暫定版修正 加筆の可能性あり ( 付録 ) デルタ関数. ローレンツ関数. ガウス関数 3. Sinc 関数 4. Sinc 関数 5. 指数関数 6. 量子力学 : デルタ関数 7. プレメリの公式 8. 電磁気学 : デルタ関数 9. デルタ関数 : スケール 微分 デルタ関数 (delta function) ( ) δ ( ) ( ), δ ( ), δ ( ), δ ( ) f x x dx f x dx x x 73-
ローレンツ関数 () 減衰波のフーリエ変換参考文献 : 篠崎 富山 若林 現代工学のための応用フーリエ解析 p.8 現代工学社 γ γ + ω γ t ( ) ( ω) f t e F 偶関数の場合 iωt ( ω) ( ) ( ) + i t i t ( γ ω) ( γ ω) ( γ ω) ( γ ω) F f t e dt f t cosωtdt e dt + e dt + i t i t e e γ + + γ + iω γ iω γ + iω γ iω γ + ω フーリエ逆変換 iωt f ( t) F( ω) e f ( ) F( ω) π π γ π γ + ω 73-
ローレンツ関数 () デルタ関数 γ π γ + ω γ lim δ ( ω) γ π γ + ω F γ γ + ω ( ω) ( ) lim δ ω γ πγ γ + ω γ ローレンツ関数 ω FWHM ローレンツ関数 : 半値全幅 (FWHM: Full Width at Half Maximum) 拡がり γ γ γ + ω ω γ γ γ γ + ω ω γ γ γ ω ω 73-3
ガウス関数 () Gaussian のフーリエ変換は Gaussian 参考文献 : 篠崎 富山 若林 現代工学のための応用フーリエ解析 p.8 現代工学社 π ω f ( t) exp( vt ) F ( ω) exp v 4v 偶関数の場合 : 積分公式を利用 iωt π ω F ( ω) f ( t) e dt exp( vt ) cosωtdt exp v 4v ax π ab x t, ab ω, a v π ω e cos( abx) dx e exp a v 4v フーリエ逆変換 iωt f ( t) F( ω) e f ( ) F( ω) π π πv ω exp 4v 73-4
ガウス関数 () デルタ関数 πv lim v πv ω exp 4v ω exp δ ( ω) 4v ω δ ( ω) lim exp v πv 4v ガウス関数 : 半値全幅..8.6 F π v ( ω) π ω exp v 4v ω FWHM 4 v ln ω exp ω v ln 4v ω 4 v ln FWHM.4. -. ω -3 - - 3 FWHM: Full Width at Half Maximum ln: 自然対数 (natural logarithm) 73-5 ω
ガウス関数 (3) 正規分布 :normal distribution(gaussian distribution) 但し 平均値は零 π ω f ( t) exp( vt ) F ( ω) exp v 4v σ σ t π ω ν f ( t) exp F( ω) exp σ σ δ ( ω) lim exp σ πσ 正規分布 : 半値全幅 ω σ 分散 :variance F ( ω). ( π σ) exp ( ω σ ).8.6 π v ω FWHM σ ln ω exp ω σ ln σ ω σ ln FWHM.4. -. ω ω -3 - - 3 73-6
Sinc 関数 () 孤立方形波のフーリエ変換参考文献 : 篠崎 富山 若林 現代工学のための応用フーリエ解析 p.77 現代工学社 ( ) f t ( t ) ( t ) < 時間領域 t フーリエ変換 : 実数 ( 偶関数 ) iωt iω iω iωt iωt e e e sinω F ( ω) f ( t) e dt e dt iω iω ω フーリエ逆変換 iωt f ( t) F( ω) e f ( ) F( ω) π π sinω π ω 73-7
Sinc 関数 () デルタ関数 sinω π ω sinω lim δ ( ω) π ω sinω δ ( ω) lim π ω.5.5 F π ( ω) sinω ω π F ( ω) Sinc 関数 : 零点の位置 π π 3π ω ±, ±, ±,... π ω 参照 : 図中赤線 -.5 3π π π 3π -5 - -5 5 5 ω ω 73-8
Sinc 関数 () 三角パルス波のフーリエ変換参考文献 : 篠崎 富山 若林 現代工学のための応用フーリエ解析 p.77 現代工学社 ( ) f t t + < ( t ) ( t ) 時間領域 t フーリエ変換 : 実数 ( 偶関数 ) iωt t F ( ω) f ( t) e dt cosωtdt + t + sinωt ω sinωt sin dt ω tdt ω ω cosωt 4 ( cosω ) sin ω ω ω ω ω 73-9
Sinc 関数 () フーリエ逆変換 iωt f ( t) F( ω) e f ( ) F( ω) π π 4 ω sin sin ω π ω π ω sin ω π ω デルタ関数 sin ω π ω sin ω lim δ ( ω) π ω ( ) δ ω lim sin ω π ω 73-
指数関数 () 定数のフーリエ変換 f ( t ) 孤立方形波のフーリエ変換 : 参照 73-7 iωt iωt iωt e F ( ω) f ( t) e dt e dt lim iω iω iω e e sinω sinω lim lim π lim iω ω π ω デルタ関数 : 参照 73-8 sinω δ ( ω) lim δ ( ω) π ω π e iωt dt 73-
指数関数 () デルタ関数 : 位置 波数ベクトル 3 i δ ( ) e dv, ( kx, kx, kx), k π kr r k k k 電磁気学 : デルタ関数 (73-9) δ δ ( r) ( r) + + 4π r x y z ( k) 3 3 ikr 3 ikr i e kr e e dv dv dv k k k π π k π k ikr ikr ikr e i e ke 参照 : 砂川重信 量子力学 I p39 岩波書店 3 ikr ikr e e π dv, k 3 i xyz,, ni, ni, ±, ±,... 4πr π k k L k. k L 73-
量子力学 : デルタ関数 () 量子力学でお馴染みフェルミの黄金律 :Fermi's golden rule 参考文献 : 砂川 量子力学 p.95 岩波書店など 例 : 指数関数の積分 但し 積分範囲に注意 デルタ関数の性質 : 下記も参照 i t iωt E ω ( ω ) πδ ( ω ) ( ) π δ ( ) F e dt F E e dt E E 確認作業 ω ω ω i i i ω i iωt iω iωt e e e e ω e dt e e sin iω iω iω iω ω sin iωt 4 ω e dt sin π πδ ( ω ) ω π ω デルタ関数の性質 : 説明省略 デルタ関数 : 参照 73- δ ω δ ω δ ω δ ω δ a ( a ) ( ) ( ) ( ) ( E) 73-3
量子力学 : デルタ関数 () 例 : 指数関数の積分 但し このままでは 積分 が で収束しない ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) i t iω t iωt e e i F ω lim e dt lim e dt lim lim iω iω 非常に小さい正の数を導入 :γ ( ω) ω ω iγ, γ> j( ω iγ)( t ) F lim lim e dt lim lim γ + γ + ( ) ( ) ( ω γ)( ) i i t e i( ω iγ) γ t iω t i e e γ ω e e lim lim lim lim lim i i i i i i ( ω γ) ( ω γ) ( ω γ) γ + γ + γ + ω iγ lim i γ + + ω + γ ω + γ 73-4
量子力学 : デルタ関数 (3) 途中経過 : 実数部と虚数部 実数部 : 参照 73-3 ( ) lim j ω ti γ ω ω e dt lim i lim πδ ( ω ) i lim ω + γ ω + γ ω + γ γ + γ + γ + 虚数部 : ω のとき 零 これは便利 : コーシーの主値積分 ω lim, ω ω + γ γ + ω ω Cauchy's principal values of integral ω で 虚数部は 零 になるから ω は積分区間 ( 実軸 ) から除外する P: コーシーの主値 (Cauchy s principal values) P a d ε a lim d d ω lim P ω ω ω a ε a ε γ ω + + ω ω + ω + γ ω 整理 : デルタ関数 ( 実数部 )& コーシーの主値 ( 虚数部 ) lim ( ) e dt πδ ( ω ) P ω iω t i 量子力学でお馴染みの積分 Weisskopf-Wigner spontaneous emission Lamb shift 参考文献 :J.J. サクライ 上級量子力学第 I 巻 p.8 丸善 P.Meystre, M. Sargent III Elements of Quantum Optics(Third edition) p.3 Springer など 73-5
プレメリの公式 () 前頁 : デルタ関数 ( 実数部 )& コーシーの主値 ( 虚数部 ) lim ( ) e dt πδ ( ω ) P ω iω t i 非常に小さい正の数を導入 :γ 参照 :73-4 lim e iω ( t) dt lim ( i ) γ + ω γ i lim γ + i i πδ ( ω ) P ω γ ω ( i ) プレメリの公式 クラマース クロニッヒの関係式でお馴染み Kramers-Kronig relation 参考文献 : 飽本 今日から使える複素関数 p.63 講談社 Sokhotski Plemelj theorem: 実軸 lim P i πδ ( ω ) ( ' ) i ' i P ' i πδ ω ω ω γ ω + ± ω ω γ ω ω γ + 73-6
プレメリの公式 () 普通に考えれば コーシーの主値積分 : 分母が零になる値を跨いで積分する場合 分母が零になる値を避さけよ! lim P iπδ ( ω ) ± i ω γ + ω ω γ ω P a d a lim ε d d, P ω ω ω a ω ε + + a ω ε ω ω ω 分母が非零の領域 : 分母が零になる値を跨いで積分しない場合 主値積分を意識する必要はない a a a> b ω lim P P ln γ + b> ω± iγ ω ω b ω b ω a b 分母が零の領域 : 主値積分は無視できるが 純虚数のデルタ関数になる! ω lim lim iπδ ω δ ω γ + ω ± iγ γ + ± iγ πγ ( ) ( ) 73-7
電磁気学 : デルタ関数 参照 :43-5 点電荷に対するガウスの法則 : 真空中 ( r) ρ q E ( r), Er ε 4πε ρ ( ) 3 点電荷に対する電荷密度 : 位置 ( 原点 r) ( r) δ ( r) dv q q dv q ( r) qδ ( r) ρ δ 関数の一例 δ r 4π r ( r) 3 r r ガウスの法則へ代入 δ 関数の一例 δ δ 関数の定義 : 超関数 (distribution function) Dirac のデルタ関数と呼ぶ場合もある dv f ( r) δ ( r-r' ) f ( r' ) δ ( r) r 3 4π r 4πr ( r), δ ( r) @ r @ r 厳密 : 体積分 dv dxdydz ( r- r' ) ( x x' ) ( y y' ) ( z z' ) δ δ δ δ 点電荷に対する静電ポテンシャル ( 電位 ):δ 関数 ( r) ρ Er ( ) φ( r) φ( r) δ ( r), ε 4πr Δ: ラプラシアン 73-8
デルタ関数 : スケール変換 デルタ関数 : 偶関数 参照 :73-3 ( ) ( ), ( ± ) lim δ ω δ ω δ ω γ πγ γ + ω 変数 : スケール変換 a > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ aω δ ω δ aω d aω δ ω a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ( x) δ( x) δ aω d aω δ aω d aω δ ω a< 発展型 : 説明省略 注意 : 零点が複数個ある場合は加算する δ ( g( ω) ), g( ω ) dg ( ) ( ) ( ) f ω δ g ω ω ω f ( ω ) dg ω ω 73-9
デルタ関数 : 微分 () 部分積分 ( ) δ '( ) ( ) δ ( ) '( ) δ ( ) ' ( ) f x x dx f x x f x x dx f ( ) δ ''( ) '( ) δ '( ) ''( ) δ ( ) ''( ) f x x dx f x x dx f x x dx f ( ) δ ''' ( ) ''' ( ) f x x dx f デルタ関数の一次導関数 : 奇関数 δ ' ( x) δ '( x) ( ) δ '( ) '( ) δ ( ) ' ( ) f x x dx f x x dx f ( ) δ '( ) ( ) ( ) δ '( ) ' ( ) f x x d x f x x dx f 73-
デルタ関数 : 微分 () ベクトル解析 : 部分積分 ( x) δ ( x z) δ ( x z) ( x) dv f dv f dv dxdxdx3 dvδ ( x z) f ( x) z f ( z) ( x z) ( x z ) ( x z ) ( x z ) δ δ δ δ 3 3,,, z,, x x x3 z z z3 ( ) δ ( ) dv δ ( ) ( ) dva x x z x z A x dv f ( x) A( x) δ ( x z) ( x z) A( x) A( z) dvδ z dv ( x z) f ( x) A( x) δ ( x z) f ( x) A( x) dvδ ( x) A( z) ( z) A( z) ( z) A( z) z f z f + f z 73-
デルタ関数 : 微分 (3) ベクトル解析 : 続き ( ) δ ( ) dv δ ( ) ( ) dva x x z x z A x dv f ( x) A( x) δ ( x z) ( x z) A( x) A( z) dvδ ( z) A( z) ( z) A( z) A( z) ( z) z f f z z f z ( ) ( ) δ ( ) dv ( ) δ ( ) ( ) { } ( ) { ( )} ( ) ( ) dvf x A x x z A x x z F x ( x z) A( x) F( x) dv δ ( x z) A( x) F( x) dv δ ( x z) A( x) F( x) dvδ x z A x F x A x F( x) dvδ + dvδ ( x z) A( x) + A( x) F( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A z + A z F z F z A z A z F z z z z z 注意 : ディアド 73-