プランクの公式と量子化

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もえりほうねん
5 years ago
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1 Planck の公式と量子化埼玉大学理学部物理学科久保宗弘

2 序論一般に量子力学と表現すると Schrödinger の量子力学などの後期量子力学を指すことが多い本当の量子概念にはどうアプローチ? 何故エネルギーが量子化されるかという根本的な問いにどうこたえるか? どのように量子の扉は叩かれたのか?

3 序論統計力学熱力学がことの始まり総括的な動きを表現するための学問である Newton の力学 Maxwell の電磁気学の振る舞いをどのように拡張させるのか? 統計力学から量子化を攻める

4 目次 1 序論 2 エネルギー等分配の法則と比熱 3 Rayleigh-Jeansの公式 4 Weinのずれ公式 5 Planckの公式

5 Planck の公式へアプローチ Planck の公式空洞輻射の強度と振動数の関係空洞輻射の強度壁で囲まれた空間に存在する電磁波の強度温度に依存するエネルギーが詰められたときの振る舞い炉に例えられる

6 エネルギー等分配則熱力学では気体の比熱を考えるときに一つの自由度に対して 1 2 k BT というエネルギーが分配されるとしている ( エネルギー等分配の法則 ) 背景には Boltzmann の原理

7 Boltzmann の原理 Boltzmann の統計力学の特徴分子の動き統計的な平均値として理解平均値確率として表現ある複雑な物体の状態を運動量座標で記述自由度を f とすると自由度の個数だけの座標 q 1, q 2, q 3 q f と自由度 p 1, p 2, p 3 p f

8 Boltzmann の原理第一の座標が, q 1 と q 1 + dq 1 の間のある値をとり第一の運動量が, p 1 と p 1 + dp 1 の間のある値ををとる確率は Aexp 1 kt E q 1 q f p 1 p f (Aは規格化定数 ) Boltzmannの原理という dq 1 dq f dp 1 dp f

9 エネルギー等分配の法則系の運動エネルギーを次の形で表すとすると E = α 1 p α 2 p α s p s α f p f 2 α s p s 2 = A α s p s 2 1 kt E q 1 q f p 1 p f dq 1 dq f dp 1 dp f = A α s p s 2 1 kt α s p s 2 + V dq 1 dq f dp 1 dp f

10 エネルギー等分配の法則積分の s 番目では α s p s 2 exp 1 kt α sp s 2 d p s 部分積分すると = kt 2 exp 1 kt α sp s 2 dp s となるこのことを利用して前式は

11 エネルギー等分配の法則 A kt 2 exp 1 kt α s p s 2 + V dq 1 dq f dp 1 dp f A の定義を思い出すと積分部分を打ち消すのでとなる α s p s 2 = kt 2 自由度一つについて決まったエネルギーが分配されるエネルギー等分配の法則

12 エネルギー等分配則の応用物体の自由度を求めればエネルギー分配則からエネルギーが算出できる例 ) 分子の比熱 (i) 単原子分子の場合自由度 3( 並進運動 3 つ分 ) 1 モル当たり 3 2 NkT=3 2 RT (ii) 二原子分子の場合自由度 5( 並進運動 3 つ分回転運動 2 つ分 ) 5 2 RT

13 実験との比較 (i) ヘリウム ( 単原子分子 ) の1モルあたりの比熱理論値: 3 R = (J/K 1 ) 実験値: , 12.33(93 ) (ii) 酸素 ( 二原子ガス ) のモル比熱理論値: 5 R = (J/K 1 ) 実験値: , ほぼ一致しているが温度が低い時成り立たない

14 固体のモル比熱固体では理想気体と違い位置エネルギーも考慮する必要がある一自由度に対する位置エネルギー E = β 1 q β 2 q β s q s β f q f 2 前述の計算を置き換えただけよって同様に β s q s 2 = kt 2 である

15 固体のモル比熱前ページの結論から固体 1 モルについての平均エネルギーが分かる固有振動 = 固体の自由度と見る ( 自由度それぞれに固有振動が張り付いている ) その数を f とすると E = f kt 2 + kt 2 = fkt

16 真空の比熱真空の固有振動の数は? 電磁波の連続的な振動なのでその数は個体の場合と違い無限大である E = fkt において f となる真空はエネルギーを無限に吸い取るブラックホール!

17 エネルギー等分配則の破たん実は気体固体の両方で温度が低くなるにつれて理論値とのずれが出る温度が低くなると比熱が下がる自由度が死んでいくことが起こる真空がブラックホールになるエネルギー等分配則には成り立つ範囲がある

18 Rayleigh-Jeans の公式等分配の法則について情報を整理する空洞輻射の式を算出してその問題点を探る真空では電磁波の固有振動を考える波の振動数は各固有振動数に対して = c 2L だけの間隔がある

20 Rayleigh-Jeans の公式固有振動の数が知りたい情報各固有振動数に s 番号を付ける弦は一次元であったから固有振動の情報は一つで十分だった真空は 3 つの情報が必要

21 Rayleigh-Jeans の公式どのような固有振動にいるかを知るために次のような座標系を設定する x = c 2L s x y = c 2L s y z = c 2L s z 格子状の空間ができる (x 0 y 0 z 0 である )

22 Rayleigh-Jeans の公式全体でスペクトルの分布を記述できないので振動数が ν と ν + dν の間にあるときの固有振動の数を問題とする先ほどの空間内で半径 ν の球と半径 ν + dν の球の間にある格子の数を考えればよい格子の数 = 固有振動の数 =( 自由度の個数 )

23 Rayleigh-Jeans の公式格子の点の個数を Z ν dν とする (i) 二つの球に挟まれた空間の体積は π ν + dν πν3 二次以上の微小量を無視すると = 4πν 2 dν/8 となる

24 Rayleigh-Jeans の公式 (ii) 前述のに関して一つの格子ごとの体積は 3 = c 3 2L である (i)(ii) から Z ν dν = 4πν 2 dν 8 c 3 = 4πL3 c 3 2L ν2 dν

25 Rayleigh-Jeans の公式波の偏光を考慮すると一つの固有振動に対して二つの自由度が存在するしたがって最終的な自由度はである Z ν dν = 4πL3 c 3 ν2 dν 2 = 8πL3 c 3 エネルギー等分配則から空洞輻射は E ν = Z ν dνkt = 8πkTL3 c 3 ν2 dν ν 2 dν

26 Rayleigh-Jeans の公式単位体積ごとの輻射は U ν = 8πkT c 3 ν 2 dν となるこれをRayleigh-Jeansの公式という振動数が低いものには観測値と合致振動数の二乗に比例しているため温度が低いほど自由度が死んでいく

28 Wein のずれ法則 Rayleigh-Jeans の公式も間違っているわけでないアプローチを変えて考えよう! ( 等分配則を使わない方法で ) 熱力学を利用して各振動数に割り振られているエネルギーを再考察する

29 Wein のずれ法則 E s = ktと決めつけたことが敗因では分からない関数でそれを置くつまり E s = f ν s とする関数が振動数に依存しているのは等分配の法則が低振動数には成り立つことを考慮したものである

30 Wein のずれ法則前ページの関数について空洞輻射には温度による依存性も考慮しなくてはならない熱力学において断熱変化では次が成り立つ E s ν s = 一定 ( 断熱不変量 ) ν s T = 一定よって温度が変化すれば振動数とエネルギーも変化する

31 Wein のずれ法則以上から s 番目の固有振動に分配されたエネルギーは一般に次のような関数形で書ける E s = f ν s ν s T E s = f T ν s よって空洞放射の関数形は E ν = Z ν dν E s = 8π c 3 F ν T ν3 dν ν s

32 Wein のずれ法則 E ν = 8π c 3 F ν T ν3 dν Weinのずれ法則というこの式において F ν T = kt ν とすると E ν = 8πkT c 3 となる (Rayleigh-Jeans の公式 ) ν 2 dν

33 Wein のずれ法則 Wein はこの関数を次のように仮定した F x = kβe βx (β は適当な定数 ) よって E ν = 8πkβ c 3 e kβ T ν 3 dν となるこれを Wein の公式という ν/t の範囲で実験結果と合致 ( Rayleigh-Jeans と範囲が逆 )

34 Planck の公式両方うまく合うような関数は存在しないか?? ( 低振動数 ) 近似して F ν T = kt ν となり ( 高振動数 ) 近似して F ν T = kβe βν T となる Planck の公式である!

35 Planck の公式とすると? F x = kβ e βx 1 x が十分小さいとき F x = k x となる Rayleigh-Jeans の公式 x が十分大きいとき F x = kβe βx となる Wien の公式

36 Planck の公式 U ν dν = 8πkβ c 3 1 e βν/t 1 ν3 dν ここで定数 kβ = hとおくと U ν dν = 8πh c 3 1 e hν/kt 1 ν3 dν Planckの公式という振動数温度において実験値と高い精度で合致

37 Planck の公式この公式から一自由度に分配されるエネルギーを逆算すると E ν = kt P hν kt となるただしとする P x = x e x 1

38 Planck の公式エネルギー量子があるとすると等分配の法則は成立しないアプローチに等分配の法則は使えないある振動体のエネルギーの平均値を考える E = aq 2 + bp 2 Boltzmann の法則より E = A aq 2 + bp 2 e E/kT dqdp

39 Planck の公式エネルギー量子の値を ε とする E = aq 2 + bp 2 = nε 具体的には位相空間上の楕円が連続的でないことを表す

40 Planck の公式変数変換すると E = Ee E/kT de e E/kT de 今 E = nε なので積分を和として考えるとここで E = nεe nε/kt e nε/kt nεe nε/kt = 1 kt e nε/kt

41 Planck の公式なので e nε/kt = n εe nε/kt = eε/kt e ε/kt 1 εe ε/kt e ε/kt 1 2 以上から E = ε e ε/kt 1

42 Planck の公式前述の関数の形にすると E = ktp ε kt となるこれよりプランクの公式から E = kt P hν kt hν = ε であるからエネルギーは E = nε = nhν となるこれがエネルギー量子である

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