第7巻デリバティブと投資戦略

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あいりみおか
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1 ST 第 2 次レベル補講資料第 7 巻第 7 巻デリバティブと投資戦略理解のポイント現物とデリバティプもしくはデリバティブとデリバティブの組み合わせにより望ましいのパターンを作り出すことてリスクをコントロー ) レするデリバティブが生み出すのパターンの把握組み合わせて生まれるのパターンの把握複製ポートフォリオによる必要なデリバティブの構築 = これらが具体的な投資戦略てどのように行われどのように利用されているか? 2 先物を利用したヘッジ取引時点 0: 現在時点 T: 満期 H S 戸満期日 ( 時点 T) の原資産の価格 ( 配当なし ) Fo,r: 現在 ( 時点 0) の先物価格 (T= 1 を想定する場合の ) 先物 ( 先渡し ) の満期日 ( 時点 1) の (a) 先物の売りポジション (b) 先物の買いポジション S T - F,,T ST F,T - ST 原資産 1 単位保有に対して先物 1 単位の売りヘッジを行う時点 1の = Sr+ (Fo, r-sr) = Fo, T: 時点 1のが時点 0に確定ここて先物の理論価格 : Fo, r = Sre rt ( 連続複利の無リスク利子率 rは一定と仮定 ) 例えば株式ポートフォリオを株価指数先物てヘッジ ( 保有株式ポートフォリオキ株価指数 ) 先物による最適ヘッジ比率? 例題 I 現在時価 10 併意円の株式ポートフォリオを運用しているが当面の市場動向は不透明て " ぁ - 1 -

2 るそこて材 6:\:! ょ売却せずに株価指数先物の売りポジションによるヘッジを行うことにしたポートフォリオの収益率の株価指数先物の収益率に対するf3 値は0.95 現在の株価指数先物価格は13,026 円ヘッジ期間は現在から先物の満期日まての3ヵ月とするときヘッジ後のの分散を最小とする最適ヘッジを達成する先物売買枚数を求めようただし先物の売買単位 (1 枚 ) は先物価格 X1,000 円てある解答 I ポートフォリオの収益率の株価指数の収益率に対する f3 値 =0.95 最適ヘッジ : ポートフォリオの価値変動を先物売りポジションの価値変動が最も良く相殺するヘッジ最適ヘッジ先物売却枚数 N =f3x( 株式ポートフォリオのも価値 )/( 先物価格 X1,000) = X 10, 000, 000, 000/ (13, 026 X 1, 000) =a: 729 よって最適ヘッジは株価指数先物 729 枚の売り 3 オプションを利用した投資戦略 (I) 相場の変化の方向だけでなくボラティリティの変化の方向も利用した投資 (a) 相場上昇を予想する場合の戦略 : ロングコールバーティカルブルスプレッドショートプット S T ( オプション購入費用を満期 BT に換算 ) ロングコールの (b) 相場下落を予想する場合の戦略 : ロングプットバーティカ ) レベアスプレッドショートコールロングプットの S T - 2 -

3 (c) ボラティリティ上昇を予想する場合の戦略 : ロングストラドルロングストラングルショートバタフライショートコンドルロングストラドルの s T (d) ボラティリティ下蒋筏? 予想する場合の戦略 : ショートストラドルショートストラングルロングバタフライロングコンドルショートストラングルの S r 例題 2 : 株価指数の値は現在 13,000 円てあるこの株価指数の変動に関する相場観をもとにオプション取引による投機を行うここて以下のような相場観を持ったならどのような取引を行うべきか取引戦略を述べオプションの満期におけるを図示しよう (i) 満期まてに指数は大きく上昇するか下落すると考えられるがどちらに振れるか確恰はない (ii) 満期まて指数の値はあまり変化せず 12,000 円から14,000 円の間にとどまる可能性が高し解答 2 : (i) 例えば K=13,000 とするロングストラグルを実行する ((C) 図参照 ) (ii) 例えば k 戸 12,000 民 =14,000 とするショートストラングルと実行する ((d) 図参照 ) (2) プットコールパリティ ( 合成先物と先物の裁定取引 ) 例題 3 鴫株価指数は 13,000 円満期まて 3 ヵ月の株価指数先物価格は 13,026 円てあるまた満期まて,,3 ヵ月行使価格 13,000 円の株価指数 ( ヨーロピアン ) コールオプションの価格が580 円同条件の ( ヨーロピアン ) プットオプションの価格が 570 円てある 3ヵ月後まての金利はすべて 0.8%( 年利 ) て一定配当や取引コストは無視てきるものとするこのと裁定のためにはどのような取き株価指数先物とオプションの間て裁定取引が可能てある - 3 -

4 引を行いどれだけの利益を得るか考えようただしオプションの取引単位 ( 1 枚 ) はオプション価格 X 1,000 先物の売買単位 (1 枚 ) は先物価格 X 1,000てあるとする解答 3 - K 左記の満期日 T のを与えるポジション : (a) 行使価格 Kのコール買い + 行使価格 Kのプット売り (b) 原資産買い+ 金額 kを返済する借入れ (c) 先物買いポジション+ 金額 (K- 先物価格 ) を返済する借入れフットコー ) レパリティ :Co-Po = So- K Fo,T-K = ( ただし = 1 + (1/ 4) X (0. 008) かつ先物理論値 Fo,r = S X ) 現在コー ) レ 1 枚買いプット 1 枚売り先物 1 枚売り建て (13,026-13, 000) X 1, 000/ 円借入 = 現在の損益 : [ 一 (13, , 000) /1. 002] X 1, 000::::,: 15,948 円 3ヵ月後 ( 満期日 ) の損益 : 0 円 ( 現在から満期日まての損益も0) よってこれは裁定取引てありその利益は約 15,948 円となるポートフォリオマネジメントヘのオプションの利用オプション利用の利点 : リターンのリスク特性を望ましいように変化させられること So: 原資産の現在価格 S いオプション満期日の原資産価格 K: オプションの行使価格 4カバードコール : (I) 原資産保有十コー ) レオフション売りのポジションを取る戦略 K +9 - s K s T カバードコールの原資産のコールオプションの売りポジションからの全体を通じて原資産のみ保有する場合よりもコール売却益分だけ収益が増加 ITM ( インザマネー ) の場合コールの支払い分だけ収益が減少し収益の増加に歯止めがかかる原資産を保有しながらインカムゲインを増加させる - 4 -

5 一定の価格上昇があったら売却する ( ターゲットセリング ) 等の投資戦略に利用 (2) プロテクティブプット : 原資産保有 + プットオプション買いのポジションを取る戦略 k+ - S K s T 原資産のプットオプションの買いプロテクティブプットのポジションからの全体を通じて原資産のみ保有する場合よりもプット購入費用分だけ収益が減少 ITM の場合プットの支払い分だけ収益が増加し損失の増大に歯止めがかかる保険料として費用を払ってても資産の価値の下藷 ; リスクを減少させ保有資産の価値を一定の水準 ( フロア ) 以上に保つといった投資戦略に利用例題 4 : 現在株価指数は 13,000 円てあるこの株価指数と同じ銘柄構成からなる時価 104 億円のポートフォリオを向こう 1 年間運用するが相場下落の懸念のためプロテクティブプットによるヘッジを行うことにした 1 年後が満期て ` ある株価指数プットオプションが市場て取引されそれらの行使価格と価格が以下のように与えられるときオプションの購人背用を最小にしつつ購人費用も含めた 1 年後のポートフォリオの価値を 94 億円以上に保つためには株価指数プットオプションを何枚購入しなければならないてあろうかただしプットの取引単位 (1 枚 ) はプット価格 X1,000 てあり 1 年後まての金利はすべて 0.8% て " 一定配当や取引コストは無視てきるものとする行使価格 (K) フット価格 (P) 12, , , ,500 1,139 14,000 1,457 解答 4 : プットオプション購入枚数 = (10,400,000, 000/13, 000) /1, 000 = 800 ( フロアが指定されているため全額オプションの対象とする ) 1 年後の株価指数の値をVとするときプットオプションを800 枚購入した場合の 1 年後のポートフォリオの ( オプション購入費差引後の ) 価値額 VPP は Vpp = 800,000XV +800,000XMax[K-V, 0 ]-(1.008) X 800,000XP = 800,000X (V-1.00SXP)(ifV>K), 800,000X (K-1.00SXP)(otherwise) ここて K;;.=:_12,500 ならば任意の V に対し VPP>9,400,000,000 てあることが確認される - 5 -

6 (K=l2,500 の場合 VPP 9,494,387,200) よって最小費用てフロアを達成するために K=l2,500 のオプションを 800 枚購入する保有するポートフォリオがオプションの原資産てある株価指数とは異なる場合先物の場合 ( 例題 1) と同様株価指数オプションてヘッジてきるリスクを ( 部分的に ) ヘッジ必要なオプションが存在しない場合: オプションのを複製する複製ポートフォリオを構築することて必要なオプションを実質的に作り出す 5 複製ポートフォリオのアイディア複製ポートフォリオのアイディア : 無裁定 (no aribitrage) による価格決定の発想の転換無裁定による価格決定 = 裁定の機会がなければ同じを生み出す資産の価格は同じオプションの複製ポートフォリオ = オプションのと同じを生み出すオプ (I) 単純な例原資産の価値 : <10 時点 0 2 時点 1 ー - P,o無リスク利子率r複製ポートフォリオ : 無裁定価格 : (100)+ (1) = 3 33 ションの原資産と無リスク資産のポートフォリオプットオプションの価値 ( 行使価格 K=llO) 時点 0 時点 1 < 凡 MM[K-120, O] 0 [ ]+ 誓0 [ : ] = し ]=[ り :J (2) 2 項 2 期間モデルの例原資産の価値 : くslusく時点 0 時点 1 / \時点 s2uu2s2udsdu2slds2ddプットオプションの価値 : くpluく時点 0 時点 1 時点 2 凡 =Max[K- 90, O] = 20 PZuu/\Po pldzudppzduzddp- 6 -

7 各時点間の無リスク利子率 : r 複製ポートフォリオ : Xlu [ ::] +y 1u [ : ]=[ :::] ぶ l d[ ::J +y 1 d [! ] = [ :::J, xo [t:j + yo G!;J = [;::] = 価値変動を一致させ常にオフションと同じ価値を持つ原資産と無リスク資産のポートフォリオオプションの無裁定価格 : P1u = x1us1u 十 Jlul, P1d = X1dS1d 十 J1dl, (3) 連続時間モデルの例 : Po = xoso 十 yol 原資産の時点 t の価値 : S 原資産の価値変動 : ds = µsdt 十びS dw 無リスク資産の時点 t の価値 B: 無リスク資産の価値変動 : db = rbdt オプションの時点 t の価値 : P (t, S) ap ap I a 2 P ap オプションの価値変動 : dp = ( at + s+as µ がSりdt 十硲 dw 2 as 2 as ap 各時点 tにおいてオプションを1 単位保有し同時に原資産を as ( デルタ ) 単位空売りするポートフォリオの瞬時の価値変動は無リスクよってそのリターンは無リスク利子率に等しい ap I a 2 P ap + at 2 as 2 がS 三 r(p- S): オプ 3/ ョン価格が満たす偏微分方程式 at これはオプションと原資産のポートフォリオて無リスク資産を作り出したことを意味するが逆に原資産と無リスク資産のポートフォリオて常にオプションと同じ価値を持つオプションの複製ボートフォリオを作り出せることも意味する発想の転換 : 必要なオプションが存在しないならその複製ポートフォリオを作って利用すれば良し! 6 ポートフォリオインシュランス必要なプットオプションを複製ポートフォリオによって作り出すプロテクティブプット投資戦略オプションを完全に複製するためには原理上連続的なポートフォリオのリバランスが必要原資産の価値変動 : ds = µsdt 十び SdW 無リスク資産の価値変動 : db = rbdt オプションの価値変動 : dp = ( ap ap 1がP ap S 十一がSりdt 十ぷ,dW at as µ 2 as 2 as - 7 -

8 1 単位のオプションを複製するためには各時点において原資産をオプションのデル ap 夕単位保有する必要がある as 例題 5 例題 4 と同じ状況を考える 1 年後の資産価値をフロアの94 億円以上に保つため例題 4 に与えられる市場て可又引されているオフションて,' プロテクティブプットを行うと費用最小化のために行使価格 12,500 円のオプションを購入した場合 1 年後の資産価値は必ず94 億 9,438 万円以上となるこれは目標フロアの94 億円よりも9,438 万円以上高くその分余計な費用がかかっていることになるここて仮に行使価格 12,300 円の株価指数フットオプションが取引されていたならその価格とデルタは以下のように与えられるとしようもしもこれを利用することがてきるなら目標最低水準の94 億円をちょうど達成するプロテクティブプットが可能てあることがわかっている戸そこて行使価格 12,300 のプットオプションを複製ポートフォリオて作り出すポートフォリオインシュランスを行うことにするこのとき以下の問題を考えよう (i) このプットオプションを 1 枚複製するために現在原資産をどのように取引するべ (ii) (ii りきか原資産の取引ては流動性が十分には確保てきないのて代わりに原資産てある株価指数の先物を利用して複製ポートフォリオを作ることにした 1 年後を満期とする先物が取引されているならばこのプットオプションを 1 枚複製するために現在この先物をどのように取引するべきてあろうかただしオプション同様先物の 1 取引単位は先物価格 x 1,000 てあり 1 年後まての金利はすべて 0.8% て一定配当や取引コストは無視てきるものとする (ii) における複製ポートフォリオのための先物のポジションを取った数日後突然株価指数が大幅に上昇したこのとき先物のいかなるリバランスを行うべきてあるか解答 5 ap (i) プットオプションのデルタ X 1, 000=-0. 32X 1,000だけ原資産を保有する as すなわち原資産を0.32X 1, 000X 13, 000=4, 160,000 円分売却する (ii) 先物価格 (F)=l.008X 原資産価格 (S) なのて af 先物の原資産に対するデルタ = as - 8 -

9 ap ap af オプションの先物に対するデルタ = / = ー 0.32X (1 /1.008) = af as as よって先物を枚売り建てる (iii) 先物を買い戻し売りポジションを縮小させる 7 まとめデリバティブを使った投資戦略 : 望ましいのパターンを作り出しリスクをコントロールする一晃なるデリバティブもしくはデリバティブと原資産の組み合わせーダイナミックな取引による複製ポートフォリオの構築一あらゆるリスクに応用可能な般性 - 9 -

10 付録代表的なオプション戦略図 ( 合成方法は代表的なもの ) ( 注 : K, く氏 < 氏 <K4) 名称令 1.nンク )-/ 2. ショート J-J 令 3.llンクプット二損益パターン三合成方法一 J J (K i )l 単位買い J-J 川 (K 1 )l 単位売りプット (K,)1 単位買い 4. ショートプット 5.11' ーティカ ) しフウルスフレット * 令 6. I\ ーティカI ヘ. 7 スプレッド 7.[I ング }\' タフうイ 8. ショート J\' タフうイ 9.D: ノグ入卜うド )V / 戸ーン - 一 K 2 でこ二ブ心/ \ プット (K 1 )1 単位売り J-J (K 1 )1 単位買い J-/ (K 2 )l 単位売りプット (K 1 )1 単位売りプット (K 2 )l 単位買い J-Jl,(K,)1 単位買い J 哺 (K 2 )2 単位売り J ール (K 3 )1 単位買い J-/ 川 (K,)1 単位売り J ー l (Kz)2 単位買い J-/ (K 3 )l 単位売り ] 哺 (K i )l 単位買いプット (K 1 )1 単位買い

11 名称 10. ショ虞 } 損益パターン合成方法 J-J し (K,)1 単位売りプット (K,)l 単位売り 11.ll ンクストうンク. I プット (K,)l 単位買い ] ール (KJl 単位買い 12. シ 3 ートストうンゲ Jl, プット (K,)l 単位売り J-J (K 2 )1 単位売り令 13.llンク. Jンドル 14. シ 3- ト J ンドル 15.J ン /\'- シ. 3 ン 16. リ /\ 令ーサ, ニ \ こ一 : 口ロ戸 K1 J-) 氾 (K 1 )1 単位買い J-J 川 (K 2 )1 単位売りプット (K 3 )l 単位売りプット (K 4 )1 単位買いプット (K 1 )1 単位売りプット (K 2 )1 単位買い J-J 川 (K 3 )1 単位買い J- ル (K 4 )1 単位売り J-J (K 1 )1 単位売りプット (K 1 )1 単位買い先物 l 単位買い J-J 川 (K,)l 単位買い 7 ット (K,)l 単位売り先物 1 単位売り 17. ホ令ックスス7 Vッド K1 K1 K2 J-J 川 (K 1 )l 単位買いプット (K 1 )1 単位売り J ー ) 川 (Kz)l 単位売りプット (K 2 )1 単位買い

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Microsoft PowerPoint - PRM 外国為替市場の基本的関係プロジェクトリスクマネジメント第 9 回金利 Dolla 期待インフレ E i E i Dolla 2 年 7 月 3 日 ( 水 ) 5-45 先物と直物レート Dolla Dolla 全て等しい期待直物レート E Dolla Dolla 課題 8 金利と為替レートの関係で課題 8 マネーマシンその Dolla Dolla Dolla.25 5. Dolla Dolla

第7巻 デリバティブと投資戦略

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