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ゆりなあさぶき
5 years ago
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6 23.9 f L ξ L η f L η L ξ f ξηf)) ηξf)) [ξ, η]f) L [ξ,η] f 23.8 p α, q β L ξ L η L η L ξ )α L [ξ,η] α,l ξ L η L η L ξ )β L [ξ,η] β α β L ξ L η L η L ξ )α β) L ξ L η α β)) L η L ξ α β)) L ξ L η α) β + α L η β)) L η L ξ α) β + α L ξ β)) L ξ L η α)) β +L η α) L ξ β)+l ξ α) L η β)+α L ξ L η β)) L η L ξ α)) β L ξ α) L η β) L η α) L ξ β) α L η L ξ β)) L ξ L η α) L η L ξ α)) β + α L ξ L η β) L η L ξ β)) L [ξ,η] α) β + α L [ξ,η] β) L [ξ,η] α β) p α, ξ, η i ξ i η α) i η i ξ α) i ξ L η α L η i ξ α i [ξ,η] α α f i dx i i ξ L η α L η i ξ α ` f i η j i ξ η j + f j dxi ) x j ` f i η j η j ξ i + f j ξ i x j i [ξ,η] α `fj ξ i η j η i ξ j ) η i f j ξ j ) η i f j ξ j + f j ξ j ) p α, q β i ξ L η L η i ξ )α i [ξ,η] α,i ξ L η L η i ξ )β i [ξ,η] β α β i ξ L η L η i ξ )α β) i ξ L η α β)) L η i ξ α β)) i ξ L η α) β + α L η β)) L η i ξ α) β + 1) p α i ξ β)) i ξ L η α)) β + 1) p L η α) i ξ β)+i ξ α) L η β)+ 1) p α i ξ L η β)) L η i ξ α)) β i ξ α) L η β) 1) p L η α) i ξ β) 1) p α L η i ξ β)) i ξ L η α) L η i ξ α)) β + 1) p α i ξ L η β) L η i ξ β)) i [ξ,η] α) β + 1) p α i [ξ,η] β) i [ξ,η] α β) ) R 3 ω dx 1 dx 2 dx 3 3 ξ a ij x j L ξ ω 0 i, 2) R 3 α x 1 dx 2 dx 3 x 2 dx 1 dx 3 + x 3 dx 1 dx 2 3 ξ a ij x j L ξ α 0 x i, i ) L ξ ω di ξ ω)+i ξ d ω) di ξ ω) dξ 1 dx 2 dx 3 ξ 2 dx 1 dx 3 + ξ 3 dx 1 dx 2 ) 3 ξ i 3 ω a ii ω 72

7 3 a ii 0 2) L ξ α di ξ α)+i ξ d α) dx 1 ξ 2 dx 3 x 1 ξ 3 dx 2 x 2 ξ 1 dx 3 + x 2 ξ 3 dx 1 + x 3 ξ 1 dx 2 x 3 ξ 2 dx 1 )+3i ξ ω ξ 2 dx 1 dx 3 + x 1 d ξ 2 dx 3 ξ 3 dx 1 dx 2 x 1 d ξ 3 dx 2 ξ 1 dx 2 dx 3 x 2 d ξ 1 dx 3 + ξ 3 dx 2 dx 1 + x 2 d ξ 3 dx 1 +ξ 1 dx 3 dx 2 + x 3 d ξ 1 dx 2 ξ 2 dx 3 dx 1 x 3 d ξ 2 dx 1 ) +3ξ 1 dx 2 dx 3 3ξ 2 dx 1 dx 3 +3ξ 3 dx 1 dx 2 ξ 1 dx 2 dx 3 ξ 2 dx 1 dx 3 + ξ 3 dx 1 dx 2 x 1 a 21 dx 1 + a 22 dx 2 ) dx 3 x 1 a 31 dx 1 + a 33 dx 3 ) dx 2 x 2 a 11 dx 1 + a 12 dx 2 ) dx 3 + x 2 a 32 dx 2 + a 33 dx 3 ) dx 1 +x 3 da 11 dx 1 + a 13 dx 3 ) dx 2 x 3 a 22 dx 2 + a 23 dx 3 ) dx 1 a 11 + a 22 + a 33 )x 1 dx 2 dx 3 x 2 dx 1 dx 3 + x 3 dx 1 dx 2 ) 3 a ii 0 2) 1) L ξ ω di ξ ω) 0 3 ε δ ij x j [ε, ξ] 0 i, 0i [ε,ξ] ω i ε L ξ ω L ξ i ε ω L ξ i ε ω L ξ α L ξ α 0 L ξ α 00 dl ξ α)l ξ d α) 3L ξ ω L ξ ω 0 n n dx 1 dx n, ε δ ij x j i, α i ε ω 1) i x i dx 1 dx i 1 dx i+1 dx n ξ a ij x j L ξ ω 0 L ξ α 0 i, a ii S π N : S 2 \{p N } R 2, π S : S 2 \{p S } R 2 1) R 2 ξ P v 1,v 2 ) + Qv 1,v 2 ) v 1 v 2 π 1 N ) ξ S 2 2) R 2 α P v 1,v 2 )dv 1 + Qv 1,v 2 )dv 2 π N α S 2 v u 1,u 2 ) v 12 + v, v v 12 + v ), v u 1 2 1,v 2 ) 2 u 12 + u, u u 12 + u ) 2 2 1) u 1 v 1 u 1 v 2 u 1 + u 2 v 1 u 1 + u 2 v 2 u 2 u 2 v 1 v 1 v 12 + v ) + v u 1 v 1 v 12 + v ) 2 2 u 2 v v 1 + 2v 1v 2 v 12 + v 22 ) 2 u 1 v 12 + v 22 ) 2 u 2 u 2 2 u 2 1 ) 2u 1 u 2 u 1 u 2 v 1 v 2 v 12 + v ) + v u 1 v 2 v 12 + v ) 2 2 u 2 2v 1v 2 + v v 2 v 12 + v 22 ) 2 u 1 v 12 + v 22 ) 2 u 2 2u 1 u 2 u 1 +u 1 2 u 2 2 ) u 2 73

8 π S π 1 u 1 N ) ξ P u 12 + u, u u 12 + u )u u 2 1 ) 2u 1 u 2 ) 2 u 1 u 2 u 1 +Q u 12 + u, u u 12 + u ) 2u 2 1u 2 +u 2 1 u 2 2 ) ) 2 u 1 u 2 P, Q k, k P k, Q k π S π 1 N ) ξ k +2 u 2 2 u 2 1 )P k u 1,u 2 ) 2u 1 u 2 Q k u 1,u 2 ) u 12 + u 22 ) k u 1 + 2u 1u 2 P k u 1,u 2 )+u 2 1 u 2 2 )Q k u 1,u 2 ) u 12 + u 22 ) k u 2 k>2 2k u 1,u 2 )0, 0) k +2 0 P k Q k 0 k 2 k 2 u 2 2 u 1 2 )P 2 u 1,u 2 ) 2u 1 u 2 Q 2 u 1,u 2 )Au u 2 2 ) 2 2u 1 u 2 P 2 u 1,u 2 )+u 1 2 u 2 2 )Q 2 u 1,u 2 )Bu u 2 2 ) 2 P 2 u 1,u 2 )u 2 2 u 1 2 )A 2u 1 u 2 B Q 2 u 1,u 2 ) 2u 1 u 2 A u 2 2 u 1 2 )B P, Q P 1 u 1,u 2 )a 1 u 1 + a 2 u 2, Q 1 u 1,u 2 )b 1 u 1 + b 2 u 2 u 2 2 u 1 2 )P 1 u 1,u 2 ) 2u 1 u 2 Q 1 u 1,u 2 ) u 2 2 u 1 2 )a 1 u 1 + a 2 u 2 ) 2u 1 u 2 b 1 u 1 + b 2 u 2 ) a 1 u 1 3 a 2 +2b 1 )u 1 2 u 2 +a 1 2b 2 )u 1 u a 2 u 2 3 a 1 u 1 u u 2 2 ) a 2 +2b 1 )u u 2 2 )u 2 +2a 1 2b 2 )u 1 u a 2 +2b 1 )u 2 3 2u 1 u 2 P 1 u 1,u 2 )+u 1 2 u 2 2 )Q 1 u 1,u 2 ) 2u 1 u 2 a 1 u 1 + a 2 u 2 )+u 1 2 u 2 2 )b 1 u 1 + b 2 u 2 ) b 1 u a 1 + b 2 )u 1 2 u 2 + 2a 2 b 1 )u 1 u 2 2 b 2 u 2 3 b 1 u 1 u u 1 2 )+ 2a 1 + b 2 )u u 2 2 )u 2 + 2a 2 2b 1 )u 1 u a 1 2b 2 )u 2 3 P 1 u 1,u 2 )a 1 u 1 + a 2 u 2, Q 1 u 1,u 2 ) a 2 u 1 + a 1 u 2 0 2) {v 2 2 v 1 2 )A 2v 1 v 2 B + a 1 v 1 + a 2 v 2 + c 1 } v 1 +{ 2v 1 v 2 A v 2 2 v 1 2 )B a 2 v 1 + a 1 v 2 + c 2 } v 2 dv 1 v 1 du 1 + v 1 du 2 u 1 u 1 u 2 u 1 u 12 + u )du u 1 2 u 2 u 12 + u )du u u 1 u 12 + u 22 ) du u 1u 2 u 12 + u 22 ) du 2 2 dv 2 v 2 du 1 + v 2 du 2 u 2 u 1 u 2 u 1 u 12 + u )du u 2 2 u 2 u 12 + u )du u 1u 2 u 12 + u 22 ) du u u 2 u 12 + u 22 ) du 2 2 π 1 S π N ) α u 1 P u 12 + u, u u 12 + u ) u u u 12 + u 22 ) du u 1u 2 u 12 + u 22 ) du 2) 2 u 1 +Q u 12 + u, u u 12 + u ) 2u 1 u u 12 + u 22 ) du u u 2 u 12 + u 22 ) du 2) 2 74

9 P k, Q k π S 1 π N ) α k 2 u 2 2 u 1 2 )P k u 1,u 2 ) 2u 1 u 2 Q k u 1,u 2 ) u 12 + u 22 ) 2+k du 1 + 2u 1u 2 P k u 1,u 2 )+u 1 2 u 2 2 )Q k u 1,u 2 ) u 12 + u 22 ) 2+k du 2 k 0 2k +4 u 1,u 2 )0, 0) k +2 0 P k Q k 0 S ) p α, ξ 1,..., ξ p αξ 1,...,ξ p )i ξp i ξ1 α f i ξ d f ξf) αξ 1,...,ξ p ) 1 p! i ξ p i ξ1 α p α, ) q β α β)ξ 1,...,ξ p+q ) 1 p + q sign αξ j1,...,ξ jp )βξ k1,...,ξ kq ) j j 1 j p k 1 j p k 1 k q 1 k q ) 1 p + q j 1 j p k 1 k q 1 p+q sign j 1 j p k 1 k q i ξp+q i ξ1 α β) 23.6 i i ξj p ξ j1 α)i i ξk q ξ k1 β) ±1 i ξ i η i η i ξ i i ξk q ξ k1 i i ξj p ξ j1 α β) i i ξj p ξ j1 α)i i ξk q ξ k1 β) i ξp+q i ξ1 α β) i i ξj p ξ j1 α)i i ξk q ξ k1 β) «1 p + q sign j 1 j p k 1 k q , ) α d α)ξ 1,ξ 2 )ξ 1 αξ 2 )) ξ 2 αξ 1 )) α[ξ 1,ξ 2 ]). 2) p α d α)ξ 1,...,ξ p+1 ) p+1 1) i 1 ξ i αξ 1,...,ξ i 1,ξ i+1,...,ξ p+1 )) + i<j 1) i+j α[ξ i,ξ j ],ξ 1,...,ξ i 1,ξ i+1,...,ξ j 1,ξ j+1,...,ξ p+1 ) 3) L ξ α)ξ 1,...,ξ p ) ξαξ 1,...,ξ p ) αξ 1,...,ξ i 1, [ξ,ξ i ],ξ i+1,...,ξ p ) ) i ξ1 L ξ2 α L ξ2 i ξ1 α i [ξ1,ξ 2 ]α 23.7 i ξ1 i ξ2 d α + i ξ1 d i ξ2 α i ξ2 d i ξ1 α d i ξ2 i ξ1 α i [ξ1,ξ 2 ]α α d α)ξ 2,ξ 1 )+ξ 1 αξ 2 )) ξ 2 αξ 1 )) i [ξ1,ξ 2 ]α ξ 1, ξ 2 d α)ξ 1,ξ 2 )ξ 1 αξ 2 )) ξ 2 αξ 1 )) α[ξ 1,ξ 2 ]) 75

10 2) i ξ2 i ξ1 d α i ξ1 d i ξ2 α i ξ2 d i ξ1 α +di ξ1 i ξ2 α i [ξ1,ξ 2 ]α i ξp+1 i ξ1 d α p+1 1) i 1 i ξi di ξp+1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ1 α) + i<j 1) i+j i ξp+1 i ξj+1 i ξj 1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ1 i [ξi,ξ j ]α p p 1 α p p 1 i ξ1 α i ξp+1 i ξ2 d i ξ1 α p+1 1) i i ξi di ξp+1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ2 i ξ1 α) i2 + 1) i+j i ξp+1 i ξj+1 i ξj 1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ2 i [ξi,ξ j ]i ξ1 α 1<i<j p 1 i ξ2 α i ξp+1 i ξ3 i ξ1 d i ξ2 α p+1 i ξ1 di ξp+1 i ξ3 i ξ2 α) 1) i i ξi di ξp+1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ3 i ξ1 i ξ2 α) i3 2<j 1) j i ξp+1 i ξj+1 i ξj 1 i ξ3 i [ξ1,ξ j ]i ξ2 α 1) i+j i ξp+1 i ξj+1 i ξj 1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ3 i ξ1 i [ξi,ξ j ]i ξ2 α 2<i<j p 1 i ξ1 i ξ2 α i ξp+1 i ξ3 d i ξ1 i ξ2 α i ξp+1 i ξ3 d i ξ2 i ξ1 α p+1 1 i 1 i ξi di ξp+1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ3 i ξ2 i ξ1 α) i3 1) i+j i ξp+1 i ξj+1 i ξj 1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ3 i [ξi,ξ j ]i ξ2 i ξ1 α 2<i<j i ξp+1 i ξ3 i ξ2 i ξ1 d α) i ξp+1 i ξ3 i ξ1 d i ξ2 α i ξ2 d i ξ1 α +di ξ1 i ξ2 α i [ξ1,ξ 2 ]α) p+1 1) i 1 i ξi di ξp+1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ1 α) + i<j 1) i+j i ξp+1 i ξj+1 i ξj 1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ1 i [ξi,ξ j ]α 3) i ξp i ξ1 L ξ α i ξp i ξ2 i [ξ1,ξ]α + i ξp i ξ2 L ξ i ξ1 α i ξp i [ξ1,ξ]α + i ξp i ξ3 i [ξ2,ξ]i ξ1 α + i ξp i ξ3 L ξ i ξ2 i ξ1 α... i ξp i ξi+1 i [ξi,ξ]i ξi 1 i ξ1 α + L ξ i ξp i ξ1 α ξαξ 1,...,ξ p ) p αξ 1,...,ξ i 1, [ξ, ξ i ],ξ i+1,...,ξ p ) 24 G G G G C G 76

11 G G C G g L g : G G L g h) gh G 1 v T 1 G h G L h ) v T h G ξ L g ) ξ ξ) g T 1 G ξ, η [ξ,η] T1 G p p T1 G a L h) a p Th G h 1 G L 1 h ) a p α L g ) α α) 24.1 α ξ i ξ α ), L g ) i ξ α)i Lg 1 ) ξl g ) α i ξ α α d α g T 1 G {e 1,...,e n } [e i,e j ] [e i,e j ] c k ije k T 1 G k {e 1,...,e n } {e 1,...,e n} de k ) ) de k))e i,e j )e i e ke j )) e j e ke i )) e k[e i,e j ]) e k e j)δ kj, e k e i)δ ki e i e k e j)), e j e k e i)) 0 de k))e i,e j ) e k[e i,e j ]) e k k c k ije k ) c k ij GLN; R) G A T 1 G) T 1 GLN; R) R N 2 A g G ϕ A t B) Be ta A g B G A B) d ) t0 BetA BA T B G T B GLN; R) R N 2 A 1, A 2 [A 1,A 2 ] B) d ) t0 ϕa 1 t) A 2ϕ A 1 t B)) d ) t0 ϕa 1 t) A 2Be ta 1 ) d ) t0 BetA 1 A 2 e ta 1 )BA 1 A 2 A 2 A 1 ) A 1, A 2 [A 1,A 2 ] A 1 A 2 A 2 A ) SO3) so3) T 1 SO3)

12 t A + A 0) e , e , e [e i,e j ] e 1, e 2, e 3 d e i 2) SL2; R) sl2; R) T 1 SL2; ) R) ) ) Tr A 0) H, S, U H, S, U ) [e 1,e 2 ]e 3,[e 1,e 3 ] e 2,[e 2,e 3 ]e 1. d e 1 e 2 e 3,de 2 e 1 e 3,de 3 e 1 e 2. 2) [H, S] S, [H, U] U, [S, U] H. d H S U,dS H S,dU H U. G G G m M n G. ev : G M g, x) L g x M L g1 L g2 x)l g1 g 2 x, L 1 x x G G n n dimg 1 e 1,...,e n µ e 1 e n µ µ 1 µ h G R h µ µ M p α ev α G M p p + n π G µ) ev α) G M G p α mα) mα)x) π G µ) ev α) G {x} G G M L h g, x) gh 1,h x) ev L h ev L h π G µ) ev α)) L h π G µ) L h ev α) π G R h 1 µ) ev α) π G µ) ev α) L h mα)))x) L h ) π G µ) ev α)) G {L h x} L h π G µ) ev α)) G {x} π G µ) ev α) G {x} mα)x) α p G p c mα) c π G µ) ev α) π G µ) ev α). G G c G {g} c G 78

13 α α L g c) c π G µ) ev α)π G µ) {g} c π G µ) c c {g} c L g c) ev α) α π G µ) α mα) α mα) α M G M M G G G d R[1] 24.21) SO3) d R[e 1] R[e 2] R[e 3] d R[e 2 e 3] R[e 1 e 3] R[e 1 e 2] d R[e 1 e 2 e 3] c d ) H DR k SO3)) R k 0,3),HDR k SO3)) 0k 0,3) 25 M α x Tx M) Tx M) T x M) α x M 0 ker α T x M) n 1 M f d f x 0 0 x {x fx) fx0 )} n 1 x 0 n 1 ker d f g d f gx 0 ) 0 n 1 α g d f x 0 0 α d α 0 α d α g d f d g d f) M α x 0 0 α d α 0 x 0 f, g g d f 0 α g d f α x 0 U, ϕ x 1,...,x n )) α f i dx i f n 1 n 1 ξ 1,...,ξ n 1 ) ξ i f i i 1,..., n 1) x n 79

14 α d α 0 f i dx i ) d f k dx k ) k1 k1 f i f k x j dx i dx j dx k [ξ i,ξ j ][ f i, f j ] x n x j x n f j + f i f j f i ) + f i f j x j x n x n x n α d α dx i dx j dx n f j + f i f j f i + f i f j x j x n x n [ξ i,ξ j ]0 ξ 1,..., ξ n 1 R n 1 x R n 1 x 0 ϕ 1 0,...,0,fx)) x n ξ 1,..., ξ n 1 ker d f n 1 α d f g α g d f α g d f x 0 0 d α dg d f d g g α α d α 0, β d α β α 25.2 M α, p β α 0 α β 0 p 1 γ β γ α Tx M) dx 1,..., dx n e 1 α x e 1,..., e n p p Tx M) p Tx M) {dx i1 dx ip } i1 < <i p {e j1 e jp } j1 < <j p x e 2,..., e n T M C α e 1, β g j1 j p e j1 e jp α β 0 1 <j 1 j 1 < <j p g j1 j p 0 β e 1 g 1j2 j p e j2 e jp ) j 2 < <j p M U i λ i U i β α γ i p 1 γ i γ i λ i γ i α γ α i λ i γ i i λ i α γ i i λ i β β 25.1 α d α 0 1 β d α β α 80

15 x F : U R x F : U R q F q ϕ : U R n F R n R p R q p + q n) R n R q R p x 1,...,x p ), R q y 1,...,y q ) ker dy 1 ker dy q a ij ) i,,...,q U GLq; R) dy 1,..., dy q 1 α i a ij dy j j 1,..., q) ker α 1 ker α q dy j a 1 ) jk a kl dy l a 1 ) jk α k k1 k1 k1 d α i d a ij dy j d a ij a 1 ) jk α k ) k1 k1 a 1 ) jk d a ij ) α k d α i β ik α k 1 β ik k1 ker α 1 ker α q kerγ 1 ker γ q γ i c ij α j GLq; R) c ij d γ i δ ik γ j 1 δ ik k1 d γ i d c ij α j d c ij α j + c ij d α j d c ij c 1 ) jk γ k )+ k1 c 1 ) jk d c ij + k1 c ij k1 c ij β jk ) α k β jk α k p ker α 1 ker α q 1 α 1,..., α q d α i β ik α k 1 β ik q 1 α 1,...,α q 25.3 ) M p+q p x M U 1 α 1,..., α q ker α 1 ker α q x V q F : V R q p k1 81

16 d α i β ik β ik α k 1 U, x 1,...,x p ; y 1,...,y q )) p y 1,...,y q ) + b li i 1, y l l1..., p) α 1,..., α q ker α 1 ker α q α l dy l b li dx i l 1,..., q) p ξ i + b li i 1,..., p) ξ p y l l1 [ξ i,ξ j ] p [ξ i,ξ j ] ξ i i 1,..., p) 1 [ξ i,ξ j ] k 1,..., p) ξ i + b li i 1,..., p) y l l1 [ + m1 l1 b mj b mj m1 b li, + y l x j y m l1 b mi x j + b li x j l1 m1 b mj y l + b li b mj y l k1 ] y m b mj b li y l l,m1 l1 x k y m b lj b mi y l ) y m l,m1 b mj b li y m y l α l dy l b li dx i l 1,..., q), β li g lij dy j f lij dx j + ddy l b li dx i ) b li x j dx j dx i f lij dx j + b li dy j dx i y j g lij dy j ) dy i b ik dx k ) k1 g lij g lji b li f lji + g lkj b ki y j k1 b li b lj f lkj b ki f lki b kj x j k1 82

17 b mj b mi b mj b mi + b li b lj x j y l y l l1 l1 f mkj b ki f mki b kj ) k1 + b li f mlj + g mkl b kj ) b lj f mli + l1 k1 l1 g mkl b li b kj g mkl b ki b lj l1 k1 l1 k1 g mlk b li b kj l1 k1 l1 k1 g mkl g mlk g mkl b ki b lj 0 g mkl b ki ) k1 p α x ker α ker α {v T x M) iv α 0 p 1 T x M)} ker α α f i1 i p dx i1 dx ip i 1 < <i p ξ ξ i, η η i i ξ α f i1 i x i x p ξ ij dx i1 i dx ij 1 dx ij+1 dx ip 0,i η α f i1 i p η ij dx i1 dx ij 1 dx ij+1 dx ip 0 a, b R i aξ+bη α f i1 i p aξ ij + bη ij )dx i1 dx ij 1 dx ij+1 dx ip a +b f i1 i p ξ ij dx i1 dx ij 1 dx ij+1 dx ip f i1 i p η ij dx i1 dx ij 1 dx ij+1 dx ip ) n 0 n Ω ker Ω 0 2) T 0 R 4 kerd x 1 d x 2 +dx 3 d x 4 ) 0. T 0 R 6 kerd x 1 d x 2 d x 3 +dx 4 d x 5 d x 6 )0. n M 0 Ω ξ Ω div ξ L ξ Ω divξ)ω. R n n d x 1 d x n, ξ div ξ ξ i ξ i 25.5 M 0 n Ω 0, Ω 1 F 0 F t : M M F 1 Ω 0 Ω R n ω ker ω 0 n 83

18 n 2m) T 0 R n e 1,..., e 2m ω0) e 1 e e 2m 1 e 2m 25.7 ω ker ω 0 n 2m) U, ϕ x 1,...,x 2m )) ω dx 1 dx 2 + +dx 2m 1 dx 2m 25.8 ω ker ω 0 ξ ω L ξ ω 0 L ξ ω di ξ ω + i ξ d ω di ξ ω i ξ ω 1 R 2m ω i ξ ω df f ξ ξf) df)ξ) i ξ i ξ ω 0ξ f f α i ξ ω α ξ ξ L ξ ω 0 R 2m ω dx 1 dx 2 + +dx 2m 1 dx 2m fx 1,...,x 2m ) d f ω f f + + f f x 2 x 1 x 1 x 2 x 2m x 2m 1 x 2m 1 x 2m 84

2 1 κ c(t) = (x(t), y(t)) ( ) det(c (t), c x (t)) = det (t) x (t) y (t) y = x (t)y (t) x (t)y (t), (t) c (t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2. c (t) =

2 1 κ c(t) = (x(t), y(t)) ( ) det(c (t), c x (t)) = det (t) x (t) y (t) y = x (t)y (t) x (t)y (t), (t) c (t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2. c (t) = 1 1 1.1 I R 1.1.1 c : I R 2 (i) c C (ii) t I c (t) (0, 0) c (t) c(i) c c(t) 1.1.2 (1) (2) (3) (1) r > 0 c : R R 2 : t (r cos t, r sin t) (2) C f : I R c : I R 2 : t (t, f(t)) (3) y = x c : R R 2 : t (t,