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1 電験第 種対策 電気数学 基本事項 計算方法と問題の解き方

2 目次. 序言. 関数の基礎. 様々な基礎関数. 方程式の解法. 関数の最大と最小. ベクトルの計算. 交流の複素数表示. 複素数の座標上での表し方と演算方法. 交流の複素数表示. インピーダンス. 交流のベクトル表示.5 電力の複素数表示.6 三相交流の複素数表示.7 周波数伝達関数 5. 結言

3 . 序言 ( 電験第 種の受験科目は 理論 電力 機械 法規 の ( 電 科目から構成されるが これ等は電気磁気学 電気回路理論 電気機器学 電力系統理論 制御理論等の広い技術分野にまた がり これ等を共通的に結びつけているのが ツールとしての数学 ( 電気数学 である ( 本講座では電験第 種で要求される数学の基本的事項について 解説すると共に それが実際の問題で どの様に関係しているかを 実例を含めて述べる ( 本講座の受講生におかれては 講座の内容をよく理解すると共に 必ず自分で問題を解いて その重要性を実感して頂きたい

4 . 関数の基礎. 様々な基礎関数.. 次多項式と 次多項式 理論的には 次 次多項式等もあるが 実際には 次 次多項式までで間に合うことが多い, > < > 下に凸 は, は一定の 次多項式 < ( ( 図 - 次多項式図 - 次多項式 は, は一定の 次多項式 上に凸, 及び, については後述する (. 節

5 .. 三角関数 ( 三角関数の定義 r P r r 図 - 三角関数説明図, 図 - において 動径 OP が基準から回転した角度を θ とすると 各三角関数は次の様に定義される sin os tn r r ここでsinθとosθの間には次の関係が成り立つ sin os r r また sinθ osθおよびtnθの間には 次の関係が成り立つ tn / sin / os 5 (- 式より sinθ 或いは osθ の何れかより もう一方を簡単に求めることが出来る ****** 各々 サインシータ コサインシータ タンジェントシータと読む

6 ( 三角関数の諸定理 (/ まず加法定理について説明する 図 - より次式が成り立つ PQ sin OP PT TQ OP PT S OP P os Osin OPsin os OPos sin OP OP sin os sin os 図 - 加法定理 T P Q S と置き換えた場合を含めて (-5 式を得る sin sin os sin os 5

7 同様に os(α±β の場合についても次式を得る os OQ OS QS OPos os OPsin sin os os sin sin OP OP OP と置き換えた場合を含めて (-6 式を得る os os os sin sin 6 (-5 式で α=β の場合 (α+β=α と (-6 式で α=β の場合 (α+β=α について結果をまとめて (-7 式を示す sin sin os sin os os / 7 os /

8 ( 三角関数の諸定理 (/ 次に正弦定理と余弦定理を説明する ( 証明は省略 A C 図 -5 正弦定理と余弦定理 B 図 -5の ABCについて (-8 式が成立する 8 sin sin sin これを正弦定理と呼ぶ 同様に 図 -5の ABCについて (-9 式が成立する os os os 9 これを余弦定理と呼ぶ 以上説明した加法定理 正弦定理 余弦定理は三角関数の計算の基礎となる重要な定理である (-9 式において 9 ならば となり よく知られる 三平方の定理 ( ピタゴラスの定理 と一致する

9 ( 三角関数のグラフと交流の時間変化 図 -6 P P P t P, P 8 t P 左図 ( 図 -6 において動径 OP が半径 の円周上を一周当り T[s] の速度で回転する時 次式が成り立つ T [ s] f f [ rd / s].. ω: 角周波数 f: 周波数 [Hrtz] P P 8 sin os sin t os t P P 7 t P 5 図 -7 図 -6 及び式 (. (. をベースに sin t, os t をグラフに示したのが 図 -7である この様に時間に対して 正弦波状又は余弦波状に変化する電圧 電流を交流という 図 -7から分る様に sin t と os t とは波形としては全く同じで 単に電気 角をシフトしただけの相違である P 6 9 T T P 6

10 ( 三角関数の交流への応用 加法定理 ( 式.5 により正弦波と余弦波の合成を行う事が出来る ここで 交流電圧 交流電流 i の大きさはその実効値 ( ff, ff で表示することが多い 同様にここで i: 電圧 電流の瞬時値 : 電圧 電流の波高値 電力 P[W] は P= ff ff で与えられるが もし と i の間に位相差があればここで φ: 電圧 と電流 i の位相差電力の表示については 章でさらに詳述する. sin os sin os sin t B A t B A B t B A A B A t B t A /,sin / os B A B B A A. ] [ os W P ff ff ] [ sin. ] [ sin A d i V d ff ff の平均値の平均値

11 (5 三相交流交流電力は三相交流 ( 相 相 相 により供給されることが多い 電圧 電流共 各々ずつ位相をずらした三つの相の成分で供給するわけで 次の様に表現出来る 電圧電流ここで φ: 電圧 と電流 i の位相差 sin.6 sin sin sin.5 sin sin t i t i t i t t t

12 各相の電圧の間には 加法定理 ( 式.5 により 次の関係が成り立つ事に注意が必要.7 sin sin os os os sin sin os os sin sin os os sin sin sin sin sin i i i t t t t t t t t t t 同様にして

13 [ 例題 -] ( 問題 ある回路に i sint[ A] の電流が流れている この電流の瞬時値が時刻 t=[s] 以降に初めて[A] となるのは 時刻 t=t [s] である t [s] の値として正しいのは次のうちどれか ( 平成 年度理論の問題より ( 解答 i t. sint[ A] に, i sint T T: 周期 [s] [ A], t sint t[rd] sint t を代入すると 左図にsinπtのグラフを示す 式 ( と左図により次式が成り立つ t t [ rd] 5 t [ s] 8 したがって正しいのは である 8

14 .. 指数関数 ( 指数法則 を n 回掛け合わせたものを n と書き の n 乗 と読む n を n の指数と云い 次の指数法則が成り立つ n n, n n n n n,, n n.8 ( 累乗根 n = を満たす の値を の n 乗根と云い 次の累乗根の性質が成り立つ n n n n, n n n n n n,,.9

15 ( 指数関数とそのグラフ 図 -8 指数関数 < < を でない正の定数であるとき = を を底とする指数関数と云う = のグラフを図 -8 に示す ここで = で = であることに注意して欲しい ( これは式 -8 の n = -n で =n と置けば容易に理解できる 章で述べる複素数も 形式的には同様に計算出来ることに注意すること

16 .. 対数関数 ( 対数の定義指数関数 = に対して 対数が次の様に定義される log. ここで は を底とする の対数であると云う はこの対数の真数と定義される ( 対数の性質対数関数の性質から明らかなように 対数について次式の関係が導かれる log MN log M log N log log M M r / N log r log M log M ここで >, で M>, N> とする N.

17 ( 常用対数と自然対数 を底とする対数 log を常用対数といい =.78 を底とする対数 log を自然対数と云う 両者の間には次の様な関係がある ある数 N の自然対数を とすれば N= であり この両者の常用対数をとれば log log log また 式 log log.,.,. N N log log.78 log N N log.9 より...9 log. N.5

18 . 方程式の解法.. 次方程式 ( 虚数と複素数 実数 ( 有理数 無理数 の平方は必ず正となるから 平方して負となる様な数は実数の範囲では存在しない そこで平方して負となる様な数としては 実数の範囲外で考える必要がある 平方して - になる様な数を で表わすと 次式が成立し これを虚数という.6 ここで は正の実数 更に 実数と虚数とを組み合せた式 (.7 のような数 Z を複素数と呼ぶ Z, は実数.7 ここでは複素数 Zの実数部であり が虚数部である 複素数の四則演算では を普通の文字と同じように扱い =-で置き換える またZの絶対値 Z は次式で表わす ( 章参照 Z, は実数.8

19 .. 次方程式 ( 次方程式の解法式 (.9 の 次方程式の解法を考える ここで は実数で とする (.9 式を変形する式 (. により 次方程式の根が求められる 式 (. において複素数の考え方を導入することにより 式 (.9 の 次方程式は如何なる場合も根を持つことになる.9. ならは二つの複素数共役な虚根 < ならは実根だが一個重根と云うならは実数二つの実根 >

20 .. 連立 次方程式 ( 連立方程式 一般的に n 個の未知数から成る n 個の方程式が一つの組みを成す ( 連立する とき これ等の方程式を n 元連立方程式と云う 未知数が全て 次であるときは n 元連立 次方程式と云い 電気回路網の計算では特に良く使用される 連立方程式の解法にも様々な手法があるが ここでは最もシンプルな未知数を一つずつ遂次消去していく方法を 最も基本的である 元 ( 次 連立方程式について解説する 更に未知数の数が多い場合でも その手法の延長は極めて容易である ( 元連立 次方程式の解法.. ここで,,,,, は定数 (. 式 (. 式の連立方程式で 個の未知数のうち 片方を消去して 個の未知数だけの方程式に変形して解く ここでは先ずを消去する (. 式 と (. 式 の組を作る..

21 ( 元連立 次方程式の解法 ( 続き (. -(. を作ると の項は消えて. /. 同様にして を求めると.5 / (. 式 (.5 式により 未知数 が求められる また最初に を消去する方法として (. 式を変形して.6 / として (.6 式を (. 式に代入してもよい 未知数の数が増えても 未知数を一つずつ消去していけば 同じように最終的に一つの未知数を解く方程式に到達出来る 解の吟味 (. 式を良く見ると のときは 解を求められないことが分かる 即ち (. 式 (. 式が連立方程式として成り立つためには 又は でなければならない

22 [ 例題 -] ( 問題 抵抗値が異なる [Ω] と [Ω] を図 のように直列に接続し [V] の直流電圧を加えたところ 回路に流れる電流は 6[A] であった 次に この抵抗 [Ω] と [Ω] を図 のように並列に接続し [V] の直流電圧を加えたところ 回路に流れる電流は 5[A] であった このとき 抵抗 [Ω] と [Ω] のうち小さい方の抵抗 [Ω] の値として正しいのは次のうち どれか ( 平成 年度理論の問題より ( (. (.5 ( (5 6A 5A V V 図 図

23 ( 解答 V 5[ Ω] 6A これを変形して 図 の並列合成抵抗を [Ω] とすれば したがって V 5A 6 5 [ Ω] ( 式を ( 式の分母に代入するとを得る これに ( 式を代入するとこれを変形して ( 式は についての 次方程式であるから (.9 式 (. 式を適用すると , 5, 6 となり または 小さい方の抵抗としては [Ω] となる 答 (

24 [ 例題 -] ( 問題 図のように 種類の直流電源と 種類の抵抗からなる回路がある 各抵抗に流れる電流を図に示す向きに定義するとき 電流 [A] [A] [A] の値として正しいものを組み合せたのは次のうちどれか ( 平成 年度理論の問題より 5 V V A B ( - - ( - - ( ( (5 -

25 ( 解答 キルヒホッフの法則を適用して を未知数とする連立方程式をつくる A ループについて B ループについて また より A A V 5 A A V 5 ( 式を ( 式および ( 式に代入し 整理すれば ( 式 (5 式を得る 9 5, 5 7 ( 式 (5 式は と を未知数とする連立方程式であり (. 式および (.5 式を適用すれば = [A] =[A] を得る これを ( 式に代入すれば =[A] を得る したがって解答としては表中の ( の組み合わせが正しい 答 ( 5

26 . 関数の最大と最小.. 次関数の最大と最小 既に.. 節で 次関数 > はならば最小値 ( 極小値 またはならば最大値 ( 極大値 を持つ (.7 式右辺においてもし > なら のとき最大となる 図 -9( において <.7 一定, > 下に凸 ( 一定 図 -9 次関数のグラフ となる 図 -9( において, となる もし < なら により は, ( < 上に凸

27 .. その他の関数の最大と最小 ( で ( 一定 とするとき が最大となる条件を求める を変形して とし これをに代入すると (.8 式は の 次関数であり 前節.. の結果を応用出来る (.7 式でと置き換えると図 -9( でで S は最大 ( で ( 一定 のときが最小となる条件を求める をに代入して変形して (.9 式を更に整理すると (. 式の左辺であるから 右辺も故にしたがって の最小値はとなる ときは (. 式よりを得る すなわち のとき は最小値をとる, > > A S A A S.8 A A S,, A A A A A A A S の最大値, > > B B B.9 B. B B B B B B B

28 [ 例題 -] ( 問題 定格容量 P[kV A] の単相変圧器がある 負荷電流 に関係なく一定の無負荷損 Pi( 鉄損 負荷電流 の自乗に比例する負荷損を P( 銅損 とする時 この変圧器の効率 η は Pi=P の とき最大になることを示せ ただし 負荷の力率は一定とし Pi と P 以外の損失は無視して よいものとする ( 解答 ( 出力 ( 入力 ( 出力 ( 出力 ( 損失 V os V os Pi P (. 式の分母に着目すると Vosφ は一定 Pi と r は一定なのでと なるから 前節,,( の結果より (r のとき すなわち Pi のとき (. 式の分母は最小となり 効率 η は最大となる ならば Pi=r =P のとき η は最大となる 注 これに類する問題 あるいは この問題の結果を応用した問題が時々出題される のでこの結果を記憶しておくことを おすすめする V os os Pi r V ここでosφ: 負荷の力率 V: 変圧器電圧 r: 巻線抵抗 (. 式の分母と分子を各々 で割ると V os Pi V os r Pi (r Pi Pi (. (r 一定 (.

29 . ベクトルの計算 ( 一般に ベクトルとは大きさと方向を持つ量 と定義されており 速度や力が これに 該当する 電気工学においては 電界の強さ 磁界の強さ 力 ( 静電力 磁気力 など がベクトル量である ここではまずベクトルの計算の基本事項を解説し その応用としての複素数ベクトル については 章で述べる ( ベクトル表現と基本演算 ( ベクトルの合成 ある量がベクトル量であることを示すには 通常ゴシック体で書くか 或いはその文字の上に矢印 ( を付けるが ここでは を付けて表す 平行移動 図 - ベクトルの平行移動 図 - ベクトルの和 図 - ベクトルの差

30 . ベクトルの計算 ベクトルには次のような特性がある 平行移動 図 - ベクトルの平行移動 ( イ ベクトル を図 -の様に平行移動しても その性質は変わらない 従ってベクトルの和や差は平行四辺形の性質を利用して求める ( ロ ベクトルの和 ( 加算 二つのベクトルの和 図 - ベクトルの和 は平行四辺形の対角線として求められる ( 図 - 参照 ( ハ ベクトルの差 ( 減算 ベクトルの減算 は ( を加えると演算として図 -の様に求められる 図 - ベクトルの差

31 [ 例題 -] ( 問題 真空中において 図 ( のように一辺が[] の正三角形の各頂点 A,B,Cに正の点電荷 Q[C] が配置されている 点 Aから辺 BCの中点 Dに下ろした垂線上の点 Gを正三角形の重心とする 点 Dから[] 離れた点 Pの電界 [V/] を求めよ ただし 点 Pは点 Dと点 G 間の垂線上にあるものとし 真空の誘電率をε [F/] とする ( 平成 年度理論より A Q[C] Q[C] B G P D [] [] 図 ( Q[C] C

32 ( 解答 この問題は点 A 点 Bおよび点 Cの各々の電荷による点 Pおける電界の強さ AP BP および CPを合成する ( 和を求める ことに帰着する ここではまず BPと CPを合成して X BP CP を求め その後 X との和を求める ベクトル X は BPと CPを二辺とする平行四辺形の対角線と等しくなるから また BP AP CP の大きさは AP Q BP Q ( ( AP と は明らかに方向が逆であり 点 Pにおける電界 P の向きを図 (-( において下向きにとれば P Q BP CP osθ ( Q ( AD ( Q ( ( 式が答となる Q ( [ V ( / ] ( AP B B CP CP A X P D AP ( D X θ θ θ θ P 図 ( AP BP C BP C

33 . 交流の複素数表示. 複素数の座標上での表し方と演算方法.. 複素数平面における表し方.. 節で 次方程式の根の求め方との関連で 複素数について一通りに説明した ここでは更に一般化した複素数の表し方について述べ 次節における演算方法へのベースとする..でも述べた様に 複素数は実数部と虚数部から構成される これを図 -に示すように 直角座標の横軸と縦軸に各々対応さ せる 従って Z の絶対値は Z r である事が分かる Z 次に複素数 (- Z r Z Z を極座標表示する事を考える ここでオイラー (ulr の公式 (- 式は次の様に表示できる Z r(os r(os sin r sin ( os sin ( を適用すれば 図 - 図 - に示す複素数は 複素数平面における 点を基準とした P 点の位置を示すベクトルとも考えられるので 複素数ベクトルとも呼ぶ 虚軸 虚軸 r Z r 図 - θ 図 - P Z P 実軸 実軸

34 .. 複素数の演算複素数の演算法には様々な手法があるが ここでは主なものを三つ紹介する ( ベクトルとしての演算前節.. で述べた様に 複素数は複素平面上でベクトルとしての性格を持っているので. 節で述べた様な平行四辺形の原理に基づいて 加算 減算 などを容易に行うことができる 説明はここでは繰り返さない ( 純然たる複素数としての演算二つの複素数 (Z = + と (Z = + の間の四則演算は下記の様に行う 実数部と虚数部は分けて計算するが 掛け算 割り算等では が出て来たら - として計算すればよい ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Z Z Z Z Z Z Z Z (-

35 ( 極座標表示による掛け算と割り算二つの複素数の掛け算 割り算は極座標表示 ( が便利なことが多い 以上三つの計算手法は ケースバイケースで使い分けると共に 一つの計算の流れの中でも組み合わせると便利なこともある Z r Z r ( ( r r r r Z Z r r r r Z Z (-5 (.. 節 指数関数参照

36 . 交流の複素数表示.( 項で述べたように 交流の電圧 v 電流 iは時間 tについて正弦波状に変化し (-6 式 (-7 式のように表すことが出来る v i sin( t ここで 複素数表示した電圧 V ( t を (-6 式と比較してみると ( t V os( t sin( t ( 8 であり 上式の虚数部は (-6 式と一致することがわかる 同様に電流 iについても 次式の虚数部は (-7 式と一致する ( t os( t sin( t ( 9 従って 複素数表示した ff sin( t ( 6 : 電圧の最大値 : 電圧の実効値 : t における位相のずれ sin( t ff ff sin( t ( 7 電流の最大値 : 電流の実効値 : 電圧に対する電流の位相の遅れ : ff および V ( t ( t ( これ等を複素電圧および複素電流と云う を用いて回路計算を行い 結果の虚数部により 電圧 電流の瞬時値を知ることが出来る 複素電圧 複素電流は実用上 極めて便利であり 後述する複素インピーダンス 複素ベクトルを含めて 複素数表示した量を中心に話を進めていく

37 . インピーダンス 直流の電気については 電圧と電流の関係は V= ( オームの法則 のように抵抗 [Ω] のみによって結びつけられているが 交流の場合は インダクタンス L[H] およびキャパシタンス C[F] の作用を考慮する必要がある まずインダクタンス L[H] については (-9 式を利用して 次式が得られる V d L dt d L dt 従って インダクタンス L の複素数表示された抵抗 に相当する量は ωl[ω] であることがわかる これをインダクタンスの ( 複素 インピーダンスと云う 次にキャパシタンス C[F] についても同様に次式が成り立つ V 従って キャパシタンス C のインピーダンスは ( t ( t L L( dt C C ( t dt ( C C であることが分かる 図 - に,L,C の直列回路を示す V Z 実部 Z L L Z C 虚部 V L Z( C Z L L ( C C ここでをインピーダンスの実部 ( リアクタンス という L C を虚部 図 -

38 . 交流のベクトル表示.. ベクトル表示の考え方. 節. 節で述べた複素数表示された交流電圧 電流およびインピーダンスなどは複素 数平面上でベクトル表示すると実用上便利なことが多い ベクトル表示する場合 実用上 は (-8 式と (-9 式の V ( t ( と t においてVとの相対的な関係さえ 分かればよいことが多い すなわち これらの二つの式において を省略し V を 基準にして 複素平面上にベクトル図をかけば 図 - のようになる 複素数表示化された 量には 今後上にドットを付けて および 電流の実効値をもって表示する 虚軸 V V 実軸 ( t のように書き しかも慣例上 交流電圧 図 -

39 .. 交流のベクトル表示 基本的な回路構成要素である L C について各々にかかる電圧と電流のベクトル表示 を考える 虚 軸 V 実軸 ( のみの回路 ( 図 (-5 参照 V と V ( の間に位相のずれはない 図 -5 のみの回路 虚 軸 L V 実軸 図 -6 L のみの回路 (L のみの回路 ( 図 (-6 参照 (- 式により 次式が成り立つ V L L L os sin sin V V ( 5 L L 上式により L ベクトルは V ベクトルより だけ位相が遅れる またLのインピーダンス Z は次式で与えら L れる Z L =ωl (-6

40 虚 軸 C V 実軸 (C のみの回路 ( 図 (-7 参照 V C C C C 図 -7 C のみの回路 C CV C V ( 7 上式により C ベクトルは V ベクトルより だけ位相が進む Cのインピーダンス Z C は次式で与えられる Z C C C ( 8

41 [ 例題 -] ( 問題 図のように 正弦波交流電圧 sin t[ V] の電源 静電容量 C[F] のコンデンサ及びインダクタンスL[H] のコイルからなる交流回路がある この回路に流れる電流 i[a] が常に零となるための角周波数 ω[rd/s] の値を表す式を求めよ i[a] ( 平成 年度 (8 年 理論より [V ] i L [A] L[H] i [A] C C[F]

42 ( 解答 i i L i C C L C L の実効値を複素ベクトル表示した量を各々 L C C L C とすれば L C L ( ( 式において となるためには 次の条件を満たす必要がある C L ( LC ( 式が解答となる を基準として と L をベクトル表示 すれば 右図のようになる すなわち とより L 位相が進み はだけおくれており 絶対値は等しいこと になる これを並列共振条件という C C C L 9 C L

43 .5 電力の複素数表示.5. 交流回路の電力 電圧を基準とすれば 電圧の瞬時値 v v と瞬時電流 i i は (-6 式 (-7 式において とおいて次のように与えられる v sin wt i sin( wt ff sin 電力の瞬時値は p vi で与えられるから p vi ff ff sin ff 加法定理の (-6 式を適用すると 上式は次のように変形される p vi ( ff ff p wt sin( wt (-9 (- sin( wt sin( wt ff ( os os(wt wt sin( wt ff os os(wt (- (- 上式の [ ] 内で os( wt は 周期の平均値は零となり 結局 周期にわたる平均電力 ( 有効電力とも云う P は次式でも与えられる P ff ff os (- 上式は当然のことながら 前述の (- 式と一致する ff ff の添字は繁雑であるから 今後 電圧 電流を表すのに添字なしの大文字および を使用し ベクトル表示するには を上に符す事にする

44 .5. 電力の複素数表示 ( 電圧ベクトルを基準として電流ベクトルをとすれば 電力ベクトル S は次式で与えられる S os sin (- (- 式の実数部を有効電力 P と云い 虚数部を無効電力 Q と名付ける P os W (-5 Q sinvr os 以上をベクトル図に示したのが図 -8 図 -9である ( 図 -8に示す様に 電圧と同じ位相成分 os を有効電流成分と云い 9 位相のずれた成 sin 分を無効電流成分と云う ((- 式 (-5 式および図 -9で無効電力 Q に-がついているのは電流が電圧よりも だ け位相が遅れているからであり 誘導性負荷で図 -8 電圧と電流のベクトル成分あることに注意する必要がある また S P os W を皮相電力 V Aと云う ((-5 式および図 -9において 有効電力 PW は電力の 周期にわたる平均値を意味し無効電 Q 力 QVr は各瞬時瞬時には電力のやりとりは Vr あるが 周期の平均は零である成分を意味している S V A 図 -9 電力ベクトル sin

45 .5. 力率改善 ( 前項.5.で述べたように 通常 有効電力を供給する場合 無効電力 Qも同時に供給することになり 皮相電力 S P Qに相当する設備が必要となり 送電損失も大きくなる ( 通常 負荷は遅れ力率であることが多いので この場合の無効電力 Qを 進み力率の無効電力で打ち消すことが出来れば皮相電力も小さくなり 設備容量や送電損失の観点から有利となる これを力率改善と云う ( 図 -に誘導性の無効電力の一部を進みの無効電力で力率改善した様子を示している ここでは 元々有効電力 Pと誘導性無効電力 Q が供給されていたときの皮相電力 S がである 進み力率の無効電力 Q C を接続することにより 無効電力が Q に減少し 皮相電力もに減少した このときの数値関係を下記の式に示す S Q Q Q C P P os 図 - 力率改善 (-6 S S Q Q Q C S P Q (-7 S P Q (-8 以上は単相交流を想定して説明したが 後述する三相交流についても全く同様に考えることが出来る

46 .6 三相交流の複素数表示..(5 の項でも述べた様に 交流電力は三相交流 ( 相 相 相 により供給されることが多いが 対称な三相回路であれば 以下に述べる様に 今迄述べてきた様な単相交流に準ずる方式で複素数ベクトルにより考える事が出来る ( 三相起電力の複素数表示 ( 基準 (-9 V V 図 - 三相起電力 V ( 基準 V V V V V (- (- 式 図 -から明らかなように 線間電圧の大きさは 相電圧の倍で位相は進む 6

47 ( 三相電流と三相負荷の複素数表示 (i 負荷の星形結線 ( 図 - 参照 π π ( X Z π Z Z π Z Z Z Z (- (- Z Z Z 図 - 負荷の星形結線 X Z

48 ( 三相電流と三相負荷の複素数表示 (ii 負荷の三角結線 ( 図 - 参照 下図に示す様に星形結線の場合と同じ線電流が流れたとすると 各辺のインピーダンスは Z となる 線電流 ( と相電流 ( の関係を右側の図に示す ベクトル図から各電流の絶対値は各相電流の 倍となり 位相は相電流が だけ進むことになる 6 Z Z Z 図 - 負荷の三角結線

49 [ 例題 -]( 問題 図のように 相電圧 kv の対称三相交流電源に 抵抗 と誘導性リアクタンス X からなる平行三相負荷を接続した交流回路がある 平行三相負荷の全消費電力が kw線電流 A の大きさ ( スカラ量 が A の時 と X の値を求めよ kv V A ( 平成 7 年度理論の問題より X 図 -5

50 ( 解答.6 節 ( ( 項で述べた様ように 三角結線負荷の相電流をとすれば 次式が成り立つ V ( X V X また / A V X 題意により V X 5 V ( P また全消費電力 については次の関係が成り立つ P V ( X 題意により V V W であり ( 式を ( 式の分母に代入すると (5 5 ( 式を ( 式に代入し 整理すれば 5 ( ( X ( ( 式及び ( 式により 5 X 5 を得る

51 .7 周波数伝達関数 ( 伝達関数の定義電気回路において出力 ( 電圧または電流 の入力 ( 電圧または電流 に対する比を定量的に表す関係式を伝達関数と云う 伝達関数の表現方式はいくつかあるが 電験三種で基本となるのは複素数による伝達関数で これを周波数伝達関数と呼んでいる 以下 この周波数伝達関数について説明する 図 -6において V in は入力電圧 V と は各々出力電圧及び出力電流で これらはいずれも複素数 の関数である 周波数伝達関数 G と G 次のように定義される G G V V V in in (- (- 電気回路 V in 図 -6 伝達関数 V 出力量を電圧で考えても 電流で考えても基本的な考えは同じであるから 以下 基本的な回路例について出力を電圧として説明していく

52 ( 比例要素 図 -7に抵抗 から成る回路については次式が成立する V V in V G V (-5 in V はに対して時間遅れはなく 単純な比例関係 ( 比例要素 V in ( 一次遅れ要素図 -8( においては次式が成立する V V in V in L L V G V in L (-6 また 図 -8( においても同様に次式が成立する C V V in C C V G V C in (-7 (-6 式および (-7 式では対象とする回路は異なるが各々 L T あるいは C T と置き換えれば 一般的に次式で表現出来る G V V in T (-8 (-8 式においては V はに対して位相遅れが発 V in 生し このような回路を一次遅れ要素と云う V in V 図 -7 比例要素 L V in V ( V in C ( 図 -8 一次遅れ要素 V

53 [ 例題 -] ( 問題 図 および図 について 次の ( 及び ( に答えよ ( 図 は抵抗と静電容量による一次遅れ要素の回路を示す C この回路の入力電圧に対する出力電圧の周波数伝達関数を G 表したとき T sを表す式を求めよ ただし 入力電圧の角周波数は rd s である T として ( 図 は図 の回路の過渡応答を改善するために静電容量を付加した回路を示す T この回路の周波数伝達関数を G で表したとき T s及び T s を表す式を求めよ T ( 平成 9 年機械の問題より C 入力電圧 C 出力電圧 入力電圧 C 出力電圧 C 図 図

54 ( 解答 ((-7 式をそのまま適用出来る ( ( 式において 出力電圧は入力電圧に対して 分母のにより位相遅れを発生するが 分子のにより位相が進む効果があることが分かる C G 従って ( C T 入力電圧出力電圧 G C T C C T C C C C C C C C ( ( C C C

55 5. 結言 ( 電験三種と関連の強い数学分野について 特に基本的な考え方と計算テクニックを一通り説明した ( 電験三種に関連した電気工学の各分野と数学とは お互いに網の目のように交り合って関連している 従って 電気数学に関する本 w 講座と既にスタートしている過去問題解説についての w 講座を併せて勉強すると極めて有効である ( 本 w 講座を聞いて理解するだけでも ある程度の効果はあるが 本講座の内容を参考にしながら 自分自身で繰り返し解いてみると 本富の意味で身に付くことを自覚しながら学習を進めて頂きたい