05 年度大学入試センター試験解説 数学 ⅡB 第 問 []() 点間の距離の公式から, OP ( cos q ) + ( sin q ) ( cos q + sin q ) ア PQ { ( cos q + cos 7q ) - cos q } + { ( sin q + sin 7q ) - sin q } cos q + sin q 7 7 イ である また, OQ ( cos q + cos 7q) + ( sin q + sin 7q) cos q + cos q cos 7q + cos 7q + sin q + sin q sin 7q + sin 7q (cos q + sin q) + (cos 7q + sin 7q) + (cos 7q cos q + sin 7q sin q) 5 + (cos 7q cos q + sin 7q sin q) ウ, エ 5 + cos (7q - q) ( 加法定理を用いて ) 5 + cos 6 q オ ここで, p p q より, p 6q p であるから, cos p cos 6q cos p - cos 6q 0 ゆえに, は cos 6q 0 つまり,q よって, より,OQ は q p p のとき最大となる のとき, カ 最大値 5 + 0 5 キ をとる - - O - p
05 年度センター試験数学 ⅡB () において,cos q 0 であるから,P ( cos q, sin q) より, 直線 OP を表す方程式は y sin q sin q x cos q cos q x すなわち, (sin q) x - (cos q) y 0 ( ) ク 点 O,P,Q が一直線上にあるのは,Q が直線 OP 上の点のときであるから, より, (sin q) ( cos q + cos 7q) - (cos q) ( sin q + sin 7q) 0 sin q cos 7q - cos q sin 7q 0 sin 7q cos q - sin q cos 7q 0 sin (7q - q) 0 より,sin 6q 0 より, これを満たす q は 6q p つまり, q p 6 このことにより, の範囲で, 点 O,P,Q が一直線上にあるのは, q p 6 のときである ケ () OQP が直角となるのは, OPQ が直角三角形であることおよび,() から, OP,PQ に着目すると,OQ のとき, コ P このとき, より, ( ) 5 + cos 6q cos 6q - に注意すると,の範囲でこれを満たす q は, 6q p つまり,q p 9 であるから, OQP 90 となるのは q 9 p のときである O Q サ, シ
05 年度センター試験数学 ⅡB []() (*) より x y から,( x y ) よって,x y x y から,( x y ) よって,xy より, x y xy より, y から,x - ス, セソ x x - であるから, これにを用いて, y ( - ) - - - 6 よって, - - 6 y ( ) これより,p - とおくと, チツ, テ y p タ となる () つまり, 5 とするとき,(*) を満たす正の実数 x,y が,であるので,,5から, ( - ) x - - ( ) - - より, x - - 6 トナ,5 から, - - - y ( ) より, y 7 ニ と表される
05 年度センター試験数学 ⅡB ここで,x > 0,y > 0 に対する ( 相加平均 ) について, x + y つまり, xy x + y xy x + y,( 相乗平均 ) xy ( 等号は x y で成立 ) が成り立つことを利用すると,6,7 を用いて, - - x + y ( ) ( ) - - であり, より, x + y は, - - ( ) - - - 5 となる で成立する よって, > 0 であるから,q - 5 とおくと, ネノ, ハ q のとき,x + y は最小値 をとることがわかる ヌ
05 年度センター試験数学 ⅡB 第 問 y y f(x) () 関数 f( x) x において h 0 のと f( + h) き,x が から + h まで変化するときの f(x) の平均変化率は f () f( + h ) - f( ) ( + h ) - ( + h ) - h O (h > 0) + h x ( h + h ) + h h ア, イ である したがって,x における f(x) の微分係数 f'() は, h f'( ) lim d + D ウ, エ である h Æ 0 () : y x 上の点 P, f'() であるから, 接線 l の方程式は における接線 lの傾きは, y ( x - ) + より, y x - オ, カ と x 軸 ( つまり,y 0) との交点 Q の x 座標は,x - 0 より,x よって,Q,0 である キ, ク さらに, 点 Q を通り,l と垂直 な直線 m について, より, (lの傾き ) (m の傾き ) - (m の傾き ) - y これより,m の傾きは - であるから,m の方程式は, P y - d x - D つまり,y - x + ケ ス A O Q B m x ここで, 点 P から x 軸に垂直に下ろした点 (,0) を点 B とする m と y 軸の 交点 A と点 B について, 5
05 年度センター試験数学 ⅡB APQ の面積 S は, S ( 四角形 OBPA) - AOQ - BPQ また, ( 四角形 OBPA) d + D ( + ) AOQ BPQ d - D これらとから, S ( + ) - - ( + ) - ( + ) ( + ) 5 セ, ソ y P O A B x また, 面積 T は上図の網目部分であり,x 軸と線分 BP および曲線 によって囲まれた図形の面積を U とおくと, T - U 6 これと, Ú È U x dx Í x Î 6 0 0 より, ( + ) T ( + ) - 6 7 タ, チツ となる ( + ) ( + ) S - T - ( + ) - ( + ) ( - ) テ, トナ 6
05 年度センター試験数学 ⅡB であるから,S - T > 0 となる のと り得る値の範囲は ( - ) > 0 と > 0 より, > - y O y ( - ) よって, > ニ また, > 0 のとき,S - T の値を g() とおくと, g( ) - g'( ) - ( - ) であるから, > 0 における g() の増減表は以下のようになる (0) g'() - + g() 0 g() ゆえに,g() は で, 極小値 g( ) - - をとる よって,S - T は > 0 で のとき最小値 - をとる ヌ ヒ 7
05 年度センター試験数学 ⅡB 第 問 () n の値は n,,,,5 に対して, 順に,,, 6, 5 となることから, n の値は,,,, 6, 5 ア エ ここで, n + n であるから, n + の一の位の数は n の一の位の数を 倍した数の一の位の数として定まる よって, n の一の位の数は,,,6,,,,6,, となり,,,,6 の順にくり返すから n + n ( ) オ が成り立つ () をくり返し用いることで, n + n + n + d D n + n + n + n + n + n + d D n + n + n + n + n + n + n + n + n + n + n + n n n + n + n + n d D よって, すべての自然数 n に対して, n + n + n + n + n が成り立つことがわかる n n カ ここで,() から, n, n +, n +, n + は,,,6 が循環した数列の連続 した 数より, n + n + n + n 6 ( ) + + + 7 キであり, これを に用いると, n + が成り立つ 7 n つまり, n + n ク, ケ
05 年度センター試験数学 ⅡB を用いると, k- ( k-) - ( k-) - c ( k-) - k- k- k c { k-( k-) }- c c c - k- ( k-) - ( k-) - c ( k- )- k- ( ) c { k- k- }- k- コ, サ これと, より, k- c k- k- ( k-) - ( k-) - c k- c { k-( k-) }- c k- ( k-) - シ, ス これと より, k- c k- c k k- ( k- ) ( k-) c c k- k- { k-( k-) } セ, ソ これと k c とわかる k- より, 9
05 年度センター試験数学 ⅡB () S n n j より, 自然数 m に対して, j  S m ( + + + ) + ( 5 + 6 + 7 + ) ここで,() より, + + + k - k - k - k + + ( m - + m - + m - + m) + + k - k - k d D d D d D - k + - k - d D d D であり, はこの式で k,,,m としたものの総和であるから, S m d よって, S m 6 d である () () から, m k - kâ d D m D m D - - m 6 dd D - D - 6 タ, チ k - k - k - k k - k - k - d D d D d D d D d D ( k - ) 5 k - ツ, テ であることと,() と同様にして, T m ( ) ( 5 6 7 ) ( m - m - m - m) が 5 の式で k,,,m としたもののすべての積であることから, ( - ) ( - ) ( - ) T m d d D D d d D D d d D D ここで, m d 0 + + + + ( m - ) より,6 から, ( m - ) d d D D D { 0 + + + + ( m - ) } m ( m - ) 6 m ( m - ) m - m T m m d D m d D ト, ナ である 0
05 年度センター試験数学 ⅡB ここで, T 0 T 9 0 7 に注意すると, - T T d D d D また,() より, - - d D 9 0 - - d D であるから,7 より T 0 である ニ, ヌ, ネ ( 注 ) 本問の オ の解説では を正解としていますが, 大学入試センターより実施 日後に () を独立した問題と考えると 0 も当てはまることから, 0 も正解とすると解答訂正の発 表がありました
05 年度センター試験数学 ⅡB 第 問 () O A Q P B P は線分 AB を AP:PB : に内分する点より, OP + + + ア, イ, ウ また,t を実数とすると, OQ ( - t ) OB + t O OB + t ( O - OB) OB + t B であり,B - と合わせて, OQ + t ( - ) - t + エ ここで, と のなす角は 60 であり,MM MM MMMM cos 60 オ, カ また,OP ^ OQ により, OP OQ 0 キ であることから,,より, d + D d - t + D 0 ( + ) ( - t + ) 0 - tmm - t + + MM 0
05 年度センター試験数学 ⅡB,を用いて, - t - t + + 0 よって, 5 t より,t 5 ク, ケ これらのことから, OP d + D d + D + A + A 9 + + A 9 d + + D 9 7 9 よって, OP 7 コ, サ また,t 5 5 より,OQ - + 5であるから, 5 5 OQ d - + D d - + D 6 5 - A 5 - A 5-0 + 6 A 6 6 d 5-0 + 6 D 6 よって, OQ であるから, OPQ の面積 S は, POQ 90 に注意すると, 7 7 S OP OQ シス, セ ソ ツ
05 年度センター試験数学 ⅡB () O A T Q P B R 点 R は B を : に内分する点なので, OR OB + O + ここで, O OB + B B - OB + より, O + (- ) - O であるから, OR + ( - ) - + 6 である ここで, 直線 OR と直線 PQ の交点 T は OR 上の点であるから,6より, OT ror (r は実数 ) rc - + 7 r - + r 一方,T が直線 PQ 上の点より, OT ( - s) OP + s OQ と表されることから,,5より, 5 OT ( - s) c + + s c - + 9 c - s + c + s
05 年度センター試験数学 ⅡB ここで, 0, 0 れの, の係数は一致するから,,? であることから,7, において, それぞ - r 9 - s r + s これを解いて, r 7 9,s テ ニ r の値と7より, OT - 7 7 + ヌ フ 6 9 と求まる r,s の値により, OR:OT :r : つまり, OT:TR 7: また, 7 9 9:7 PT:TQ s: ( - s) : c - : これらを用いると, O OPT S また, OPT:S 7: より, OPT 7 よって, S A P B T S R Q 7 S S, つまり S S これより, S :S である : : ヘホ 5