静的弾性問題の有限要素法解析アルゴリズム

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1 概要 基礎理論. 応力とひずみおよび平衡方程式. 降伏条件式. 構成式 ( 応力 - ひずみ関係式 ) 有限要素法. 有限要素法の概要. 仮想仕事の原理式と変分原理. 平面ひずみ弾性有限要素法定式化

2 FEM の基礎方程式平衡方程式. G G G ひずみ - 変位関係式 w w w. kl jkl j D 構成式応力 - ひずみ関係式 ) (. 変位の境界条件力の境界条件境界条件式 t S on V S on P t 4.

3 応力とひずみおよび 平衡方程式

4 物体にはたらく力と応力

5 応力の定義 応力ベクトル : n lm A P A P A 垂直応力 : n lm A A A せん断応力 : n lm A Q A Q A

6 応力ベクトル j j j j j テンソル標記で

7 応力テンソル j j j モーメントの釣合 = 応力テンソルの対称性

8 二次元応力行列と主応力 n n n n n n ) )( ( 主応力 I I

9 三次元応力の座標変換 n m l n m l n m l n n n n m l n n n n n n n j j j j j n n n

10 三次元応力行列と主応力 今考えている面を主応力 がはたらく主応力面とすると n n ( ) n j t( j j 上式を展開すると I n j j ) j j I 上式が n j = 以外の解をもつためには I j ここで J J J を応力の不変量という. 上式の 実根を とすれば n 主応力 j

11 三次元応力の不変量 j j j jj m I I I t I I I あるいは主応力を用いて表すと

12 平均垂直応力と偏差応力 J m 平均垂直応力 = 静水応力 塑性変形に無関係偏差応力 塑性変形を引き起こす j m j j m m m m m m

13 偏差応力の不変量 6 ) 6( 6 ) ( J J J

14 二次元 方向応力の平衡方程式 (= 釣合方程式 ) F F

15 三次元応力の平衡方程式 (= 釣合方程式 ) j j F F F F

16 ひずみ ( 微少ひずみ ) の定義

17 垂直ひずみ (= 垂直微少ひずみ ) A A A A B

18 せん断ひずみ (= 微少せん断ひずみ ) A D A B tan tan 工学的せん断ひずみはここで j

19 ひずみテンソル ( ひずみ - 変位の関係式 ) j j j j j

20 体積ひずみと偏差ひずみ V 体積ひずみ偏差ひずみ V j j j V V V V V V

21 降伏条件

22 単軸応力状態の降伏条件

23 多軸応力状態の降伏条件 ()

24 多軸応力状態の降伏条件 ()

25 主せん断応力と最大せん断応力 : : 主せん断応力主応力 ma : ma ma ma 最大せん断応力

26 rsca の降伏条件 (864) ( せん断降伏応力 ) に達したとき降伏する. が材料固有の臨界値最大せん断応力 C ma せん断降伏応力ここでのときあるいは : ma ma ma ma k k C k C

27 rsca の降伏条件における臨界値の決定 Y Y Y Y k k C k k C 純粋せん断の降伏状態にあるときとすると 単軸引張試験の降伏応力を

28 Mss の降伏条件 (9) ここで : はせん断降伏応力 6 M M M j j k k C J に達したとき降伏. が材料固有の臨界値不変量材料中のせん断ひずみエネルギー = 偏差応力の次の C M J

29 Mss の降伏条件における臨界値の決定 Y M M M M M Y M Y Y k k C k k C 純粋せん断の降伏状態にあるときとすると 単軸引張試験の降伏応力を

30 降伏曲面 降伏曲線 主応力空間における降伏曲面 π 平面上の降伏曲線

31 降伏条件式の実験的検証

32 応力 - ひずみ関係式 = 構成式

33 弾性体の構成式 () ( 一般化されたフックの法則 ) j kk j j kk j j E G E E G E G E G E G E である. テンソル標記でははポアソン比は横弾性係数 はヤング率 ここで

34 弾性体の構成式 () ( 一般化されたフックの法則 ) kl jkl kl kl j jk l jl k j D G G G E G G E G G E ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( テンソル標記ではあるいはその逆関係として

35 弾性体の構成式 () ( 一般化されたフックの法則 ) j m j j m m m E G G E G G E G G E G テンソル標記ではまたフックの法則を偏差応力を用いて表すと

36 Rss の構成式 p p p j p j p p p p p p j p j 上式は塑性体積一定の条件を満足している. テンソル標記するとの方向に一致する と仮定した塑性構成式の方向は偏差応力 塑性ひずみ増分

37 剛塑性体の構成式 (L-Mss の式 ) p p p p p p 上式を変形し 一般応力成分で表すと

38 弾塑性体の構成式 (Prantl-Rss の式 ) E G G E G G E G G E G j j m j p j j j m m m p j j j テンソル標記すると塑性ひずみ増分弾性ひずみ増分全ひずみ増分

39 相当応力と相当塑性ひずみ増分 6 p p p p p p p p p p j j p j j p p W W を相当塑性ひずみ増分といい 次式で定義されるに関して次式が成立するとき塑性仕事増分材では次式のようになるを相当応力と呼び ミーゼス換算して評価できる関数値多軸応力状態における降伏応力の程度を単軸降伏応力に

40 二次元平面ひずみ 弾性有限要素法

41 有限要素法とは FEM=Fnt Elmnt Mtho 解析対象物体 ( 連続体 ) を有限個の要素に分割し 各要素について剛性方程式を構成し それらを全要素について重ね合わせる

42 固体力学解析用有限要素法 弾塑性有限要素法 弾性有限要素法 ( 静的陽解法 ) 微少変形弾塑性有限要素法 ( 静的陽解法 静的陰解法 ) 大変形弾塑性有限要素法 ( 静的陽解法 静的陰解法 動的陽解法 ) 剛塑性有限要素法 ( 静的陰解法 )

43 弾性 FEM 定式化の流れ () 釣合方程式 ガウスの発散定理 () 変分原理 ポテンシャル停留の原理 () 仮想仕事の原理式 (5) 形状関数 (4) 構成方程式離散化 (6) ひずみ- 変位関係式 (7) 有限要素方程式

44 弾性 FEM の基礎方程式 = 弾性境界値問題平衡方程式. G G G ひずみー変位関係式 w w w. kl j jkl j j j kk j kl jkl j D U U E E D ) (. 構成式応力 - ひずみ関係式変位の境界条件力の境界条件境界条件式 t S on V S on P t 4.

45 弾性 FEM 定式化の流れ () 釣合方程式 ガウスの発散定理 () 変分原理 ポテンシャル停留の原理 () 仮想仕事の原理式 (5) 形状関数 (4) 構成方程式離散化 (6) ひずみ- 変位関係式 (7) 有限要素方程式

46 仮想仕事の原理式 静的可容応力 : 平衡方程式と力学的境界条件を満足する応力 動的可容変位 : ひずみ - 変位関係式と幾何学的境界条件を満足する変位 仮想変位 : 動的可容変位の変分静的可容応力と仮想変位に対して次式が成り立つ. V ( G ) S ( t P ) S j j S t 上式にガウスの発散定理を適用すると次の仮想仕事の原理式を得る j V j G V P S V V S t 可容応力と仮想変位によってなされる内部仕事が外部仕事に等しいことを表す.

47 変分原理 仮想仕事の原理式は弾性体の全ポテンシャルエネルギ Φ の第一変分が零であることを表しているポテンシャルエネルギ停留の原理に置き換えることができる. V U V S P S t V G V 今 真の変位を それからわずかに異なる任意の可容変位を + とすると V ひずみエネルギ関数 U が正値 次形式の場合 上式右辺第 項は正であるから j U となり 真の変位に対するポテンシャルエネルギは最小値をとる. kl j kl V

48 弾性 FEM 定式化の流れ () 釣合方程式 ガウスの発散定理 () 変分原理 ポテンシャル停留の原理 () 仮想仕事の原理式 (5) 形状関数 (4) 構成方程式離散化 (6) ひずみ- 変位関係式 (7) 有限要素方程式

49 次元平面ひずみ変形状態のひずみと応力 ) ( ) )( ( E

50 平面ひずみ変形状態における応力 - ひずみ関係式 D E または ) ( ) )( ( ) (

51 弾性 FEM 定式化の流れ () 釣合方程式 ガウスの発散定理 () 変分原理 ポテンシャル停留の原理 () 仮想仕事の原理式 (5) 形状関数 (4) 構成方程式離散化 (6) ひずみ- 変位関係式 (7) 有限要素方程式

52 三角形 節点要素と形状関数 形状関数 の性質 は節点 で それ以外 のつの節点で の値をとる. は線形の関数である.

53 形状関数の具体形 ) ( ) ( あるいはマトリックスの形でまたは

54 形状関数の計算 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t 要素の面積 の座標値であり におけるは節点ただし

55 弾性 FEM 定式化の流れ () 釣合方程式 ガウスの発散定理 () 変分原理 ポテンシャル停留の原理 () 仮想仕事の原理式 (5) 形状関数 (4) 構成方程式離散化 (6) ひずみ- 変位関係式 (7) 有限要素方程式

56 ひずみ - 変位マトリックス () (B マトリックス )

57 ひずみ - 変位マトリックス () (B マトリックス ) マトリックスの形式で書くと

58 ひずみ - 変位マトリックス () (B マトリックス ) の形になっているから その および に関する勾配はただし ) ( C b a c b c c c b b b と書けるので これをひずみ - 変位マトリックスに代入すると

59 ひずみ - 変位マトリックス (4) (B マトリックス ) したがってひずみ - 変位関係式は b c b c b c c c c b b b または B さらに B D D

60 弾性 FEM 定式化の流れ () 釣合方程式 ガウスの発散定理 () 変分原理 ポテンシャル停留の原理 () 仮想仕事の原理式 (5) 形状関数 (4) 構成方程式離散化 (6) ひずみ- 変位関係式 (7) 有限要素方程式

61 離散化 ( 要素剛性方程式 ) () 三角形 節点要素について 仮想仕事の原理式の左辺 ( 内部仕事 ) は V V V V j V j V V V

62 離散化 ( 要素剛性方程式 ) () 仮想仕事の原理式の右辺 ( 外部仕事 ) は S V V V S V S V S t V b S t t V b b S t t V b b S t V b ) ( ) (

63 離散化 ( 要素剛性方程式 ) () ここで以下の関係式がる B D D B よって三角形 節点要素に関する仮想仕事の原理式は S V V S t V b V B D B ] [

64 離散化 ( 要素剛性方程式 ) (4) ここで仮想変位は定数であり 積分の外に出してもよいので B DBV [ ] b V t S V 任意の仮想変位に対して上式が成立するためには [ ] 内は常に V V B D B V [ ] b V t これが解くべき剛性方程式である. 左辺の積分内のマトリックスを V B D B V B D B K とおくとことにする. は三角形要素の面積である. V S S S

65 離散化 ( 要素剛性方程式 ) (5) 仮想仕事の原理式の右辺第 項の物体力の項は V V b b b b b b V b b V b ただし物体力は要素内で一定と仮定

66 離散化 ( 要素剛性方程式 ) (6) 右辺第 項表面力の項は 例えば面 - に右図のように表面力が分布しているなら形状関数マトリックスを次のように書き直して L l L l L l L l

67 離散化 ( 要素剛性方程式 ) (7) これより表面力の項は次式のようになるただし表面力は面 - 上で等分布荷重とした. S S t t t t L S t t L l L l L l L l S t

68 離散化 ( 要素剛性方程式 ) (8) 最終的に要素剛性方程式は次式のように書き換えられる f K 節点変位 : 節点力 : f f f f f f f 要素剛性マトリックス : K

69 全体剛性方程式 下図に示すような複数要素からなる系の全体系に関する仮想仕事の原理のマトリックス表示は K f これより全体系に関する剛性方程式は次のように得られる K f K K f f

70 弾性有限要素法解析の流れ 領域の要素分割 境界条件の設定 Pr-Procssor 要素剛性マトリックスの計算 全体剛性マトリックスの計算 等価節点力 変位拘束の導入 FEM Analss 連立一次方程式を解き節点変位を求める 節点変位からひずみ 応力の計算 結果の出力 可視化 Pr-Procssor