7 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面上の点 O(, ), A ( a, a ), B( b, b ), C( b, b) を考える さらに,, に対し, D( acos asi, asi + acos ), E( bcos bsi, bsi + bcos ) とおく () OA = OD を示せ () OA OC = かつ OA OB = OD OE ¹ であるとする = であるとき, 7 を求めよ () OAB の外接円の半径を r とし, ODE の外接円の半径を r とする また, OAB の面積を S とする AB:DE= :であるとき, ODE の面積を, S, r, r で表せ なお, 点 O, A, B は同一直線上にないものとし, 点 O, D, E も同一直線上にないものとする
7 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 半径が の円に正方形 ABCD が内接している 辺 AB 上の C B 異なる 点 E, F と, 短い方の弧 AB 上の異なる 点 G, H を, 四角形 EFGH が長方形となるようにとる () 長方形 EFGH が正方形のとき, その 辺の長さを求めよ E F H G () 長方形 EFGH の面積が最大になるときの辺 FG の長さを求めよ D A
7 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ f ( x) = xe x とする a > に対し, 曲線 y = f ( x ) と直線 x = aおよび x 軸で囲まれた領域の面積を S( a) とするとき, 次の問いに答えよ () 関数 y = f ( x ) が最大値をとる x の値 p を求めよ () 極限 k= lim S( a) の値を求めよ a () () で求めた p に対し, b> pが成り立つとする 点 ( b, f ( b)) における曲線 y = f ( x ) の接線と, 直線 x = bおよび x 軸で囲まれた領域の面積を T( b) とする () で求めた k に対し, S( b) + T( b) = kとなるように, b の値を定めよ
7 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ t において, 媒介変数 t で表された曲線 x = cost+ cost, y = sit sit y を C とする () C の長さを求めよ () C で囲まれた領域の面積を求めよ O x
7 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 5 解答解説のページへ 数列 { a } を条件 a =, a =, a + = 5a + 6a ( =,, ) によって定 める このとき, 以下の問いに答えよ a pa = q( a pa ) がすべての に対して成り立つような p, q を求め () + + + よ () 数列 { a } の一般項を求めよ () r を正の実数とし, 数列 { b } を条件 b このとき, 極限 lim b を求めよ = r, a b + b = a r a によって定める + 5
7 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 点 O(, ), A ( a, a ), D( acos asi, asi + acos ) に対し, OD = ( a cos a si ) + ( a si + a cos ) a a aa a = OA = ( + )( cos + si ) + ( cos si + si cos ) = a + よって, OA = OD である () B( b, b ), C( b, b), E( bcos bsi, bsi + bcos ) に対し, OA OC = ab ab = また, OA OB = OD OE ¹ から, OA OB = ab + ab ¹ OD OE = ab ( coscos + sisi ) ab ( cossi sicos ) ab ( sicos cossi ) + ab ( sisi + coscos ) = ( ab + ab )cos( ) + ( ab ab)si( ) すると, ab + ab = ( ab + ab )cos( ) + ( ab ab )si( ) より, ( ab + ab ){cos( ) } + ( ab ab)si( ) = より, ( ab + ab ){cos( ) } = となり, ab + ab ¹ から, cos( ) =, cos( ) = ここで, =, から, 6 となり, より, 7 7 7 =, = + = + = 7 () OAB, ODE の外接円の半径をそれぞれ r, r とし, さらに AOB =, DOE = とおくと, 正弦定理より, AB r si =, DE = si r 条件より AB:DE= :なので DE = AB となり, rsi = rsi さて, OAB, ODE の面積をそれぞれ S, T とおくと, S = OA OBsi, T = OD OEsi 5 ここで, () より OA = OD となり, 同様にして OB = OEとなるので, 5から, si T = S si = r r S r = S r [ 解説 ] 点と座標に関する総合問題です なお, 点 D は点 A を原点まわりに, 点 E は点 B を原点まわりに だけ回転した点として設定されています 電送数学舎 7
7 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 半径 の円の中心を O, 正方形の辺 AB の中点を M とおき, C B FM = EM = x とする M E ここで, 長方形 EFGH が正方形のとき, FG = x となるの O H で, OG = すなわち (OM+ FG) + FM = ( ) から, F G (+ x) + x =, 5x + x = D A すると, (5x )( x+ ) = から x = となるので, 正方形 EFGH の 辺の長さ 5 は, x = である 5 () () と同様に設定して, FG = y とおくと, OG = から, ( + y) + x =, x = ( + y) = y y さて, 長方形 EFGH の面積を S とおくと S = xyとなり, より, S = x y = y ( yy ) = ( y + y y ) ここで, から, ( + y ) > なので, < y < そして, f ( y ) = ( y + y y ) とおくと, = + f ( y ) (y 6y y) = 8 y(y + y ) + 7 y すると, f ( y ) の増減は右表のよ f ( y ) + うになり, y = + 7 のとき最 f ( y ) 大値をとる すなわち, FG = + 7 のとき長方形 EFGH の面積は最大になる [ 解説 ] 図形量の最大 最小問題です なお, 座標系を設定する方法もあります 電送数学舎 7
7 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ のようになり, f ( x ) は x = すなわち, p = である () 曲線 y = f ( x ) と直線 x a () f ( x) = xe x に対して, x のとき f ( x ), x < のとき f ( x ) < であるので, f ( x ) が最大値をとる x は x となり, ( ) x x f x = e + xe ( x) x = ( x ) e x f ( x ) これより, x における f ( x ) の増減は右表 + f ( x ) a x S( a) = xe dx で最大値をとる = および x 軸で囲まれた領域の面積 S( a) は, = é ê ë e x よって, k= lim S( a) = である a () b > のとき, () から, ù ú û a S( b) = e b = また, 点 ( b, f ( b)) における接線の方程式は, b b y be = ( b ) e ( x b) x 軸との交点は y = とおくと, b b be = ( b ) e ( x b) よって, e a b= ( b )( xb) から x = b+ b b となる これより, 接線と直線 x = bおよび x 軸で囲まれた領域の面積 T( b) は, ( ) b b T b = ( b+ b ) be b b = e b b b b b e 条件より, S( b) + T( b) = なので, e + = となり, b b + =, b + = b すると, b > から, b = となる y O b x [ 解説 ] 微積分の基本問題です 計算量も少なめです 電送数学舎 7
7 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 曲線 C の媒介変数表示は, t において, y x = cost+ cost, y = sit sit ここで, 倍角の公式を適用すると, x = cos t, dx y = si t dy dt = cos tsit dt =, si tcost さて, 曲線 C は x 軸, y 軸について対称なので, C の長さを L とすると, é t ù ë û = L= cos tsi t+ si tcos tdt = 8 cos tsi t( cos t+ si t) dt = 8 costsitdt = 8 ê si ú () C で囲まれた領域の面積を S とすると, 対称性から, S = ydx = si t( cos tsi t) dt = 9 si t(si t) dt t 6 = 9 ( si si t) dt ここで, を 以上の整数として, + = si si é ê = ( si )si I = si tdtとおくと, I = で, I t tdt cos si = t tù ë úû + costsi tcostdt + t tdt = (si tsi t) dt = ( I I ) + すると, ( + ) I + = I から, I + = Iとなり, + S = 9( I I6) = 9( 5 ) = 9 = 6 6 6 O x [ 解説 ] 問題文の図から, 曲線がアステロイドと予測できますので, まず 倍角の公式を用いて変形しています ただ, () ではこの変形をしない方がよかったかもしれません 電送数学舎 7
7 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 5 問題のページへ () a =, a =, a = 5a 6a ( =,, ) に対し, を変形し, + + a pa = q( a pa ), a = ( p+ q) a pqa + + + + + すべての に対して, が一致することから, p+ q= 5, pq = 6 すると, p, q は 次方程式 x 5x+ 6= の つの解となり, x =, から, ( p, q ) = (, ), (, ) () ( p, q ) = (, ) のとき, から a+ a+ = ( a+ a) となり, a a ( a a) + = = 5 また, ( p, q ) = (, ) のとき, から a+ a+ = ( a+ a) となり, a a ( a a) + = = 6 より, a = 5 6 () r > として, b + a b = r = r, r a b = a 5 + a ここで, r = c とおくと, 5からb + = c b となるので, で, a + a a a a b = b c c c =r r r r = r a a a a r = = r = r r 5 6 ( ) { 5 6( ) } 56( ) (i) < r < ( r ) (ii) r = ( ) (iii) r > ( ) < < のとき のとき ( ) r = のとき のとき ( ) r > のとき のとき ( ) r より, lim b = r より, lim b = r 5 = 5 r より, lim b = [ 解説 ] 漸化式と極限の典型題です () の b = b c c c ( ) については ピンポイントレクチャー を参照してください 5 電送数学舎 7