限領域 観測点 ( x y z ' ', ', ' 仮想的な点光源 ( 二次波源 が境界面 S 上に存在すると考えた場合の発散球面波 (, ' S e 4 π ' ± ik ' : 点光源 ( 二次波源 の位置 ( 0,0,0 点光源 n: 表面に垂直な外向きベクトル ( 茶色 δ n 二次波源 δ ' V S 90- 空っぽ ( xyz,,
12 ホイヘンスの原理 (5 キルヒホッフの積分定理 : 点光源 ( 原点 ( ' ik ds ( co co ( (, ' δ δ 物理的な記述 : 実在する点光源 ( 原点 の発散球面波が 境界面 S 上で観測される大きさ ( e グリーン関数 : 位置 と位置 との橋渡し関数 ± ik, S ややくどい表現ですが : 積分定理詳細 実在する点光源 ( 原点 の発散球面波が 境界面 S 上で観測される大きさ に 補正項 を加味した値を波動の大きさとする仮想的な点光源 ( 二次波源 が密に境界面 S 上に存在する 領域 V 内の位置 ( ', ' V での波動の振舞いは各二次波源からの発散球面波の重ね合わせで表現できる 次頁参照 : ホイヘンスの原理との類似性 数学的な記述 : グリーン関数を 境界面 S 上に仮想的に存在する点光源 ( 二次波源 と考える (, ' e 4 π ' ± ik ' 仮想的な点光源 ( 二次波源 の位置 : 境界面 S 上のあらゆる位置 S 二次波源の大きさは実在する点光源 ( 原点 の発散球面波が 境界面 S 上で観測される大きさ に 補正項 を加味したもの ( coδ coδ ( 補正項 実在する点光源 ( 原点 の波動の大きさ 90-
13 ホイヘンスの原理 (6 ホイヘンスの原理 (Huygen pinciple: 光波の進み方を説明するために, ホイヘンスが 678 年に与えた原理 ある時刻の波面上の各点を波源 ( 点光源 とする発散波をつくり, 発散波の重ね合わせが 次の時刻の波面を形成するとする考え方 発散球面波 境界面 : 仮想的な点光源 ( 二次波源 が密に存在 境界面上の二次波源全てによる重ね合わせ グリーン関数の役割 : 位置 と位置 との橋渡し関数 強いて表現すれば (, ' ( ' 点光源 ( 原点 V S 拡大図 二次波源 S ( ' 空 ( ', ' V キルヒホッフの積分定理 キルヒホッフの積分定理をホイヘンスの原理の数学的表現とみなすことも可 ホイヘンスの原理を考慮してグリーン関数が発散球面波になるように符号選択を行う ( 参照
14 計算例 キルヒホッフの積分定理 : 点光源 ( 原点 ( (, ' ( (, ' ( ± ik ik ik e e e ( ( coδ coδ ik ( ± ik ik ik e e e (, ' ( coδ coδ ik ik e coδ ik k, k, k e ik ik ik e e e e coδ ik ik ik ik ik ( coδ coδ ( (, '( co co ik ik ik ik e e e e coδ ik co ik λ π δ e e ik ik δ δ 90-4
15 符号選択 キルヒホッフの積分定理 : グリーン関数が発散球面波であればホイヘンスの原理と一致 ( ( ' ds (, ' ( (, ' 被積分項 赤色 : グリーン関数が発散球面波 ( ( ( ν ' ± ( ' ν ± ik t ik ik t ik e ± ± e e e (, ' ' 4 π ' ± ik ( ν t ± ik ' ± ik ± ik ( ' ν t (, ' e e e e ' 4 π ' 符号選択 : ホイヘンスの原理を満足するように選択 ( ( ( ν ± ik t ± ik ' e e (, ' 4 π ' ( ν ± ik t ik ' e e (, ' 4 π ' 注意 : 復号同順 注意 : これはダメ!( 収束球面波 90-5
16 キルヒホッフの回折公式 ( これからやりたいこと キルヒホッフの積分定理から出発 有限な空領域 V を半球とし 無限に拡大する 青枠内 : 有限な空領域 V 注意 : どんな形でも構わないから半球を採用 z z 発散球面波 点光源 ( 原点 z 空 R 拡大 想像してください z z z z に位置する面を固定して半球を無限に拡大すると 境界面 S: 半球の切り口が z z 面に位置する キルヒホッフの積分定理はどうなる? R R 90-6
17 キルヒホッフの回折公式 ( キルヒホッフの積分定理 ( ' ik ds ( co co ( (, ' δ δ ik ds + ds ( coδ co δ ( (, ' z z z z ( δ δ ( ( ik dsz z co co, ', dsz z dxdy 限定 : 領域を無限に大きくとることで面積分項が零になる場合 ( 参照 90-0 ( δ δ ( ( z z lim ik ds co co, ' 0 R キルヒホッフの回折公式 : Kichhoff diffaction fomula 注意 : 位置ベクトル の範囲 ( ( ( ( ' ik dsz z co δ co δ, ', dsz z dxdy ( ν ± ik t ± ik ' e e ' ( x', y', z' > z, (, (, ' 4 π ' 90-7
18 キルヒホッフの回折公式 (3 キルヒホッフの回折公式 なにがいいたいのかな : キルヒホッフの回折公式 回折公式は点光源 ( 原点 に関する積分定理から導出された 但し 原点 ( 点光源 である必要はない 境界面 S 上に存在する仮想的な点光源 ( 二次波源 の発散球面波の重ね合わせで領域 V 内の波動の振舞いが記述される ( ( ( ( ' ik dsz z co δ co δ, ', dsz z dxdy 境界面 S: 位置ベクトル ( xyz,, z δ 発散球面波 δ (, ' ( ' ( ' 点光源原点 z ' 領域 V: 位置ベクトル ( x y z z ' ', ', ' > z z 90-8
19 キルヒホッフの回折公式 (4 スリットを設置する場合 キルヒホッフの回折公式はどうなるか? 積分範囲はスリット開口部のみ ( ( ( ( ' ik dsz z co δ co δ, ', dsz z dxdy lit スリット 発散球面波 (, ' ( ' ( ' 点光源原点 z ' 領域 V: 位置ベクトル z z ( ' V x', y', z' > z 90-9
20 ゾンマーフェルトの放射条件 確認 : 領域を無限に大きくとることで面積分項が零になる場合 ( R ( ( δ δ ( ( lim dsz z co 0 co, '?, R, R R R ( R ν ± ik t ± ik R ' e e, ( R, ' R 4 π R ' ( ν ± i kr t ± ikr e e R, ( R ( R, ( R, ' ( R R R ( ik ( coδ co δ ( R ( R, ' lim R, ' R R R R lim R R ( R ( R ( R 0 R ( ( (, ' R ゾンマーフェルトの放射条件 :Sommefeld adiation condition ( ( ds ( z z R 0 lim lim 0 R R R R ( R ( R R ± ik ( R R R R R 90-0
21 補足 : 教科書でお馴染みの表現へ ( 書き換え : キルヒホッフの回折公式 ( ( ( ( ' ik dsz z co δ co δ, ', dsz z dxdy lit e ( ( ' (, ' ( ( ν t ± i k ± e ik 一例 : 正符号採用 関数 Ψ 修正 注意 : 実在する点光源 ( 原点 の大きさ ( ( ( ν ( ( ν i k t i k t e e 0 ( + ( ik e e ds δ δ ds dxdy iν t ik 0 ' z z co co, z z lit n n co δ, coδ ( ' 90-
22 補足 : 教科書でお馴染みの表現へ ( 確認 : 角度 座標 ベクトル n coδ coδ ( ' n n ( ' ( 0,0,0 点光源 n ( 0,0, n: 表面に垂直な外向きベクトル ( 茶色 δ δ 観測点 ' ( x y z z ' ', ', ' > V 空 ( xyz,, z スリット開口部 スリット z z 0 キルヒホッフの回折公式 : 教科書でお馴染みの表現ではありません! ( ( x y z z ( xyz z ( + ( ik e e ds δ δ ds dxdy iν t ik 0 ' z z co co, z z lit ' ', ', ' >,,, 90-
23 補足 : 教科書でお馴染みの表現へ (3 変更 : 角度 座標 ベクトル スリット ( 原点含 n ' coδ ' n coδ coδ co, ' ( n ( n coδ co, coδ coδ ( n ( n co, co, ' ( x, y, z ' n ( 0,0, n: 表面に垂直な外向きベクトル ( 茶色 点光源 ' δ スリット δ 観測点 ( x', y', z ' 0 z' z 0 ( xyz>,, 0 空 V キルヒホッフの回折公式 : 教科書でお馴染みの表現 ( + ' ik e e ( x y z dσ n n dσ dx dy 4 π ' x' xy, ' y, z, ' x' + x, y' + y, z,, ' ' iν t ik 0,, > 0 co (, co (, ' ' ' lit ( (
24 補足 : 教科書でお馴染みの表現へ (4 変更 :n ベクトル ( 逆向き n coδ n coδ coδ co, ( n ( n coδ co, coδ coδ ( n ( n co, co, ( x, y, z n: 表面に垂直な外向きベクトル ( 茶色 点光源 δ δ スリット 観測点 ( x', y', z ' 0 z' z 0 n ( xyz>,, 0 空 ( 0,0, V キルヒホッフの回折公式 : 教科書でお馴染みの表現 ( 時間項省略 ( + ik i 0 e ( x, y, z > 0 dσ co ( n, co ( n, dσ dx ' dy ' λ lit x' xy, ' y, z, x' + x, y' + y, z,,, k π λ ( (
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