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1 暫定版修正 加筆の可能性あり ( 付録 ) 準備 : 非線形光学効果 (). 絵解き : 第二高調波発生. 基本波の波動方程式 3. 第二高調波の波動方程式 4. 二倍分極振動 : ブランコ 5. 結合波動方程式へ 6. 補足 : 非線形電気感受率 ( 複素数 ) 付録 43 のアプローチ. 分極振動とは振動電場に誘われて伸縮する電気双極子の集団運動. 電気感受率と波動方程式の関係を明らかにする 3. 第二高調波発生を波動方程式から説明する 4. 線形電気感受率と非線形電気感受率の物理的な意味を明確化する 5. 虚数単位 :iを使用 6. 注意 : 赤色は実数 青色は複素数 角周波数を単に周波数と記述します 43-

2 非線形ばね振動 (3) 復習 :430 整理 : 分極振動 ( ) ( em) ( e m) ( ) d x dx e d d m i + + x = ( ), x ( ) = + ( a ) x ( ) d x dx a d d i x x + + x = x ( ), x ( ) = + + i =, = expi ( a ) x ( ) ( a ) ( e m) = = + i + i + i ( a ) ( e m) = + i + i ( ) expi 非線形振動 : 不完全なばねによる振動 基本波周波数の二倍で振動する分極振動が発生 二倍分極振動成分は基本波の自乗に比例 43-

3 絵解き : 第二高調波発生 大雑把に言えば : ばね振動の非線形性による二倍 ( 非線形 ) 分極振動の誘起 基本波 : 高強度 高強度入射により基本波分極振動が活性化 非線形ばね振動により電気双極子の二倍分極振動を誘起 = 基本波周波数の二倍で振動する光波が発生 増幅される 第二高調波 = 注意点 : 定性的にはよい説明ですが 一般に 第二高調波を発生する媒質は 基本波 第二高調波 に対して透明であるから両者に対して非共鳴です 非共鳴の場合 線形電気感受率は実数 ( 虚部は零 ) 媒質の屈折率を与えるのみです 非共鳴の場合 線形電気感受率の虚部が担う電気双極子側へのエネルギーの移動はなし 線形電気感受率は第二高調波発生のエネルギー源とはならない つまり 線形電気感受率では基本波から第二高調波へのエネルギーの移動を説明できません そもそも論として線形電気感受率は周波数 ( 波長 ) 変換を伴うエネルギーの移動を説明できません これからやりたいこと! 透明媒質であっても基本波エネルギーが第二高調波側に移動する条件 ( 位相整合 ) を明らかにします 周波数 ( 波長 ) 変換を伴うエネルギーの移動は 非線形電気感受率 で記述します 位相整合条件が満足されると 非線形電気感受率が実数 ( 虚数零 ) でも第二高調波発生します 以降 線形電気感受率 非線形電気感受率ともに実部のみ ( 虚部零 ) とします 43-3

4 基本波 : 複素数表示 振動電場 : 実数表示 下線部 : 対応関係 z ( r ), =,,0,0,, = cos z z K z 屈折率 : 媒質中 ( 周波数 ν に依存 ) K = = n n = + n ( ) c c0 c0 c0 c0 媒質中の光速真空中の光速 K z = K z + z K z n K z,, c0 振動電場 : 複素数表示 複素振幅 : 光と物質の相互作用を含ませる意図正確に言えば 基本波の線形電気感受率を含ませる意図 ( r, ) = ( z, ),0,0, z, = z expi K z ( z) = ( z) exp i ( z) = ( z) expi ( ) 0 Kz 43-4

5 基本波の波動方程式 () 少々込み入った話になりますが ばね振動の線形性に基づく電子の運動方程式から 基本波 に対する基本波分極振動 z, P ( z, ) を求めた 以下では 基本波分極振動 P ( z, ) に対する媒質中の光波 基本波: ( z, ) の挙動について検討する 媒質中では基本波と基本波分極振動は相互に相手側に影響を与えます 基本波は波動方程式 基本波分極振動は電子振動子模型からスタートします 但し 基本波は高強度として非線形電気感受率は考慮しません つまり 基本波エネルギーが第二高調波側に移動することによる基本波の減衰は無視する 最終的に 基本波に対して非共鳴とし 基本波に対する線形電気感受率を実数扱いとします 波動方程式 : 導出省略 運動方程式 : 電子振動子模型 基本波 : 波動方程式 (, ) P( r, ) r r, 00 = 0 ( z, ) ( z, ) ( z, ) P = 0 z c0 d x dx e + + x = expi d d m 下線部をよくみると 基本波分極振動が基本波の強制力 (driving force) に見える 波動方程式は光波の挙動を記述する運動方程式と考えて差し支えないかもしれません 43-5

6 基本波の波動方程式 () 導出例 : 参照 43-9 () ( z) K ( ) z = i 0 z 複素振幅 : 光と物質の相互作用の全て含む線形 非線形電気感受率も全て含む但し 今回は線形電気感受率のみ 基本波 : 波動方程式 ( z, ) ( z, ) ( z, ) P = 0 z c0 ( z, ) = ( z) expi ( K0z) () () ( z, ) = ( ) ( z, ) = ( ) exp ( z) P z i K

7 基本波の波動方程式 (3) 導出例 : 参照 43-9 注意 : 線形電気感受率 波動方程式を利用して線形電気感受率の 実数部 と 虚数部 の物理的な意味を明確化 実数部 : 屈折率 虚数部 : 損失 () ( z) K ( ) z, exp = = i 0 z z z i z 導出例 : 参照 43- 参照 :43-4 線形電気感受率の実数部 : 媒質の屈折率 ( z) K ( ) ( z) ( n ) ( ) () () 0 r K0 z r = n n = + z 導出例 : 参照 43- 非共鳴の場合は零 : 実数扱い 線形電気感受率 : 虚数部の符号に注意 (ν のため ) () ( z) K ( ) z () () () ( z) 0, ( ) ( ) i ( ) 0 i = = = r i 線形電気感受率の虚数部 : 損失 ( 基本波のエネルギーが分極側に移動 ) ( ) () K0i = 0 0 = = ( z) exp ( z), ( z 0) 43-7

8 導出例 () 注意 : 偏微分の計算 ( z, ) = ( z) expi ( K z) 0 ( z, ) i( K z) i( K z) i( K z) = e = ik0 e + e z z z ( z, ) i( K z) i( K z) 0 0 = ik 0 e + e z z z z i( K0z) i( K0z) i( K0z) 0 0 e e 0 e = ik ik + ik z = K + z z i( K0z) i( K0z) i( K0z) 0 e ik0 e e ~ K0 ik0 e z ( ) 0 ( z, ) i( K z) = e i K z 0 z + e ( ) i K z 0 z 近似 : 二階偏微分は無視 43-8

9 導出例 () 導出例 : 続き ( z, ) ( z, ) i( K z) i( K z) 0 0 e e = K 0 ik0 z c0 z c0 = K 0 ik + 0 z c0 () () ( z, ) = 0 ( z, ) = 0 ( z) expi ( K0z) P( z, ) () ( z, ) () = = ( z) expi ( K z) () ( z) K = ik z P ik =, K =, c = z () z c0 0 0 () 0 i = ( z ) = i z c

10 導出例 (3) 線形電気感受率 : 複素数表示 () ( z) K ( ) z = i 0 ( z ) () () () = r i i () () i = K0 ( r ii ) z z ( z) exp ( z) () () i e + ( i e ) = K0 ( r ii ) e z z = i i i i i K K + = z z () () 0 r 0 i i () () ( z) K ( ) ( z) K ( ) 0r =, = z z 0 i ( z) () () () ( z) = ( z) exp i ( z), ( ) = ( ) i ( ) r i 43-0

11 第二高調波 : 複素数表示 振動電場 : 実数表示下線部 : 対応関係位相定数 : 現時点では未定 ( r ) ( ) B ( z), = z,,0,0, z, = z cos Kz + + ( z ) = 0 = 0 屈折率 : 媒質中 ( 周波数 ν に依存 ) K = = n n, = c c0 c0 振動電場 : 複素数表示 位置依存 : 現時点では未定位相整合 : 零位相不整合 : 非零参考 :43-0 ややこしいかな : 第二高調波複素振幅 : 今度は非線形電気感受率のみ含ませる意図 ( ) B ( ( z) ) ( r ), = z,,0,0, z, = z expi K z + + i ( z) e expi ( K z) = B B ( z) = B( z) e i ( z) 43-

12 第二高調波の波動方程式 () 重要 : 分極振動とは振動電場 に誘われて伸縮する電気双極子の集団運動 ばね振動の非線形性から 二倍分極振動 が働く状況下で第二高調波が発生する 誘電分極 : 二次非線形電気感受率 添字 :() ( 実数扱い ) ( ) P z, = :, z, z, expi 0 ばね振動の線形性から 第二高調波 が働く状況下で線形分極振動も誘起される 誘電分極 : 線形電気感受率 添字 :() P z, = z, expi 0 第二高調波に対して非共鳴とし 第二高調波に対する線形電気感受率を実数扱いします 第二高調波 : 波動方程式 ( z, ) ( z, ) ( z, ) P = 0 z c0 () () ( z, ) = ( ) ( z, ) + ( :, ) ( z, ) ( z, ) P 0 第二高調波の誘電分極線形分極振動 ( 線形電気感受率 : 実数 ) 二倍分極振動 ( 非線形電気感受率 : 実数 ) 43-

13 第二高調波の波動方程式 () 第二高調波 : 波動方程式 ( z, ) ( z, ) ( z, ) P 00 = 0 P z () () ( z, ) = ( ) ( z, ) + ( :, ) ( z, ) 0 書換 : 上式右辺第一項を左辺に移動 (, ) (, ) = ( :, ) z c c0 (, ) z, () z, () z, 0 + ( ) 0 = 0 0 ( :, ) z z z z 第二高調波 : 媒質中の光速 第二高調波 : 媒質中の屈折率 c = = n = + ~ + ( ) () () 0 + ( ) n 0 00 () 43-3 ( )

14 第二高調波の波動方程式 (3) 第二高調波 : 波動方程式 () = ( :, ) z c c0 z, z, z, 代入 ( z, ) = ( z) expi ( Kz) ( z, ) ( z) e i = B expi ( K z) 増大する第二高調波を記述する場合 : 導出例 (43-6) 位相整合条件 赤色 : 両辺とも実数 i K K B B z B z z B = i e e = z n ( z) = 0, = z n z B i () () i K K z K = K ( z) ( z) = 0 = i B ( ) z = z e z, = z e expi K z B B ( z, ) = ( z) cos K z = ( z) sin ( K z) 43-4

15 第二高調波の波動方程式 (4) 位相整合 : 第二高調波発生 ( :, ) K = K B K 0 z n = 媒質中での屈折率 n ( ) () = + ( ) ~ + 位相整合が成立する場合 第二高調波が発生 第二高調波の位相 K = K ( z) = 0, = 種光としての第二高調波は不要であり 基本波を入射するだけで第二高調波が発生 種光不要と言うことは 自然放出光 が種となる光増幅とはイメージが異なるから 第二高調波増幅とはあまり言わない 位相整合が不成立の場合 第二高調波発生なし 単なる透明媒質 整理しましょう! 媒質は基本波と第二高調波に対して非共鳴 透明である 線形電気感受率は実部のみ 線形電気感受率 ) ( ), ( ) () ( は基本波 第二高調波の屈折率を与える 非共鳴のため線形電気感受率の虚部は零 媒質による損失 ( 吸収 ) はない 非線形電気感受率 ( :, ) () ( 実数扱い ) は 第二高調波発生 に寄与する 周波数 ( 波長 ) 変換を伴うエネルギーの移動は非線形電気感受率が担う 43-5

16 導出例 () 注意 : 偏微分の計算 i (, ) = B e exp ( ) ( z, ) ( z, ) z z i K z ~ i ik B ( z) e z c z 参照 :43-9 ( z, ) = ( z) expi ( Kz) P ( z ) = ( :, ) 0 c0 () ( z) expi ( Kz) 0 0 ( z ),, = c () = ( z) expi ( Kz) = c ( z) c 0 ( ) e i K z 43-6

17 導出例 () 導出例 : 続き () = ( :, ) z c c0 z c0 ( ) z, z, z, () i ik B ( z) e = ( z) e B B () () ( z) i ( ) i ( ) z ( z) z i K K z i K K z i n 0 c0 c0 = e e = e e ik c = ie i n c () 0 e i( K K ) z i K z () () i i( K K ) z i K i( K K ) z i cn n = ie e = e e 43-7

18 二倍分極振動 : ブランコ () 第二高調波発生詳細 : 次頁 光増幅 : ブランコの勢い減少 電気双極子から光波側にエネルギーが移動 子供が乗っているブランコを親が止めるようなもの 高調波 : 振動電場 高調波 : 振動電場 = sin x = cos = cos ( ) x = sin 緑矢印電場 青矢印電子が受ける力 緑矢印電場 青矢印電子が受ける力 43-8

19 二倍分極振動 : ブランコ () 分極振動 :43- x x x ( e m) ( ) ( ) ( ) = 0 = ( e m) + i ( a ) x ( ) ( a ) ( e m) + i + i + i = exp i z, = cos = = ( a ) ( e m) = = 0 0 a0 ( ) a expi x ( ) a cos x z= 0 ( z, ) = B( z) sin ( K z) sin expi ( ) cos あまり深入りしませんが 線形 非線形電気感受率の定性的な説明であれば ばね振動 で十分対応できると思う 非線形ばね定数 a が正であれば辻褄が合います 実は定数 a が負でも辻褄は合います 但し ばね定数の符号が反転するため 非線形電気感受率の符号も反転 ばね定数の符号が反転しても増幅するシナリオとなるように θ 値を修正します ( 参照 43-4) 43-9

20 位相整合 第二高調波発生のための位相整合条件 基本波と第二高調波の光速が一致することのように思いますが 本質は 第二高調波と二倍分極振動波の速度一致にあります 二倍分極振動波の速度は基本波の光速で決まる 第二高調波の速度はもちろん第二高調波の光速で決まる x ( ) ( a ) ( e m) + i + i = ( z ) = ( z) i( K z) ( a ) ( e m), exp 0 = = ( ) ( ) expi K z x ( ) a expi ( K z) x ( ) a cos( K z) i ( z, ) = B( z) e expi( K z), B sin i = B ( z) = B( z) e ( z), z = 0, = ( z ) ( z) ( K z) 参照 43-8: いつでもどこでも光増幅の位相関係が成立 二倍分極振動第二高調波 位相整合条件と第二高調波発生 K = K = = ( z) 0, が成立するときを満足する第二高調波に限って発生 ( 成長 ) 上記位相関係を持つ第二高調波はブランコによる光増幅が要求する位相関係を いつでもどこでも 満足している 上記以外の位相関係を持つ場合 いつでもどこでも とはならない つまり 第二高調波は成長しない 43-0

21 結合波動方程式へ 第二高調波 : 波動方程式 非線形 : 基本波による二倍分極振動 z, z, z, () = ( :, ) expi z c c0 基本波 : 波動方程式 屈折率 : 第二高調波 非線形 : 基本波と第二高調波による一倍分極振動 * z, z, z, z, () = ( :, ) expi z c c0 ( :, ) = ( :, ) () () 屈折率 : 基本波 説明省略 : 係数 あまり深入りしませんが 線形電気感受率は周波数 ( 波長 ) 変換を伴うエネルギーの移動を説明できません ( 非共鳴の場合 屈折率に影響 ) 非線形電気感受率が基本波から第二高調波へのエネルギー移動を記述します 第二高調波発生に 種光となる第二高調波 は不要です 初期状態で基本波のみが存在する場合 基本波から第二高調波へのエネルギー移動 ( 一方通行 ) が起こる 下段の式から基本波から第二高調波へのエネルギー移動による基本波の減衰が説明できるが 高強度基本波の場合 無視できる 逆過程 : 仮に初期状態で第二高調波のみが存在する場合 第二高調波から基本波へのエネルギー移動は起きない 詳細省略 : 逆過程は縮退パラメトリック増幅 種光 ( 基本波 ) が必要 結合方程式 : 末松 伊賀 長嶋 ( 共訳 ) 量子エレクトロニクス p.33 丸善 43-

22 補足 : 非線形電気感受率 ( 複素数 ) 第二高調波 : 波動方程式 複素数 : 非線形電気感受率 = ( :, ) z c c0 z, z, z, 増大する第二高調波 : 位相整合 () i i = e i( ) B z K K = ie z n n i ( ) B ( z) B () ie i K i e = e = = = z n B i ( z) ( z) i = 0 = ( z ) = B( z) K z + = B( z) B ( K z) z = z e z, = z e expi, cos sin ( Kz + ) () 増大する第二高調波 : 非線形電気感受率は複素数でよろしい! 43-