物性論研究 1962 年 Sigma 効果の現象論都立大岡小天 * 山本三三三 ** 渡辺恒雄 *** (1962 年 1 月 17 日受理 ) (Ⅰ) 軸集中と Sigma 効果について円管内での血液の流動は 多くの場合 Poiseuille の法則に従う しかし, 円管の半径が小さくなるとこの法則からはずれてくることがみられる このことは Fakreaue と Lindqrist(1) によって実験的に証明されたものである 彼等によると血液が血管内を流れるとき管の半径が 0.015cm 以下になると,Poiseuille の式をもちいて求めたみかけの粘性率は半径の減少とともに減る, といっている (Ⅰ 図にその実験の一例を示す この現象を Sigma 効果という この Sigma 効果とならんでもう一つ興味ある現象に血液の軸集中がある すなわち毛細管内に血液が流れると赤血球が軸方向に集り, 壁に近い領域には赤血球がなくなることが見出された これは Poiseuille 自身によって観測されているから そうとう以前から知られていたことがわかる ところで, この Sigma 効果と軸集中については現在までいろいろな研究がなされている * 都立大教授,** 都立大助教授,*** 都立大大学院学生
(162) 岡 山本 渡辺まず Jeffery(2) と Starkey(3) は粘性流体中に一個の剛体粒子があるとき 流動による散逸エネルギーを極少にするようにふるまうと考え 軸集中の説明をこころみている 山本と大木は同様の原理を仮定し 定常状態にある懸濁液内での粒子の分布を統計的に論じた 一方 Vand(10) は壁の近くに粒子がないのは Wall 効果のためであると考えて その効果の巾を 1.301a(a は粒子の半径 ) と理論的に導いている この結果は実験と大体一致している また Sigma 効果については まず Dix と Scott Brain4) の研究があげられるが それによると毛細管内の血液は不連続的な速度勾配をなして流れていると考え みかけの粘性率をだしているが 実験との一致はよいようである 山本と大木 (5) は 軸集中がこの原因であるとしてみかけの粘性率をだしている しかしその結果は Sigma 効果をうまく説明しない 同様に Sigma 効果を軸集中によって説明しようとする定性的な議論は多くみうけられる このようにこの二つの現象が深い関係にあるとみる人は多いが なかには実験データーをもとにして強い疑いをもつ人もある 従ってこのことについての結論はこれからなされるべき仕事であると思う Ⅱ 理論いまのところ Sigma 効果と軸集中との関係は はっきりしていないように考えられる そこでわれわれは Sigma 効果は軸集中によっておこる と仮定してこのことを現象論的に調べてみることにした ここで (Ⅰ) は赤血球のない領域 (Ⅱ) は赤血球と血漿の混った領域 L は管の長さ R は管の半径 η は領域 (Ⅱ) の粘性率 η0 は領域 (Ⅰ) の粘性率 ρ0 は領域 (Ⅰ) (Ⅱ) の平均体積 (Ⅰ 図 )
Sigma 効果の現象論 (163) 濃度 ρ は領域 (Ⅱ) の体積濃度 δ は領域 (Ⅰ) の半径方向に沿っての長さ である (Ⅱ 図 ) 参照まず次の三つの仮定をなし 即ち (1):(Ⅰ)(Ⅱ) の各領域で流れは Newtonian である (2) 定常状態において 毛細管内の赤血球の全体積濃度は軸集中によって変らない 即ち LπR2ρ0=Lπ(R-δ)2ρ0 (3):η0 と η は次の関係にある η0/η=1-αρ (α は定数 ) なお仮定 (3) の関係式は Burgers(6) が剛体球懸濁液についての粘性理論で導出しているものである 次に (1)(2)(3) の仮定を考えに入れた場合の流量の式をだし みかけの粘性率 (η0) を求める まず円管内での流速を υ(r) 流動曲線を f(τ) とすると 次の関係式が成立する υ(r)/ r=-f(τ) (2.1) ここで τ は shearing stress である 仮定 (Ⅰ) によって f(τ) は下のように書ける f(τ)=τ/η0 (R-δ<r<R (Ⅰ) τ/η (0<r<R-δ) (Ⅱ) (2.2) Stokes の関係式 τ= P/2L r と (2.2) とから (2.1) は積分できて νⅠ= P/4η0L (R2-r2) (Ⅰ) νⅡ= P/4ηL (c-r2) (Ⅱ) (2.3) (Ⅱ 図 )
(164) 岡 山本 渡辺が得られる 但し υⅠ,υⅡ は (Ⅰ)(Ⅱ) の流速を表わし P は管の両端間の圧力差 C は積分定数である C を求めるのには υⅠ)r=r-δ=(υⅡ)r=r-δ の関係を使えばよい 即ち C=1+αρ0/1-αρ(R/R-δ)2 R2 (2.4) 流量 Q は下のように書ける Q=2π 12-δ 0 rνⅡdr+ R R-δ rνⅠdr (2.5) (2.3), 仮定 (2),(3) により Q=πR4/8η0 P/L 1-αρ0(1-δ/R)2 (2.6) 従ってみかけ r の粘性率 ηa は ηa=η0/1-αρ0(1-δ/r)2 (2.7-a) または ηa( )=limr ηa とすれば ηa/ηa( )=1-αP0/1-αP0(1-δ/R)2 (2.7-b) が得られる 理論と実験との比較は (2.7-a) (2.7-b) の両式についてなされる 即ち両式に含まれているパラメーター αρ0 と δ とに対して適当な数値を与えてデーターを説明できるかをみ さらにその αρ0 と δ の数値が他の実験から得られた数値と比較して妥当なものであるかどうかをみるのである
Sigma 効果の現象論 (165) Ⅲ 実験との比較 (Ⅲ 図 -a) は Fahreaas と Liuaquist(1) による人血についてのと Kumin(2) による牛血についてのものである 図の実線は (2.7-b) の二つのパラメーターに αρ0=0.70; δ=3.2μ( 人血 );αρ0 =0.72,δ=2.5μ( 牛血 ) の数値を与えてそれぞれ画いたものである また (2.7-b) を変形すると (ηa(00)/ηa-1)r= αρ0/1-αρ0 δ(2-δ/r) (3.1) となる (Ⅲ 図 -b) は (Ⅲ 図 -a) の実測値を (ηa( )/ηa-1)r と 1/R の関係にプロツトしなおしたものである 測定点は大分ばらついているけれども大体 (η( )/ηa-1)r と 1/R は直線関係にあるとみてよいであろう 図の実線はこのような考えで引いたものである なおこのことは δ が R によらないことを示すものである (Ⅳ 図 ) は R と ηa と αρ0 の関係を示す このデーターは Rahreaus と Lindquisut(1) が人血について測定したものである ηw は粘性率である 実線は ηa/ηw= η0/ηw/1-αρ0(1-δ/r)2 の理論曲線である 但し αρ0=0.70,0.75,0 83;δ=2.5μ;η0/ηw=1.4 の各数値を使った なお η0/ηw=1.4 は血液の粘性率を η として η0/η 1/3; ηw/η=1/4 として得られたのである (Ⅴ) 図は Wittaker と Winton(8) が犬の血液について求めた ηa と ρ0(%) の関係を示すデーターである ηnacl は食塩水の粘性率である 点線は ηa/ηnacl=η0/ηnacl/1-αρ0 の理論曲線である 但し η0/ηnacl=1.7;α'= (Ⅲ 図 -a)
(166) 岡 山本 渡辺 α(1-δ/r)2=0.011 とした ここで α' は実際には濃度とともに変わるとみられるから 図の曲線は平均的なものと考えられる (Ⅲ 図 -b) (Ⅳ 図 ) (Ⅴ 図 )
Sigma 効果の現象論 (167) Ⅳ 議論はじめに δ について調べる Vejlens(9),Vand(10) 等は, 管内に粘性流体を流し, その中に剛体球を浮べ, その球の挙動を調らべるという実験から 球は壁からおおよそ 0.6D ~0.7D(D は剛体球の直径 ) 離れて流してゆくという結果を得ている この場合球は軸上へは動いてゆかないということも報告している さて, 一方赤血球は厚さが 1μ, 直径 7~10μ 位の円板状をなしている 今これを球とみなすと, 直径 3~5μ 位とみることができる 0.6D~0.7D にこの値を入れると,1.8~3.0μ となるが, この値は Ⅲ 章で得られた δ の値 2.5μ,3.2μ とよい一致を示している また 0.6D~0.7D の実験値は Ⅰ 章で述べた Vand の剛体球懸濁液の理論で予想された δ の値 1.301a(a は球の半径 ) とも一致している 次に αρ0 については η0/η=1-αρ0 の関係式において, 普通の血液の粘性率 (η) と血漿のそれ (η0) との比がおよそ η0/η 1/3 であることから αρ0=0.67 という値が得られる Ⅲ 章で得られた数値は αρ0=0.70,0.72 であった η0/η 1/3 であることと, 理論の近似性を考えれば, 満足すべき結果であると思われる さて通常の血液は ρ0=0.4 とみられる αρ0=0.70 とすると α=1.75 という値が得られる 一方稀薄剛体球懸濁液に対する Einstein の理論によると α=2.5 である ところで血液の場合, 赤血球が円板状であること, 非剛体であること, 血液が稀薄でないこと, などのための配向効果 *, 相互 用, そして非剛体などからくる固有粘度の現象が考えられるから,α=1.75 の数値はそう悪いとは思われない δ の R 依存性については, いろいろな実験結果が得られているが, 正確なところは R に依存するとみるのが正しいと思われる しかしこの近似的な理論では R に依存しないとみてもよいであろう *Cyrindorical rod の稀薄懸濁液に対する理論によると,Cyrindorical rod が完全配向した場合の α の値は α=2.0 とだされている
(168) 岡 山本 渡辺文献 (1)Fahreaus,R.and Lindqiest,T.:Am.J.physiol.96,5621(1931) (2)Jeffery,G.B.:Proc.Roy.Soc.A 107,161(1922) (3)Starkey,T.V.:Brit.J.Appl.Phys.7,448(1956) (4)Dix,F.J.and Scott Blair,G.W.:J.Appl.Phys.11,574.(1940) (5) 山本三三三と大木新平 : 物性論研究.6.641(1959) (6)Hermans.J.J. Flow properties of disperse systems chapⅣ. 5. (7)Kumin,K.:Inaugural Dissertation der Uniuersitat Bern. Faeiburg in der Schweiz:Poulusdruckesei(1949) (8)Whittaken.S.R.F and Winton,F.R.:J.physiol.78,339(1933) (9)Vejlens,G.:Acta pathol.,1938.suppl.ⅩⅩⅩⅢ and 1959. (North.Pathol.Congress in Gotenborg) (10)Vand.V.:J.Phys.Coll.Chem.52,277(1948)