Chap2 - PDF 無料ダウンロード

逆三角関数の微分 Arcsin の導関数を計算する Arcsin I. 初等関数の微積分 sin [, ], [π/, π/] cos sin / (Arcsin ) 計算力の体力をつけよう π/ π/ E. II- 次の関数の導関数を計算せよ () Arccos () Arctan E. I- の解答不定積分あれこれ () Arccos n log C C (n ) n e e C log (log ) C sin cos C cos sin C Arctan C Arcsin C [, ], [0, π] cos sin cos (Arccos ) / R, (π/, π/) () Arctan sec tan (Arctan ) / tan E. I- の解答 cosh sinh に注意する () sinh とおくと cosh cosh C sinh Arcsinh C log ( ) C C 積分定数 [, ), [0, ) () cosh とおくと sinh (sinh 0) sinh C cosh Arccosh C log ( ) C C 積分定数 n C 積分定数 E. II- 置換積分を用いて次の不定積分を計算せよ () ( cosh ) ( sinh ) () 分数関数の不定積分分数関数 R() P () P (), Q() は多項式 Q() の不定積分を求める必ず初等関数の組み合わせで書ける注分母 Q() の最高次の係数はとしてよい Q() an n an n a a0 (an 0) P () と Q() を an で割っておけばよい以下 Q() n an n a a0 とする

第１ステップ計算の手順３つのステップで計算する deg P deg Q のとき第１ステップ deg P < deg Q の場合への帰着 deg P とは P () の次数のこと P () S()Q() W () R() W () の不定積分を計算すればよい Q() 部分分数の積分の計算第２ステップに行く前に... ２次方程式 P () 0 の解実係数の多項式 P () に対し方程式 P () 0 の解の複素平面上での分布を調べよう最高次の係数はとしてよい１次方程式 P () のグラフ P () a 実数解 a a 次方程式 P () 0 の解奇数次の方程式なら必ず重 a 少なくとも一つの実数解 ξ を持っている P () ( ξ) ( の２次式 ) P () ( )( ) 複素平面に解をプロットしてみると P () 0 の解のプロット P () ( ) P () ( ) i 重 i 代数学の基本定理複素係数の多項式 P (z) z n cn z n c z c0 を考える方程式 P (z) 0 は C の中にちょうど n 個の解を持つただし重根はその重複度だけ個数にカウントする複素数ってすばらしい予想 n 次方程式の解は重複度までこめて数えるとちょうど n 個あってそれらは実数であるか共役複素数のペアであるかのいずれかである定理 P () のグラフ P () W () S() Q() Q() S() は多項式なので不定積分は簡単に求まる第３ステップ重 deg W < deg Q S() 商 W () 余り第２ステップ Q() の因数分解と R() の部分分数展開割り算を実行 Johann Carl Friedrich Gass (777-8) 0 0 0 0 代数的閉体 / ± ±i /N /Z /Q /R

命題実係数の多項式 P () n an n a a0 に対し方程式 P () 0 が複素数解 ζ を持つときその共役複素数 ζ も方程式 P () 0 の解である P roof 第２ステップ実係数多項式の場合 0 P (ζ) ζ n an ζ n a ζ a0 両辺の共役をとって 0 ζ n an ζ n a ζ a0 ζ n an ζ n a ζ a 0 ζ n a n ζ n a ζ a 0 ζ n an ζ n a ζ a0 P (ζ ) ζ は P () 0 の解である Q() ( ξ )m ( ξ )m ( ξ )m Π ( ξj )mj j 命題 P () が deg P < deg Q を満たす多項式とすると C C C 4 6 ( ) ( ) ( ) を満たす定数 Cj が存在する一般の場合 Q() 0 8 4C 48 6C 6 C C C C, C, C 4 6 ( ) ( ) ( ) E. II- を前ページの形に展開してみよ E. II-4 以下の関数の部分分数展開を求めよ () 7 6 s (( j ) j )n Π ( ξj )m jπ j j j ξj (j,,, ) 相異なる実数 j ij (j,,, s) 相異なる複素数 mj (j,,, ), nj (j,,, s) 自然数両辺に ( ) ( ) をかけると 4 6 C ( )( ) C ( ) C ( ) これは恒等式であるので適当なの値を代入してみる mj P () Cj Q() j ( j ) 係数を決める例 ξ, ξ,, ξ 相異なる実数 m, m,, m 自然数命題 P () が deg P < deg Q を満たす多項式とすると mj s nj P () Cj Aj Bj Q() j ( ξj ) (( j ) j ) j を満たす定数 Aj, Bj, Cj が存在する E. I- の解答 ( )( ) ( )(( ) ) C C C ( ) 分母をはらうと C (( ) ) (C C )( ) C 0 C C () ( ) () 0 ( )( 4 ) ( ) C (C C ) C, C, C 検算もしておくこと

E. I-4 の解答 E. I-4 の解答 () 7 6 ( ) ( ) なので与式 () C C C ( ) ( ) ( ) C C C ( ) ( ) 分母をはらうと分母をはらうと C (( ) ) (C C ) C ( )( ) C ( ) C ( ) 0 C C (C C ) C 0 C C C C C, C, C C 9, C, C 0 0 9 与式 ( ) ( ) ( ) 第３ステップ E. I-4 の解答 C 0 C C ( )( 4 ) ( ) () 分母をはらうと 0 C (( ) ) (C C )( ) 0 0C 0 0 C C 0 C (C C ) C, C, C 9 I ( ) (# ) [( ) ] [( ) ] log [( ) ] () 4 4 & % # I (# > ) (# )(( ) ) # 上の式が成立することを確かめよ ( > ) E. II-7 以下の関数の不定積分を求めよとおくと [( ) ] E. I-6 ( )( ξ) ( ξ) log ξ 上の式が成立することを確かめよ第３ステップ Arctan E. I- 0 9 ( )( 4 ) ( ) I C C C (# ) 4 () 4 7 4 () ( ) (4) ( )( 4) (# > ) (# )

E. II-7 の解答 () E. II-7 の解答 4 4 4 ( )( ) 4 4 4 (log log ) C 4 4 () log ( )( ) C 4 8 8 4 7 4 ( ) ( 4) 6 4 ( ) 9, 4 7 4 9 6 log 4 log C ( ) tan log C log( ) C log ) 0 0 ( ( )( 4) 4 # Arctan() Arctan( ) C ( )( 4) P (cos θ, sin θ) A 円の方程式と連立させて解くと θ 直線 AP の方程式は ( ) P (cos θ, sin θ) O E. II-8 の解答 θ/ ( (4) 役に立つ変数変換 ) () θ θ θ/ O ( ) ( ) ( ) 0 ( )(( ) ( )) 0 E. II-8 点 P の座標をで表すことにより cos θ, sin θ をの式で書け cos θ 三角関数の分数式例 cos, () sin cos sin cos sin sin θ cos sin tan θ C : 積分定数 dt log t C t とおくと sin tan d sec d d d sin d C C ( ) tan () tan E. II-9 以下の関数の不定積分を求めよ cos () () tan sin log sin C log ( sin ) C P (cos, sin ) : 三角関数の分数式 Q(cos, sin ) cos sin, E. II-9 の解答 P (s, t), Q(s, t) : s, t の多項式 R()

R() P (cos, sin ) Q(cos, sin ) cos sin,, ( P, R() ( Q, ) ) tan d d E. II-0 sin sin cos E. II-0 F () F () sin sin cos ( )( ) F () d tan d d d ( )( ) d F () log log ( ) Arctan log tan ( log tan ) ( Arctan tan ) log sin cos log tan cos log ( log sin cos ) log ( sin ) log C C { log C ( > 0) log () C ( < 0)... { log C ( > 0) log () C ( < 0) log log E K S S E E E E K log S S 0 S 0 S S S A440 f 440 Hz 0 0 440 880 760 log