http://chtgkato3.med.hokudai.ac.jp/kougi/me_practice/ EXCEL で リサージュ 曲 線 のシミュレーションを 行 う Excel を 開 いて Aカラムのセル1 に (A1に) tと 入 力. (Aカラム( 列 )に 時 間 ( 秒 )を 入 れる) ツールバーの 中 央 揃 えボタンを 押 すと 文 字 がセルの 中 央 に 配 置 される. Aカラムのセル2,3,4に (A2 A3 A4 に) 0 0.001 0.002 を 入 力 する. エクセル ワークシート の 縦 の 並 びを 列 ( カラム Column )という. 横 の 並 びを 行 ( ロウ Row )という.
0を 入 れたセル A2 にマウスポインタ を 置 いて 左 クリックしたまま 0.002 を 入 れた セルまでドラッグする. 3 個 のセルが 選 択 された 枠 が 出 る. 枠 の 右 下 にマウスポインタを 置 くと カーソルの 印 が 黒 い 十 字 に 変 わる. 黒 い 十 字 印 にマウスポインタ 置 いて 左 クリックしたまま セル22まで ドラッグして 左 クリックを 離 す.
セル A2 からA22 まで 0 から 0.02 までの 数 字 が 自 動 的 に 入 力 される. (これは 時 間 ( 秒 )を 示 す 数 字 ) 桁 が 不 揃 いなので ツールバーの 桁 揃 えボタンを 押 して 桁 を 揃 える その 際 セル2から22まで 選 択 枠 が 表 示 されている 状 態 で あること( 空 色 で 表 示 )が 必 要 です. Excel 2007 では 空 色 で 表 示 した 選 択 枠 内 にカーソルを 置 いて 右 クリッ クすると 桁 揃 えアイコンが 出 る
カラムB C C の セル1に X Yを X 入 力. カラムBのセル1にマウスポインタを 置 いて 左 クリックしたまま カラムCのセル1まで ドラッグして 左 クリックを 離 す. カラムB Cのセル1が 選 択 された 枠 が 出 る. ツールバーの 中 央 揃 えボタンを 押 して X Yの 文 字 をセルの 中 央 に 揃 える.
カラムBのセル2を 左 クリックして カラムBのセル2に 選 択 枠 を 表 示 させる. ツールバーの fx 枠 ( 関 数 入 力 枠 ) の 空 欄 内 を 左 クリックする. 縦 線 のカーソルが 関 数 入 力 枠 で 点 滅 する. 関 数 入 力 枠 に = ( 半 角 等 号 ) を 入 力 する. 等 号 の 記 述 は セルの 中 に 関 数 数 式 を 入 力 する 準 備 ができたことを 示 す.
関 数 入 力 枠 の = の 右 側 に 関 数 を 書 く. sin(2*3.14*50* と 入 力 する. (* は エクセル VBA で 掛 算 を 表 す) 次 にカラムAのセル2を 左 クリックする. 関 数 入 力 枠 に A2 が 自 動 入 力 される. 再 び 関 数 入 力 枠 の A2 の 右 側 を 左 クリックして 閉 じカッコ ) を 入 力. 最 後 に キーボード 上 の Enter キー を 押 して 関 数 入 力 の 終 了.
キーボード 上 の Enter キーを 押 すと 関 数 入 力 枠 の 記 述 が 消 えるが (これは セル B3 の 内 容 を 示 しているため) 数 字 0 が 表 示 されているセル B2 を 左 クリックすると (セルクすると B2 を 選 択 すると) 関 数 表 示 枠 にセルB2に 記 述 した 式 が 現 れる. セル B2 が 選 択 された 状 態 で (セル B2 に 枠 が 表 示 された 状 態 で) 枠 の 右 下 にマウスポインタを 置 くと ポインタの 印 が 黒 い 十 字 に 変 化 する.
セルB2 枠 の 右 下 の 黒 い 十 字 印 を 左 クリックしたまま セル B22 までドラッグして 左 クリックを 離 すと セル B2 から B22 まで 数 字 が 自 動 的 に 記 述 される. 桁 が 不 揃 いなので ツールバーの 桁 揃 えボタンで 桁 を 揃 える.
セル B3 を 左 クリックすると 関 数 表 示 枠 は 以 下 の 式 が 入 っている. = SIN ( 2 * 3.14 * 50 * A3 ) セル B4 を 左 クリックすると 関 数 表 示 枠 は 以 下 の 式 が 入 っている. = SIN ( 2 * 3.14 * 50 * A4 ) カラムBの セルB3 ~B22 の 式 の 中 の カラムA の 値 が 対 応 する 行 の 値 A3 ~ A22 に 自 動 的 に 書 き 換 えられていることを 確 認 して 下 さい.
カラムBの 数 字 をグラフに 表 示 して 確 かめる. カラムAの Aと 表 示 したセルを 左 クリックする. カラムA 全 体 に 選 択 枠 が 表 示 される. 次 に キーボード 上 のコントロールキー(Ctrl) (キーボードの 左 下 または 右 下 にある)を 押 したまま カラムBの Bと 表 示 したセルを 左 クリックする. カラムB 全 体 にも 選 択 枠 が 表 示 される. これで カラムAと カラムB が 選 択 された 状 態 になる ( 空 色 で 表 示 される).
ツールバーのグラフウィザードボタンを 押 す. グラフィウィザードのダイアログが 現 れる. 散 布 図 曲 線 表 示 を 左 クリックして 選 択 し 次 へ ボタンを 左 クリックする. Excel 2007 では 挿 入 タグを 開 くと 散 布 図 のアイコンがでる
グラフィウィザードのダイアログの 完 了 ボタンを 左 クリックする. エクセルシート 上 に 横 軸 が t(カラムa) 縦 軸 が X (カラムB) の グラフが 表 示 される. X = sin ( 2 πf t ) f = 50 (Hz) t が 0 から 0.02 秒 までの グラフ. 1 周 期 が 1/ f =1/50 = 0.02 秒 になっていることを 理 解 して 下 さい.
周 波 数 f (Hz) (Hz = 1/sec) 角 速 度 ω (rad/sec) 周 期 T (sec)の 関 係 は 一 見 ややこしいが 各 々の 単 位 をよく 見 て 整 頓 して 理 解 すれば 簡 単 です 交 流 波 形 1 個 を 円 運 動 の1 回 転 の 射 影 にして 考 える 1 秒 間 に f 個 の 波 があれば 1 秒 間 に f 回 転 の 円 運 動 1 回 転 の 角 度 は 360 度 (2πrad(ラジアン))なので 1 秒 間 の 回 転 角 度 ω (rad/sec) = 2π(rad) xf(1/sec) 周 波 数 f (1/sec)の 意 味 は 1 秒 間 に 存 在 する 波 の 数 周 期 T (sec)の 意 味 は 波 が 1 個 通 る 秒 数 1 秒 間 に 存 在 する 波 の 数 f x 波 が 1 個 通 る 秒 数 T = 1
とりあえず グラフを 消 去 する. (グラフ 枠 内 の 空 白 を 左 クリック して キーボードのDeleteキー を 押 す) カラムC にも 周 波 数 50Hz の 正 弦 波 を 入 力 する. セルC2 を 左 クリックして 選 択 し 関 数 入 力 枠 に =sin(2*3.14*50* を 入 力. セルA2 を 左 クリックして 関 数 にA2 を 自 動 入 力. 関 数 入 力 枠 に 閉 じカッコ ) を 入 力 して キーボードの Enter キーを 押 す.
セルC2 を 左 クリックして 選 択 枠 を 出 し 選 択 枠 の 右 下 にマウスポインタを 置 いて ポインタ 記 号 を 黒 い 十 字 印 にした 状 態 で 左 クリックを 押 しながら セルC22 まで ドラッグして 左 クリックボタンを 離 す. セル C2 からC22 に 正 弦 波 の 数 字 が 自 動 入 力 される. セル C2 からC22 まで 選 択 した 状 態 で ツールバーの 桁 揃 えボタンを 押 して カラムC の 数 字 の 桁 を 揃 える.
カラムB の 関 数 X を 編 集 する. ( 正 弦 波 の 位 相 を 90 進 める. ) セルB2 を 左 クリックして 選 択. 関 数 入 力 枠 の A2 と ) の 間 を 左 クリックして 縦 線 カーソルを 出 す. A2 の 右 に +90*3.14/180 と 入 力. 閉 じカッコ ) の 右 側 をクリックして Enterキーを 押 して 編 集 完 了. sin 関 数 の 変 数 は ラジアン 単 位 の 角 度 を 入 れる 必 要 があるので 90 に π/180 を 掛 ける. (1 度 (1 ) = π/ 180 ラジアン)
セルB2 を 左 クリックして 選 択 枠 を 出 し 枠 の 右 下 にマウスポインタを 置 いて ポインタの 印 を 黒 い 十 字 に 変 化 させる. 黒 い 十 字 印 を 左 クリックしたまま セル B22 までドラッグして 左 クリックを 離 す.
カラムB の 数 字 が 自 動 的 に 正 弦 波 の 位 相 を 90 進 めた 数 字 ( 余 弦 波 cos ) に 書 き 換 えられる.
カラムB C の 数 字 をグラフで 確 かめる. カラムAの Aと 表 示 したセルを 左 クリックする. カラムA 全 体 に 選 択 枠 が 表 示 される. 次 に キーボード 上 のコントロールキー(Ctrl) (キーボードの 左 下 または 右 下 にある)を 押 したまま カラムBの Bと 表 示 したセルと カラムCの Cと 表 示 したセルを 左 クリックする. カラムBとC 全 体 にも 選 択 枠 が 表 示 される. これで カラムAと カラムB と カラムC が 選 択 された 状 態 ( 空 色 で 表 示 ) になる.
カラムAと カラムB と カラムC が 選 択 された 状 態 で ツールバー の グラフウィザードボタン を 左 クリックする. グラフ ウィザード の ダイアログ が 表 れる. 散 布 図 曲 線 表 示 の 項 目 を 左 クリックして 選 択 して 次 へ ボタンを 左 クリックする.
グラフィック ウィザード の 完 了 ボタンを 左 クリックすると エクセル ワークシート 内 に 横 軸 が カラム A ( 時 間 t : 0 ~ 002 0.02 秒 ) 縦 軸 が カラム B ( X : 周 波 数 50 Hz の 余 弦 波 ) と カラム C ( Y : 周 波 数 50 Hz の 正 弦 波 ) が 描 画 される.
横 軸 に X 縦 軸 に Y のグラフ を 描 く. (リサージュ 曲 線 Lissajous' Curve) カラムB の Bと 記 述 されたセルを 左 クリックして カラムB 全 体 を 選 択. ( 空 色 に 表 示 される.) 次 に Ctrl キー を 押 しながら カラム C の Cと 記 述 されたセルを 左 クリックして カラムC 全 体 も 選 択. グラフィック ウィザード ボタンを 左 クリックする.
グラフ ウィザード の ダイアログ が 表 れる. 散 布 図 曲 線 表 示 の 項 目 を 左 クリックして 選 択 して 次 へ ボタンを 左 クリックする. グラフィック ウィザード の 完 了 ボタン を 左 クリックすると エクセル ワークシート 内 に 横 軸 が カラム B ( X : 周 波 数 50 Hz の 余 弦 波 ) 縦 軸 が カラム C ( Y : 周 波 数 50 Hz の 正 弦 波 ) の リサージュ 曲 線 が 描 画 される.
横 軸 X が 余 弦 波 X = cos ( 2πf t) = sin ( 2 π f t + 90 ) 縦 軸 Y が 正 弦 波 Y = sin ( 2πf t ) の リサージュ 曲 線 は 円 になる. { cos ( 2 π f t ) } 2 + { sin ( 2 π f t ) } 2 = 1 なので X 2 + Y 2 = 1 = 1 2 点 (X Y ) は 原 点 ( 0 0 ) から 常 に 距 離 1 の 位 置 に 存 在 するので 半 径 1 の 円 を 描 く. 横 軸 と 縦 軸 の 正 弦 波 の 振 幅 と 周 波 数 が 等 しい 場 合 は 位 相 が 90 ずれると ずれると リサージュ 曲 線 は 円 になる.
作 成 した ワークシート を 保 存 する. EXCEL ウィンドウ の 左 上 にある ファイル メニュー を 左 クリックする. メニューの 名 前 を 付 けて 保 存 を 選 択. ファイルの 種 類 は Microsoft Excel ブック (*. xls ) を 選 択 して 適 当 な 名 前 を 付 けて 保 存 して 下 さい. 編 集 後 は 適 宜 上 書 き 保 存 して 下 さい.
カラムB の 関 数 X を 編 集 する. ( 正 弦 波 の 位 相 を 45 進 める. ) セルB2 を 左 クリックして 選 択. 関 数 入 力 枠 を 左 クリックして 縦 線 カーソルを 出 し 編 集 する. A2 の 右 を +45*3.14/180 と 変 更. 閉 じカッコ ) の 右 側 をクリックして Enterキーを 押 して 編 集 完 了. セルB2 から B22 まで 黒 十 字 を ドラッグ. 円 を 示 していた リサージュ 曲 線 が 変 化 することを 確 認 して 下 さい.
カラムB の 正 弦 波 X の 位 相 角 (φ)を 45 刻 みで 変 化 させて リサージュ 曲 線 が 変 化 する 様 子 を 観 察 して 下 さい. リサージュ 曲 線 の 形 状 で2つの 交 流 信 号 の 位 相 ずれ が 測 定 できる ことを 理 解 して 下 さい. φ= 0 φ= 45 φ=90
位 相 角 (φ) が180 を 越 えると リサージュ 曲 線 が もとの 形 状 に 戻 っていく 様 子 を 観 察 してください. φ= 135 φ= 180 φ= 225
カラムB の 関 数 X を 編 集 する. ( 正 弦 波 の 位 相 差 を 0 にして 周 波 数 を 100 Hz にする. ) セルB2 を 左 クリックして 選 択. 関 数 入 力 枠 を 左 クリックして 縦 線 カーソルを 出 し 編 集 する. SIN ( 2*3.14*100*A2 ) と 変 更. セルB2 から B22 まで 黒 十 字 を ドラッグ. リサージュ 曲 線 が 変 化 することを 確 認 して 下 さい.
カラムB の 正 弦 波 X の 周 波 数 f を 50 Hz 刻 みで 変 化 させて リサージュ 曲 線 が 変 化 する 様 子 を 観 察 して 下 さい. リサージュ 曲 線 の 形 状 で 2つの 交 流 信 号 の 周 波 数 比 が 測 定 できる. f = 100 Hz f = 150 Hz f = 200 Hz
縦 軸 の 交 流 Y の 周 波 数 50 Hz に 対 する 横 軸 の 交 流 X の 周 波 数 の 倍 率 は 2 3 4 倍. 縦 方 向 に 点 (X Y) が 1 往 復 する 間 に 横 方 向 に 往 復 する 回 数 が 2 3 4 倍 に 増 加 していることを 理 解 して 下 さい.
横 軸 の 交 流 X の 周 波 数 が f = 150 Hz の リサージュ 曲 線 は 位 相 差 が 0 の 場 合 では X 方 向 に 3 往 復 していることが わかりにくいので X に 位 相 差 を 90 加 えると 理 解 しやすい.
カラムB の 関 数 X を 編 集 する. ( 正 弦 波 の 周 波 数 を 50Hz 位 相 差 を 90 にして にして 振 幅 を 2 にする. ) セルB2 の 式 を = 2*SIN ( 2*3.14*50*A2 + 90*3.14/180 ) と 変 更. セルB2 から B22 まで 黒 十 字 を ドラッグ. リサージュ 曲 線 が 変 化 することを 確 認 して 下 さい.
EXCEL の グラフ ウィザードは 自 動 的 にデータ 表 示 範 囲 を データ 幅 で 揃 えてしまうので 一 見 交 流 X の 振 幅 を 変 えても リサージュ 曲 線 が 変 化 しないような 印 象 を 与 えるが X Y 軸 の 目 盛 り の 値 に 注 目 し 楕 円 に 変 化 していることを 理 解 して 下 さい. X の 振 幅 A = 0.5 A = 2