【補足資料】確率・統計の基礎知識

補 足 資 料 確 率 統 計 の 基 礎 知 識 2011 年 3 月 日 本 銀 行 金 融 機 構 局 金 融 高 度 化 センター 1

目 次 1. 基 本 統 計 量 (1 変 量 ) - 平 均 分 散 標 準 偏 差 パーセント 点 2. 基 本 統 計 量 (2 変 量 ) - 散 布 図 共 分 散 相 関 係 数 相 関 行 列 3. 確 率 変 数 - 確 率 変 数 確 率 分 布 期 待 値 独 立 4. 推 定 と 検 定 - 記 述 統 計 と 推 測 統 計 推 定 検 定 (2 項 検 定 ) 5. 線 形 回 帰 分 析 - 最 小 2 乗 法 Excel 分 析 ツール 決 定 係 数 P 値 ( 注 ) 本 資 料 はセミナー 内 容 の 理 解 を 助 けるために 作 成 した 補 足 資 料 です 確 率 統 計 理 論 を 体 系 的 に 説 明 するものではありません 数 学 的 な 厳 密 さよりも 直 感 的 に 理 解 することに 重 点 を 置 いた 記 載 も 含 まれています 確 率 統 計 理 論 をしっかりと 習 得 したい 方 は 別 途 初 等 統 計 学 のテキ ストをご 利 用 ください 2

1. 基 本 統 計 量 (1 変 量 ) (1) 平 均 (2) 分 散 (3) 標 準 偏 差 (4) パーセント 点 3

(1) 平 均 平 均 は 観 測 データセットの 中 心 の 位 置 を 示 す 指 標 の1つ X = データの 和 データの 数 = X 1 +X 2 ++X N N Excelでは 関 数 AVERAGE(データ 範 囲 )を 使 って 求 める 4

(2) 分 散 分 散 は 観 測 データセットの バラツキ を 示 す 指 標 の1つ -- データの 偏 差 平 方 和 ( 平 均 との 差 を2 乗 して 合 計 )を 求 めて データ 数 -1 で 割 る(ここでは 分 散 を 推 測 統 計 < 後 述 >の 立 場 で 定 義 ) -- 分 散 の 単 位 は データの 持 つ 単 位 の2 乗 V =σ 2 = データの 偏 差 平 方 和 データ 数 -1 (X 1 -X) 2 +(X 2 -X) 2 ++(X N -X) 2 = N-1 Excelでは 関 数 VARA(データ 範 囲 )を 使 って 求 める 5

(3) 標 準 偏 差 標 準 偏 差 は 観 測 データセットの バラツキ を 示 す 指 標 の1つ 分 散 の 平 方 根 (ルート)をとって 定 義 する -- 標 準 偏 差 の 単 位 は データの 持 つ 単 位 と 同 じ σ = = データの 偏 差 平 方 和 データ 数 -1 (X 1 -X) 2 +(X 2 -X) 2 ++(X N -X) 2 N-1 Excelでは 関 数 STDEVA(データ 範 囲 )を 使 って 求 める 6

平 均 サンプル1-2 -1 0 1 2 標 準 偏 差 標 準 偏 差 1.581 1.581 サンプル2-4 -2 0 2 4 標 準 偏 差 標 準 偏 差 3.162 3.162 7

(4)パーセント 点 パーセント 点 とは 観 測 データを 小 さい 順 に 並 べたときに その 値 よりも 小 さな 値 の 割 合 が 指 定 された 割 合 ( 百 分 率 ) になるデータの 値 として 定 義 される 例 えば 99パーセント 点 というのは その 値 より 小 さな データの 割 合 が99%となるデータの 値 のことを 指 す - 50パーセント 点 のことを 中 央 値 (メジアン)と 呼 ぶ - 25パーセント 点 を 第 1 四 分 位 点 75パーセント 点 を 第 3 四 分 位 点 と 呼 ぶ Excelでは 関 数 PERCENTILE(データ 範 囲, 率 )を 使 って 求 める 8

( 例 ) 1000 個 の 損 失 データが 観 測 されている 場 合 99% 点 というのは 損 失 額 を 小 さい 順 に 並 べて 990 番 目 になるデータ 値 のこと 順 位 百 分 位 損 失 額 985 番 目 98.5% 529 986 番 目 98.6% 558 987 番 目 98.7% 589 988 番 目 98.8% 618 989 番 目 98.9% 621 990 番 目 99.0% 632 991 番 目 99.1% 654 992 番 目 99.2% 671 993 番 目 99.3% 698 994 番 目 99.4% 703 995 番 目 99.5% 712 996 番 目 99.6% 776 997 番 目 99.7% 794 998 番 目 99.8% 810 999 番 目 99.9% 831 1000 番 目 100.0% 869 99% 点 9

ヒストグラムで 表 したときの99パーセント 点 99% 小 大 損 失 額 99パーセント 点 10

( 参 考 1) 対 数 変 化 率 VaRの 計 測 にあたり 観 測 データセットとして リスク ファクターの 変 化 率 をみることがある このとき 統 計 的 に 扱 い 易 い 対 数 変 化 率 を 採 用 する ことが 多 い 対 数 変 化 率 の 定 義 は? どんな 特 徴 があるのか? 11

対 数 変 化 率 の 定 義 日 次 対 数 変 化 率 log Xt X t-1 10 日 間 対 数 変 化 率 X t - X t-1 Xt = -1 X t-1 X t-1 log Xt X t-10 X t - X t-10 Xt = -1 X t-10 X t-10 対 数 変 化 率 は 通 常 の 変 化 率 と 近 似 的 に 等 しいこと が 知 られている log( 自 然 対 数 )は Excelでは 関 数 LN()で 与 えられる 12

対 数 変 化 率 の 特 徴 対 数 変 化 率 は 同 率 の 低 下 上 昇 により 元 の 値 に 戻 る 10 日 間 対 数 変 化 率 は 日 次 対 数 変 化 率 (10 日 分 )の 和 となる 変 化 率 ( 日 次 ) 対 数 変 化 率 ( 日 次 ) 対 数 変 化 率 ( 日 次 ) 100 0.0101 0.0101 X10 100 0.2877 99-0.0100-0.0101 X9 75-0.4700 100 0.0526 0.0513 X8 120 1.3863 95-0.0500-0.0513 X7 30-0.6931 100 0.1111 0.1054 X6 60-0.9163 90-0.1000-0.1054 X5 150 0.5108 100 0.2500 0.2231 X4 90 1.0986 80-0.2000-0.2231 X3 30-0.6931 100 0.4286 0.3567 X2 60-0.2877 70-0.3000-0.3567 X1 80-0.1178 100 0.6667 0.5108 X0 90 60-0.4000-0.5108 Σlog(X t /X t-1 ) 0.1054 100 1.0000 0.6931 50-0.5000-0.6931 対 数 変 化 率 (10 日 間 ) 100 log(x10/x0) 0.1054 13

( 参 考 2) 対 数 変 化 率 と T 倍 法 の 適 用 10 日 間 対 数 変 化 率 は 日 次 対 数 変 化 率 (10 日 間 )の 和 となる 0 日 目 X 0 1 日 目 X 1 2 日 目 X 2 10 日 目 X 10 数 式 で 表 すと log(x 10 /X 0 ) = log {(X 10 /X 9 )(X 9 /X 8 ) (X 1 /X 0 )} = log(x 10 /X 9 )+log(x 9 /X 8 )++log(x 1 /X 0 ) 日 次 変 化 率 が 互 いに 独 立 な 確 率 変 数 であり その 分 散 がσ 2 ( 標 準 偏 差 がσ)のとき 10 日 間 対 数 変 化 率 の 分 散 は 10σ 2 ( 標 準 偏 差 は 10σ) となる ことが 知 られている リスクファクターの 日 次 対 数 変 化 率 が 互 いに 独 立 で 分 散 ( 標 準 偏 差 )の 等 しい 確 率 変 数 であるとすれば T 倍 法 を 適 用 可 能 と なる 14

T 倍 法 による 保 有 期 間 調 整 (イメージ 図 ) 現 在 価 値 PV ΔX ΔPV Δ=ΔPV/ΔX 感 応 度 (デルタ) は 一 定 と 仮 定 VaR=Δ 2.33 10 σ 99% 正 規 分 布 X 1 +X 2 ++X 10 の 確 率 分 布 正 規 分 布 Xの 確 率 分 布 正 規 分 布 PVの 確 率 分 布 99% 保 有 期 間 調 整 99% 10 日 間 変 化 率 幅 X 1 +X 2 ++X 10 2.33 10 σ 日 次 変 化 率 幅 X 2.33 σ 15

2. 基 本 統 計 量 (2 変 量 ) (1) 散 布 図 (2) 共 分 散 (3) 相 関 係 数 (4) 相 関 行 列 16

(1) 散 布 図 以 下 のような2 変 量 の 関 係 を 調 べるためには 散 布 図 を 書 くのが 直 感 的 に 理 解 しやすい 東 証 TOPIX 10 年 割 引 国 債 10 日 間 変 化 率 10 日 間 変 化 率 (X) (Y) 2006/9/29 0.785-0.098 2006/9/28 1.194 0.010 2006/9/27 0.319 0.177 2006/9/26-2.994 0.315 2006/9/25-3.783 0.688 2006/9/22-3.139 0.560 2006/9/21-3.894-0.088 2006/9/20-5.040 0.295 2006/9/19-3.538-0.010 2006/9/15-2.474 0.098 17

国 債 と 株 価 の 相 関 関 係 Ⅱ Ⅳのエリアに 分 布 が 多 く 負 の 相 関 が 観 察 される Ⅱ 2.500 2.000 1.500 1.000 Ⅰ 国 債 10 日 間 変 化 率 0.500 0.000-15.000-10.000-5.000 0.000-0.500 5.000 10.000-1.000-1.500 Ⅲ -2.000-2.500 東 証 TOPIX 10 日 間 変 化 率 Ⅳ 18

偏 差 積 和 = (X 1 -X)(Y 1 -Y)+ (X 2 -X)(Y 2 -Y)++(X N -X)(Y N -Y) Ⅰ Ⅲのエリアに 多 く 分 布 偏 差 積 和 > 0 : 正 の 相 関 Ⅱ Ⅳのエリアに 多 く 分 布 偏 差 積 和 < 0 : 負 の 相 関 (X i -X)(Y i -Y)<0 Ⅱ Ⅰ (X i -X)(Y i -Y)>0 Y (X i -X)(Y i -Y)>0 Ⅲ Ⅳ (X i -X)(Y i -Y)<0 X 19

(2) 共 分 散 共 分 散 は 2つの 変 量 (X Y)の 間 の 直 線 的 な 比 例 関 係 の 強 さ を 示 す 指 標 -- データの 偏 差 積 和 を 求 めて データ 数 -1 で 割 る -- 共 分 散 の 単 位 は Xの 持 つ 単 位 掛 ける Yの 持 つ 単 位 COV(X Y) = データの 偏 差 積 和 データ 数 -1 = (X 1 -X)(Y 1 -Y)+(X 2 -X)(Y 2 -Y)++(X N -X)(Y N -Y) N-1 Excelでは 関 数 COVAR(データ 範 囲 (X) データ 範 囲 (Y)) を 使 って 求 める ( 注 )Excelでは データの 偏 差 積 和 をN-1ではなく Nで 割 って 共 分 散 を 定 義 しているため 調 整 を 行 う 必 要 がある 20

(3) 相 関 係 数 相 関 係 数 は 2つの 変 量 (X Y) 間 の 直 線 的 な 比 例 関 係 の 強 さ を 示 す 指 標 共 分 散 を それぞれの 標 準 偏 差 の 積 で 割 って 定 義 する -- 相 関 係 数 は -1~ +1 までの 値 をとる -- 相 関 係 数 は 単 位 を 持 たない 無 名 数 ρ(x Y) = = COV(X Y) σ(x) σ(y) (X 1 -X)(Y 1 -Y)+ +(X N -X)(Y N -Y) (X 1 -X) 2 ++(X N -X) 2 (Y 1 -Y) 2 ++(Y N -Y) 2 Excelでは 関 数 CORELL(データ 範 囲 (X) データ 範 囲 (Y)) を 使 って 求 める 21

相 関 係 数 と 散 布 図 3 3 2 2 ρ=1.0 ( 正 の 完 全 相 関 ) 1 0-3 -2-1 0 1 2 3-1 -2 1 0-3 -2-1 0 1 2 3-1 -2 ρ=-1.0 ( 負 の 完 全 相 関 ) -3-3 3 3 2 2 1 1 ρ=0.7 0-3 -2-1 0 1 2 3 0-3 -2-1 0 1 2 3 ρ=-0.7-1 -1-2 -2-3 -3 3 相 関 係 数 の 定 義 ρxy= COV(X,Y)/σxσy COV(X,Y) : X,Yの 共 分 散 =(1/N-1)*Σ(Xt-EX)(Yt-EY) σx : Xの 標 準 偏 差 EX : Xの 平 均 値 σy : Yの 標 準 偏 差 EY : Yの 平 均 値 2 1 0-3 -2-1 0 1 2 3-1 -2-3 ρ=0 ( 無 相 関 ) 22

(4) 相 関 行 列 と 分 散 共 分 散 行 列 相 関 行 列 X 1 X 2 X 3 X N X 1 1 ρ(x 1 X 2 ) ρ(x 1 X 3 ) ρ(x 1 X N ) X 2 ρ(x 2 X 1 ) 1 ρ(x 2 X 3 ) ρ(x 2 X N ) X 3 X N ρ(x 3 X 1 ) ρ(x N X 1 ) ρ(x 3 X 2 ) ρ(x N X 2 ) 1 ρ(x N X 3 ) ρ(x 1 X 2 ) 1 ρ(x i X i )=1 : 同 じ 変 量 (X ii ) 同 士 の 相 関 は1 ρ(x i X j )=ρ(x j X i ) : 2つの 変 量 (X i X j )の 順 序 を 変 えて 計 算 しても 相 関 係 数 の 値 は 同 じ 23

分 散 共 分 散 行 列 X 1 X 2 X 3 X N X 1 V X1 COV(X 1 X 2 ) COV(X 1 X 3 ) COV(X 1 X N ) X 2 COV(X 2 X 1 ) V X2 COV(X 2 X 3 ) COV(X 2 X N ) X 3 X N COV(X 3 X 1 ) COV(X N X 1 ) COV(X 3 X 2 ) COV(X N X 2 ) V X3 COV(X N X 3 ) COV(X 1 X 2 ) V XN 24

相 関 考 慮 後 のVaR 計 算 式 1( 分 散 共 分 散 法 ) 相 関 考 慮 後 のポートフォリオVaR = ( 単 独 VaR) ( 相 関 行 列 ) ( 単 独 VaR) VaR(X 1 ) VaR(X 2 ) VaR(X N ) 1 ρ(x 1 X 2 ) ρ(x 1 X N ) VaR(X 1 ) ρ(x 1 X 2 ) 1 ρ(x 2 X N ) VaR(X 2 ) ρ(x 1 X N ) ρ(x N X 2 ) 1 VaR(X N ) 25

相 関 考 慮 後 のVaR 計 算 式 2( 分 散 共 分 散 法 ) ポートフォリオ 現 在 価 値 の 標 準 偏 差 (σ p ) = (デルタ) ( 分 散 共 分 散 行 列 ) (デルタ) Δ X1 Δ X2 Δ XN V X1 COV(X 1 X 2 ) COV(X 1 X N ) Δ X1 COV(X 1 X 2 ) COV(X 1 X N ) V X2 COV(X N X 2 ) COV(X 2 X N ) V XN Δ X2 Δ XN 相 関 考 慮 後 のポートフォリオVaR = 信 頼 係 数 σ p 26

( 参 考 ) 行 列 計 算 式 ( 基 本 型 ) 行 ベクトル(1 行 N 列 )と 列 ベクトル(N 行 1 列 )の 掛 け 算 は Excelでは MMULT 関 数 を 利 用 して 行 う 行 列 計 算 式 の 基 本 型 ( 行 ベクトルx) ( 列 ベクトルy) x1 x2 xn y1 y2 yn MMULT 関 数 x1*y1+x2*y2++xn*yn 27

( 参 考 ) 行 列 計 算 式 ( 相 関 考 慮 後 のVaR) 行 列 の 掛 け 算 は MMULT 関 数 を 利 用 した 基 本 型 の 繰 り 返 し で 計 算 できる 相 関 考 慮 後 VaRの 行 列 計 算 式 VaR1 VaR2 VaRN ρ11 ρ12 ρ1n VaR1 ρ21 ρ22 ρ2n VaR2 ρn1 ρn2 ρnn VaRN MMULT MMULT MMULT VaR1 VaR2 MMULT VaRN VaR 2 VaR 28

3. 確 率 変 数 と 確 率 分 布 (1) 確 率 変 数 (2) 確 率 分 布 - 確 率 密 度 関 数 分 布 関 数 (3) 様 々な 確 率 分 布 - 一 様 分 布 正 規 分 布 2 項 分 布 (4) 確 率 変 数 の 期 待 値 (5) 確 率 変 数 の 独 立 29

(1) 確 率 変 数 予 め 定 まった 確 率 にしたがって 値 が 変 動 する 数 のことを 確 率 変 数 という 1/6 ( 例 )サイコロを 振 ったときに 出 る 目 の 数 サイコロの 目 (X) 1 2 3 4 5 6 確 率 確 率 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 2 3 4 5 6 X 30

株 価 金 利 為 替 等 のリスクファクターの 変 化 率 について 確 率 変 数 として 捉 えることもできる ( 例 )TOPIXの 変 化 率 (X) 確 率 下 落 (-) X X X X X 3 X 2 X 0 ( 現 在 値 ) X 1 上 昇 (+) X 31

リスクファクターの 変 化 率 の 分 布 は 正 規 分 布 ( 後 述 )にした がうと 想 定 されることが 多 い しかし 実 際 の 分 布 をみると 歪 み 偏 りやファットテール が 観 察 されることも 少 なくない ( 注 ) ( 注 ) 両 端 部 分 の 裾 野 の 分 布 が 厚 くなることをいう 東 証 TOPIX 日 次 変 化 率 の 分 布 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 実 分 布 正 規 分 布 32

(2) 確 率 分 布 確 率 分 布 を 表 わすとき 2 種 類 の 関 数 がある 1 確 率 密 度 関 数 確 率 変 数 (X)が ある 値 をとる 確 率 ( 確 率 密 度 ) を 表 わす 関 数 2 分 布 関 数 ( 累 積 確 率 密 度 関 数 ) 確 率 変 数 (X)が ある 値 以 下 になる 確 率 を 表 わ す 関 数 33

確 率 密 度 関 数 f(x) 斜 線 部 の 面 積 積 分 分 布 関 数 ( 累 積 確 率 密 度 関 数 ) F(X) 100% 縦 軸 上 の 点 P% P% X X 0 となる 確 率 X=X 0 となる 確 率 ( 確 率 密 度 ) 0% X 0 X X X 0 34

(2) 様 々な 確 率 分 布 一 様 分 布 : ある 区 間 の 中 の 値 が 同 じ 確 率 で 生 起 する 分 布 1/(b-a) f(x) 確 率 密 度 関 数 1.2 F(X) 分 布 関 数 ( 累 積 確 率 密 度 関 数 ) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 a b X 0 0 1 X 一 様 分 布 にしたがう 乱 数 ( 一 様 乱 数 )は Excel 関 数 RAND() を 使 って 生 成 することができる 35

正 規 分 布 : 左 右 対 称 の 釣 鐘 型 をした 確 率 分 布 平 均 (μ) 標 準 偏 差 (σ)を 与 えると 分 布 の 形 状 が 決 まるため N(μ,σ 2 )と 表 す f(x) 確 率 密 度 関 数 F(X) 分 布 関 数 ( 累 積 確 率 密 度 関 数 ) 1 σ=0.5 0.8 0.6 σ=0.5 σ=1 σ=2 0.4 0.2 σ=2 σ=1 μ X 平 均 (μ)=0 標 準 偏 差 (σ)=1の 正 規 分 布 を 標 準 正 規 分 布 と 言 い N(0,1)と 表 す 0 μ 36 X

正 規 分 布 の 特 徴 平 均 からどれだけ 離 れているか( 標 準 偏 差 の 何 倍 か)という 情 報 から X 以 下 の 値 をとる 確 率 が 分 かる 例 えば XがN(0,σ 2 )の 正 規 分 布 にしたがって 生 起 するとき X σとなる 確 率 は 84.1% X 2σとなる 確 率 は 97.7% X 2.33σとなる 確 率 は 99.0% X 3σとなる 確 率 は 99.9% 99% となることが 知 られている σ 2σ 99% 点 X 2.33σ 37

正 規 乱 数 の 生 成 方 法 ( 一 様 乱 数 から 作 る 方 法 ) (ⅰ) 一 様 乱 数 を 作 る( 右 図 ) Rand() : 0 以 上 で1より 小 さい 乱 数 を 発 生 させる (ⅱ) 一 様 乱 数 を 標 準 正 規 乱 数 に 変 換 する( 下 図 ) 0 1 Normsinv(Rand()) : 一 様 乱 数 の 値 を 標 準 正 規 分 布 の 分 布 関 数 の 逆 関 数 に 代 入 すると 標 準 正 規 乱 数 に 変 換 される 標 準 正 規 分 布 確 率 密 度 関 数 (ⅲ) 標 準 正 規 乱 数 を(ⅱ) σ+μにより 正 規 乱 数 ~N(μ σ 2 ) に 変 換 する (ⅳ) 正 規 乱 数 の 生 成 方 法 には 様 々なものがあり どの 方 法 が 優 れているか 研 究 の 対 象 となっている 上 記 方 法 は 一 例 に 過 ぎない 38 1 0 1 分 布 関 数 一 様 分 布

2 項 分 布 : 結 果 が2 通 りある 試 行 ( 実 験 )をN 回 繰 り 返 したとき 2 通 りの 結 果 のうち 一 方 が 起 こる 回 数 の 確 率 分 布 ( 例 )サイコロを10 回 振 って 1の 目 が 出 る 回 数 (K) 0 回 f(0)= 10 C 0 (1/6) 0 (5/6) 10 1 回 f(1)= 10 C 1 (1/6) 1 (5/6) 9 2 回 f(2)= 10 C 2 (1/6) 2 (5/6) 8 10 回 f(10)= 10 C 10 (1/6) 10 (5/6) 0 f(k) 確 率 F(K) 分 布 関 数 ( 累 積 確 率 ) 0.4 1 0.2 N=10,p=1/6 0.8 0.6 0.4 N=10,p=1/6 0.2 0 K 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 0 K 1の 目 が 出 る 回 数 1の 目 が 出 る 回 数 39

( 例 ) VaRを 超 過 する 損 失 が 発 生 する 回 数 (K) VaRを 超 過 する 確 率 p = 1 % VaRを 超 過 しない 確 率 1-p = 99%( 信 頼 水 準 ) VaRの 計 測 個 数 N=250 発 生 確 率 f(k) = 250 C K (0.01) K (0.99) 250-K f(k) 確 率 F(K) 分 布 関 数 ( 累 積 確 率 ) 0.4 1 0.2 N=250,p=1% 0.8 0.6 N=250,p=1% 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 K 0 2 4 6 8 10 VaR 超 過 損 失 の 発 生 回 数 VaR 超 過 損 失 の 発 生 回 数 0 K 40

(4) 確 率 変 数 の 期 待 値 確 率 変 数 (X)は 平 均 的 にみてどんな 値 をとるのか? ( 例 )サイコロを 振 ったときに 出 る 目 の 数 確 率 P(X) 1/6 1 2 3 4 5 6 X サイコロを 振 ったときに 出 る 目 の 数 の 期 待 値 6 ΣX=1 XP(X) = 1 (1/6) + 2 (1/6) + 3 (1/6) + 4 (1/6) + 5 (1/6) + 6 (1/6) = 3.5 41

( 例 ) TOPIXの 変 化 率 (X) 確 率 密 度 関 数 f(x) X X 3 X X 2 X X X 0 ( 現 在 値 ) X 1 X 下 落 (-) 上 昇 (+) TOPIXの 変 化 率 (X)の 期 待 値 X f(x)dx - 42 +

(5) 確 率 変 数 の 独 立 定 義 確 率 変 数 X Y が 互 いに 影 響 されず それぞれの 確 率 分 布 にした がって 値 をとるとき 確 率 変 数 X Yは 互 いに 独 立 であるという 数 式 で 表 すと P(X=a Y=b)=P(X=a)P(Y=b) 定 理 確 率 変 数 X Y が 互 いに 独 立 のとき 以 下 のことが 成 り 立 つ 1 確 立 変 数 XY の 期 待 値 は それぞれの 確 率 変 数 の 期 待 値 の 積 になる E(XY)=E(X)E(Y) 2 確 率 変 数 X+Y の 分 散 は それぞれの 確 率 変 数 の 分 散 の 和 に 等 しい V(X+Y)=V(X)+V(Y) 3 確 率 変 数 X と Y は 無 相 関 である ρ(x Y)=0 ( 証 明 省 略 ) 43

( 例 )サイコロを 振 ったときに 出 る 目 の 数 1 回 目 : X 1 = 1 2 回 目 : X 2 = 1 3 回 目 : X 3 =? サイコロの 目 (X 3 ) 1 2 3 4 5 6 確 率 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 2 回 続 けて1の 目 が 出 ても 3 回 目 の 結 果 には 影 響 を 及 ぼさない 3 回 目 は いずれの 目 が 出 る 確 率 も1/6 44

( 例 ) 株 価 金 利 為 替 等 リスクファクターの 変 化 率 過 去 の 変 化 率 ( 実 績 )が 将 来 の 変 化 率 ( 予 想 )に 影 響 を 及 ぼすことはないと 考 えて 互 いに 独 立 な 確 率 変 数 と して 捉 えることが 多 い リスクファクター(X)の 推 移 と その 確 率 分 布 X Xs X X X 0? Xt X t 0 過 去 現 在 将 来 ( 注 ) 山 下 智 志 ( 市 場 リスクの 計 量 化 とVaR 2000)を 参 考 に 日 本 銀 行 が 作 成 45

しかし リスクファクターの 変 化 率 が 時 点 間 で 独 立 とは 限 らず 相 関 関 係 が 認 められることも 少 なくないので 注 意 を 要 する - 下 図 は TOPIX 日 次 対 数 変 化 率 1 期 前 の 変 化 率 との 相 関 をみたもの 独 立 の 判 定 には 様 々なタイムラグを 置 いて 相 関 の 有 無 をみる 必 要 1 期 前 4 3 2 1 0-4 -3-2 -1 0-1 1 2 3 4 当 期 -2 相 関 係 数 ρ=0.037-3 -4 46

4. 推 定 と 検 定 (1) 記 述 統 計 と 推 測 統 計 (2) 推 定 (3) 検 定 47

(1) 記 述 統 計 と 推 測 統 計 記 述 統 計 : 基 本 統 計 量 の 算 定 や 図 表 グラフを 利 用 して 観 測 データが 持 つ 特 性 を 分 析 記 述 する ( 例 ) 特 定 の 集 団 (N 人 )の 身 長 の 平 均 と 分 散 を 計 算 する 平 均 X 分 散 Vp = = X 1 +X 2 ++X N N (X 1 -X) 2 +(X 2 -X) 2 ++(X N -X) 2 N 48

推 測 統 計 : 標 本 として 集 めた 一 部 の 観 測 データに 基 づき 母 集 団 の 特 性 について 推 測 し 検 証 する ( 例 ) 任 意 に 抽 出 したN 人 ( 標 本 )の 身 長 を 計 測 して 日 本 人 全 体 ( 母 集 団 )の 身 長 の 平 均 と 分 散 を 推 定 する 平 均 X = 分 散 ( 不 偏 標 本 分 散 ) Va = X 1 +X 2 ++X N N (X 1 -X) 2 +(X 2 -X) 2 ++(X N -X) 2 N-1 ( 注 ) 上 記 定 義 ( 偏 差 平 方 和 をN-1で 割 る)による 標 本 分 散 Vaについては 理 論 上 その 期 待 値 が 母 集 団 の 分 散 となる ことが 知 られている Vaは 母 集 団 の 分 散 を 偏 りなく 推 定 する 統 計 量 となるため 不 偏 標 本 分 散 と 言 う 49

(2) 推 定 母 集 団 の 確 率 分 布 特 性 値 は 誰 にも 分 からない 標 本 の 特 性 値 から 母 集 団 の 特 性 値 を 統 計 的 に 推 測 する 母 集 団 確 率 分 布 特 性 値 平 均 μ 標 準 偏 差 σ VaR など. 特 性 値 平 均 μ * 標 準 偏 差 σ * VaR * など 母 集 団 標 本 ( 実 現 値 ) 推 定 50

(3) 検 定 一 定 の 確 率 分 布 を 前 提 にして 推 定 した 値 について その 値 をとる 確 率 ( 有 意 水 準 α%)が 十 分 に 低 いとき 偶 然 珍 しいことが 起 きた と 考 えるのではなく 推 定 の 際 に 置 いた 前 提 ( 帰 無 仮 説 ) が 誤 っていた と 結 論 付 ける 推 定 に 利 用 した 確 率 分 布 真 の 確 率 分 布 2 推 定 の 前 提 ( 確 率 分 布 )が 誤 っていたと 結 論 付 ける 有 意 水 準 α% 実 現 値 1 実 現 する 確 率 が 十 分 に 低 い と 考 えられることが 起 きた 51

VaRを 超 過 する 損 失 が 発 生 する 回 数 (K)とその 確 率 VaRを 超 過 する 確 率 p = 1 % VaRを 超 過 しない 確 率 1-p = 99%( 信 頼 水 準 ) VaRの 計 測 個 数 N=250 発 生 確 率 f(k) = 250 C K (0.01) K (0.99) 250-K 0.4 2 項 分 布 N=250,p=1% 0.2 0 0 2 4 6 8 10 K:VaR 超 過 損 失 の 発 生 回 数 52

バックテスト(2 項 検 定 ) 観 測 データ 数 250 N 回 N 回 の 観 測 で K 回 VaRを 超 過 する 確 率 信 頼 水 準 99% 1- 信 頼 水 準 1% p% 2 項 分 布 N C K p K (1-p) N-K VaR 超 過 回 数 (K 回 ) 確 率 確 率 VaR 超 過 回 数 (K 回 以 上 ) 0 8.11% 100.00% 0 回 以 上 1 20.47% 91.89% 1 回 以 上 2 25.74% 71.42% 2 回 以 上 3 21.49% 45.68% 3 回 以 上 4 13.41% 24.19% 4 回 以 上 5 6.66% 10.78% 5 回 以 上 6 2.75% 4.12% 6 回 以 上 7 0.97% 1.37% 7 回 以 上 8 0.30% 0.40% 8 回 以 上 9 0.08% 0.11% 9 回 以 上 10 0.02% 0.03% 10 回 以 上 11 0.00% 0.01% 11 回 以 上 12 0.00% 0.00% 12 回 以 上 13 0.00% 0.00% 13 回 以 上 14 0.00% 0.00% 14 回 以 上 15 0.00% 0.00% 15 回 以 上 53

バックテストは 検 定 の 考 え 方 にしたがって 行 う VaR 計 測 モデルは 正 しい( 帰 無 仮 説 ) VaR 超 過 損 失 の 発 生 が 250 回 中 10 回 以 上 発 生 した VaR 超 過 損 失 の 発 生 が 250 回 中 10 回 以 上 発 生 する 確 率 は0.03%と 極 めて 低 い VaR 計 測 モデルは 誤 っている( 結 論 ) 54

2 種 類 の 過 誤 検 定 では 次 の2 通 りの 過 誤 (エラー)が 起 きる 可 能 性 がある したがって バックテストの 結 果 も 過 誤 (エラー) を 伴 っている 可 能 性 がある 点 注 意 を 要 する 第 1 種 の 過 誤 (エラー) 本 当 は 帰 無 仮 説 (VaR 計 測 モデル)が 正 しいのに 検 定 の 結 果 帰 無 仮 説 (VaR 計 測 モデル)が 誤 っていると 結 論 付 けてしまう 第 2 種 の 過 誤 (エラー) 本 当 は 帰 無 仮 説 (VaR 計 測 モデル)が 正 しくないのに 検 定 の 結 果 帰 無 仮 説 (VaR 計 測 モデル)が 正 しいと 結 論 付 けてしまう 55

推 定 に 利 用 した 確 率 分 布 = 真 の 確 率 分 布 第 1 種 の 過 誤 実 現 値 推 定 に 利 用 した 確 率 分 布 = 真 の 確 率 分 布 第 2 種 の 過 誤 実 現 値 56

5. 線 形 回 帰 分 析 (1) 線 形 回 帰 分 析 とは (2)Excel 分 析 ツールの 利 用 (3)チェック 項 目 ( 決 定 係 数 P 値 ) 57

(1) 線 形 回 帰 分 析 とは X i とY i の 間 に 直 線 的 な 比 例 関 係 があることを 前 提 に して X i とY i の 散 布 図 の 中 の 各 点 のなるべく 近 くに 直 線 を 描 く Y i = ax i +b+e i 変 数 Y を 変 数 X で 説 明 する Y i : 被 説 明 変 数 ( 目 的 変 数 ) X i : 説 明 変 数 a : 回 帰 係 数 b : 定 数 項 ( 切 片 ) e i : 残 差 ( 注 ) 本 例 のように 説 明 変 数 が1つの 場 合 単 回 帰 分 析 という 説 明 変 数 が2つ 以 上 の 場 合 重 回 帰 分 析 という 58

最 小 2 乗 法 残 差 e i = Y i -ax i -b の2 乗 和 を 最 小 にするように a bを 推 定 する それぞれの 推 定 値 を a bと ^ ^ 表 記 する Y i Y 実 測 値 Y^ b a e i 理 論 値 Y i =a^ X i +b^ X i X 59

(2)Excel 分 析 ツールを 利 用 した 回 帰 分 析 手 順 1 ツール メニューから 分 析 ツール を 起 動 2ボックスの 中 の 回 帰 分 析 を 選 択 してOKをクリック 3 入 力 Y 範 囲 入 力 X 範 囲 に それぞれデータ 範 囲 を 入 力 チェックを 入 れると 観 測 値 残 差 のグラフ 等 をを 表 示 ( 注 )PCによっては 分 析 ツール のアドインが 必 要 です 60

( 例 )Excel 分 析 ツール 回 帰 分 析 の 出 力 結 果 概 要 回 帰 統 計 重 相 関 R 0.956320779 重 決 定 R2 0.914549432 補 正 R2 0.90844582 標 準 誤 差 0.022258115 観 測 数 16 分 散 分 析 表 自 由 度 変 動 分 散 観 測 された 分 散 比 有 意 F 回 帰 1 0.074233006 0.074233006 149.8374126 7.24E-09 残 差 14 0.006935932 0.000495424 合 計 15 0.081168938 Y 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0-0.05 X 値 1 観 測 値 グラフ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 X 値 1 Y 予 測 値 : Y 係 数 標 準 誤 差 t P- 値 下 限 95% 上 限 95% 下 限 95.0% 上 限 95.0% 切 片 -0.047846512 0.013516678-3.539813066 0.003266347-0.07684-0.018856096-0.076836928-0.018856096 X 値 1 0.37369024 0.03052823 12.24080931 7.24475E-09 0.308214 0.439166839 0.308213641 0.439166839 残 差 出 力 観 測 値 予 測 値 : Y 残 差 標 準 残 差 1-0.027293549 0.028293549 1.315772009 2-0.023182956 0.024182956 1.124611728 3 0.009328095-0.008328095-0.387292319 4 0.051555092-0.050555092-2.351029759 5 0.104619106-0.011619106-0.540338532 6 0.092287328 0.006712672 0.312168184 7 0.097145301 0.001854699 0.086251488 8 0.097145301 0.001854699 0.086251488 9 0.108729699-0.009729699-0.452472943 10 0.117698264-0.018698264-0.869549921 11 0.12629314-0.02729314-1.269248692 12 0.175993942-0.003993942-0.185735522 13 0.177862393 0.018137607 0.843476924 14 0.167399066 0.028600934 1.330066732 15 0.176367632 0.019632368 0.912989753 16 0.195052144 0.000947856 0.044079382 残 差 0.04 0.02 0-0.02-0.04-0.06 X 値 1 残 差 グラフ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 X 値 1 61

回 帰 分 析 を 行 うときのチェック 項 目 ( 必 要 最 低 限 度 ) 概 要 回 帰 統 計 重 相 関 R 0.956320779 重 決 定 R2 0.914549432 補 正 R2 0.90844582 標 準 誤 差 0.022258115 観 測 数 16 定 数 項 ( 切 片 ) (bの 推 定 値 ) 回 帰 係 数 (aの 推 定 値 ) 分 散 分 析 表 自 由 度 変 動 分 散 観 測 された 分 散 比 有 意 F 回 帰 1 0.074233006 0.074233006 149.8374126 7.24E-09 残 差 14 0.006935932 0.000495424 合 計 15 0.081168938 係 数 標 準 誤 差 t P- 値 下 限 95% 上 限 95% 下 限 95.0% 上 限 95.0% 切 片 -0.047846512 0.013516678-3.539813066 0.003266347-0.07684-0.018856096-0.076836928-0.018856096 X 値 1 0.37369024 0.03052823 12.24080931 7.24475E-09 0.308214 0.439166839 0.308213641 0.439166839 決 定 係 数 (R 2 ):モデルの 当 てはまりの 良 さを 示 す 指 標 (1に 近 いほど 良 い) - Yの 偏 差 平 方 和 ( 全 変 動 )に 占 める ax+bの ^ ^ 偏 差 平 方 和 (モデルで 説 明 できる 変 動 ) の 割 合 として 定 義 される( 重 回 帰 分 析 の 場 合 は 自 由 度 補 正 後 の 補 正 R 2 をみる) P- 値 : 回 帰 係 数 定 数 項 の 有 意 性 を 示 す 指 標 (ゼロに 近 いほど 良 い) - 回 帰 係 数 定 数 項 がゼロであると 仮 定 した( 帰 無 仮 説 )ときに それぞれの 推 定 値 が 実 現 する 確 率 ゼロに 近 ければ 検 定 の 考 え 方 にしたがって 帰 無 仮 説 を 棄 却 できる 回 帰 係 数 定 数 項 はゼロではない 回 帰 係 数 定 数 項 は Yを 説 明 するのに 有 効 62

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