G3-03 中 学 校 数 学 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 育 てる 指 導 の 工 夫 - 一 次 関 数 の 授 業 実 践 を 通 して- 総 社 市 立 総 社 東 中 学 校 教 諭 村 田 敏 彦 研 究 の 概 要 本 研 究 では, 一 次 関 数 の 授 業 実 践 において, 関 数 関 係 にあるものを 数 学 的 に 考 察 する 活 動 を 通 して, 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 育 てる 指 導 の 工 夫 を 探 った その 結 果, 事 象 の 変 化 と 対 応 について 表 やグラフ, 式 を 結 び 付 けて 考 えることや, 実 生 活 と 関 連 付 けた 指 導 を 行 うことは, 生 徒 の 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 育 てるという 点 で 効 果 的 であることが 分 かった キーワード 中 学 校 数 学, 一 次 関 数, 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方, 実 生 活, 実 験, 情 景 図 Ⅰ 主 題 設 定 の 理 由 平 成 15 年 度 小 中 学 校 教 育 課 程 実 施 状 況 調 査 ( 文 部 科 学 省 )によると, 関 数 学 習 の 実 現 状 況 について 二 つ の 課 題 があることが 分 かった まず, 事 象 の 中 から 関 数 関 係 を 見 いだしたり,グラフから 変 数 間 の 関 係 の 特 徴 を 読 み 取 ったりすることであ 次 に, 一 次 関 数 で は 変 化 の 割 合 や 傾 き, 変 域 などを 理 解 することであ 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 は,ある 事 象 について 考 察 す る 場 合 に 有 効 であることが 多 い 実 生 活 で 起 こる 事 象 を 数 値 化 した 上 で, 表 やグラフ, 式 に 表 現 し 考 察 する ことを 通 して, 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 が 養 われ しかし,これまでの 自 分 自 身 の 授 業 を 振 り 返 ってみ ると, 表 やグラフ, 式 に 関 する 知 識 や 技 能 を 習 得 させ る 指 導 に 偏 り, 生 徒 が 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 十 分 身 に 付 けるための 支 援 ができていなかった そこで, 二 つの 数 量 の 関 数 関 係 をつかむために 具 体 的 に 表 やグラフ, 式 を 用 いて 考 察 する 活 動 を 通 して, 生 徒 が 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 をできるようにしたいと 考 えた また, 実 生 活 に 見 られる 様 々な 数 学 にかかわ る 問 題 についても, 表 やグラフ, 式 を 用 いて 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 活 用 することにより,その 問 題 を 解 決 することにつながると 考 え, 本 主 題 を 設 定 した Ⅱ 研 究 の 目 的 一 次 関 数 の 授 業 実 践 において, 関 数 関 係 にある ものを 数 学 的 に 考 察 する 活 動 を 通 して, 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 育 てる 指 導 方 法 の 工 夫 を 探 Ⅲ 研 究 の 内 容 1 基 礎 研 究 (1) 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 中 学 校 学 習 指 導 要 領 解 説 数 学 編 には, 関 数 につ いての 理 解 を 深 めるとともに, 関 数 的 な 表 現 や 処 理 の 仕 方 についての 能 力 を 養 い, 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 一 層 伸 ばす と 示 され 1), 関 数 の 学 習 指 導 を 通 して 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 育 成 することが 重 視 されてい そのため, 関 数 の 問 題 と 表 やグラフ, 式 とを 結 び 付 けて 考 察 することにより 生 徒 が 問 題 解 決 したり, 実 生 活 と 関 連 した 様 々な 事 象 について, 数 学 的 に 考 察 し 処 理 することを 通 して, 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 をしたりできるように 支 援 する 必 要 があ 関 数 的 な 考 えについて 片 桐 (2004)は, 何 を 決 めれば 何 が 決 まるかということに 着 目 したり, 変 数 間 の 対 応 を 見 付 けたり, 用 いたりしようとする こ とと 述 べている 2) ここでは 片 桐 の 考 えを 参 考 にして, 次 の 二 点 を 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 とす 1 二 つの 数 量 の 変 化 や 対 応 の 関 係 に 着 目 して 考 察 す ること 2 様 々な 問 題 を 既 知 のことと 関 連 付 けて 考 え, 見 通 しを 持 って 問 題 解 決 しようとすること (2) 事 象 と 一 次 関 数 とを 結 び 付 けて 考 える 問 題 解 決 一 次 関 数 を 扱 った 問 題 には, 次 のような 例 があ 気 温 は, 地 上 から10kmまでは, 高 度 が1km 増 すごとに6 ず つ 下 がっていくという 地 上 の 気 温 が15 のとき, 地 上 からの 高 さxkmのところの 気 温 をy とすこのとき, 地 上 から8 kmの 高 さの 気 温 は 何 度 ですか この 問 題 を 解 くとき, 生 徒 はどのように 考 えるで あろうか 生 徒 は, 一 次 関 数 の 定 義 yはxの 関 数 で,yがxの 一 次 式 で 表 されるとき,yはxの 一 次 関 数 であるといい,y=ax+b(a,bは 定 数 ) で 表 す を 学 習 していしたがって,ほとんど - 35 -
の 生 徒 は 一 次 関 数 の 式 を 求 め,x=8を 代 入 して 地 上 から8kmの 高 さの 気 温 を 求 めるであろう しかし, 表 でxとyの 対 応 を 調 べ,x=8のとき のyの 値 を 求 めたり,グラフをかいてx=8のとき のyの 値 を 読 み 取 ったりして 求 める 場 合 もあ 表 はxの 値 を 順 に 決 めて 対 応 を 考 えることにより, 地 上 からの 気 温 の 変 化 を 考 えることが 可 能 になま た, 表 に 示 されたx,yの 値 を 座 標 に 取 り,グラフ をかいていくと, 右 下 がりの 直 線 になることや 変 化 の 様 子 が 瞬 時 に 分 かこれらのことが, 表 やグラ フを 用 いる 場 合 の 長 所 として 挙 げられつまり, 表 やグラフ, 式 に 表 して 地 上 からの 気 温 を 求 めるこ とで, 事 象 の 変 化 や 対 応 と 表 やグラフ, 式 との 関 係 をより 深 く 理 解 することができるということである ( 図 1) このように, 事 象 の 変 化 と 対 応 を 表 やグ ラフ, 式 と 結 び 付 けて 考 えさせることは, 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 育 てる 有 効 な 手 だてになると 考 えら れ 図 1 事 象 の 変 化 と 対 応 を 表 やグラフ, 式 と 結 び 付 けて 考 える 問 題 解 決 (3) 実 生 活 との 関 連 中 島 (1981)は, 事 象 を 科 学 的 に 考 察 する 過 程 で, 関 数 の 考 えにかかわりのあるアイデアが 広 く 活 用 さ れ,それに 自 然 や 社 会 的 事 象 に 関 心 を 向 けるような 取 扱 いのできる 教 材 の 開 発 やその 立 場 からの 指 導 の 工 夫 が 必 要 であるとしていこのように, 実 生 活 に 関 連 する 事 象 を 取 り 上 げ, 実 験 や 観 察 を 通 して 二 つの 数 量 の 関 係 を 考 察 することは, 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 育 てる 一 つの 手 だてとなると 考 えられ 関 数 指 導 に 実 験 を 取 り 入 れる 場 合, 半 田 (2001) は, 具 体 的 な 場 面 を 取 り 上 げ,そこで 何 を 調 べよ うとするかという 目 的 意 識 をもたせることが 大 切 で あ と 述 べていまた, 実 験 を 行 う 際 の 注 意 点 として, 予 想 とのずれは, 予 想 そのものの 違 い か 実 験 誤 差 であるかなどを 生 徒 自 身 の 問 題 として 考 えさせる 指 導 が 大 切 であると 説 明 している 3) 半 田 が 述 べるように, 実 験 を 取 り 入 れる 場 合 は, 生 徒 がその 目 的 を 明 確 に 意 識 して 実 験 に 取 り 組 める ようにしたり, 実 験 データに 誤 差 が 生 じて, 生 徒 が 後 の 関 数 関 係 をつかむ 際 に 困 らないようにしたりす る, 支 援 を 行 う 必 要 があ 2 実 態 調 査 (1) 事 前 調 査 事 前 調 査 として, 本 校 第 2 学 年 生 徒 245 名 を 対 象 とし, 第 1 学 年 で 学 習 した 比 例 や 反 比 例 の 理 解 度 に ついて,4 件 法 による 調 査 を 行 った その 結 果, 有 効 な 回 答 が 得 られた 生 徒 212 名 の 約 60%が, 関 数 の 領 域 は 他 の 領 域 ( 数 と 式, 図 形 )に 比 べて 理 解 しに くいと 答 えている( 図 2) Q 1 年 生 で 学 習 した 比 例 や 反 比 例 は 理 解 しやすかったですか 14 26 44 16 0% 20% 40% 60% 80% 100% よく 当 てはまる あまり 当 てはまらない また, 前 述 の 調 査 とともに, 実 生 活 で 数 学 が 役 立 っているかどうかについての 自 由 記 述 による 調 査 を 行 ったところ, 店 などで 買 い 物 をするときに 計 算 す という 記 述 が 多 く, 例 えば 同 じ 小 麦 粉 が A 店 では250gが280 円 で,B 店 では400gが450 円 で あるとき,2000g 買 うならどちらが 安 いか のよ うに,ある 程 度 の 量 を 予 想 したり 他 と 比 較 したりし て 商 品 を 選 択 するような 記 述 はほとんど 見 られなか った これは, 学 校 で 学 ぶ 数 学 が 実 生 活 と 結 び 付 き にくい 内 容 であることも 一 因 であると 考 えられ (2) 事 前 学 習 による 調 査 診 断 的 評 価 を 行 うため, 実 生 活 で 事 象 の 中 から 二 つの 数 量 を 取 り 出 し, 関 数 関 係 にあるものを 見 付 け, 一 次 関 数 について 考 え という 課 題 に 対 し て, 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 行 うことができるかど うかという 内 容 の 事 前 学 習 による 調 査 を 行 った 対 象 : 総 社 市 立 総 社 東 中 学 校 第 2 学 年 245 名 実 施 期 間 : 平 成 17 年 7 月 上 旬 ある 生 徒 は, 実 生 活 で 関 数 関 係 にある 事 象 の 例 を 次 のように 考 えた だいたい 当 てはまる 全 く 当 てはまらない N=212 人 図 2 関 数 の 学 習 に 対 する 生 徒 の 意 識 ( 事 前 ) ⅰ Aさんが, 学 校 から 駅 に 向 かって 時 速 4kmで 歩 いたときの x 時 間 後 の 学 校 からの 距 離 をykmとした 場 合 ⅱ Bさんが, 学 校 から 駅 に 向 かう 途 中 3kmの 地 点 にある 公 園 から,Aさんと 同 時 に 時 速 4kmで 駅 に 向 かって 歩 いたときの x 時 間 後 の 学 校 からの 距 離 をykmとした 場 合 授 業 者 は, 生 徒 が 考 えた 例 の 中 に, 一 次 関 数 の 関 係 を 含 む 事 象 があることに 気 付 き, 生 徒 がその 事 象 を 考 察 することを 通 して, 比 例 や 反 比 例 とは 異 なる - 36 -
関 数 が 存 在 することへの 気 付 きをもたせることがで きると 考 え, 学 級 全 体 で 考 察 することにした そこ で,ⅰ,ⅱを 表 やグラフに 表 し, 変 化 や 対 応 を 考 え た 生 徒 は, 表 やグラフから 式 を 求 めることができ, ⅰ,ⅱの 事 象 を 表 やグラフ, 式 に 表 すことにより, 比 例 とは 違 う 式 があることに 気 付 いた また, 実 生 活 で 起 こる 事 象 の 中 から 関 数 関 係 にある 二 つの 数 量 を 見 付 け 出 すのに, 多 くの 生 徒 が 苦 労 していた こ れらの 結 果 から,まず 二 つの 数 量 の 関 数 関 係 を 見 付 け, 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 生 徒 が 身 に 付 けるため には, 表 やグラフ, 式 を 相 互 に 結 び 付 けて 考 えるこ とができるよう 支 援 する 必 要 があることが 確 かめら れた また, 実 生 活 で 起 こる 様 々な 事 象 を 教 材 とし て 取 り 上 げ, 生 徒 が 進 んで 実 験 や 考 察 を 行 い, 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 ができるよう 支 援 していく 必 要 が あることが 分 かった 3 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 育 てるための 手 だて これまで 述 べてきたことから, 生 徒 の 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 育 てるためには, 授 業 実 践 で, 事 象 の 変 化 と 対 応 を 表 やグラフ, 式 と 結 び 付 けること また, 実 生 活 と 関 連 付 けること の 二 つの 手 だて が 必 要 であると 考 えられその 手 だてについて 次 のように 考 えた 1 表 やグラフ, 式 を 結 び 付 けるための 手 だて 事 象 の 変 化 と 対 応 を 見 付 けやすくするために, 実 験 や 観 察 によって 得 られた 数 値 を 表 に 整 理 して 並 べ るようにすこれは,グラフにかいて, 変 化 の 様 子 をとらえたりそのグラフの 先 を 予 想 したりするこ とにもつなが 表 では, 対 応 や 変 化 の 割 合 から 式 を 求 めるようにすまた,グラフでは, 傾 きや 切 片 を 読 み 取 り, 式 を 求 めるようにすそして, 式 では, 具 体 的 な 数 値 を 代 入 して 表 に 表 すことや, 式 の 持 つ 情 報 をつかみ,グラフをかくようにす 授 業 における 生 徒 の 実 現 状 況 を 具 体 的 な 姿 で 想 定 しておく その 例 を 次 に 示 す 事 象 を 数 値 化 した 上 で,その 数 値 を 表 に 書 いて 対 応 関 係 を 考 えてい 表 で 調 べる 範 囲 を 広 げたり,グラフを 延 長 した りして 問 題 解 決 してい 2 実 生 活 と 関 連 付 けるための 手 だて 学 習 内 容 は, 実 生 活 に 関 連 する 事 象 を 取 り 上 げ 一 次 関 数 の 関 係 があることを 理 解 できるようにする ために, 事 象 の 変 化 と 対 応 を 調 べて 考 察 す 実 生 活 で 利 用 できる 場 面 はないか 考 えられるようにする ために, 学 習 した 内 容 を 整 理 し 直 すようにす 生 徒 が 事 象 を 見 付 けにくい 場 合 は, 関 連 する 事 象 を 例 として 取 り 上 げ, 考 えるヒントにす 授 業 における 生 徒 の 実 現 状 況 を 具 体 的 な 姿 で 想 定 しておく その 例 を 次 に 示 す 電 気 の 使 用 量 と 電 気 料 金,タクシーの 乗 車 距 離 と 運 賃 の 関 係 などの 社 会 的 な 事 象 を, 一 次 関 数 の 問 題 として 考 えてい 情 景 図 を 用 いて 一 次 関 数 の 問 題 作 成 をしてい 4 授 業 実 践 本 校 第 2 学 年 生 徒 245 名 を 対 象 に, 一 次 関 数 を 題 材 とした 授 業 を 平 成 17 年 9,10 月 に 全 18 単 位 時 間 で 行 った そのうち, 一 次 関 数 の 利 用 の 場 面 で, 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 育 てるための 指 導 方 法 の 工 夫 に ついて 第 五 次 第 2 時, 第 3 時 及 び 第 4 時 を 取 り 上 げ て 述 べ (1) 第 五 次 第 2 時 1 ねらい 一 次 関 数 の 利 用 の 場 面 において, 電 気 ポットを 使 った 水 の 沸 騰 実 験 を 通 して, 集 めたデータを 表 やグ ラフ, 式 を 用 いて 考 察 し, 既 習 事 項 を 活 用 しながら 結 果 を 予 想 して 問 題 解 決 できるようにす 2 主 な 学 習 活 動 本 時 は,これまでに 学 習 した 一 次 関 数 の 表 やグラ フ, 式 を 利 用 する 段 階 であ 第 五 次 第 1 時 は, 時 間 と 距 離 の 関 係 や 摂 氏 と 華 氏 の 関 係 を, 式 を 利 用 し て 問 題 解 決 していそこで, 本 時 は 次 のように 問 題 解 決 する 学 習 活 動 を 行 うようにした( 表 ) 電 気 ポットに 入 れた 水 が 沸 騰 するまでに 何 分 掛 かるか という 問 題 を 考 え 水 が 沸 騰 する 時 間 を 予 想 して, 実 験 を 行 う 実 験 データを 考 察 し, 問 題 解 決 す 実 生 活 で 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 活 用 する 場 面 を 考 え,まとめをす 3 結 果 と 考 察 ア 表 やグラフ, 式 と 結 び 付 けて 考 えることについて 水 を 沸 騰 させる 実 験 については, 生 徒 は 興 味 を 持 って 学 習 に 取 り 組 むことができていた それは, 生 徒 にとって 身 近 な 教 材 であったためと 考 えられ また, 変 化 の 様 子 を 表 やグラフ, 式 を 活 用 して 関 数 関 係 を 考 えることで, 水 が 沸 騰 する 時 間 を 求 めるよ うにしたためと 考 えられ 時 間 とともに 温 度 が 変 化 していくことについて 比 較 的 容 易 に 考 えることができた また, 変 数 x,y - 37 -
学 習 活 動 問 題 の 把 握 追 究 活 動 問 題 解 決 新 た な 問 題 提 起 と 解 決 目 標 実 験 を 通 して, 表 やグラフ, 式 を 用 いて 水 温 の 変 化 を 調 べようとす( 数 学 への 関 心 意 欲 態 度 ) 一 次 関 数 の 関 係 を 用 いて 水 温 の 変 化 を 考 察 し, 水 が 沸 騰 するのに 掛 かる 時 間 を 予 想 することができ( 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 ) T: 水 が 沸 いていくときに 変 化 していくのは 何 かな S: 時 間 と 温 度 です T: 時 間 と 温 度 の 関 係 に 注 目 すればいいね T:ポットが 沸 騰 するまで 全 部 調 べる 必 要 があるかな? T: 教 師 の 発 問 S: 生 徒 の 反 応 指 導 上 の 工 夫 支 援 S:きまりがありそうだ 全 部 調 べなくてもいいかも 知 れない だいたい 予 想 がつきそうだ T:ずっと 調 べなくても 最 初 の5 分 くらい 調 べたら 沸 騰 する 時 間 も 分 かりそうだ 最 初 の 水 温 を 測 っておいて,1 分 ごとに 温 度 変 化 を 記 録 しよう S: 最 初 のころの 温 度 の 上 がり 方 が 少 し おかしいよ 1 分 までは3.5,2 分 までは 時 間 ( 分 ) 0 1 2 3 4 5 温 度 ( ) 5.5,それ 以 降 は,6 ずつ 上 がってい 24 27.5 33 39 45 51 T:どうして, 温 度 の 上 がり 方 が 違 うのだろう 3.5 5.5 6 6 6 S:それは, 最 初, 電 気 ポットが 温 まるまでに, 熱 が 吸 収 されたんだよ 誤 差 だと 思 うよ 2 分 以 降 は,6 ずつ 上 がっていだから,だいたい 一 次 関 数 として 考 えていいと 思 うよ T: 水 が 沸 騰 する 時 間 を, 今 のデータなどを 使 って 求 めよう 時 間 と 温 度 は,どちらをx,y にしたらいいだろう S: 時 間 をx, 温 度 をyにしよう S: 点 を 取 って 結 んでグラフをかいてみると,だいたいまっすぐな 直 線 になってい T: 水 が 沸 く 時 間 はどうやって 考 えたら 分 かるだろう S:グラフはだいたい 直 線 だから, 一 次 関 数 の 式 ができそうだ S: 傾 きと 切 片 が 分 かればいい 表 から 傾 き 変 化 の 割 合 は6, 切 片 は 最 初 の 温 度 24だ yを 100にして 解 いたらいい S: 式 があったらグラフが 全 部 なくても 何 分 で 沸 騰 するか 分 かるぞ S: 表 を 時 間 と 温 度 の 関 係 で 見 たら, 同 じ 割 合 で 上 がってい 表 の 調 べる 範 囲 を 広 げていっ たら, 求 められそうだ S:グラフをどんどん 延 ばしていって, 温 度 が100 のところまでいったら,ビーンと 下 に 延 ば したら 時 間 が 分 かるよ S:でも, 一 次 関 数 って 式 で 求 めると 正 確 だし, 早 く 出 そこまでしなくても 答 えが 出 なかなか, 便 利 だ 面 白 い 先 が 予 想 できるよ T:こうやって 一 次 関 数 であることが 分 かると,いちいち 全 部 時 間 を 測 らなくても 沸 騰 する 時 間 が 分 かるね T:ところで,みんなの 身 の 回 りではこのような 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 が 利 用 できる 場 面 はな いだろうか S:お 風 呂 にお 湯 をためるとき1 分 間 にどのくらい 入 るかで,お 湯 を 止 めに 行 く 時 間 を 予 想 す 電 気 ポットの 水 が 沸 騰 するのは 何 分 後 だろうか S:なべをしても,ぐつぐつ 煮 えてくる 時 間 が 予 想 でき S: 炊 飯 器 は 予 約 時 間 や 米 の 量 によって,ご 飯 の 炊 き 始 めのスイッチが 入 る 時 間 が 分 かってい また, 早 炊 き 機 能 が 付 いていて, 短 い 時 間 でご 飯 が 炊 け T:そうだね 先 生 の 子 どものころの 体 温 計 は 水 銀 で5 分 ぐらい 測 らないといけなかったんだ けど, 最 近 の 体 温 計 はどうかな S: 電 子 体 温 計 だったら,1 分 ぐらいで 分 かるよ T:どうして,そんなに 早 く 分 かるのかな S:う~ん ひょっとすると, 体 温 計 は, 今 日 学 習 したように, 少 し 体 温 を 測 って 結 果 を 予 測 し,その 体 温 を 出 しているのかもしれない T: 体 温 計 は, 少 しの 時 間 で 温 度 変 化 を 予 想 して, 計 算 しているんだね いろいろなところで 関 数 関 係 になっていることが 使 われているようだね 表 授 業 実 践 第 五 次 第 2 時 授 業 の 様 子 電 気 ポットで 実 際 に 水 を 沸 かすと き, 何 と 何 が 変 化 するのかというこ とに 着 目 して, 考 えられるようにす 水 温 の 変 化 をどのくらいの 時 間 調 べればよいか, 問 い 掛 けるようにす 温 度 センサーを 使 い, 最 初 の 水 温 から1 分 ごとの 温 度 変 化 の 様 子 を, モニターをよく 見 て 観 察 するように す 実 験 データをワークシートの 時 間 と 温 度 の 関 係 を 表 した 表 に1 分 ごと に 記 録 するようにす 作 業 が 遅 れている 生 徒 には, 表 に 記 録 された 点 をグラフに 取 り,どの 点 も 通 る 近 いところで 線 を 引 くよう に 助 言 す 表 の 対 応 や 変 化 の 割 合 から 一 次 関 数 の 式 y=ax+bに 当 てはめて 式 を 求 めるようにす 変 化 の 割 合 が6になっていること や, 切 片 が24になっていることが 理 解 できていない 生 徒 には, 適 宜 助 言 して 式 を 求 めるようにす 水 が 沸 騰 するとき100 であるこ とを 確 認 し, 求 めた 一 次 関 数 の 式 に y=100を 代 入 して 沸 騰 する 時 間 x を 求 められるように 助 言 す 生 徒 の 気 付 きを 評 価 し, 表 やグラ フ, 式 で 解 くことのよさに 触 れ 生 徒 のワークシート 例 身 の 回 りで 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 が 利 用 されている 場 面 を, 今 日 の 授 業 をヒントに 関 連 付 けて 考 えてみる ようにす 生 徒 が 思 い 付 かない 場 合 は, 教 師 が 関 連 する 内 容 に 触 れることにより 実 生 活 に 関 連 した 事 象 の 変 化 に 気 付 けるようにす ( 下 線 部 : 実 験 データの 誤 差 についての 発 言 として 考 えられるもの ゴシック: 生 徒 の 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 の 気 付 きの 発 言 として 考 えられるもの ) 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 生 徒 の 気 付 き 変 化 する 数 量 を 見 付 け 一 定 の 割 合 で 温 度 は 上 がりそうだ = 過 去 の 経 験 からの 予 想 変 化 への 気 付 き, 同 じ 割 合 で 温 度 が 上 が ってい 最 初 の 水 温 が 切 片 同 じ 割 合 で 上 がって いるのが 変 化 の 割 合 でグラフの 傾 き 変 数 xは 時 間,yは 温 度 < 表 > 表 で 調 べる 範 囲 を 広 げると 沸 騰 時 間 が 分 か <グラフ> 直 線 で, 延 長 すると 予 想 がつく 変 化 が 分 か < 式 > 表,グラフがな くても 結 果 が 分 か 式 を 作 るには, 傾 き, 切 片 をグラフから 読 み 取 表 やグラフ 上 の2 点 から 式 が 作 れ 傾 きa, 切 片 b, 変 数 x, yの 持 つ 意 味 温 度 変 化 = 変 化 の 割 合, 傾 き, 体 温 の 予 想 の 決 定 についても 容 易 に 理 解 できた これらは, 事 象 の 変 化 が 生 徒 にとって 見 付 けやすいものであった ことが 考 えられ しかし, 実 験 結 果 をグラフに 表 すと 直 線 になるこ とは 理 解 できたが, 傾 きが 温 度 上 昇 の 割 合 を 示 すこ とを 理 解 するまでには 時 間 が 掛 かった そこで, 表 から 変 化 を 見 ていくと 変 化 の 割 合 が 一 定 になること で 一 次 関 数 になることを 再 確 認 することが 必 要 にな った 実 験 を 途 中 で 中 止 し, 水 が 沸 騰 するまでの 時 間 をどのように 求 めるかを 問 うと, 多 くの 生 徒 は 次 のようにして 一 次 関 数 の 式 を 求 め, 求 めた 式 にy= 100を 代 入 して 沸 騰 する 時 間 xを 求 めた ア 連 立 方 程 式 を 利 用 して 式 を 求 めイ 最 初 の 温 度 が 切 片 で あることに 気 付 きグラフの 傾 きから 式 を 求 めウ - 38 -
表 から 変 化 の 割 合 を 求 め, 式 を 求 めまた,その 他 に, 実 験 開 始 5 分 以 降 の 温 度 の 変 化 について, 表 で 調 べる 範 囲 を 広 げたりグラフを 延 長 したりして, 水 が 沸 騰 する 時 間 を 求 めた 生 徒 もいた これらのこ とから, 表 やグラフ, 式 を 相 互 に 結 び 付 けて 事 象 の 変 化 と 対 応 を 考 察 していくことは, 問 題 解 決 の 有 効 な 手 だてになると 考 えられどのようにすれば, 実 験 を 最 後 まで 行 わないでも 沸 騰 する 時 間 を 求 める ことができるかという 疑 問 を 抱 かせることは, 解 決 方 法 を 探 る 意 欲 につながることが 分 かった また, 別 の 学 級 では, 水 温 を 順 次 観 察 しなくても 一 定 の 割 合 で 水 温 が 上 がることから, 電 気 ポットに 電 源 を 入 れた 後 の 途 中 の 時 点 を 取 り 上 げ, 一 次 関 数 の 関 係 をつかむことができるようになることをねら って, 違 う 問 い 掛 けによる 授 業 を 行 った T: 最 初, 電 気 ポットに 水 を 入 れ 電 源 を 入 れてから3 分 経 過 し たときの 温 度 が40 でした 水 温 が80 になるのは 電 源 を 入 れてから 何 分 後 ですか A:6 分 後 です 理 由 は, 最 初 0 だったので B:それはおかしい 最 初 0 ではなくて 水 温 はもっと 高 い 生 徒 Bの 発 言 により, 授 業 は 急 展 開 した それま で,ほとんどの 生 徒 が 最 初 の 水 温 を0 と 思 い 込 ん でいたからだ 生 徒 Bの 発 言 によって, 多 くの 生 徒 は 最 初 の 水 温 ( 切 片 )を 考 えることで,グラフは 原 点 を 通 る 直 線 ではないことに 気 付 いた 授 業 では, 最 初 の 水 温 が 異 なれば 切 片 も 異 なることや, 電 気 ポ ットの 中 の 水 の 量 によって 傾 きが 変 わることを 生 徒 は 考 え, 変 化 を 様 々な 角 度 から 予 想 することができ た ある 生 徒 は 今 まで 一 次 関 数 の 式 にどのような 意 味 があるのか 分 からなかったけれど,この 授 業 で やっと 分 かった と 感 想 を 述 べていこのよう に, 生 徒 は 水 の 温 度 上 昇 についての 事 象 と 表 やグラ フ, 式 とを 結 び 付 けて 考 えることにより, 深 く 考 察 することができたと 考 えられ イ 実 生 活 と 関 連 付 けることについて 第 五 次 第 2 時 の 授 業 後 半 では, 実 生 活 で 関 数 関 係 が 活 用 されている 場 面 を 考 えた 生 徒 たちは, 様 々 な 事 象 における 関 数 関 係 について 考 えを 巡 らせた 多 くの 事 象 が 挙 がったが,その 一 例 だけを 示 す あ る 生 徒 は 体 温 計 はひょっとすると, 今 日 学 習 した ように, 少 し 体 温 を 測 って 結 果 を 予 測 し,その 体 温 を 出 しているのかもしれない と 考 えた この 例 では, 一 次 関 数 の 学 習 の 結 果, 生 徒 は 実 生 活 で 事 象 を 関 数 的 に 考 えることの 有 効 性 をつかめるようにな ったことが 分 か (2) 第 五 次 第 3 時 ここでは, 社 会 的 な 事 象 である 水 道 料 金 を 扱 い 授 業 を 行 った その 授 業 の 中 心 となる 学 習 活 動 につい て 述 べ 1 中 心 となる 学 習 活 動 の 様 子 家 庭 や 本 校 の1か 月 の 水 道 料 金 が 何 円 掛 かるかと いう 予 想 を 立 てた ある 家 庭 の 水 道 使 用 量 30m 3, 40m 3,50m 3 の 水 道 料 金 を 知 り, 対 応 関 係 を 考 え た 一 定 の 割 合 で 料 金 が 増 えていることを 見 付 け, 式 を 作 って 考 える 生 徒 もいた 表 や 式 で0m 3 を 調 べると 料 金 がマイナスになり,どうしてそんなこと が 起 きるのだろうかと 生 徒 は 考 えた 次 に, 隣 接 す るC 市 の 水 道 料 金 と 比 較 することにした すると, 総 社 市 の 水 道 料 金 は20m 3 以 上 100m 3 以 下 の 場 合 は 1m 3 ごとに 同 じ 料 金 で 加 算 されるが,C 市 の 水 道 料 金 は,20m 3 以 上 40m 3 以 下 の 場 合 と40m 3 以 上 100m 3 以 下 の 場 合 では1m 3 ごとの 使 用 料 金 が 異 な ることを 生 徒 は 知 り, 式 を 考 えていた 生 徒 は 途 中 で 行 き 詰 まった 多 くの 生 徒 は, 表 やグラフを 使 って 10m 3 ごとの 水 道 料 金 を 考 え 両 市 の 水 道 料 金 を 比 較 した 2 結 果 と 考 察 この 授 業 を 通 して 生 徒 は, 総 社 市 とC 市 の 水 道 料 金 を 比 較 する 際 には, 水 の 使 用 量 と 水 道 料 金 の 対 応 関 係 を, 式 に 表 して 考 えるのは 非 常 に 分 かりにくい ので, 表 とグラフを 利 用 して 考 えた 方 がよいことに 気 付 いた グラフを 使 って, 両 市 の 水 の 使 用 量 と 水 道 料 金 の 関 係 を 一 つのグラフに 表 すと, 変 化 の 様 子 が 具 体 的 なものとなり, 水 道 の 使 用 量 によってどち らの 市 の 水 道 料 金 が 安 いか, 瞬 時 に 知 ることができ た このことから, 水 道 料 金 のように 変 域 がある 場 合 には, 式 よりも 表 やグラフを 用 いて 考 えると 有 効 であることに, 気 付 いたと 考 えられこの 授 業 の 後, 電 気 料 金 や 携 帯 電 話 の 料 金,ガス 料 金 などにも 関 数 関 係 があるのではないかと 考 え, 社 会 的 な 事 象 に 関 心 を 持 つきっかけになった 生 徒 も 見 られた こ のことから, 社 会 的 な 事 象 に 見 られる 関 数 関 係 への 生 徒 の 興 味 が 高 まったと 言 え (3) 第 五 次 第 4 時 ここでは, 実 生 活 に 見 られる 事 象 において, 一 次 関 数 の 問 題 を 作 成 し, 答 えを 求 める 式 を 作 ることが できるかという 視 点 から 授 業 を 行 った その 作 成 し た 問 題 についての 考 察 を 次 に 述 べ 1 情 景 図 を 用 いた 問 題 と 答 えの 作 成 について - 39 -
次 に 示 すような 情 景 図 ( 校 内 8か 所, 総 社 市 内 10 か 所 の 計 18か 所 の 写 真 )を 用 いて, 生 徒 は 問 題 作 成 と 答 えの 式 を 求 めた( 図 3) ある 生 徒 は 次 のよう な 問 題 と 答 えを 求 める 式 を 作 成 してい ( 問 題 ) 朝, 自 転 車 置 き 場 には280 台 の 自 転 車 が 止 まっていまし た 下 校 時 になると,1 分 間 に5 台 ずつ 自 転 車 が 出 て 行 きま す 56 分 後 にはすべての 自 転 車 が 出 ました x 分 後 の 自 転 車 の 台 数 をy 台 とするとき,yをxの 式 で 表 しなさい ( 式 ) y=-5x+280 (0 x 56) 図 3 情 景 図 を 用 いた 調 査 問 題 情 景 図 による 問 題 では,235 名 中 93 名 が 問 題 と 答 えを 求 める 式 とを 完 成 させていそのうち 一 次 関 数 の 問 題 と 答 えを 求 める 式 とを 完 成 させているのは 56 名 であまた,24 名 は 問 題 と 答 えを 求 める 式 の 作 成 に 取 り 組 んでいるものの 未 完 成 であこれは, 変 数 x,yをとらえることと 変 化 の 割 合 を 見 極 める ことができなかったことや, 駐 車 場 の 料 金 が 30 分 までは 無 料,6 時 間 までは200 円,12 時 間 までは, 300 円 というように1 時 間,2 時 間 駐 車 しても 同 じ 料 金 で 駐 車 時 間 と 駐 車 料 金 の 関 係 が 一 次 関 数 の 問 題 としては 扱 いにくかったことが 原 因 と 考 えられ 生 徒 にとって 一 次 関 数 の 問 題 と 答 えを 作 ることは 難 しい 課 題 であそれにもかかわらず, 約 24%の 生 徒 が 実 生 活 に 関 連 する 事 象 の 中 から 問 題 を 作 成 して いることから, 事 象 の 変 化 と 対 応 を 実 生 活 と 関 連 付 けて 考 えるようになることについて, 一 定 の 成 果 が あったと 考 えられしかし,この 結 果 を 見 ると, 生 徒 が 事 象 の 中 から 関 数 関 係 を 見 付 けるという 視 点 から 考 えると 課 題 が 残 り, 今 後 も 継 続 して, 実 生 活 と 関 連 する 事 象 を 授 業 で 扱 っていく 必 要 があること も 分 かった Ⅳ 研 究 の 成 果 と 今 後 の 課 題 本 研 究 では, 生 徒 が 関 数 関 係 を 見 付 け, 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 ができるようにしたいと 考 え, 授 業 実 践 を 行 った その 結 果, 多 くの 生 徒 は 実 生 活 で 起 こ る 事 象 を, 表 やグラフ, 式 と 結 び 付 けて 考 えること により, 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 ができるようになっ た このことから, 今 回 実 践 した 方 法 は 有 効 な 手 段 であったと 言 えまた, 生 徒 の 意 識 の 変 容 を 図 4 に 示 す 事 前 調 査 ( 図 2)と 比 較 すると, 一 次 関 数 の 学 習 が 理 解 しやすいと 感 じる 生 徒 が 多 くなったこ とが 分 か Q 一 次 関 数 の 学 習 が 理 解 しやすかったですか 26 49 19 6 0% 20% 40% 60% 80% 100% よく 当 てはまる だいたい 当 てはまる 当 てはまらない 全 く 当 てはまらない N=212 人 図 4 関 数 の 学 習 に 対 する 生 徒 の 意 識 ( 事 後 ) また, 生 徒 の 感 想 の 多 くに 考 えることが 楽 しか った とあったことから, 授 業 に 意 欲 的 に 取 り 組 んでいることも 分 か 実 生 活 と 関 連 付 けて, 実 験 を 通 して 事 象 を 考 察 することは, 生 徒 の 興 味 や 関 心 を 高 め, 意 欲 的 に 問 題 解 決 することにつながること が 確 かめられた しかし, 身 の 回 りに 関 数 として 扱 うことのできる 素 材 は 多 いが, 一 次 関 数 に 限 定 すると 比 較 的 少 ない ことも 分 かった 今 後 は, 更 に 研 究 を 進 め 授 業 に 取 り 上 げることのできる 事 象, 生 徒 にとって 身 近 な 教 材 となる 素 材 を 探 し, 中 学 校 3 年 間 を 見 通 した 関 数 指 導 を 行 い, 授 業 で 身 に 付 けた 関 数 的 な 見 方 や 考 え 方 を 実 生 活 の 具 体 的 な 場 面 で 活 用 できる 生 徒 を 育 て ていきたい 引 用 文 献 1) 文 部 省 : 中 学 校 学 習 指 導 要 領 ( 平 成 10 年 12 月 ) 解 説 数 学 編, 大 阪 書 籍,p.46,1999 2) 片 桐 重 男 著 : 新 版 数 学 的 な 考 え 方 とその 指 導 第 1 巻, 明 治 図 書,p.83,2004 3) 半 田 進 : 数 学 教 育,8 月 号, 明 治 図 書,pp.7-8,2001 参 考 文 献 中 島 健 三 著 : 算 数 数 学 教 育 と 数 学 的 な 考 え 方, 金 子 書 房,p.233,1981 藤 井 和 郎 他 : 数 学 教 育,12 月 号, 明 治 図 書,pp.53-60,1983-40 -