Math-quarium 練習問題 + 図形の性質線分はの二等分線であるから :=:=:=: よって = = = 線分はの外角の二等分線であるから :=:=:=: よって :=: したがって == 以上から =+=+= 右の図において, 点はの外心である α,βを求めよ α β 70

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こうきたかはし
5 years ago
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1 Math-quarium 練習問題 + 図形の性質図形の性質線分に対して, 次の点を図示せよ () : に内分する点 () : に外分する点 Q () 7: に外分する点 R () 中点 M () M () Q () () R 右の図において, 線分の長さを求めよただし,R//Q,R//,Q=,=6 とする Q R 6 Q から,:=:6=: より :=: これから,R:=: より :6=: よって = =,=,= であるにおいて, の二等分線と辺との交点をとし, の外角の二等分線と辺の延長との交点をとする線分の長さを求めよ

2 Math-quarium 練習問題 + 図形の性質線分はの二等分線であるから :=:=:=: よって = = = 線分はの外角の二等分線であるから :=:=:=: よって :=: したがって == 以上から =+=+= 右の図において, 点はの外心である α,βを求めよ α β 70 0 右の図のように, 点, を結ぶ = より = - =70-0 =0 70 = より α=0 =, =80 より β+β=80 α β 0 よって β=0 β の別解円周角の定理により = = 70 =0 =, + + =80 より β+β+0 =80 よって β=0

3 Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 () 右の図において, 点 I はの内心である αを求めよ 0 I () =,=,= である α において, 内心を I, 直線 I と辺との交点をとするとき,I:I を求めよ I () I= I=, I= I=y とおく + + =80 より 0 ++y=80 0 +(+y)=80 よって +y=70 I において I+ I+ I=80 α++y=80 したがって α=0 () 直線 I はの二等分線であるから :=:=: よって = = = また, 直線 I はの二等分線であるから I:I=:=: =9: 9 I α 0 y y I 6 右の図において, 点 G はの重心, =90 である線分の長さを求めよ G

4 Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 = より =,=8 において, 三平方の定理により = -8 = 0 また, において, 三平方の定理により = ( 0) + = G:G=: より G= よって = = 7 右の図において, 線分の長さを求めよ 6 R Q 7 メネラウスの定理によりよって = = 8 右の図において, 線分の長さを求めよ R Q 6 チェバの定理によりよって =9 6 =

5 Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 9 () 右の図において,,y を求めよただし, 点は円の中心, = とする y () 右の図において, 点,,, は同一円周上にあるといえるか 60 () 同じ弧に対する円周角の大きさは等しいから = つの弧に対する中心角の大きさは, その弧に対する円周角の倍であるから y= ( + )=0 () の内角と外角の関係より, =60 - = であるから = よって, 円周角の定理の逆により, 点,,, は同一円周上にある 0 右の図において, を求めよ 6 = =90 であるから, において =80 より = 右の四角形は, 円に内接するか 0 80

6 Math-quarium 練習問題 + 図形の性質の内角と外角の関係から =0-0 =80 よって, つの外角が, それと隣り合う内角の対角に等しいから, 四角形は円に内接する右の図において, 円は =90 の直角三角形の内接円, 点は辺と円との接点である =,= のとき, 辺, の長さを求めよ円と辺, の接点をそれぞれ Q,R とすると =R= =Q= ここで,Q=R= とおくにおいて, 三平方の定理により (+) + =(+) -=-0 =0 したがって =,= +++= +6+9 R Q 右の図において, 直線 T は円の点における接線であり,= であるを求めよ 6 T 点, を結ぶこのとき, 円の接線と弦の作る角の定理により =6 また,= であるから =6 よって, において + + =80 すなわち =80 したがって =0 6 T 6

7 Math-quarium 練習問題 + 図形の性質次の図において, の値を求めよただし,() の直線 T は接点を T とする円の接線である () () () T () = から 9 8= 6 よって = () = から (+)= (+) よって +-=0 (-)(+6)=0 >0 より = () =T から (+)= よって =6 右の図において, 直線はつの円,' の共通接線で, 点, が接点である 7 ' 線分の長さを求めよ点から線分 ' に垂線 H を引く,' であるから, 四角形 H は長方形であるよって =H,=H また ' H=' -H=-= 直角三角形 ' H において, 三平方の定理により 7 H ' H= - H したがって =H= = 7 - = 6 () と辺上の点が与えられている点を通り, の面積を等分する直線を作図せよ () 右の図のような四角形がある頂点を通り, 四角形の面積を等分する直線を作図せよ 7

8 Math-quarium 練習問題 + 図形の性質作図 () 辺の中点 M をとる点 M を通り, 直線に平行な直線と, 辺との交点を Q とする点と点 Q を結んだ直線 Q が求める Q M 直線である () 頂点を通り, 直線に平行な直線と直線の交点をとする線分の中点を M とする頂点と点 M を結んだ直線 M が求める直線である M 7 長さの線分が与えられているとき, 長さの線分を作図せよ作図同一直線上に =,= となるような点,, を, この順にとる線分の中点を M とし,M を中心とする半径 M の円をかく点を通り, 直線に垂直な直線と,でかいた円との交点を,' と M するこのとき, = ', =' より, 線分および ' の長さがである ' 別解 ==, =90 の直角二等辺三角形をかく半直線上に,= となる点をとる =, =90 の直角三角形をかくこのとき,= より, 線分の長さがである 8

9 Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 8 右の図のような辺がである正八面体 F において, 直線と F のなす角を求めよ F //F より, 直線と F のなす角は, 直線とのなす角と同じであるよって 60 9 右の図のような, 辺が長さがの正四角錐 - において, 直線と平面のなす角をθとするとき, cosθの値を求めよ直線は平面と点で交わる対角線との交点をとすると, よって, 点から平面に引いた垂線はであるから θ= ここで =,= = したがって cosθ= = 注意すなわち, = である 9

10 Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 0 辺の長さがの正四角錐 - において, 平面と平面のなす角を θ とするとき,cosθ の値を求めよ平面と平面の交線は直線である辺の中点を M とするは = の二等辺三角形と考えることができるよって M 辺の中点を N とすると MN したがって θ= MN M N ここで,M=N=,MN= であるから M +MN -N cosθ= M MN = + - = = 互いに垂直な線分,, があり,=,=, = である点から線分に垂線 H を引くとき, 次の問いに答えよ () 線分 H の長さを求めよ () 線分 H の長さを求めよ () の面積を求めよ H () の面積に着目すると = H =,=,= + = 0 であるからより = 0 H よって H= 0 0 = 0 H 0

11 Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 () H は H=90 の直角三角形であるから H= +H = 0 + = = () 平面,H であるから, 三垂線の定理により H したがって, の面積は H= 0 = 0 右の図のような多面体において, オイラーの多面体定理が成り立つことを確かめよ頂点の数 v は 8 個辺の数 e は本面の数 f は 6 個であるから v-e+f=8-+6= よって, オイラーの多面体定理は成り立つ研究次の問いに答えよ () =90 である直角三角形において, 辺上の点をとするとき, > であることを証明せよ () 辺の長さが次のような三角形は存在するかどうかを調べよ,,7,, () において, =90 であるから < はの外角であるから = + よって >,から > したがって, 三角形の辺と角の大小関係により > 小大中 () +>7,+7>,7+> であるから, 辺の長さが,,7 の三角形は存在する =+ であるから, 辺の長さが,, の三角形は存在しない

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< D8C6082CC90AB8EBF816989A B A> 数 Ⅰ 図形の性質 ( 黄色チャート ) () () () 点は辺を : に外分するから :=: :=: であるから :=: == () 点は辺を : に内分するから :=:=: = + %= また, 点は辺を : に外分するから :=:=: == =+=+= 直線はの二等分線であるから :=: 直線はの二等分線であるから :=: 一方, であるから, から, から :=: :=:

Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 線分 は の二等分線であるから :=:=:=: よって = = = 線分 は の外角の二等分線であるから :=:=:=: よって :=: したがって == 以上から =+=+= 右の図において, 点 は の外心である α,βを求めよ α β 70

Math-quarium 練習問題 + 図形の性質線分はの二等分線であるから :=:=:=: よって = = = 線分はの外角の二等分線であるから :=:=:=: よって :=: したがって == 以上から =+=+= 右の図において, 点はの外心である α,βを求めよ α β 70