入試の軌跡 - PDF Free Download

4 y O x 4 Typed by L A TEX ε

) ) ) 6 4 ) 4 75 ) http://kumamoto.s.xrea.com/plan/.. PDF) Ctrl +L) Ctrl +) Ctrl + Ctrl + ) ) Alt + ) Alt + ) ESC. http://kumamoto.s.xrea.com/nyusi/kumadai kiseki ri i.pdf http://kumamoto.s.xrea.com/plan/eng.html 6 i

i. I).......................... II)........................... II)..............................4 II)..........................5 III)................................6 III)........................... 4.7 A)..........................8 B)........................ 5.9 B)......................... 5. B)............................... 8. C)............................... 9.................................. 4.................................. 4.................................. 4.4 4................................. 4.5 5................................. 44.6 6................................. 45.7 7................................. 46.8 8................................. 47.9 9................................. 49.9. ) )........ 49.9............................ 5.................................. 5.. ) )........ 5............................. 5.................................. 5.. ) )........ 5............................. 55.................................. 57.. ) )........ 57 iii

............................. 59.................................. 6.. ) )........ 6............................. 6.4 4................................. 65.4. ) )........ 65.4............................ 67 69 iv

. I) ) p.69) ) k x x k = k ) x a )x + a + )x + a + = a. II) a > a > p > l : y = x l : y = a S l x T y P, p) l A, ) l Qq, a) PQS = 5 AQS = 45 ) p.7) ) p q a ) PAT = QAS p a C : x + y = C : x ) + y 4) = 5 P P C C : P 4) p.7) 4 xy, ) y C ) p.7) ) C ) x + y = 9 4 C x 5 xy, ) y C ) p.74) ) C ) a x + y = a C a

. II) 6 PQR PQ QR RP A B C PCA QAB RBC O O O r r r ABC a = BC b = CA c = AB ) p.76) ) r r r a b c ) O O O 7 m n m < n 4) p.77) ) x > mx )nx ) > x + ) tan α = m tan β = n tanα + β) α β m, n) 8 y = sin x cos x + sin x cos x ) p.79) ) sin x cos x = t y t ) x π y.4 II) 9 a C : y = x, C : y = x ) + a 7) p.8) ) C C a ) C C a π ) C C 4 a

.5. III) y = 4x + C x Pp, ) p ) C Ap, 4p + ) A C l x Qq, ) Bq, 4q + ) C m 8) p.8) ) q p ) m P p q ) ) p q C l m.5 III) x {P n } C : y = x {Q n} P a, ) a > ) P n n ) P n y C Q n Q n C x P n+ 5) p.8) ) P n a n, ) a n a ) P n P n+ Q n S n S n a n= < a < {a n } { a = a a n+ = log + a n ) n =,,, ) lim a n 9 ) p.84) n ) < x < < log + x) < x 6 x.69 < log <.7 ) < a n < 6 n + n =,,, ) lim n a n

4 r r > {a n } a =, a n+ = a n + r a n + 4 ) p.86) ) n a n < r n a n > r ) n a n+ r a n r ) n a n+ r a n r < ) r r + 4) lim a n lim a n+ n n.6 III) 4 ) p.88) ) x < e x x + ) y = xe x y = xx + ) x = 5 E : x 8 + y = ) p.9) ) E a, b) E x y a fa) fa) a > b > ) fa) a 6 a > fx) = x e x a ) p.9) ) x = c fx) c a c ) fx) dx a

.6. III) 5 x 7 fx) = ) p.9) x ) fx) dx ) gx) k x k + k =,,, ) gx) = ) k fx k) a n = n gx) dx n =,,, ) {a n } 8 fx) gx) fx) = x gt) + t cos t) dt + sin x, gx) = sin x + π π f t) cos t) dt ) p.9) ) fx) gx) ) π fx) gx)) dx 9 4) p.9) ) n x e x > xn n! ) ) lim x x e x = ) y = xe x a, ae a ) x P Q a > PQ la) lim la) a

6 E : x ) + y b = b 4) p.95) ) E r = fθ) fθ) ) P E O P OP, ) b ) b ) OP θ θ < θ π ) fθ) θ fθ) dθ b x, y) r, θ) r = fθ) C 5) p.97) ) ) dx dy ) C x, y) + fθ) f θ) dθ dθ ) fθ) = sin θ C θ π n 6) p.98) ) n fx) = x) x n ) a n = x) x n dx ) a n n= x + tan t fx) = + x + e dt π tan t < x < π ) 6) p.99) ) u = e tan t t ) fx) ) y = fx) x x = x = π 4 x

.6. III) 7 4 A xy, ), ), ), ) 7) p.) ) A ) y = e x Pt, e t ) P C < t < e + e ) x ) D y = x + log x < e + e C D 5 a log x) = ax x > ) 7) p.) log x) ) lim = x x ) p q ) θ = OFA r = FA r θ ) C n A x, y ) A x, y ) A n x n, y n ) x k > OFA k = kπ n k =,,,, n) n lim FA k n n k= 7 p fx) fx) = p p x t 6 + t )dt 9 ) p.6) ) f x) x = p + ) fp + ) p >

8 8 9 ) p.7) ) π x π cos x sin x > x π 6 ) 4 sin x dx cos x sin x π 9 fx) = x x t x t + gt) ) p.) ) gt) ) gt) dt π 4 x fx) = log 4 + tan t) dt x ) fx) f x) π ) ) f f) 8 x π ) 8 ) p.) ) a = f) a n+ = fa n ) n =,,, ) {a n } a n π 4 x fx) = log 4 + tan t) dt x ) fx) f x) ) f) x π ) 8 ) p.) ) a = f) a n+ = fa n ) n =,,, ) {a n } a n ) p.) ) p fx) = ae x sin px+be x cos px f x) = e x sin px a b ) St) = t e x sin x t St) ) lim t t dx t ) St)

.6. III) 9 f n x) n =,,,, ) f x) = f n x) = x t f n t) dt n =,,, ) ) p.5) ) f x) f x) f x) ) n f n x) f n x) x n ) n f n) 5 8 4 C : x + 4y = P, ) ) p.7) ) y = x + b C b ) ) A B PAB b 5 C : x + 4y = 4 P, ) ) p.8) ) y = x + b C b ) ) A B PAB b 6 xyz P,, ) Q,, ) Rt, t t +, ) t t PQR K ) p.9) ) K xy ) K

7 fx) = x e t sin t + cos t)dt gx) = x e t cos t sin t)dt ) p.) fx) gx) f n) x) g n) x) fx) gx) n ) n f n) x) g n) x) f n ) x) g n ) x) ) {f n) x)} + {g n) x)} e a ) a {f n) a)} + {g n) a)} 8 fx) fx) = π n= sin t x cos t dt x > ) ) p.) ) a > a = tan θ θ < θ < π ) cos θ a ) fx) ) fx) x 9 a fx) fx) = π sin t ax cos t dt ) p.4) ) fx) ) fx) x

.6. III) 4 θ < θ < π) fθ) ) p.6) ) fθ) ) < θ < π fθ) f θ) ) π π fθ) dθ 4 a cos θ sin θ = a sin θ cos θ, < θ < π θ 4 ) p.7) ) θ < θ < π ) θ 4 4 ) p.8) ) a b c log a a + log b b + log c c < log 4 log e >.7 log >.6 ) a b c d a bc b ca c ab = d abc, a b c, d 4 a xy C : y = e ax l C l y S 4 ) p.9) ) S x V ) S y V ) V = V a

44 a a > xy C : y = < x < π ) sin x cos x y = a x α, β α < β) 4 ) p.) ) tan α tan β a ) C x x = α x = β S S a ) S x V a.7 A) 45 5 5 4 4 5 5 S ) p.) ) S ) S 46 n X n a n = X X X n n a n 9 ) p.) 47 6 m n m n ) p.) ) m = n ) y = x + c m, n) S S ) S c 48 4 X ) b a X 4 a b b a 5) p.4) ) Z Z m a ) m a

.7. A) 49 a b 6) p.5) ) y = ax + x b 5 ) y = ax + x b x x x ) y = ax + x b y = bx 5 xy P x x 4 5 y 6 y 7) p.6) ) 5 P, ) ) n P x ) P x 5 p q y = px y = qx + x A B 9 ) p.7) ) AB y ) A x ) OAB 9 O 5 4 6 ) p.9) ) )

4 5 a b a b P Q P = {x x + ax + b > } Q = {x 5x + a } ) p.4) ) P ) Q P 54 x y ) p.4) ) x 5 x ) x 5 y xy 5 55 n 4 n 4) 4 a k k =,,, n) ) p.4) ) {a k } ) {a k } k b k = a a a k k =,,, n) b + b + + b n ) b + b + + b n {a k } 56 X Y {,,, 4, 5, 6} X Y n A B i) A X A X B Y B ii) n ) p.44) ) X Y p q A ) A B X, Y )

.8 B).8. B) 5 57 P n n, ) n =,, P O P n n ) P Q n OP Q n P θ n ) p.45) ) Q n P ) cos θ n ) tan θ n <. n 58 C : x +y = x, y ) A < θ < π 4 X s OA t POR = θ, ) P, ) Q, ) ) C Rs, t) C OX t OA s OX ) p.46) ) OA OX θ ) X AP θ ) ) θ ROX.9 B) 59 4 A,, ) B,, ) C,, ) D,, ) CD Px,, ) PAB S 5) p.48) ) APB = θ cos θ x ) S 6 O 4 A,, ) B,, ) C,, ) P,, ) OAC OBC ABC Q R S PQ PR PS OAC OBC ABC 6) p.49) ) PQ ) PS ) QRS

6 6 O A4,, ) B,, ) C,, ) BC t : t) < t < ) P ) p.5) ) OAP t ) C O A P xy D D OAB t 6 OADB-CEGF OA M AD : N DG : L OC k : k < k < ) K ) p.54) ) OA = a OB = b OC = c MN ML MK a b c ) M N K L k ) M N K GF k F G C E B D O A 6 OABC AB M BC : N OC L a = OA b = OB c = OC ) p.55) ) L M N OA D OD a b c ) OB K DN P KP OP a b c

.9. B) 7 64 O A,, ) B,, ) OA OP OB OP OAB P D ) p.56) ) k OQ = k OA + k) OB Q D k ) s + t s t OR = s OA + t OB R E D E 65 O A,, ) B,, ) OA OP OB OP OAB P D ) p.59) ) k OQ = k OA + k) OB Q D k ) C 6 D OC C 66 OABC OA = a OB = b OC = c D OD = b a E OE = c a P OA 4 ) p.6) ) < t < BD t : t) R CE t) : t S OB PR M OC PS N OM ON t b c ) OMN t ) t < t < OMN 67 OABC OA = a OB = b OC = c OA P 4 ) p.6) ) < t < BC t : t) Q PM + MQ OB M PN + NQ OC N OM ON t b c ) QMN t ) t < t < QMN

8. B) 68 a x n = n an n =,,, ) {x n } x > x > > x 4 > x 5, x 5 < x 6 < x 7 < a ) p.66) 69 {a n } a =, a n = n )n ) n + a k n =,, 4, ) k= 8) p.68) n ) b n = n + a n n =,,, ) b n = + b k n =,, 4, ) ) {b n } ) a n n 4) a k k= k=

.. C) 9 7 p > {a n } {b n } a =, b = a n a n = b n b n + n =,, 4, ) a n + b n )b n b n ) = pn + b n n =,, 4, ) 9 ) p.69) ) a n b n ) a n b n a n + b n ) lim n a n b fp) lim log fp) n p p 7 {a n } n S n S n = a n + n ) p.7) ) a n+ a n ) a n n. C) a 7 y = x + l A l b c A l 8) p.7) ) b c a ) a l P A P ) l Q A Q l a c )

7 ) t, ), t) l l m l m Px, y) 9 ) p.75) ) x y t ) t P 74 c A = c c ) T ) p.77) ) T ) ) xy P Q R T P Q R P Q R PQR c ) c = E : x 4 + y = T E E E E E 75 c A = c c ) T ) p.78) ) xy P Q R T P Q R P Q R PQR k k ) c ) E : x 4 + y = T E E E c

8 ) 4 4 5 4 6 7 )) 8 4 9 ) ) 9 4 4 4)) )) 4 4,4,4 4

9 9 )) 4 4

) ) 9 ) III III A 4 III ) gt) Gt) fx) = Gp) Gp x) ) fp + ) = Gp) G ) fp + ) Gp) ) fx) = x 6 ) x log + x) ) < a n < 6 n + ) a n ) A B α, qα + ) β, qβ + ) AB y q α + β + α β px qx = ) px qx = q + 4p ) AO AB 4 ) )

4 ) II B III 4 III ) ) y t ) s = cos θ t = sin θ ) OA OX α cos α ) sin θ ) ROX sin ROX ) ft) ft) = ft + ) t gt) ) ) 4 ) f x) = π ) ) f = ) fx) x 8 f) ) ) a = π 6 a n+ = a n + π 6 a n

5 ) A B III 4 III ) 6,7,9) ) P Q Q P ) ) M N K α α A a) B b) C c) L a b c k ) GF a b c ) ) ) ) f n x) f n x) ) ) ) 4 ) )

6 ) I C III 4 III n ) x k = x k ) a + l a + = l l a = ) ) cos θ = + c sin θ = c + c ) A B detab) = det A det B ) e x sin t) = e x sin x + cos x) e x cos x) = e x cos x sin x) ) f x) = e x sin x + e x cos x g x) = e x cos x e x sin x e x sin x e x cos x ) ) ) ) 4 ) x ) x > sin θ = θ < θ < π ) + x cos θ = sin t x cos t = + x sint θ) + x ) )

7 ) B B III 4 II ) a n+ = S n+ S n ) ) a n+ = a n n n n n fn) fn+) = fn) n ) Q D OA OQ OB OQ 6k k + 9 ) D AB Q D P OP = µ OQ µ ) ) OAB P OP AB i) OP AB R OP = µ OR µ ) P D OA OP OB OP µ OA OR µ OB OR OR = k OA + k ) OB k ) µ6k ) µ k + 9) ) OP = µ OQ µ > ) µ < k ) ii) OP AB OP = µ AB µ ) P D OA OP OB OP µ = D OP = µ OQ µ ) P

8 ) ) ) fθ) = sin θ + sin θ = + sin θ f θ) = cos θ + sin θ ), f θ) = sin θ 4 ) + sin θ < θ < π f θ) > f θ) < ) x = θ 4 ) x ) + y + x = x ) + y = x y = x 4 x + x x x ) + y = x x x x φ y = x x = y y ) y ) y = fx) y = gx) fx) = gx) x C C y x < x < x =,

9 4 ) B III III n 4 III ) ) ) ) ) a θ a < θ < π ) a = fθ) y = a ) a n r a n + r a n r a n + r ) ) ) 4) ) ) 4 ) ) )

-5) I 4 5 II III 4 4 4 4 4 A B C

6-4) 6 7 8 9 4 I II 4 III 4 4 4 4 4 4 4 4 A B C 4 III

) 9 ) C B A 4 III ) l m x y ) t P t ) a n b n = a n b n + {a n b n } ) ) ) ) ) a n > b n > a n +b n = a n b n ) + 4a n b n = n + ) + 4{pn + p + )n p} a n b n lim n n = lim n a n b n n = p lim n a n + b n n = + 4p ) A B α, qα + ) β, qβ + ) AB y q α + β + α β px qx = ) px qx = q + 4p ) AO AB 4 ) )

) B A III 4 III ) P x ) D x D y ) ) ) ) f x) = π ) ) f = ) 8 fx) x f) ) ) a = π 6 a n+ = a n + π 6 a n 4 ) ) ) p = t St) ) sin t lim t t =, lim t e t cos t =, lim = t t t

4 ) A B III 4 III ) x 5 x = xx + )x ) = x{x 4) + 5}x ) = xx + )x )x + )x ) + 5xx + )x ) x 5 x = xx + )x )x + ) x = 5k x = 5k ± x = 5k ± k ) x p x p x p x p x p p ) ) ) ) ) M N K α α A a) B b) C c) L a b c k ) GF a b c ) ) ) 4 ) OR )

5 ) A C III 4 B ) n 4) 4 ) b + b + + b n {a n } b + b + + b n {a n } a = a n = ) ) ) A B detab) = det A det B ) sin θ cos θ sin θ cos θ ) ) ax ) x sin θ = + a x θ π < θ < π ) cos θ = + a x sin t ax cos t = + a x sint θ) ) ) 4 ) L M N OA OD DK DN ) DK DN θ cos θ = DP = DN DK cos θ DN = DK DN) DN DN DK DN

6 ) A B III 4 II ) A k k n) ) B ) ) 7 ) ) ) l = OL m = OM m OL + l OM LMO m l l m) m OLM m m e OLM H OM OH e ) 8 ) 4 8 ) ) ) C

7 4 ) B III III 4 III ) ) OMN + BQM + CQN = OBC QMN ) ) ) a θ a < θ < π ) a = fθ) y = a ) fx) = log x x ) fx) n fn) f) 4 ) y = tan x + tan x ) sin x cos x = tan x) = tan x cos x tan x ) sin x cos x = + tan x ) cos x = + tan x ) tan x)

8 6-4) 6 7 8 9 4 I II 4 III 4 4 4 4 4 4 A B 4 C 4 9 5 ) 9 4 III ) 4 4 A 9,,) ),) B,,,) 4

9 III 6 4 ) ) 4 fx) = + x x + tan t dt π + e tan t < x < π ) ) u = e tan t t ) fx) ) y = fx) x x = x = π 4 x ) du dt = etan t tan t) = etan t cos t ) u = e tan t ) + tan t = cos t fx) = + = + [ = + x x e tan x e tan t + e ) etan t tan t cos t dt u + u) du ] log u e tan x + u e tan x) e tan x e tan x = + log + e log e tan x tan x + e tan x = + log e tan x = + tan x ) p.99) 6 ) 4

4. 4 p.88) ) x < e x x + ) y = xe x y = xx + ) x = P n n, ) n =,, P O P n n ) P Q n OP Q n P θ n 57 p.45) ) Q n P ) cos θ n ) tan θ n <. n a x n = n an n =,,, ) {x n } x > x > > x 4 > x 5, x 5 < x 6 < x 7 < a 68 p.66) 4 5 5 4 4 5 5 S 45 p.) ) S ) S

.. 4. n X n a n = X X X n n a n 9 46 p.) a > a > p > l : y = x l : y = a S l x T y P, p) l A, ) l Qq, a) PQS = 5 AQS = 45 p.7) ) p q a ) PAT = QAS p a E : x 8 + y = 5 p.9) ) E a, b) E x y a fa) fa) a > b > ) fa) a 4 a > fx) = x e x a 6 p.9) ) x = c fx) c a c ) fx) dx a

4. 6 m n m n 47 p.) ) m = n ) y = x + c m, n) S S ) S c PQR PQ QR RP A B C PCA QAB RBC O O O r r r ABC a = BC b = CA c = AB 6 p.76) ) r r r a b c ) O O O x fx) = 7 p.9) x ) fx) dx ) gx) k x k + k =,,, ) ) k gx) = fx k) a n = n gx) dx n =,,, ) {a n } 4 fx) gx) fx) = x gt) + t cos t) dt + sin x, gx) = sin x + π π f t) cos t) dt 8 p.9) ) fx) gx) ) π fx) gx)) dx

.4. 4 4.4 4 C : x + y = C : x ) + y 4) = 5 P P C C : P p.7) m n m < n 7 p.77) ) x > mx )nx ) > x + ) tan α = m tan β = n tanα + β) α β m, n) 9 p.9) ) n x e x > xn n! ) ) lim x x e x = ) y = xe x a, ae a ) x P Q a > PQ la) lim la) a 4 E : x ) + y b = b p.95) ) E r = fθ) fθ) ) P E O P OP, ) b ) b ) OP θ θ < θ π ) fθ) θ fθ) dθ b

44.5 5 4 A,, ) B,, ) C,, ) D,, ) CD Px,, ) PAB S 59 p.48) ) APB = θ cos θ x ) S 4 X X 4 a b b a 48 p.4) ) b a ) Z Z m a ) m a x {P n } C : y = x {Q n} P a, ) a > ) P n n ) P n y C Q n Q n C x P n+ p.8) ) P n a n, ) a n a ) P n P n+ Q n S n S n a 4 x, y) r, θ) r = fθ) C p.97) ) ) dx dy ) C x, y) + fθ) f θ) dθ dθ ) fθ) = sin θ C θ π n=

.6. 6 45.6 6 a b 49 p.5) ) y = ax + x b 5 ) y = ax + x b x x x ) y = ax + x b y = bx O 4 A,, ) B,, ) C,, ) P,, ) OAC OBC ABC Q R S PQ PR PS OAC OBC ABC 6 p.49) ) PQ ) PS ) QRS n p.98) ) n fx) = x) x n ) a n = x) x n dx ) a n n= x + tan 4 t fx) = + dt π x + e tan t < x < π ) p.99) ) u = e tan t t ) fx) ) y = fx) x x = x = π 4 x

46.7 7 a C : y = x, C : y = x ) + a 9 p.8) ) C C a ) C C a π ) C C 4 a xy P x x 4 5 y 6 y 5 p.6) ) 5 P, ) ) n P x ) P x A xy, ), ), ), ) 4 p.) ) A ) y = e x Pt, e t ) P C < t < e + e ) x ) D y = x + log x < e + e C D 4 a log x) = ax x > ) 5 p.) log x) ) lim = x x ) p q < p < q) q p e e + < p <

.8. 8 47.8 8 y = 4x + C x Pp, ) p ) C Ap, 4p + ) A C l x Qq, ) Bq, 4q + ) C m p.8) ) q p ) m P p q ) ) p q C l m {a n } a =, a n = n )n ) n + a k n =,, 4, ) k= 69 p.68) n ) b n = n + a n n =,,, ) b n = + b k n =,, 4, ) ) {b n } ) a n n 4) a k k= ) a y = x + l A l b c A l 7 p.7) ) b c a ) a l P A P k= ) l Q A Q l a c

48 4 C : y = 4 x F, ) O 6 p.5) ) C Ax, y) x > ) θ = OFA r = FA r θ ) C n A x, y ) A x, y ) A n x n, y n ) x k > OFA k = kπ n k =,,,, n) n lim FA k n n k=

.9. 9 49.9 9.9. ) ) p fx) fx) = p p x t 6 + t )dt 7 p.6) ) f x) x = p + ) fp + ) p > < a < {a n } { a = a a n+ = log + a n ) n =,,, ) lim a n p.84) n ) < x < < log + x) < x 6 x.69 < log <.7 ) < a n < 6 n + n =,,, ) lim a n n p q y = px y = qx + x A B 5 p.7) ) AB y ) A x ) OAB 9 O 4 8 p.7) ) π x π cos x sin x > ) π 6 π 4 sin x cos x sin x dx x

5.9. t ), ), t) l l m l m Px, y) 7 p.75) ) x y t ) t P p > {a n } {b n } a =, b = a n a n = b n b n + n =,, 4, ) a n + b n )b n b n ) = pn + b n n =,, 4, ) 7 p.69) ) a n b n ) a n b n a n + b n ) lim n a n b fp) lim log fp) n p p p q y = px y = qx + x A B 5 p.7) ) AB y ) A x ) OAB 9 O 4 8 p.7) ) π x π cos x sin x > ) π 6 π 4 sin x cos x sin x dx x

.. 5... ) ) y = sin x cos x + sin x cos x 8 p.79) ) sin x cos x = t y t ) x π y ) C : x + y = x, y ) A, P, ) Q, ) POR = θ < θ < π ) C Rs, t) 4 C X s OA t OX t OA s OX 58 p.46) ) OA OX θ ) X AP θ ) ) θ ROX fx) = x x t x t + gt) 9 p.) ) gt) ) gt) dt π 4 4 x fx) = log 4 + tan t) dt x ) fx) f x) π ) ) f f) 8 x π ) 8 p.) ) a = f) a n+ = fa n ) n =,,, ) {a n } a n

5.. O A4,, ) B,, ) C,, ) BC t : t) < t < ) P 6 p.5) ) OAP t ) C O A P xy D D OAB t 4 6 5 p.9) ) ) π 4 x fx) = log 4 + tan t) dt x ) fx) f x) ) f) x π ) 8 p.) ) a = f) a n+ = fa n ) n =,,, ) {a n } a n 4 p.) ) p fx) = ae x sin px + be x cos px f x) = e x sin px a b ) St) = t e x sin x t St) ) lim t t dx t ) St)

.. 5... ) ) a b a b P Q P = {x x + ax + b > } Q = {x 5x + a } 5 p.4) ) P ) Q P OADB-CEGF OA M AD : N DG : L OC k : k < k < ) K 6 p.54) ) OA = a OB = b OC = c MN ML MK a b c ) M N K L k ) M N K GF k F G C E B D O A

54 f n x) n =,,,, ) f x) = f n x) = x t f n t) dt n =,,, ) p.5) ) f x) f x) f x) ) n f n x) f n x) x n ) n f n) 5 8 4 C : x +4y = P, ) 4 p.7) ) y = x + b C b ) ) A B PAB b

.. 55.. x y 54 p.4) ) x 5 x ) x 5 y xy 5 OADB-CEGF OA M AD : N DG : L OC k : k < k < ) K 6 p.54) ) OA = a OB = b OC = c MN ML MK a b c ) M N K L k ) M N K GF k F G C E B D O A

56 C : x +4y = 4 P, ) 5 p.8) ) y = x + b C b ) ) A B PAB b 4 xyz P,, ) Q,, ) Rt, t t +, ) t t PQR K 6 p.9) ) K xy ) K

.. 57... ) ) p.69) ) k x x k = k ) x a )x + a + )x + a + = a c ) c A = c T 74 p.77) ) T ) ) xy P Q R T P Q R P Q R PQR c ) c = E : x 4 + y = T E E E E E

58 fx) = x e t sin t + cos t)dt gx) = x fx) gx) e t cos t sin t)dt 7 p.) f n) x) g n) x) fx) gx) n ) n f n) x) g n) x) f n ) x) g n ) x) ) {f n) x)} + {g n) x)} e a ) a {f n) a)} + {g n) a)} 4 fx) fx) = π n= sin t x cos t dt x > ) 8 p.) ) a > a = tan θ θ < θ < π ) ) fx) ) fx) x cos θ a

.. 59.. n 4 n 4) 4 a k k =,,, n) 55 p.4) ) {a k } ) {a k } k b k = a a a k k =,,, n) b + b + + b n ) b + b + + b n {a k } c ) c A = c T 75 p.78) ) xy P Q R T P Q R P Q R PQR k k ) c ) E : x 4 + y = T E E E c

6 a fx) fx) = π sin t ax cos t dt 9 p.4) ) fx) ) fx) x 4 OABC AB M BC : N OC L a = OA b = OB c = OC 6 p.55) ) L M N OA D OD a b c ) OB K DN P KP OP a b c

.. 6... ) ) {a n } n S n S n = a n + n 7 p.7) ) a n+ a n ) a n n O A,, ) B,, ) OA OP OB OP OAB P D 64 p.56) ) k OQ = k OA + k) OB Q D k ) s + t s t OR = s OA + t OB R E D E

6 θ < θ < π) fθ) 4 p.6) ) fθ) ) < θ < π fθ) f θ) ) π π fθ) dθ 4 xy, ) y C 4 p.7) ) C ) x + y = 9 4 C x

.. 6.. X Y {,,, 4, 5, 6} X Y n A B i) A X A X B Y B ii) n 56 p.44) ) X Y p q A ) A B X, Y ) O A,, ) B,, ) OA OP OB OP OAB P D 65 p.59) ) k OQ = k OA + k) OB Q D k ) C 6 D OC C

64 θ < θ < π) fθ) 4 p.6) ) fθ) ) < θ < π fθ) f θ) ) π π fθ) dθ 4 xy, ) y C 5 p.74) ) C ) a x + y = a C a

.4. 4 65.4 4.4. ) ) OABC OA = a OB = b OC = c D OD = b a E OE = c a P OA 66 p.6) ) < t < BD t : t) R CE t) : t S OB PR M OC PS N OM ON t b c ) OMN t ) t < t < OMN a cos θ sin θ = a sin θ cos θ, < θ < π θ 4 p.7) ) θ < θ < π ) θ

66 r r > {a n } a =, a n+ = a n + r a n + p.86) ) n a n < r n a n > r ) n a n+ r a n r ) n a n+ r a n r < ) r r + 4) lim a n lim a n+ n n 4 a xy C : y = e ax l C l y S 4 p.9) ) S x V ) S y V ) V = V a

.4..4. 4 67 OABC OA = a OB = b OC = c OA P 67 p.6) ) < t < BC t : t) Q PM + MQ OB M PN + NQ OC N OM ON t b c ) QMN t ) t < t < QMN a cos θ sin θ = a sin θ cos θ, < θ < π θ 4 p.7) ) θ < θ < π ) θ

68 4 p.8) ) a b c log a a + log b b + log c c < log 4 log e >.7 log >.6 ) a b c d a bc b ca c ab = d abc, a b c, d 4 a a > xy C : y = sin x cos x y = a x ) tan α tan β a < x < π ) α, β α < β) 44 p.) ) C x x = α x = β S S a ) S x V a

69 ) p.) ) m m k = m k = m + k ) m k ) = m + k = m k ) + k m + k m k { m + k = 6 m k = k = ± ) a a m = 4, k = x a )x + a + )x + a + = x = a + ) ± a + ) 4a )a + ) a ) = a + ) ± a + a ) l = a + l a = l ) a = ± a = x =, a = x =, 4 5 a = x = a = x =

7 ) p.) ) a > a > p PQS = 5 AQS = 45 AQ PQ AQ y = x ) y = x + l : y = a Q Q a, a) y l P p O a Q T 45 S l A, ) P x PQ Q y a = {x a)} y = x + a P, a ) p = a, q = a ) l P P s, t) l PP t a + l PP s t a + s s PP, a + t a + t = s + t = 4a 4 ) l = s s t = a 4 s = 8a 4 t = 6a 8 5 5 4 8a 4 P, 5 ) 6a 8 5 PAT = QAS P 6a 8 5 = 8a 4 5 + a = 7 ) p = 8 7

7 4) p.) C C O A P C C Q R P x, y) P 4 A PQ : PR = : PQ = PR 4PQ = PR OQP ARP OQP = 9 ARP = 9 PQ = OP OQ = x + y C PR = AP AR = x ) + y 4) 5 y 5 O P Q R C x 4x + y ) = x ) + y 4) 5 x + y + 4x + 8y 9 = x + + y + ) 4 ) = 77 9 C C r r r = r = 5 OA = 5 r + r < OA C C P ), 4 77

7 4 ) p.) ) C Px, y) x ) + y + x = x ) + y = x y = x 4 x + x x 4 x + 4 x x + x + ) 4x x + x x C : y = x 4 x + C x y = x + x < y = 6x + x = y ), x = 6 y ) C ) S S = = 4 = 4 [ { y ) } 6 y ) dy y ) dy y y ] = 8 y O C x

7 ) x + y = 9 4 C : y = x 4 x + x y x + x 4 x + 4 = x ) ) i) x x x + 4 = x x =, ii) x < x + 6x + 4 = x x = 6 + x x =,, 6 + C x ) < x < x =, x =, 6+ x = 5

74 5 ) p.) ) C Px, y) x ) + y + x = x ) + y = x y = x 4 x + x x 4 x + 4 x x + x + ) 4x x + x x C : y = x 4 x + C x y = x + x < y = 6x + x = y ), x = 6 y ) C ) S S = = 4 = 4 [ { y ) } 6 y ) dy y ) dy y y ] = 8 y O C x

75 ) x + y = a C : y = x 4 x + x y x + x 4 x + = a x ) ) ) xz C : z = x +x 4 x + x ) z = a x z, 9 4 ) C C x < z = x + ) 6 x z = x ) +, 4 ) O x C x ) < x < x =, < a < 4 a = 4 < a < 4 a = 4 < a < 9 6 4 a = 9 5 4 9 < a < 4 4 a = < a

76 6 ) p.) ) CPA AQB BRC r = r = r = b sin CPA = b sin 6 = b c sin AQB = c sin 6 = c a sin BRC = b sin 6 = a ) ) = ) CO A = CPA = 6 = AO B = AQB = 6 = BO C = BRC = 6 = CO A AO B BO C O AO CAB ) CAB > ) O AO = 6 + CAB O AO = 6 6 + CAB) cos O AO = cos6 + CAB) Q A O c P O b a B O C R A O P C a O c O Q B b R

77 O AO ) O O = r + r r r cos O AO = b + c bc cos6 + CAB) = b + c bc cos 6 cos CAB sin 6 sin CAB) = b + c bc cos CAB + bc sin CAB ABC S O O = b + c bc b + c a bc = 6 a + b + c ) + S + S O O = O O = 6 a + b + c ) + S O O = O O = O O O O O 7 4) p.) ) fx) = mx )nx ) x +) y y = fx) fx) = mn )x m + n)x m < n mn > y = fx) O m + n x x x mn x =, m + n mn m + n mn mn ) m + n) = mn 9mn m n + ) = mn ) m )n ) = mn )

78 m n m < n n m n 5 mn > m )n ) 5 m + n mn m + n mn x > fx) > x > mx )nx ) > x + ) tanα + β) = tan α + tan β tan α tan β = + m n m n = m + n mn m < n tanα + β) tanα + β) = m + n mn = m )n ) = m < n m =, n = m, n) =, ) tanα + β) = m + n mn = m )n ) = 5 m < n m =, n = 5 m, n) =, ) tanα + β) = m + n mn = m )n ) = m < n m =, n = 5 m, n) =, ) m, n) =, ),, ),, )

79 8 ) p.) ) t = sin x cos x = sin x π ) x π = θ t = sin θ sin x cos x = sin x π ) { = sin θ + π ) π } 6 6 = sin θ + π ) = cos θ = sin θ) = sin θ) = t sin x cos x = sin x cos x) = t y = t ) + t = t + t + ) x π π θ π t ) y = t ) + t = t = θ = π x = π ) 6 θ = π x = )

8 9 7) p.) ) y = x y = x C t, t ) l l t y t ) = tx t) y = tx + t l C x x ) + a = tx + t x + t )x t + a + = l C t ) t + a + ) = 4t 6t a = l D D > D/4 = ) 4 a) > a > 4 C C C C C C y = x y = x ) + a y x = x ) + a 4x 6x + a + = D D < D/4 = ) 4 a + ) < a > 4

8 ) α β α, α ) β, β ) α β y C α β = αβ = 4 αβ = a α 4 a O 4 = 4 β x a > 4 a = C ) l α, α ) β, β ) y x θ θ C tan θ = α tan θ = β θ θ = π 4, 4 π α tanθ θ ) = O tan θ tan θ + tan θ tan θ = β α) + 4αβ = C 4β α) = + 4αβ) 4{α + β) 4αβ} = + 4αβ) β x α + β = αβ = a 4 ) 9 4 4 + a = a) 9a 8a 8 = a > 4 a = ± 7

8 8) p.) ) y = 4x + y = 8x Ap, 4p + ) l 8p y 4p B + ) = 8px p) y = 8px 4p + l Qq, ) y A C l = 8pq 4p + p Q q O P p x q = 4p 8p m ) Bq, 4q + ) m ) y = 8qx 4q + y C l Pp, ) = 8pq 4q + B A q = ±p q = p 4p + = q = p Q q = p + p, q) = ±, ) O P p x m ) ) ) y = 4x + y = 4x + y S S = = {4x + ) 4x + )} dx [ ] x ) dx = x ) =

8 5) p.) ) P n a n, ) Q n a n, ) a n y C y = x y = x Q n y a = n a x a n) O n y = x a n + a n Q n P n P n+ x x x y = x = a n P n+ x a n+ = a n ) n` P a, ) a n = a ) a > ) S n = a n+ a n ) a n = ) a n a n = = 4a n 4a a n ) n S n 4a n= < n= S n = 4a = 4a

84 9 ) p.) ) x > + x > log + x) > fx) = x 6 ) x log + x) f x) = x + x = x x) + x) fx) x x f x) + fx) log <.7 4 log 4 log > < x fx) > log + x) < x 6 x < x < log + x) < x 6 x < x < < log + x) < x 6 x ) < a n < 6 n + n =,,, ) A) n = < a = a < < a < 6 + A) n = k A) < a k < 6 k + < + a k < + 6 k + log < log + a k ) < log < a k+ < log + 6 ) k + + 6 k + 4 )

85 < 6 k + log 4 5 + 6 ) < 6 k + k + ) 6 = 6 k + < a k+ < < 6k k + k = 6 k + ) + 6 k + ) + 6k k + ) 5 n = k + A), n A) lim n 6 n + = A) lim a n = n

86 4 ) p.4) ) a n+ = a n + r a n + ) a = n a n > ) a n+ r = r) a n r a n + a n+ + r = + r) a n + r a n + a n+ r a n+ + r = r + r a n r a n + r a n r a n + r = r > r + r < ) ) n r a r + r a + r = ) n r + r n a n r > n a n r < a n > r a n < r ) ) ) a n+ r = r) a n+ r a n+ + r) a n r a = r) n + a n + r a n + + = r) a n r) a n + r + ) ) a n > r ) a n+ r = r) a n r) a n + r + a n+ r a n r < ) r r + < r) a n r) r + r + = ) r a n r) r +

87 ) r 4) ) λ = r + < a 4 r a r < λ, < a 6 r a 4 r < λ,, < a n r a n r < λ < a n r a r < λn < a n r < a r)λ n r > < λ < lim a r)λ n = n lim a n r) = n lim a n = r n! ) lim a a n + r n+ = lim n n a n + = r + r r + = r r > ) a n r n ) r n r a n + r = = + r r + < r ) n r r + < lim = n r + a n r lim n a n + r = lim a n = r n { ) n } r r + + r a n = ) n r + r < r + r < lim a n n ) n r r + r a n r = ) n r + r n a n r > n a n r < a n > r a n < r

88 4 ) p.4) ) ) ft) = e t + t + t + t 6 ) f t) = e t + t + t f t) = e t + t) f t) = e t t > f t) > f ) = t > f t) > t > f t) > f ) = t > f t) > t > f t) > f) = t > ft) > t > e t > + t + t + t 6 + t + t + t 6 = + t + t 6 t t + 6) { = + t + t t ) } + 5 6 4 > + t t > e t > + t t = x x < e`x > + x e t = + t + t! + t! + t > e t > + t + t, et > + t + t! + t!

89 x + e x = e x {x + )e x } gx) = x + )e x g x) = xe x + x + )e x = x + ) e x g x) = x = gx) x g x) + + gx) e x < gx) < x < x + < e`x ) x < e x > x + x = xe x = xx + ) x > e x < < x + xe x < xx + ) xe x < xx + ) y = xe x y = xx + ) x x = S S = = {xx + ) xe x } dx [ 4 x4 + x + x + )e x ] = 4

9 5 ) p.4) ) E : x 8 + y = a, b) ax 8 + by = x y a b 8 fa) = 8 a + b a, b) E a > b > a 8 + b = b = 8 a fa) = 8 a + 8 a < a < ) ) a f a) = 8 a b b f a) = 6 a + b ) b a b b 4 a 4 + bb = 5 b = a 8b 5 f a) = 8 a + a 8b = a 4b)a + 4ab + 6b ) 8a b 5 a 4 + b ) + bb = 5 5 b b = 4b 64b 5 6 4 f a) = 6 a + 4b + a 64a 5 4 a > b > f a) > a 6 f a) = fa) f a) = a = 4b 7 7 a > a = 4

9 6 ) p.4) ) fx) = x e x a x a f x) = xe x a + x ) f x) + x a e a fx) = x a x a)e x a a > c = a ) ) c fx) dx = a x e x a dx [ = a x + ax + a )e x a = a 5 ) e ] a 7 ) p.5) ) fx) dx = ) a n = k n ) [ x dx = x + ] x = 4 x n gx) dx = k= k+ k n gx) dx = k= k+ k ) k fx k) dx x k = t ) k+ ) k ) k fx k) dx = ft) dt = 4 ) k ) n a n = 4 ) k ) k= = 4 ) ) n lim n! a n = 4 ) = 4 { ) ) n }

9 8 ) p.5) ) π π π f t) cos t) dt f t) cos t) dt = k π gx) = sin x + k fx) = x x gt) + t cos t) dt + sin x = sin t + k + t cos t) dt + sin x [ ] x = t sin t + kt + sin x = x + ) sin x + kx k = π π [ f t) cos t) dt = [ = {t + ) sin t + kt} sin t [ = t sin t + kt ] π π = kπ ] π ft) sin t ] π π π k = fx) = x + ) sin x, gx) = sin x ) ) π {fx) gx)} dx = π π x sin x dx = x cos x) dx = [ x x sin x x cos x + sin x 4 = π 6 π 4 ] π

9 9 4) p.5) ) A) x = A) x > A) t x e t x e t dt > x dt e x > x e x > x n = A) n = k A) x e t dt > x e x > k + )! t k dt k! ex > xk+ xk+ k + )! n = k + A), n A) n = e x > + x x > e x > + x + x! + + xn n! ) ) x > e x > x! < x e x < 6 x 6 lim x x = lim x x e x =

94 ) y = xe x y = x)e x y = xe x a, ae a ) y ae a = a)e a x a) y = e a { a)x + a } ) a P y = a, y = xe x a, ae a ) y ae a = ea x a) a y = ea x a) + ae a a Q y = a aa )e a, ) P Q x x p x q x p x q = a a {a aa )e a } = + a = + a + + aa )e a a ) a a e a e la) = x p x q ) lim a a e a = lim la) = a!

95 4) p.6) ) x ) + y = x = r cos θ y = r sin θ b r cos θ ) + r sin θ) b = r cos θ r cos θ + r sin θ b = r { r b cos θ + sin θ ) b cos θ } = y b O θ r P x b b cos θ r = r = b cos θ + sin θ cos θ = r = E fθ) = b cos θ b cos θ + sin θ ) ) E fθ) = b cos θ b ) cos θ + π θ π ) fθ) b < b b ) cos θ +, b cos θ b θ = b ) cos θ + = b b cos θ = b fθ), ) b = fθ) = cos θ θ =, ) fθ)

96 b > fθ) θ = ± π u = cos θ, ) b > ) ) cos θ = b < θ < π sin θ = θ fθ) dθ = θ b b b cos θ b b ) sin θ dθ t = dt b sin θ dθ = b cos θ θ θ t b θ t θ fθ)dθ = = = = b b b b b b b b b t dt b b + t + b t [ ] log b + t b b t b b log b + b b b ) dt

97 5) p.6) ) x = r cos θ y = r sin θ θ dx dθ = dr dy cos θ r sin θ, dθ dθ = dr sin θ + r cos θ dθ ) dx + dθ ) dy dr = dθ dθ = dr dθ ) dr cos θ r sin θ + dθ ) + r = {f θ)} + {fθ)} ) sin θ + r cos θ ) fθ) = sin θ f θ) = sin θ cos θ = sin θ cos θ {f θ)} + {fθ)} = l π dx ) ) dy l = + dθ dθ dθ π = {f θ)} + {fθ)} dθ π = sin 4 θ π dθ = sin θ dθ = = [ θ sin θ ] π = π 4 8 sin θ ) cos θ + sin θ ) = sin 4 θ π cos ) θ dθ

98 6) p.6) ) n fx) = x) x n f x) = x) ) x n n + x) nx = x) x n {n n + )x} n x n n+ f x) + + fx) 7n n n+) n+ n x n n+ f x) + fx) 7n n n+) n+ ) n x = n n + 7nn n + ) n+ n x = x = n n + 7nn n + ) n+ a n = = [ = x) x n dx x n x n+ + x n+ x n+ ) dx n + xn+ n + xn+ + n + xn+ n + 4 xn+4 = n + n + + n + n + 4 ] ) a n = n + n + + n + n + 4 = n + ) n + n + ) n + + n + ) n + 4

99 n + ) n + n + ) n + n + ) n + 4 n= n= n= n= = + = = + = = + = 4 a n = + 4 = 6) p.6) ) u = e tan t tan t) = etan t cos t ) u = e tan t ) + tan t = cos t fx) = + = + [ = + x x e tan x e tan t + e ) etan t tan t cos t dt u + u) du ] log u e tan x + u e tan x) e tan x e tan x = + log + e log e tan x tan x + e tan x = + log e tan x = + tan x

x + tan t + tan t x + tan t dt = dt + dt x + e tan t x + e tan t + e tan t x + tan t dt t = s dt + e tan t ds = t s x + tan t + e tan t dt = = = = x x x x + tan s) + e tan s) ) ds + tan s ds + e tan s e tan s + tan s) e tan s + ds e tan t + tan t) + e tan t dt x x + tan t + e tan t dt = = = x x x fx) = + tan x e tan t + tan t) + e tan t dt + + tan t) dt [ cos t dt = tan t ] x x + tan t + e tan t dt = tan x ) V ) V = π = π = π π 4 π 4 π 4 + tan x) dx + tan x + tan x) dx ) cos x + tan x dx [ = π tan x log cos x = π log ) = π + log ) ] π 4 t x s x

4 7) p.7) ) ) A = ) ) = A = = ) = = ) ) ) ) = ) = ) Pt, e t ) A x, y) ) ) ) x t = y e t x = e t y = t + e t < t < x = e t > t = log x C y = log x + x ) C D x log x + x = x + log e + e ) x log x = log e + ) e x x = e + e x x e + ) x + = e [ ] e, e e x + e ) x = x ) ) x = e, e = x { x e + ) } x + e x ) x e) e

e + e x x log e + e ) x log x x + log e + e ) x log x + x e < x < e D C S e { S = x + log e + e ) } x log x + x) dx e e log = e e e { log e + e ) } x + log x dx e + e x ) dx e + e x = t dx dt = x t e log e + e ) x dx e x e e e t e e = log t )dt = e e e log t dt = S = b a e e e e log x dx [ log x dx = ] e x log x x e = 4 e fa + b x) dx a + b x = t dx dt = x t = = b a a b b a fa + b x) dx ft) )dt ft) dt = b a fx) dx x t a b b a

5 7) p.7) log x) ) x fx) = x log x log x) f x) = x x log x log x) = x x fx) x e f x) + fx) log x) lim fx) = lim x + x + x 4 e = log x) lim fx) = lim = x x x y = fx) y 4 e O e x y = a a < a > 4 e, a = a = 4 e < a < 4 e

4 ) a = 4 e < p < q p q y 4 k = e O p e q e e + x fk ) = log k ) k = = 4 e { e + ) log e + e ) { log k e + ) = log k e } } e e + gx) = log x e, e + ) g x) = x [e, e + ] loge + ) log e e + ) e = c, e < c < e + c e + < log e + e e + ) log e + e < e > fp ) = 4 e fk ) > fp ) k < p < q = e < p < q e e + < p < q = e

5 6 8) p.7) ) F y = 4 x y y = A y y = r cos θ A AH AH = r cos θ) ) = r cos θ A FA = AH r = r cos θ ) ) FA k = lim n n n k= FA k = lim n n = = = r = + cos θ + cos kπ n n k= + cos kπ n + cos πx dx cos πx 4 [ 4 πx tan π 4 dx ] = 4 π F r A θ O y = 4 x x y = H

6 7 9 ) p.7) ) gt) = t 6 + t Gt) p [ ] p fx) = gt)dt = Gt) p x p x = Gp) Gp x) x f x) = G p x) p x) = gp x) ) = gp x) = p x) 6 + p x) = {p x) + } 4 f x) p x) + = x = p + ) x = p + fp + ) = Gp) G ) fp + ) Gp) G p) = gp) = p 6 + p = p )p + ) = p )p + p + )p + ) Gp) p > p G p) + Gp) p = G) G ) = = gt) dt = t 6 ) dt [ t 7 = 7 t ] t 6 + t ) dt = 4 7

7 8 9 ) p.8) ) sin x cos x < sin x π ) < sin x π ) < π x π 4 π x π π π < x π < π < x < π ) ) π x π 6 cos x sin x > π 6 4 sin x dx cos x sin x = π π π 4 sin x 6 dx + cos x sin x 4 sin x cos x sin x dx 4 sin x = a cos x sin x) + b cos x sin x) a b 4 sin x = a cos x sin x) + b sin x cos x) = a b) sin x + a b) cos x 4 = a b = a b a =, b = 4 sin x = cos x sin x) cos x sin x cos x sin x

8 = = π π 4 sin x cos x sin x dx { cos x sin x) cos x sin x } dx [ x log cos x sin x ] = π π = π 6 π 6 4 sin x dx cos x sin x { } cos x sin x) dx cos x sin x [ = x log cos x sin x ] π 6 = π 6 + log 4 π 6 4 4 sin x dx = π cos x sin x 6 + log π

9 ) π 6 I = π x π 6 cos x sin x > = π = π π 4 sin x cos x sin x dx π 4 sin x 6 dx + cos x sin x sin x sin x π ) dx π 6 sin x sin x π t = x π dt dx = sin x = sin t + π ) = sin t + cos t I = = π [ π + cos t sin t t + log sin t ) π 6 dt ] π π = π π 6 + log ) = π 6 + log [ π 4 sin x cos x sin x dx ) dx + cos t sin t t + log sin t x π π 6 t π π π 6 ) dt ] π 6 π

9 ) p.8) ) fx) = x x f x) = x x x log = x x log ) f x) = x = log fx) y x log f x) + fx) e log lim fx) = x lim fx) = x e log O log x ft) = ft + ) t t = t + ) t+) t = t < gt) = ft) t gt) = ft + ) gt) = { t `t t < ) t + ) `t+) t ) gt) = t t gt) = t + ) t+) ) ) gt) dt = = t t dt + t t dt + t + ) t+) dt t t dt = [ t ] t log t + [ t ] t log ) log t log ) { = } { } log + + log ) 8 log + 8log ) = 8 log + 5 8log )

) p.8) ) fx) = π 4 x x log 4 + tan t) dt x π ) x 8 π )} π ) f x) = log 4 { + tan 4 x 4 x log4 + tan x) x) π )} = log 4 { + tan 4 x log 4 + tan x) { = log 4 + tan π tan x } 4 + tan π tan x log 4 + tan x) 4 = log 4 + tan x log 4 + tan x) = log 4 = π ) ) f = 8 π 4 π 8 ) π ) fx) = f + 8 = + x π 8 f) = π 8 x π 8 log 4 + tan t) dt = f t) dt ) dt = π ) = π 8 6 x π ) 8 ) ) a = f) = π 6 a n+ = a n + π 6 a n π ) 4 a n+ π 4 = { a n π } a π 4 4 a n π 4 = ) n a π ) 4 a n = π 4 + π 48 ) n = π { ) n } 4

) p.8) ) fx) = π 4 x x log 4 + tan t) dt x π ) x 8 π )} π ) f x) = log 4 { + tan 4 x 4 x log4 + tan x) x) π )} = log 4 { + tan 4 x log 4 + tan x) { = log 4 + tan π tan x } 4 + tan π tan x log 4 + tan x) 4 = log 4 + tan x log 4 + tan x) = log 4 = π ) ) f = 8 π 4 π 8 π 8 log 4 + tan t) dt = ) π ) fx) = f + 8 = + x π 8 f) = x π 8 f t) dt ) dt = π ) = π 8 6 x π ) 8 ) ) a = f) = π 6 a n+ = a n + π 6 a n π ) 4 a n+ π 4 = { a n π } a π 4 4 a n π 4 = ) n a π ) 4 a n = π 4 + π 48 ) n = π { ) n } 4

) p.8) ) fx) = e x a sin px + b cos px) f x) = e x a sin px + b cos px) + e x ap cos px bp sin px) = e x { a + bp) sin px + ap b) cos px} f x) = e x sin px e x { a + bp) sin px + ap b) cos px} = e x sin px e x { a + bp + ) sin px + ap b) cos px} = π x x =, p ap b =, a + bp + = a = + p, b = p + p e x sin px e x cos px e x sin px) = e x sin px + e x p cos px = e x sin px + pe x cos px e x cos px) = e x cos px + e x p sin px) = pe x sin px e x cos px ) ) ) e x sin px) p e x sin px = e x cos px) p e x cos px ) ) p p p p ) ) p e x sin px) = + p p e x cos px) e x sin px e x cos px,) + p e x sin px p ) + p e x cos px = e x sin px a = + p, b = p + p )

4 ) p = t t ) ) St) = = t t + e x sin x t t t + e x cos x ) = e x sin x t t t e x sin x t dx [ t t + e x sin x t = t t + e`t sin t + ) ) t t + e x cos x t t t + ] t e`t cos t ) St) t = e t t + sin t + t = e t t + sin t + t t + = e t t + sin t + t t + t + e t cos t { t e t t + e t } cos t) t { e t + e t cos t t t } lim t sin t t =, lim t e t t e h = lim h h = cos t lim t t = lim t + cos t sin t t ) = St) lim = + + ) = t t

5 ) p.9) ) f x) = x = x f x) = x tf t) dt = tf t) dt = = x + 8 x4 f x) = x tf t) dt = x x x = x + 8 x4 48 x6 t dt t ) t dt t t + 8 ) t4 dt ) ) f n x) f n x) = ) n xn n! ) n = ) ) n = k ) f k x) f k x) = ) k xk k! f k+ x) f k x) = = = = x x x tf k t) dt tf k t) f k t))dt t ) k t k k! dt ) k+ xk+) k + )! x ) tf k t) dt n = k + ), n n )

6 ) ) f ) =, f ) = 5 8, f ) = 9 48 n =,, f n) 5 8 ) ) n 4 f n ) f n ) = n f k ) f k ) 4! k=4 k=4 < 9 ) n n! 4! n k=4 ) k = 4! ) n { ) ) } n n n f k ) f k ) f k ) f k )) = f n) f ) k=4 f n ) f ) < 9 n 4 f ) 9 < f n) < f ) + 9 9 48 9 < f n) < 9 48 + 9 < 5 9 < f n) < 7 9 < 5 8 n )

7 4 ) p.9) ) C : x + 4y = l : y = x + b x y C : x + y = l : y = x + b C l C l b 5 5 + ) < < b < ) C l A B PAB PA B S S S = S S S S b O l d d = b 5 A B = d = 5 4b 5 A B d y O y =x 4 5 P x S b l C 5 < b < P l h h = b + 4 = b + 4, S = 5 5 5 A B h = 5 b + ) 5 b S = S = 5 b + ) 5 4b = 5 b + ) 5 4b ) fb) = b + ) 5 4b ) < b < ) 5 b f b) = b + )8b + bb 5) 5 4 < b < f b) = b = 4 fb) b b ) 4 5 f b) + 4 b = fb) 4 )

8 5 ) p.9) ) C : x + 4y = 4 l : y = x + b x y C : x + y = 4 l : y = x + b C l C l b + ) < 5 < b < 5 ) C l A B PAB PA B S S S = S S S S b O l d d = b 5 A B = d = 4 5 b 5 A B d y O y =x 4 5 P x S b < b < 5 l C P l h h = b 5 + 4 5 = b + 4 5, S = A B h = 4 5 b + ) 5 b S = S = 5 b + ) 5 b = 5 b + ) 5 b ) fb) = b + ) 5 b ) < b < 5) b f b) = b + )b + b 5) < b < 5 f b) = b = + fb) + b ) b b = + 5 ) f b) + fb)

9 6 ) p.9) ) R xy y = x x + x ) y = kx k y x x + = kx x k + )x + = D = x = k + k + ) 4 =, k + y k = y = x, ), ) y = x, ) 4 O S S = = {x x + ) x}dx + x ) dx x ) 4 { } x x x + ) dx x ) dx = 4 48 x r = OR ) r = x + y = x + tan θ) = x cos θ tan θ = y x = x x + x x cos θ dθ dx = x r dθ = x ) dx S ) S = r dθ + C r dθ C C C = x ) dx + x ) dx = 4 O x 48 ) K xy V V = 4 S OP = = 4 48 7 y

7 ) p.) x [ fx) = e t sin t + cos t)dt = e t sin t gx) = x ) fx) = [ e t cos t sin t)dt = e t cos t x ] x ] x e t sin t + cos t)dt gx) = f x) = e x sin x + e x cos x g x) = e x cos x e x sin x = e x sin x = e x cos x x e t cos t sin t)dt x e x sin x = fx) e x cos x = gx) + f x) = fx) + {gx) + } g x) = {gx) + } fx) n ) n ) ) ) f n) x)= f n`) x) + g n`) x) g n) x)= f n`) x) + g n`) x) {f n) x)} + {g n) x)} ={f n ) x) + g n ) x)} + { f n ) x) + g n ) x)} = [ {f n ) x)} + {g n ) x)} ] {f n) x)} + {g n) x)} = n [ {f x)} + {g x)} ] {f x)} + {g x)} = e x sin x + e x cos x) + e x cos x e x sin x) = e x {f n) x)} + {g n) x)} = n ex = n e x ) ) n= e a {f n) a)} + {g n) a)} = n= e a n e = a n= ) n = =

n ) ) ) f n) x) f n ) x) = g n) x) g n ) x) ) = ) cos π sin π 4 4 sin π cos π 4 4 ) f n) x) = ) ) ) n cos πn ) sin π n ) f x) g n) 4 4 x) sin πn ) cos π n ) g x) 4 4 ) f x) = e x sin ) ) x + π 4 g x) cos ) x + π 4 ) f n) x) = ) n e x sin ) x + nπ) 4 g n) x) cos x + nπ) 4 n = )

8 ) p.) ) + tan θ = tan θ = a cos θ + a = cos θ cos θ = + a < θ < π cos θ > cos θ = + a ) x > θ < θ < π ) sin θ = x + x cos θ = + x sin t x cos t = + x sint θ) fx) = π sin t x cos t dt = π + x sint θ) dt < θ < π fx) = { θ + x { sint θ)} dt + = + x { [ cost θ) ] θ = + x sin θ cos θ) = + x x [ + π θ cost θ) sint θ) dt ] π θ } }

) ) f x) = = x + x = x + x + x x + x x + + x ) fx) x f x) + fx) x = ) + x = cos θ, x = tan θ gθ) = fx) gθ) = cos θ tan θ < θ < π ) g θ) = sin θ cos θ gθ) π π θ 6 g θ) + gθ) x = tan θ θ = π 6 x = x =

4 9 ) p.) ) x θ π < θ < π) sin θ = ax + a x cos θ = + a x sin t ax cos t = + a x sint θ) fx) = π sin t ax cos t dt = π + a x sint θ) dt i) x θ < π fx) = { θ + a x { sint θ)} dt + = + a x { [ cost θ) ] θ = + a x sin θ cos θ) = + a x ax [ + ii) x < π < θ < fx) = + a x π sint θ) dt ] π = + a x [ cost θ) = + a x sin θ + cos θ) = ax + i) ii) fx) = { π θ cost θ) + a x ax x ) ax + x < ) sint θ) dt ] π θ } }

5 ) x < fx) x f x) = = a x + a x a = aax + a x ) + a x aa x ) + a x ax + + a x ) fx) x a f x) + fx) x = a x < fx) x fx) ) + a x = cos θ, ax = tan θ gθ) = fx) gθ) = cos θ tan θ θ < π ) g θ) = sin θ cos θ gθ) π π θ 6 g θ) + gθ) ax = tan θ θ = π 6 x = a x = a )

6 4 ) p.) ) r = fθ) r) sin θ = r r = sin θ + sin θ fθ) = sin + sin θ r r ) < θ < π sin θ > cos θ > r > r > θ r sin θ + r) cos θ = r + sin θ ) r = r) cos θ + sin θ > r > cos θ > r > θ r cos θ + + sin θ ) r = r cos θ 4 r) sin θ + sin θ ) { r = r cos θ + 4 r) sin θ } r > r > sin θ > cos θ > r < < θ < π r > r < < θ < π fθ) f θ)

7 ) x = θ dθ π π fθ) dθ = π dx = θ x = = = π [ = π π 4 π 6 π 4 π 6 π 4 π 6 sin θ π π π 6 4 π 4 dθ = π 6 + sin θ sin x sin x) + sin x) sin x) dx cos x + sin x dx cos x + sin x cos x cos x x + cos x tan x ] π 4 π 6 = π 6 + sin x + sin x dx ) dx 4 4 ) p.7) ) cos θ sin θ = a sin θ cos θ < θ < π) ) < θ < π sin θ cos θ a = sin θ cos θ fθ) = sin θ cos θ f θ) = cos θ sin θ sin θ cos θ < θ < π f θ) < fθ) lim fθ) =, lim θ + fθ) = θ π < θ < π fθ) = a θ ) θ = π ) π < θ < π f θ) = sin θ + cos θ sin θ + cos θ) sin θ cos θ) sin = θ cos θ sin θ cos θ sin θ + π ) ) 4 sin θ = sin θ cos θ

8 fθ) y θ π ) 4 π π) f θ) + fθ) lim fθ) =, lim θ π + fθ) = θ π O ) y = fθ) y = fθ) y = a ) < a < a = < a 4 4 ) p.) π 4 π π 4 π θ ) fx) = log x x f x) = log x x fx) x ) e f x) + fx) e a b c fa) + fb) + fc) fe) = e <.7 log a + log b a b + log c c < log 4 ) a b c d <.6 < log = log 4 a bc b ca c ab = d abc ) bc log a + ca log b + ab log c = abc log d log a a + log b b + log c c = log d

9 d ) d = ) f) < f), f) > f4) > f5) > f) = log f) = log = log 6 = log 6 = log 8 6 = log 9 6 f) < f) < f) > f4) > f5) > log a a log, log b b log, log c c log a + log b + log c a b c log log a b c a = b = c = 4 4 ) p.) ) y = e ax y = ae ax C t, e at ) e y e at = ae at x t) y C l y = ae at x + at)e at at = t = a O a x l y = aex V = π a = πe ) a ) y = e ax x = a log y e ax ) dx πe a = π [ a πe a = πe ) 6a e ex ] a πe a

V = ) π e π e log y) dy a a = πe a π [ y{log y) log y + } a = πe πe ) = a a [ a V = π xe ax aex) dx = π π e) a e ax x a a ) ] e ae ] a x = π e) a a x b fx) y = fx) x x = a x = b y V V = π b a xfx) dx ) ) ) V = V πe ) 6a = π e) a a = 4 e) e 44 4 ) p.) ) sin x cos x = sin x + cos x sin x cos x y = tan x + tan x = tan x + tan x < x < π ) y = a y tan x + tan x = a tan x a tan x + = ) α β α < β) a > tan α = a a 4, tan β = a + a 4

) ) tan α tan β = y S S = = β α β α β sin x cos x dx = α tan x cos x dx [ ] tan x) β tan x dx = log tan x = log tan β tan α = log tan β = log a + a 4 α a O α π 4 β π x ) tan α tan β = tan β tan α = a 4 V V β π = = [ = α β α sin x cos x dx = + tan x tan x tan x β α ) tan x) dx = ] β α = sin x + cos x sin x cos x dx β {tan x) + α tan β tan β ) tan x) tan x } dx tan α tan α = tan β tan α) tan α tan β) = tan β tan α) = a 4 V = π a 4 45 ) p.) ) S S 6C + 6 C 9C 5C = + 6 6 455 = 6 455 ) 5 7 S,, ),, ),, ),, ) S ) + 5 C + 7 C + C 5C 7C 5C = + + 5 + 5 455 = 5 455

46 ) p.) a n 9 p n n = X a = X 9 p = n = 5 C ) 6 X, X ) =, ),, ),, ),, 4), 4, ),, ) p = + 5 C + 6 = 7 6 6 n n n ) 5 n C ) n ) 6 n C ), ),, ),, ),, 4), 4, ),, ) n ),, ) n C ) p n = 6 + 5 nc n + 6 n C + n C ) = 6 n { + 5n + nn ) + nn )n ) 6 = 6 n+ n + 5n + 4n + 6) n = n = p n = 6 n+ n + 5n + 4n + 6) }

47 ) p.) ) 6 6C = 6 5 = 5 ) m = n m, n) =, ),, ),, ) 5 = 5 ) m, n) y = x + c x y + c = ) d d = m n + c m n + c = + ) S = d = m n + c) m n = m, n) =, ),, ) 5 + 5 = 8 5 m n = m, n) =, ) 5 = 4 5 ) S E E = c 5 + + c) 8 5 + + c) 4 5 = 5c + c + 4) ) ) E = c + 6 ) + 5 5 5 E c c = 6 5

4 48 5) p.) ) X = X = 4 a + b + b + a = b b = a a b b = a a ) ) a) = 4a a + b) = a + a ) = 4 a + a + 4 a) = a a + P Z = ) = 4a P Z = ) = 4 a + a + ) 4a = 5 4 4 a + a + 4 P Z = ) = a a + ) 4 a + a + ) = 4 4 a 5 a + 4 P Z = 4) = a a + ) = a + a m m = 4 k P Z = k) k= = 4a + 5 = 4 a + a + 4 ) ) m = 4 a ) + 7 7 4 a + a + ) + 4 4 a 5 a + ) + 4 a + a ) 4 a ) a ) m a = 7

5 49 6) p.) ) y = ax + x b = a x + ) a a b a > a b a b < 5 5 b < a < a 5 b 5 b b = 5, 6 a 4 5 6 6 6 6 = ) fx) = ax + x b f) = b < y a > f) < f) < O x f) = a + b a + b a, b) =, 4),, 5),, 6),, 5),, 6),, 6) 6 6 6 = 6 ) ax + x b = bx a b)x + x b = a b D > D/4 = + ba b) > bb a) < bb a) a b bb a) < b < a b < a a b 6C 6C 6 = 5

6 5 7) p.) ) P, ) x y 5 x y 5 6 ) ) 5C = 5 6 6 97 ) x P x x n n m = n ) m ) m mc m = m)! 6 6 m!) 8m m n = m n = m m)! m!) 8 m ) P y x, ) x, ),, ) x, ),, ),, ) x, ),, ) O x, ) ) x = 6 6 x C 6 6 + C 6 6 = 6 6 ) x + C 6 6 ) 6 + = 6 6 x C 6 6 + C 6 6 = 6 ) x = 4 6 6 P x ) 6 + ) 6 6 + 6 + 6 + 4 6 = x

7 5 9 ) p.) ) y = px y = qx + y px qx = D D = q) 4 p ) = q + 4p p > D > α β α < β) α + β = q p, αβ = p p > αβ < A B x α β AB y q α + β + = q q p + = q p + q p + < q < p 6 q q = p 6 6 q = p 6 4 q = 5 p 6 6 + 4 + 6 =

8 ) A x α p α = q q + 4p p q 4 5 6 5 9 7 5 8 6 4 8 7 5 9 4 4 8 6 4 q + 4p 5 9 7 4 45 49 6 4 44 48 5 56 6 q + 4p p, q) 6 p, q) =, ),, ), 4, ), 5, 4), 6, ), 6, 5) 6 6 = 6 ) Aα, qα + ) AO qα + α = q + α = q + p q q + 4p = q q + 4p A B AB q AO AB q ) q u =, + 4p v =, q) OAB u v OAB 9 u v < + q q + 4p q < + q < q q + 4p p > + q q = p 6 4 q 6 p 6 5 4 + 5 5 6 = 9 6

9 5 ) p.) ), 6 4C C 6 C 8C = 6 45 5 8 = 4 5 4C 6 C C 8 = 4 6 45 8 = 5, 4 + 5 = 9 7 ) 4C C + C 6 C = 6 C 8C 45 + 6 8 =, 5 + = 4

4 5 ) p.4) ) x + ax + b > D = a 4b P D < a 4b < a 4 a < a 5 y = fx) y = fx) f a) > 5 y b b 4a 5 > a 4a 4b 5 < b a 4 a a 5 O x a, b) 7, ),, ), 4, ), 4, 4) 5, 5), 5, 6), 6, 6), 7 + 7 6 =

4 Q x a 5 Q P D D < Q P ) 7 D P x < a a 4b, a + a 4b < x Q P a + a 4b < a 5 5 a 4b < a 4a 5b < a 4a 4b 5 < b a 4 a, b) 7, ),, ), 4, ), 4, 4) 5, 5), 5, 6), 6, 6), 7 + 7 6 =

4 54 ) p.4) ) x 5 x = xx + )x ) = x{x 4) + 5}x ) = x )x )xx + )x + ) + 5x )xx + ) x )x )xx + )x + ) 5 5! 5x )xx + ) 5! x 5 x a + b) 5 a 5 b 5 = 4 5C j a 5 j b j j= 5C j j 4) 5 a b 5 k a = k b = {a k } a k = k 5 k ) 5 n n a k = n 5 n k= a k 5 n n 5 n 5 m m = n m 5 m = n) 5 n) = n 5 n) 5 x = x 5 x 5 x x 5 x 5 x 5 x = x )xx + )x + ) x 5 x 5 ) x 5 y xy 5 = yx 5 x) xy 5 y) ) x y x 5 x y 5 y

4 55 ) p.4) ) n 4) 4 n! n )!4! = nn )n )n ) 4 ) ) b + b + + b n {a n } {b n } n n ) + ) = n 4 b + b + + b n {a n } a = a n = {b n } n n ) ) + = n + 4 ) b + b + + b n {a n } c n 4 c n )! n 4)!! = n )n ) ) b + b + + b n {a n } a = a n = d n 4 d n )! n 4)!! = n )

44 56 ) p.4) ) A k k n) p) k q) k p q p) p + q q + q < p q p q j 6 j =,,, 4, 5) i) q = 6 7 < p 5 6 ii) q = 6 4 < p 4 6 iii) q = 6 < p 6 iv) q = 4 6 5 < p 6 v) q = 5 6 5 < p 6 p = 6, 6, 6, 4 6, 5 6 p = 6, 6, 4 6 p = 6 p p X, Y ) 6C 5 5C k + 6 C k= 4 4C k + 6 C C k= =6 5 ) + 5 4 4) + = 7

45 57 ) p.5) ) OP =, ) OP n = n, ) y OP OP n = n +, OP n = n + Q n P = OP ) n OP OPn OP n =, ) n + n, ) n + ) n = n +, n n n + ) OP OP n α n cos α n = OP OP n OP OP n = n + n + O θ n P Q n P n α n x sin α n = cos n + ) n ) α n = = n + ) n + ) n sin α n > sin α n = n + ) θ n = 9 α n cos θ n = cos9 α n ) = sin α n = n n + ) ) tan α n = = n + ) n ) = cos α n n + ) n + ) < α n < 9 tan α n > tan α n = n n + θ n = 9 α n tan θ n = tan9 α n ) = tan α n = n + n tan θ n <. n n + n <. n > n

46 OA OP θ e P e = OA OA O e θ Q A P OA Q OQ = OP cos θ) e OP OA cos θ = OP OA OP cos θ = ) OP OA OQ = OA QP = OP OQ = ) OP OA OP OA OA OP OA OA OA 58 ) p.5) ) s OA t OX t OA s OX s OA t OX) t OA s OX) = st OA s + t ) OA OX + st OX = OA = OX = POR = θ s = cos θ t = sin θ cos θ sin θ cos θ + sin θ) OA OX + cos θ sin θ = OA OX = sin θ cos θ = sin θ ) OA OX α OA OX = OA OX cos α = cos α π ) ) cos α = cos θ

47 X AP POA = π 6 α π 6 < θ < π 4 < π θ < π α = π θ 4 4 π θ π 6 π 6 θ < π 4 y Q O α Rcos θ, sin θ) Acos π, sin π) 6 6 X P x ) ) POX = π 6 α = π π ) 6 θ = θ π ROX = POR POX = θ θ π ) = π θ ROX = OX OR sin ROX = π ) sin θ = sin π θ ) ) θ = π 6 4

48 59 5) p.5) ) P CD x PA =,, ) x,, ) = x,, ) PB =,, ) x,, ) = x,, ) z B x x A O θ D P C y PA PB = x) x) + ) + = x x cos θ = PA = x) + ) + = x 6x + PB = x) + + = x + PA PB PA PB = ) PAB S S = PA PB PA PB) x x x 6x + x + = x 6x + )x x) x x) = 5x 6x + = 5 x ) + 56 5 5 x ) 56 x S 5 = 7 5

49 6 6) p.5) ) Q OAC OQ = s OA + t OC PQ = OQ OP = s OA + t OC OP PQ OAC PQ OA PQ OC s, t ) PQ OA = s OA + t OC OP) OA = s OA + t OC OA OP OA = PQ OC = s OA + t OC OP) OC = s OA OC + t OC OP OC = OA =,, ) OC =,, ) OP =,, ) s + 6t =, 6s + 8t = s = 5 t = PQ = OA + OC OP 5 = 5,, ) +,, ),, ) ) = 5, 5, 5

5 ) S ABC PS ABC PS AB PS yz M,, ) S CM OS = k OC + k) OM PS = OS OP = k OC + k) OM OP k ) = k,, ) + k),, ),, ) =, k, k) PS CM CM = OM OC =,, ),, ) =,, ) PS CM = + k) + k ) = k = 5 PS =, 8 5, 4 ) 5 z C x O P A B y

5 ) ) OQ = OP + PQ =,, ) + ) = 5, 4 5, 5 5, 5, 5 ) ) OS = OP + PS =,, ) +, ) =, 5, 4 5 ) 8 5, 4 5 OABC yz Q R yz R ) 5, 4 5, 5 QRS QS = RS QR T ST = QR = 5 ) + T, ) 4 5, 5 QRS 4 5 ) + 5 5 4 ) = 5 5 QR ST = 5 5 = 5

5 6 ) p.6) ) P BC t : t) < t < ) OP = t) OB + t OC OP = t),, ) + t,, ) = + t, t, t) OA H + t,, ) HP =, t, t) OA HP OAP = OA HP HP OAP HP = t) + t) = 5t 4t + 4 = 5 t ) + 6 5 5 t < t < t = 5 z C H O P B y 4 A x l l l P l Q PQ PQ l PQ l OA BC HP BC HP BC = t

) D xy a, b, ) CD = a, b, ),, ) = a, b, ) OA CD OP CD OA CD = 4a ) + b ) + ) = OP CD = + t)a ) + t)b ) + t ) = t a = b = + t t ) + t D, t, E,, ) AB x F A F B x F AB : ) ) 4 + +, + +, + 4, +, D OAB D EF < + t t < 4 < t < < t < z 5 C E O P B D F, 4, ) y 4 A x

54 6 ) p.6) ) MN = MA + AN a + b 5 = ML = MA + AD + DL a + b + c = MK = MO + OK = a + k c k K k O C B M F A E N L D G ) M N K α α P p ) s t p = OM + smn + tmk = ) a + s a + b + t ) a + k c 5 = + s t) a + 5 s b + tk c ) L a + b + c L α a b c + s t) =, 5 s =, tk = s = 5 t = k = 9 ) OF = b + c FG = a GF x OF + x FG = x a + b + c x ) α GF ) + s t) = x, s =, tk = 5 t = 7 x x t 7 < k < 7 k

55 6 ) p.6) ) OL = a + b c, OM =, b + c ON = L M N s t ) OL + s LM + t LN = a + b c + s c + t b + ) c c = s s a + + ) t b + s t 6 ) c OA D s + t =, s t 6 = s = 4, OD = a t = ) a = b = c = a b = b c = c a = DK = b a DN = b + c a DK DN = 4 9 a + b 7 a b + b c c a = 9 6 9 8 DN = 4 9 a + 4 9 b + 9 c 8 4 a b + 4 b c c a = 9 9 9 9 DP = DK ) DN) DN = b + c a DN OP = OD + DP = 7 a + b + c 6 O a A D M L K c C P b N B D θ K P N

56 64 ) p.7) ) OA =,, ) OB =,, ) OA =, OB = 9, OA OB = OA OQ = OA {k OA + k) OB} = k OA + k) OA OB = k + k) ) = 6k OB OQ = OB {k OA + k) OB} = k OA OB + k) OB = k ) + k) 9 = k + 9 Q D OA OQ OB OQ { 6k k + 9 k 4 ) D P x y OP = x OA + y OB OA OP = OA x OA + y OB) = x OA + y OA OB = x + y ) = x y) OB OP = OB x OA + y OB) = x OA OB + y OB = x ) + y 9 = x + y) OA OP OB OP x y = α, x + y = β α β x = α + β, y = α + β

57 OP = α + ) β OA + α + ) β OB = α OA + OB) + β OA + OB) = α OA + OB OA + OB + β 4 AB : L M OP = α OL + β OM α, β ) P D B M O D L A s + t = λ λ s = s λ t = t λ s + t = OA = λ OA OB = λ OB A B OR = s OA + t OB = λ λ s OA + λ λ t OB = s OA + t OB s + t = ) R A B

58 OL = OL OM = OM L M λ D E LMM L S B M O M D E L A L S = OLM, OLM = 4 OAB S = 4 OAB OAB OAB = OA OB OA OB) = 9 ) = S = 4 OAB = 4 9 = 8

59 65 ) p.7) ) OA =,, ) OB =,, ) OA =, OB = 9, OA OB = OA OQ = OA {k OA + k) OB} = k OA + k) OA OB = k + k) ) = 6k OB OQ = OB {k OA + k) OB} = k OA OB + k) OB = k ) + k) 9 = k + 9 Q D OA OQ OB OQ { 6k k + 9 k 4 ) D P s t OP = s OA + t OB OA OP = OA s OA + t OB) = s OA + t OA OB = s + t ) = s t) OB OP = OB s OA + t OB) = s OA OB + t OB = s ) + t 9 = s + t) OA OP OB OP s t = α, s + t = β α β s = α + β, t = α + β

6 OP = α + ) β OA + α + ) β OB = α OA + OB) + β OA + OB) = α OA + OB OA + OB + β 4 AB : L M OP = α OL + β OM α, β ) P D B OL = OA + OB 4 OA + OB OM = M O D L A =, 4, ) 4 =,, ) l =, 4, ) m =,, ) l = 8, m = 6 l : m = : D H OH = l + m = +, 4 +, ) H LOM m l l m) m = 6, 4, ) 6,, ) =,, ) OLM m e =,, )

H OM OH e = OC C OC OH 6 OC = OH = +, 4 +, ) + 6 =, + ) 6 6, 6 C + 6, + 6, ) 6 OA m e OA HOM OM e OH e θ H OM d d = M OH cos θ θ OH e = OH e cos θ = O OH cos θ d = OH e e d H

6 66 4 ) p.7) ) OPM BRM OPN CSN OM : MB = : t, ON : NC = : t) OM = + t OB = b, + t ON = OC = c + t) t O c a E a A P b a B c a b b a c D C a A P O N c c a C c a E t S t a A P b a O M b t B R b a D t A P O M B N C ) b = c = ) OM = + t ON = t OMN = OM ON sin 6 = + t t = 4 + t) t)