線形粘弾性 a．応力緩和とマクスウェル模型

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ときよしなが
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1 地殻上部マントルのレオロジー高温長時間では, 岩石は流動する. 線形粘弾性体 ( 歪速度はせん断応力に比例 ) 流体力学 ( ナビエ - ストークスの式 ) べき乗型流動則 ( 歪速度はせん断応力のべき乗に比例 ) 比例係数の温度依存性が大きい. 参考書岩波講座地球科学 2 地球の物質科学 Ⅰ レオロジーと地球科学唐戸俊一郎グローバルテクトニクス杉村新

2 色々な深度の断層岩 ( 産業技術総合研究所, 藤本さん )

3 脆性ー塑性の繰り返しの証拠マイロナイトが破壊でフラグメント化フラグメントのマイロナイト化

4 線形粘弾性 a. 応力緩和とマクスウェル模型図 1: マクスウェル模型図 2: 応力緩和マクスウェル粘弾性体に時間 t=0 以後一定の歪 γ 0 を与えると応力 σ は時間とともに減少する t=0 における応力 σ 0 の 1/e になるのに要する時間 τ を緩和時間という

5 このマクスウェル模型に応力 σ を加えたとき歪 γ が生ずるとするバネの歪を γ 1 ダッシユポットの歪を γ 2 とすれば全体の歪 γ はその和であるから γ=γ 1 +γ 2 (1) また直列結合なのでバネに加わる応力 σ 1 とダッシュポットに加わる応力 σ 2 は等しいのでこれを σ とおくと γ 1 =σ/ G,dγ 2 /dt=σ/η (2) 式 (2) を式 (1) ヘ代入すれば dγ/dt= (1 / G) (dσ/ dt)+(σ/η) (3) が得られる. これはマクスウェル方程式とよばれる時間 t=0 に一定の歪 γ 0 が瞬間的に与えられ, そのまま保持されるときすぐに応答するのはバネだけで (3) は dσ/dt=-(g /η)σ (4) となりこの解として σ=γ 0 Ge -t/τ (5) が得られるただし τ=η/g は緩和時間である

6 b. クリープとフォークト模型図 3: フォークト模型図 4: クリープフォークト粘弾性体に時間 t=0 に一定の応力 σ0 を加えると歪 γ は時間とともに増加する歪が最終的な値の (l -l/e) 倍になるのに要する時間 τ r を遅延時間というこの現象をクリープ ( 応力一定下での変形 ) という

7 この模型に応力 σ が加えられたとき歪 γ が生じたとすれば全体の応力はバネの応力 σ 1 とダッシュポットの応力 σ 2 との和であるから σ=σ 1 +σ 2 (6) また並列結合なのでバネの歪 γ 1 とダッシュポットの歪 γ 2 は等しいからこれを γ とおくバネについての式 σ l =Gγ とダッシュポットについての式 σ 2 =ηdγ/dt と式 (6) より σ= Gγ+η(dγ/dt) (7) が得られるこれがフォークトの方程式である時刻 t=0 において一定の応力 σ 0 が与えられたとき時刻 t における歪は γ(t) = (σ 0 / G) (1-e -t /τr ) (8) で与えられるここで τ r =η/g は遅延時間であるこれが先に説明したクリープである

8 延性変形の時間ー歪み曲線クリープ破壊加速クリープ 3 次クリープ歪み定常クリープ transient creep 時間

9 岩石の変形実験結果定常クリープにおけるかんらん岩の応力と歪速度の関係 (Carter & Ave Lallemant,1970) 定常クリープにおけるかんらん岩単結晶の温度と歪速度の関係 (Kohldstedt & Goetze, 1974)

10 高温クリープの応力依存性応力と歪の間の一般的な関係 (Weertman & Weertman, 1975) 応力と歪速度の間の一般的な関係 ( 秋本水谷, 1978)

11 クリープの起こり方 ( 唐戸,2000) より転位クリープの起こり方結晶中の欠陥拡散クリープの起こり方熱活性化過程による原子の移動

12 熱活性化過程 (dε/dt) exp(-h(σ)/rt) の関係が成り立つ. H: 活性化エンタルピー (H(σ) =E+PV, E: 活性化エネルギー ;P: 圧力 ;V: 体積 );R: 気体定数 ;T: 絶対温度結晶中の原子は, 安定位置を中心として熱振動している. 隣の位置に移動するためには, エンタルピーの山,H を越えなければならない. ある原子が H の状態にある確率は, exp(-h(σ) /RT) となる. よって, 原子の移動の確率 ( 移動の速度となる ) は exp(-h(σ) /RT) に比例する. E は化学結合を切るのに必要なエンタルピーなので, 融点に比例する.E RT m, T m : 融点. 融点の 5 割くらいになると塑性変形が顕著になる.

13 拡散クリープ空孔 ( 点欠陥 ) が移動することによって変形する. 多結晶体の結晶粒界には, 相対的に圧縮や引っ張り応力を受けるものがある. 圧縮力が大きいと空孔は減少するので, 結晶粒界近傍の点欠陥の濃度は, 粒界の応力に依存する. 結晶中の点欠陥の濃度勾配により拡散が起こり, 結晶の形が変化し, 多結晶体が全体として変形する. (dε/dt) = A 1 (σω/ RT)(D eff /d 2 ) D eff = D v + (δ/d) D b 歪速度は応力に比例. 粒径の 2 乗に逆比例.

14 転位クリープ転位が移動することによって変形する. 転位の運動によるクリープの速さは, 転位の密度 ρ, 転位の運動速度 v に比例する. (dε/dt) = bρv b: 転位による結晶格子の変位の大きさ転位密度は,ρ b -2 (σ/µ) 2 転位の運動速度は熱活性化過程で決定される. (dε/dt) = A 2 (σ/µ) n exp(-h(σ) /RT) N の値は,3-5 程度である. 歪速度は応力のべき乗に比例. 粒径によらない. H (σ) ( 活性化エンタルピー ) が応力に強く依存するとき ( 高い応力や低温で起こると考えられている ), 変形は応力に強く依存する. (dε/dt) exp (-(E+PV) /RT) exp (-E+ τ V) ln(v) τ これは, 速度依存摩擦構成則の形 (Nakatani,

15 塑性変形に対する水の効果唐戸 (2000) よりかんらん岩での実験. 水の水蒸気分圧が高いほど, 乾燥状態に比べて歪速度が大きくなる.

16 べき乗型の変形挙動について強制的に歪を与えてその後一定に保つ場合, Maxwell モデルと同様に微分方程式を立てる. 強制歪に対応する初期応力を σ 0 とすると, d σ = dt k σ n k σ = ( t + n 1 σ 1 n ) n よって,t が大きいときは,σ 0 の項は無視できる. 時間が長くなると, 初期応力に関係なくなる.

20 地殻上部マントルのレオロジーに関係する観測事実氷床地域の隆起大地震の余効変動地震の深さ分布地殻の強度プロファイル

21 氷床地域の隆起による粘性率の推定実効粘性率の深さ分布 (Karato, 1977)

22 下部地殻の粘性係数 Kaufmann & Amelung(2000) フーバーダムの貯水による変動

23 大地震の予効変動から推定された粘性率の深さ分布下部地殻の粘性は最上部マントルより大きい. 上田英樹 (2001, 東北大学博士論文 )

24 Ueda et al. (2003)

25 1993 年北海道南西沖地震の余効変動 Ueda et al (2003)

26 地殻の強度プロファイル

27 最初の強度プロファイルモデル Goetze, 1976? B.Evans 氏の好意による

28 地殻は上部地殻下部地殻に分けられる阿武山観測所による震源分布に加筆

29 Sibson(1982) の断層ゾーンモデル

30 リゾスフェアの強度 Kohlstedt et al. (1995)

31 Creep Parameters (Ranalli, 1995)

32 既存のレオロジーモデルでは, どんな条件下においても下部地殻は最上部マントルより強度が小さい様々な条件下における強度プロファイル (Watts, 2002) b) 地殻の厚さを変える c) 温度勾配を変える d) 歪速度を変える

33 下部地殻が一番弱い下部地殻は上部マントル最上部より変形しやすい Crustal athenosphere Kirby & Kronenberg (1987)

34 チベットの構造モデル (Jin et al.,1994)

35 日本列島の変形特性に関する従来の考え方温度を重視地殻が厚いと下部地殻は高温のため弱くなる ( 嶋本,1980) 下部地殻は流動変形が卓越し, 応力は上部地殻によって支えられている ( 佐藤平田,1980)

Microsoft PowerPoint - 第8章 [互換モード]

Microsoft PowerPoint - 第8章 [互換モード] 第 8 章クリープと環境強度目的クリープ現象および環境強度に関する基本的な事項を理解する. 8.1 クリープ 8.1.1 クリープの重要性 8.1.2 事例紹介 8.1.3 クリープ曲線 8.1.4 クリープの機構 8.1.5 変形機構図 8.2 環境強度 8.2.1 温度の影響 8.2.2 環境の影響 8.1 クリープ 8.1.1 クリープの重要性クリープ (creep) 材料に一定荷重を加えたまま,