. 剛塑性有限要素法 名古屋大学大学院工学研究科. はじめに. 剛塑性体の構成式.. 降伏条件.. 構成方程式 ([D] マトリックス ). 節点速度 ひずみ速度関係..[B] マトリックス.. 四角形一次要素の [B] マトリックス.4 4 仮想仕事の原理 ( 剛性マトリックス ([K] マトリックス )).5 非線形方程式の解法.5. 直接代入法.5.wto-Raphso 法.6 非圧縮性の拘束と数値積分.7 エネルギー汎関数による定式化.7. 最小ポテンシャルエネルギーの原理.7. 圧縮性材料特性法.7.Lagrag 乗数法.7.4ペナルティ法.8 おわりに 湯川伸樹 参考文献 演習 付録 剛塑性 FEMプログラムリスト付録 サンプルデータ
.はじめに (a). 剛塑性体の構成式.. 降伏条件
( ) + ( ) + ( ) τ τ τ ( ) + 6 + + z z z z {( ) + ( ) + ( ) } Y f( { } ) cos ta t ( ) (..Mss ( + + )/ m z ( ) + ( ) + τ τ τ ( ) + 6 + + z z z z + g m Y ( )
g. Mss g (.. (.. Y, Y.. 構成方程式 ([D] マトリックス ) t d t 0 d
Y Y Y Y f λ f λ f λ f z z z z λ f τ λ f τ λ f τ z z λ f (.. é λ ( ) z λ ( + z ) λ z ( + z ) λ τ λ z τz λ z τz λ ẇ
w { } {} { } {,, z, τ, τz, τz} {} {,, z,, z, z} (.. w λ ( ) + ( z) + ( z ) + 6 τ + τz + τz λ { ( )} w (.. (.. λ ( ( ( ( + ( z) z + ( ) z z ( + ) τ z τ z z τ z ( z z z 0 0 0 0 0 0 z 0 0 0 τ 0 0 0 0 0τz 0 0 0 0 0 τz 0 0 0 0 0 (
(.. (.. ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + + z z z z ( 9 (.. z z z ν ν 0 0 0 ν ν 0 0 0 ν ν 0 0 0 E + ν 0 0 0 ( ) 0 0 τ 0 0 0 0 ( + ν) 0 τ 0 0 0 0 0 ( + ν) τ z z z ( (.. λ / ν 0. { } [ D ]{} ( (.. m m z z m τ τ τ z τz τ z τz (6)
z z m + + ( ) (7) z z τ τ τ z z z z (8) τ τ τ z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (9) τ τ τ z z z z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z z z D [ ]{} (0)
(.. (..) g λ ( z + ) m λ τ λ g ( + z + m ) z λ τz λ g z ( + z + m ) λ z τz ( (.. (.. λ λ ( ) g z + m g ( + z + m ) g z ( + z + m ) τ z τ z z τ z (. {} g g g + + + 0 0 0 9 9 9 g g g + + + 0 0 0 9 9 9 g g g + + + 0 0 0 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 { } (.4
4 + + + 0 0 0 9 g 9 g 9 g 4 + + + 0 0 0 9 g 9 g 9 g 4 + + + 0 0 0 { } 9 g 9 g 9 g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D [ ]{} {} (.5 (..(.. ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + + 9 + g z z z z (.6 + + z ( (.. g m ( z z z 0 z z 0 (.9)
τ g g g g + + + + 4 9 9 0 9 4 9 0 0 0 (.0) z g g + + ( ) + 9 9 (.) τ g g g g + + + + + 0 0 0 0 0 0 9 9 0 9 9 0 0 0 0 [ ]+ [ ] ( ){} D D D V (.). 節点速度 ひずみ速度関係..[B] マトリックス u ẇ z u w z z z u z w w u z + + +.
u ẇ u u w w (. z u z w z z u z w w z u + + + z z z B B B C C C D D D C B C B C B D C D C D C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D B D B D B u w u w u w 0 0 0
B {} [ B]{ u } C D z (... 四角形一次要素の [B] マトリックス, u, 4 η ( 4,4) (, ) u u 4 u, ( ) u (, ) ξ η η ξ ξ ( ξ 4, η 4) η η ( ξ, η ) ξ ( ξ, η) ξ ξ ( ξ, η ) η ( ξ, η )
4 4 u u 4 4 + + 4 ( )( ) ξ ξ η η ξ η, ξ η, ξ ξ η η ξ ξ η η 4 4,, u u + u 0 0 4 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 u u 4 4 M {} [ ]{ } B u ξ ξ ξ η η η + +
ξ ξ η η ξ η J [ ] [ J] ξ J η η η ξ ξ ξ η J ξ η η ξ [ B] B 0 B 0 B 0 B4 0 0 B 0 B 0 B 0 B4 B B B B B B B4 B4 B B + J η ξ ξ η + J η ξ ξ η ξ + ηηξ 4, η 4 ( ) ( + ) ξξη 4 4, ξ ξ η η 4 4, ξ ξ η η ( ξη, ) (, )
.4 仮想仕事の原理 ( 剛性マトリックス ([K] マトリックス )) { 0 } b {} τ τz + + + b 0 z τ τz + + + b 0 z τ τ z z z + + + bz 0 z u w z z z z u + w + z w u + z z τ τz τz [ ]{} D 4 + + + 0 0 0 9 g 9 g 9 g 4 + + + 0 0 0 9 g 9 g 9 g 4 + + + 0 0 0 9 g 9 g 9 g z 0 0 0 0 0 z 0 0 0 0 0 z 0 0 0 0 0 ( ) (. ) (. )
{ 0 } S f { } { 0 } S u {} u { u 0 } ) { } { δ } dv { 0 } { δu} ds + {}{ b δu} dv V Sf V { δu }S u δu 0 { δ } { δu } V B D B d u ds S 0 f V b dv F [ ] [ ][ ] { } [ ] { } + [ ] {} { } ( ) [ ] V [ ] [ ][ ] K B D B d [ K ] { u } { F } ( ) K F [ K]{ U } { F} U [ ] [ K ] All Elmts { } { F } All ods { } { u } All ods [ K]{ F}{ U }
[ K] { F} Gauss (. ) [ K] [ D].5 非線形方程式の解法.5. 直接代入法 (.4.9 [ K] [ K( { U })]{ U } { F} 0 5. [ K][ K 0 ] [ ]{ } { } K U 0 F 0 5. { U } { U }[ K ], [ K ] d
[ ]{ } { } K U F 0 5. { U } 5. [ K 0 ] { U } [ K 0 ] [ D].5.wto-Raphso 法 f( ) 0 f ( ) df d + + { ϕ( { U })} [ K( { U })]{ U } { F} 0 { U } f ( ) f( + ) ( ) f +
[ ]{ } 0 ( ) ϕ U ϕ U K U du { ({ })} { ({ } )}+ ( { } ) [ K ] K j Kj ϕ u + j Kk u u F k j u j U U k U U ( ) (. ) { U } { du } [ ( )] ({ }) { } { } { } du K U ϕ U U + U du () { } { }+ { } { U + } { du } (. ) { U 0 } [ K ( { U } )], ϕ U { du } K { du } { ({ })} { ({ }) } [ ] ϕ U { U + } { U }+ { du } { du }
{ U 0 } { U 0 } { U 0 }.6 非圧縮性の拘束と数値積分 [-, ]Gauss m f( ξ) dξ w f( ξ ) - ( 6.) m m f( ξ, η)dηdξ w w f( ξ, η ) - - j j ( 6.) j m m m f( ξ, η, ς)dςηξ d d w w w f(,, ) - - j k ξ η j ς k k j ( 6.) m, m, m ξης,, (ξ, η j, ς k ) (w,w j,w k ) ±/ ( ) ± /5 ( )
6. ADE AD AE ADE DEF DE F DE DFG DG F DG DEF DFG OAB 6. F 6 B 5 V 8 8
F 7 B V 75 F < B + V O F 7 B V 5 F > B + V.6. 6. A+ B+ C 6.4 A 0, B 0, C 0 6.5 F 7 V 75 Gauss 6.(a) (a) (b) (c) 4, FI,RI,SRI), RIS.6.
G 6.(b) d tgrato, RI) V 5 B 48 z (a) 低減積分 (b) 選択低減積分 図.6.4 平面ひずみ圧縮の計算例
.7エネルギー汎関数による定式化.7. 最小ポテンシャルエネルギーの原理 Φ ( u) F u d dv- 0 ds V S F ( 7.) F u V S.7. 圧縮性材料特性法 Mss m { } ( ) + ( z) + ( z ) + 6( τ + τ + τ ) + g m (.) Φ( u ) F u d dv - 0 ds V S F Φ + Φ D F (.)
(.7. ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + + 9 + g z z z z.4 (.7. u Φ( u ) 0 u 7.5 k g Φ Φ Φ ( 7.6) E Φ u (.7 ) D u B D B u ( 7. {} [ ]{} { } [ ] [ ][ ]{ } [ D ] 4 + + + 0 0 0 9 g 9 g 9 g 4 + + + 0 0 0 9 g 9 g 9 g 4 + + + 0 0 0 9 g 9 g 9 g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7. Φ D
u Φ D k V d 0 dv u k d 0 V u V u k k dv dv [ ] [ ][ ]{ V } ([ B] [ D][ B] ) dv{ u V } [ Ku ]{ u } B D B u dv ( 7. ) F Φ F - {} u {} F ds SF -{ u } [ ] [ ] ds F SF F { } SF [ ] [ ] ds F { } { } { } ( 7. ) ( 7. ) u Φ F F -{ } ( 7. ) [ K ]{ u } { F } 7. { } [ D]{} [ D ]{}+ [ C]{} ( 7. ) g 9
[ C] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ D ] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 7. ) ( 7. ).7.Lagrag 乗数法 LagragLé-Mss λ Φ ( u ) F u d dv- ds+ λ dv V 0 S V ΦD + ΦF + ΦV F (. ) u u Lagrag.7.7 u Φ 0 u k Φ 0 l.7.8 λl [ ]{} { } [ ] [ ][ ]{ } {} D u B D B u.7.9 Φ D.7.9
Φ D u k V ( B [ D ][ B ] ) dv{ u } [ Ku ]{ u } [ ].7.0 [ D ] D [ ] Φ D λ l 0.7. 7.. Φ F u k F { }.7.4 Φ F λ l 0.7.5 [ B] { λ } [ B λ ] Φ λ V dv V λ λ P Bλ u dv { } { } { } [ ]{ }.7.6 { P} { 0 0 0}.7.7 Φ Bλ P λ dv λ u V k [ ] { }{ } { } [ K λ λ ]{ }.7.8 λ Φ V λ P Bλ dv u l { } { } [ ] { } [ K u λ ] { }.7.9
K K u λ K λ u F 0 λ 0 (.7.0) Lagrag (a) () (b) m m λ (.7.) { }+ { } { } m P [ D ]{}+ m{ P} (.7.) 0 0 0 0 (a) 弾性解析 ペナルティ法 圧縮性材料特性法 非ゼロ項 0 0 0 0 0 (b)lagrag 乗数法 図.7. 全体剛性マトリックスの形
.7.4ペナルティ法 λ Φ ( u ) F u ( ) d dv- ds+ λ dv V 0 S F V ΦD + ΦF + ΦP (.7.) 0 Lagrag { P}[ B]{ u }.7.4 Φ P λ B P P B dv u u V k [ ] { } { }[ ] { } (.7.5) λ KP u [ ]{ } ([ K ] + λ [ K P] ){ u } { F }.7.6 7.(a) { }+ { } { } λ P [ ]{}+ λ[ C]{} D (.7.7) (.7.7).7.4 g 9
.8おわりに 参考文献 6 (984), p647 7.
演習 [B]