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Ⅱ. いろいろな関数の微分 ( 続 ) (2) 合成関数の微分慶應義塾大学医学部 5 年藤田成晴 e- mail : fi9506@med.keio.ac.jp URL : http://www.med.keio.ac.jp/~fi9506 現 URL : http://homepage2.nifty.com/ta-fuj/ 第 Ⅱ 章第節で微分の基本公式をマスターしたのでこの第 2 節では続けて合成関数の微分の公式を練習しましょうこれさえマスターすればとりあえずよく登場するあらゆる関数についてその殆どのものは微分できるようになるので微分ならまかせとけっていうかんじになると思います! その前にもう一回第 Ⅰ 章と第 Ⅱ 章第節で出てきた大切な公式と準公式を書いておきます公式 y = f (x) = x n の微分は f (x) = nx n - 準公式 y = f (x) = x n の微分は f (x) = -n x n+ ( x n = x - n だったのでそこに公式をあてはめて導いたものです) 分数形の微分はやはり分数形になるが次数はいつもと違って増えてそして係数にはマイナスもついてくる ( 忘れたら 3 ページにあります) 準公式 2 y = f (x) = x の微分は f (x) = 2 x ( x = x /2 だったのでそこに公式をあてはめて導いたものです) ルートの微分ではルートが下にいって係数は /2 がつく ( 忘れたら 4 ページにあります) 2

公式 2 y = f (x) = e x の微分は f (x) = e x y = f (x) = log x の微分は f (x) = x y = f (x) = sinx の微分は f (x) = cosx y = f (x) = cosx の微分は f (x) = - sinx y = f (x) = tanx の微分は f (x) = cos 2 x e x の微分では微分しても変わらなくてまた自分と同じになってしまう logx の微分では微分すると全く自分と違うような形になってしまう sinx と cosx の微分では微分するとお互いに交換するみたいになるただしここで cosx の微分の方ではマイナスがつくことに注意しましょう tanx の微分だけはちょっとかんじがちがっていますねこれは分けて覚えます公式 3 y = f (x) = u v の微分は f (x) = u v + u v u u v - u v y = f (x) = v の微分は f (x) = v 2 積の微分は前微分後 + 前後微分で商の微分は上微分下 - 上下微分に分母が 2 乗でしたさて以上で今まで出てきた公式と準公式が全部出たのでいよいよ本節の課題である合成関数の微分の公式をやりましょう 22

公式 4 dy dy du dx = du dx なんかとてもきれいで覚えやすい公式ですねこの公式は式は簡単なのですが使い方がちょっと難しいので今からそれをマスターしましょう例えば y = f (x) = ( 3x 2 + 2 ) 5 という関数の微分を求めてみましょうこれをはじめに展開なんかして 5 乗も計算してたら微分する前にすでにやる気が失せてげっそりしてしまいそうですなんとかいい手はないんでしょうかここででてくるのが合成関数の微分という考え方なのです公式 4 について見てみましょう dy / dx というのはライプニッツの記号で y を x で微分したものつまりいつもの微分 f (x) のことですよねそのあとは記号はなんと言っているのでしょうかそれは y を u で微分したものに u を x で微分したものをかけたものと同じだと言っていますねここではじめて登場する u とは何者のことなのでしょうか上の例の式は次のようにして微分しますまずかっこの中のめんどくさい式 3x 2 + 2 を u と置くのですすなわち u = 3x 2 + 2 としますこうすると y = ( 3x 2 + 2 ) 5 = ( u ) 5 つまり y = u 5 という形が見えてきましたねこうすれば y を u で微分したものが計算できることがわかりますねそうです dy du = 5u 4 になりますよねここでまた別にはじめに u を置いた式つまり u = 3x 2 + 2 にもどると u を x で微分したものも出せませんかそうです du dx = 6x ということになりますさてこの 2 つがわかったんだからこれらを公式 4 にぶちこんでやれば求めたかった微分が出せることになりますつまり dy dy du f (x) = dx = du dx = 5u 4 6x やったこれでできた!とも言いたいところですがちょっとこの答ではいただけませんどうしてかというと実は u というのはこの微分を求めるときに自分で勝手においた 23

文字で問題中にはこんな文字は何も出ていないからなのですそこで最後に u = 3x 2 + 2 の式をまた使って u を消して全部 x だけのきれいな式にして終わりになりますつまり f (x) = 5u 4 6x = 5 ( 3x 2 + 2 ) 4 6x = 30x ( 3x 2 + 2 ) 4 これが答ですこれできれいな答なのでこれ以上はあえて展開せずに終わりにします合成関数の微分はこんなかんじですイメージがつかめたでしょうかさっそく何問か演習してみましょう Q. 次の関数の微分を求めよ () y = f (x) = ( x 2 + 4x + ) 7 (2) y = f (x) = ( 6x -5 ) 9 (3) y = f (x) = ( x 2 +3 ) 4 A. 合成関数の微分の公式 4 の使い方をマスターしましょう () 上の例のようにまずかっこの中のめんどくさい式 x 2 + 4x + を u と置いてみるつまり u = x 2 + 4x + と置く dy / dx つまり f (x)を求めるには y を u で微分したものに u を x で微分したものをかければ出せるまず u を使った置き換えによって y = (x 2 + 4x + ) 7 = ( u ) 7 つまり y = u 7 という形が見えてくるすると y を u で微分したものとは dy du = 7u 6 になることがわかるここでまた別にはじめに u を置いた式つまり u = x 2 + 4x + にもどると u を x で微分したものも出せて du dx = 2x+ 4 といえるよってこの 2 つがわかったのでこれらを公式 4 に入れれば求める微分は dy dy du f (x) = dx = du dx = 7u 6 ( 2x+ 4 ) これで終わりにしてしまうと自分で勝手においた文字 u がまじっていてまだきちんとした答になっていないので最後にまた u = x 2 + 4x + の式を使って u を消すと f (x) = 7u 6 ( 2x+ 4 ) = 7 ( x 2 + 4x + ) 6 ( 2x+ 4 ) = 4 (x + 2 ) ( x 2 + 4x + ) 6 24

これできれいな答で終わりです (2) またまずかっこの中のめんどくさい式 6x -5 を u と置き u = 6x -5 とするこの置き換えによって y = ( 6x -5 ) 9 = ( u ) 9 つまり y = u 9 という形になるすると y を u で微分したものとは dy du = 9u 8 になりまた別にはじめに u を置いた式である u = 6x -5 にもどると u を x で微分したものも出せて du dx = 6 となるよってこの 2 つから公式 4 によって求める微分は dy dy du f (x) = dx = du dx = 9u 8 6 最後に自分で勝手においた文字 u を u = 6x -5 の式を使って消去すると f (x) = 9 ( 6 x -5 ) 8 6 = 54 ( 6x -5 ) 8 これできれいな答で終わりとなる (3) またまずかっこの中のめんどくさい式 x 2 +3 を u と置き u = x 2 + 3 とすると y = (x 2 +3 ) 4 = ( u ) 4 つまり y = u 4 という分数形になるまず y を u で微分したものを求めるが分数形を指数になおして y = u - 4 としてこれを微分してもいいがここはもっとかっこよく準公式を使おうと思い立ち指数にいちいちなおさないで直接微分すると dy du = -4 u 5 となるそれから別にはじめに u を置いた式である u = x 2 + 3 にもどって u を x で微分したものを求めると du dx = 2x となるよってこの 2 つから公式 4 により求める微分は dy dy du f (x) = dx = du dx 25

= -4 u 5 2x 最後に自分でおいた文字 u を u = x 2 + 3 の式を使って消去すると f (x) = -4 (x 2 + 3 ) 5 2x 8x = - (x 2 +3 ) 5 となるこれで合成関数の微分もきっとばっちりになったと思いますがでもだんだん慣れてきたらなんとなくまどろっこしくなってきませんか? つ微分するのに u だなんだってこんなにたくさん書かなきゃいけなくてなんか大変ですよね実は理系の学生で慣れている人だったらこの問題だと多分行書いて終わりで数秒で微分してしまいます何かもっといい方法があるのでしょうか?これからそのテクニックを伝授致しましょう! もっと早く微分する方法を一言でいうといちいち u という文字を使わない!ということになります例えば上の () をもっと早く微分する方法で微分してみましょう公式 4 の改良形として次の式を見て下さい dy dy d ( ) dx = d ( ) dx こんな式は教科書とかにも出ていなくて僕が勝手に作った式ですが要するに公式 4 の u という文字のところをかわりに ( ) にしたというわけです記号をその通りに読むと y を x で微分したものは y を ( ) で微分したものに ( ) を x で微分したものをかけたものと等しいということになりますがさて上の () の式 y = (x 2 +4x + ) 7 について今度はかっこの中のめんどくさい式 x 2 + 4x + をいちいち u と置かないで今度はそのままかっことして眺めて下さいそうですね y = (x 2 + 4x + ) 7 = ( ) 7 という形が浮かび上がって見えてきましたか? するとまあ変な書き方かもしれませんが y を ( ) で微分したものとは dy d ( ) = 7 ( ) 6 というふうになることがわかるでしょうかこれをかっこの外の微分と名付けてみようと思うのですがよろしいでしょうかところでここでいうかっこの中身はもともとなんのことだったかというと ( ) = 26

x 2 + 4x + のことだったわけですよねこれを考えると ( ) を x で微分したものというのも出せて d ( ) dx = 2x+ 4 といえるわけですまたこれをかっこの中身の微分と名付けてみようと思いますよってこの 2 つがわかったのでこれらを公式 4 の改良形と称するものに代入すれば求める微分は dy dy d ( ) f (x) = dx = d ( ) dx = 7 ( ) 6 ( 2x+ 4 ) つまりかっこの外の微分なるものにかっこの中身の微分なるものをかけたというわけになりますね実はもうこれで微分はほとんど完成ですあとははじめの方のかっこ中が空白でおかしいのでそこにただ中身をもどして書き加えてやればいいのですつまり f (x) = 7 ( x 2 + 4x + ) 6 ( 2x+ 4 ) = 4 (x + 2 ) ( x 2 + 4x + ) 6 これで終わりです u を使ったときと全く同じ答がでていることも確認できますね答案などでは途中の変なかっこの式などは書かないでこの最後の 2 行だけを書けばいいのです慣れてしまうとほんとうに数秒でできてしまうことがきっとお分かりになったと思います! だからさっきの公式 4 の改良形なるものをもっとわかりやすく一言で言うと dy dy d ( ) dx = d ( ) dx = かっこの外の微分かっこの中身の微分ということになりますこの標語みたいなのを覚えればもうきっとあとは楽勝のはずです! ではさっそく実戦にいってみましょう Q. さきの問いの (2) (3) についても同様に u という文字を使わないで微分を求めよ A. まず (2) についてはかっこの中のめんどくさい式 6x -5 をいちいち u と置かないでそのままかっことして眺めて y = ( 6x -5 ) 9 = ( ) 9 という形が浮かび上がって見えるすると y を ( ) で微分したものつまりいわ 27

ゆるかっこの外の微分というものは dy d ( ) = 9 ( ) 8 というふうになるまたここでいうかっことはもともとなんのことだったかというと ( ) = 6x -5 のことだったわけなので ( ) を x で微分したものつまりいわゆるかっこの中身の微分というものは d ( ) dx = 6 といえるよって求める微分はかっこの外の微分にかっこの中身の微分をかけて dy dy d ( ) f (x) = dx = d ( ) dx = 9 ( ) 8 6 あとはかっこの中身をもどして書いて f (x) = 9 ( 6 x -5 ) 8 6 = 54 ( 6x -5 ) 8 これで終わりとなる ( 答案だったら最後の 2 行だけでいいのです ) 続いて(3) についてはめんどくさい式 x 2 +3 をそのままかっことして眺め y = (x 2 +3 ) 4 = ( ) 4 という形が見えるよってかっこの外の微分は dy d ( ) = -4 ( ) 5 となるまたもともとかっことは ( ) = x 2 + 3 のことだったのでかっこの中身の微分というものは d ( ) dx = 2x となるよって求める微分はかっこの外の微分にかっこの中身の微分をかけて dy dy d ( ) f (x) = dx = d ( ) dx = -4 ( ) 5 2x かっこの中身をもどして書くと f (x) = -4 (x 2 + 3 ) 5 2x 8x = - (x 2 +3 ) 5 となる ( 答案だったら最後の 2 行だけで OK!) 28

合成関数の微分ももう本当にばっちりになったと思いますではその仕上げのためにこの節の総まとめの演習をやってみましょう Q. 次の関数の微分を求めよ () y = f (x) = ( x 3 + 8 ) 6 (2) y = f (x) = ( 4x-7 ) 2 (3) y = f (x) = x 2 + 2x -5 (4) y = f (x) = ( sinx + 2cosx ) 3 (5) y = f (x) = ( logx + x ) 5 (6) y = f (x) = e x + (7) y = f (x) = sin (2x-) (8) y = f (x) = tan (5x + 9) (9) y = f (x) = log (x 2 + ) (0) y = f (x) = e - x + () y = f (x) = cos 2 x (2) y = f (x) = sin 3 x (3) y = f (x) = log (cos x + 2) A. 公式 4 の合成関数の微分の総まとめですいちいち u と置かないでそのままかっことして眺める速攻法で素早くかっこよく微分してみましょう () y = ( x 3 + 8 ) 6 = ( ) 6 という形を見抜くとかっこの外の微分 = 6 ( ) 5 となるわけでまた一方かっこの中身の微分 = 3 x 2 となるからこれらをかければ求める微分は f (x) = 6 ( ) 5 3 x 2 ちゃんとかっこの中身を戻して書くと = 6 ( x 3 +8 ) 5 3 x 2 = 8 x 2 ( x 3 +8 ) 5 (2) y = ( 4x-7 ) 2 = ( ) 2 という形を見抜くとかっこの外の微分 = -2 ( ) 3 となり( 準公式を使った) またかっこの中身の微分 = 4 となるからこれらをかけて求める微分は f (x) = -2 ( ) 3 4 かっこの中身を戻して書くと = -2 ( 4x-7 ) 3 4 29

8 = - ( 4x-7 ) 3 (3) y = x 2 + 2x -5 = ( ) という形が見抜ければ(OKですか?) かっこの外の微分 = 2 ( ) となるわけで( 準公式 2 を使った) またかっこの中身の微分 = 2x + 2 となるからこれらをかけて求める微分は f (x) = 2 ( ) (2x + 2) かっこの中身を戻して書くと = 2 (x 2 + 2x -5) (2x + 2) x+ = x 2 + 2x -5 (4) y = ( sinx + 2cosx ) 3 = ( ) 3 という形なのでかっこの外の微分 = 3 ( ) 2 となりまたかっこの中身の微分 = cosx - 2sinx となることがわかるから(sinx の微分は cosx cosx の微分は-sinx でした!) これらをかけて求める微分は f (x) = 3 ( ) 2 ( cosx - 2sinx ) かっこの中身を戻せば = 3 ( sinx + 2cosx ) 2 ( cosx - 2sinx ) (5) y = ( logx + x ) 5 = ( ) 5 という形なのでかっこの外の微分 = 5 ( ) 4 となりまたかっこの中身の微分 = x + となることがわかるから(logx の微分は x でした!) これらをかけて求める微分は f (x) = 5 ( ) 4 ( x + ) かっこの中身を戻せば = 5 ( logx + x ) 4 ( x + ) (6) y = e x + = ( ) = ( ) - /2 という形が見抜ければ( 指数は OKですか?) かっこの外の微分 = - 2 ( ) - /2 - = - 2 ( ) - 3/2 = - 2 ( ) 3 となり(ちょっと大変ですね) 30

かっこの中身の微分 = e x となるから(e x の微分は e x でした!) これらをかけて求める微分は f (x) = - 2 ( ) 3 e x かっこの中身を戻して書くと = - 2 ( e x + ) 3 e x e x = - 2 ( e x + ) 3 e x これを = - 2 ( e x + ) ( e x + ) と書いてもいいんでしたよねどうしてか忘れたら 5 ページを見て下さい (7) y = sin (2x-) = sin ( ) という形を見抜くとかっこの外の微分 = cos ( ) となるわけで(OK でしょうか??) またかっこの中身の微分 = 2 となるからこれらをかけて求める微分は f (x) ={ cos ( )} 2 かっこの中身を戻せば ={ cos (2x-)} 2 = 2 cos (2x-) cos ( )はそれ全部でつのかたまりですよくこの cos の( )の中に 2 を入れてしまって cos (4x-2) とする方がいますがこれは誤答になりますよく考えるとわかるように両者は全然ちがう関数を表しているのです (8) y = tan (5x + 9) = tan ( ) という形だからかっこの外の微分 = cos 2 ( ) となり( 見た目は難しそうですよねでも tanx の微分は cos 2 x だったのでした!) またかっこの中身の微分 = 5 となるからこれらをかけて求める微分は f (x) = cos 2 ( ) 5 かっこの中身を戻せば = cos 2 (5x+ 9) 5 5 = cos 2 (5x+ 9) (9) y = log (x 2 + ) = log ( ) という形でありかっこの外の微分 = ( ) となり(これはわかりにくいですねーでも 3

logx の微分って x となるんですよね~!) またかっこの中身の微分 = 2x となるからこれらをかけて求める微分は f (x) = ( ) 2x かっこの中身を戻せば = ( x 2 + ) 2x 2x = x 2 + (0) y = e - x + = e ( ) という形をしているわけで(OK ですか?) かっこの外の微分 = e ( ) となり(なんか変なかんじですが微分しても不変なのだからこれでいいわけですよね) かっこの中身の微分 = - となるからこれらをかけて求める微分は f (x) = e ( ) (-) かっこの中身を戻せば = e ( -x + ) (-) = - e - x + () y = cos 2 x = ( cosx ) 2 = ( ) 2 という形に実はなっているのですがこれは納得でしょうかそう見抜ければかっこの外の微分 = 2 ( ) となりまたかっこの中身の微分 = - sinx であるからこれらをかけて求める微分は f (x) = 2 ( ) (- sinx ) かっこの中身を戻せば = 2 ( cosx ) (- sinx ) = -2 cosx sinx (2) y = sin 3 x = ( sinx ) 3 = ( ) 3 という形にこれもなっているわけですよねーそこでかっこの外の微分 = -3 ( ) 4 となり(また例の準公式を使いました) またかっこの中身の微分 = cosx であるからこれらをかけて求める微分は f (x) = -3 ( ) 4 cosx かっこの中身を戻して書くと = -3 ( sinx ) 4 cosx 3 cosx = - sin 4 x 32

(3) y = log (cos x + 2) = log ( ) という形はすぐ分かるので (9)と同様にかっこの外の微分 = ( ) となりまたかっこの中身の微分 = - sinx であるからこれらをかけて求める微分は f (x) = ( ) (- sinx ) かっこの中身を戻せば = ( cos x + 2 ) (- sinx ) sin x = - cos x + 2 お疲れさまでした!!これでこの節の総まとめの演習を終わります合成関数ももうできるぞと自信がつきませんでしたか? 実は自分が知らないうちにもう自分の身近ないろいろな教科書が結構楽しく理解しながら読めるようになってきているはずです! 最後の仕上げの総合問題を続けて書きたかったのですがメモリーの容量がまた大きくなってきてしまったのでまたここでファイルを中断します意欲がある方は次の節の総合問題にチャレンジして自分の力がパワーアップしたことを実感してみて下さい! ( 第 Ⅱ 章第 2 節終わり 999//28 藤田成晴 ) 33