第1章　様々な運動

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よしおつちた
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自己誘導と相互誘導自己誘導自己誘導起電力 ( 逆起電力 ) 図のように起電力 V V の電池, 抵抗値 R Ω

この現象を自己誘導という. 自己誘導による起電力は電流変化を妨げる方向に生じるので逆起電力とも呼ばれる.

1 自己誘導と相互誘導自己誘導自己誘導起電力 ( 逆起電力 ) 図のように起電力 V V の電池, 抵抗値 R Ω の抵抗, スイッチS, コイルを直列につないだ回路を考える. コイルに電流が流れると, コイル自身が作る磁場による磁束がコイルを貫く. コイルに流れる電流が変化すると, コイルを貫く磁束も変化するのでコイルにはこの変化を妨げる方向に誘導起電力が生じる. この現象を自己誘導という. 自己誘導による起電力は電流変化を妨げる方向に生じるので逆起電力とも呼ばれる. コイルには電流変化を妨げる作用, つまり電流を保とうとする作用があるので自己誘導は回路における慣性を与えると考えることも出来る. S コイルを貫く磁場 A コイルがないとき 0 ( スイッチ閉 ) コイルがあるとき s

2 2 自己インダクタンスコイルを貫く磁束密度の大きさ B T はコイルに流れる電流 I A に比例するから, コイルを貫く磁束 Φ Wb も電流 I A に比例するので Φ= ki ( k : 比例定数 ) とおくことが出来る. t s 間における電流変化が I A であるとき, 磁束変化 Φ Wb は Φ = k I となるので, コイルの巻き数を N とするとコイルに生じる誘導起電力 V V は Φ I V = N = Nk t t となる. ここで, 比例定数 Nk を改めて L とおくと I V = L t と表せる. このとき, 比例定数 L をコイルの自己インダクタンスという. 自己インダクタンスの単位にはヘンリー H = V s/a を用いる. この値はコイルによる慣性の大きさを表す. 3 コイルの磁気エネルギーコイルに流れる電流を増加させるためには, 電源はコイルに生じる逆起電力に逆らって仕事をしなければならない. コイルにはこの仕事の分だけエネルギーが蓄えられる. このエネルギー U J は

U 2 2 = LI J となる. このエネルギーはコイルを貫く磁場の形で蓄えられておりこれをコイルの磁気エネルギーという. 導出法スイッチを入れた後, 時刻 t s から t+ t s までの微小時間の間にコイルを流れる電流が i A から i+ i A まで増加したとする. この間に生じる誘導起電力 i の大きさ v V は v = L であり, 電流の増加を妨げる向きに生じる.

3 U 2 2 = LI J となる. このエネルギーはコイルを貫く磁場の形で蓄えられておりこれをコイルの磁気エネルギーという. 導出法スイッチを入れた後, 時刻 t s から t+ t s までの微小時間の間にコイルを流れる電流が i A から i+ i A まで増加したとする. この間に生じる誘導起電力 i の大きさ v V は v = L であり, 電流の増加を妨げる向きに生じる. この間にコ t イルを流れる電気量 q C は q J は = i t とみなせるので, t s 間における微小仕事 W i W = qv = i t L = Li t t Li と i の関係は右のグラフのようになるので微小仕事 W はグラフの微小長方形の面積と一致する. したがって, コイルに流れる電流を0 A から I A になるまでに逆起電力に逆らってする仕事 W J はグラフの太線で囲まれた三角形の面積と一致するので 0 W LI I LI = = J となる. これが, コイルに蓄えられた磁気エネルギー U J と一致する.

4 相互誘導同じ鉄心に 2 つのコイルを巻き, コイルに流れる電流を変化させると, もう一方のコイル 2 を貫く磁束も変化し, コイル 2 に誘導起電力は生じる. このような現象を相互誘導という. コイルを流れる電流が t s 間に I A だけ変化するとき, コイル2に生じる起電力 V 2 V は I V2 = M t となる. ここで, 比例定数 M を相互インダクタンスといい単位はヘンリー H を用いる. コイル2の電流を変化させ, コイルに誘導起電力を生じさせる場合も, 相互インダクタンス M の値は同じになる ( これを相反定理という ). コイルコイル 2

5 図のように, 断面積 S m 2 の鉄心に巻き数 N で長さ l m の次コイルと, 巻き数 N2 の 2 次コイルが巻かれている. 次コイルを流れる電流の大きさを I A し, 次コイルと 2 次コイルを貫く磁束は等しいものとする. 透磁率を µ N/A 2 として以下の問いに答えよ. () コイルを貫く磁束 Φ Wb を I, N,, lsµ, を用いて表せ. (2) 次コイルの自己インダクタンス L H を N, lsµ,, を用いて表せ. (3) 相互インダクタンス M H を N, N2,, lsµ, を用いて表せ. 次コイル 2 次コイル

6 図のように, 内部抵抗が無視できる起電力 V の電池, 自己インダクタンス L H のコイル, 抵抗値 R Ω の抵抗およびスイッチ S を直列につないだ回路がある. 図の矢印方向の電流 I A を正とし, この方向のコイルの起電力 V V を正とする. 抵抗以外の抵抗値は無視できるものとして以下の問いに答えよ. () スイッチ S を閉じた直後の IV, および抵抗の電圧 V R V を求めよ. (2) スイッチを閉じて十分経過したときの IVV,, R を求めよ. S

7 図のような抵抗値 R の抵抗と抵抗値 2R の抵抗 2, 自己インダクタンス L のコイル, 起電力の直流電源よりなる回路がある. 電源の内部抵抗, 回路のコイル以外のインダクタンス, コイルと導線の抵抗は無視してよい. 最初スイッチ S は開いていて, 次の ) から 3) の操作を順番に行った. 電流は図の矢印の向きに流れる場合を正として符号も正しく答えなさい. このとき, 以下に注意しなさい. コイルに電流が流れると電流に比例した磁束がコイルを貫き, 磁束の変化を妨げる向きに誘導起電力が生じる. これにより, コイルにはスイッチの開閉直後に直前の磁束の値を保つはたらきがある. ) 時刻 t = 0 にスイッチ S を閉じた. その直後に抵抗を流れる電流はアで, コイルを流れる電流はイであった. 2) スイッチを閉じてから十分に時間が経過すると系は定常状態となり, 抵抗を流れる電流はウで, コイルを流れる電流はエとなった. 3) ここで, 時刻 t = T にスイッチを開いた. その直後に抵抗 2 を流れる電流はオであった. 以上の実験で, 抵抗 2 での電圧降下の時間変化を正しく表しているのはカである. 図の抵抗 2 の矢印の向きに電流が流れているときの電圧降下を正とする.

8 ( ア ),( イ ),( ウ ),( エ ),( オ ) の解答群 R R 2 R R 3 R R 3R L 0 L 3R R + L 2 R + L 3 2R + L 4 2R + L 5 3R + L 6 3R + L

9 ( カ ) の解答群

図に示すように, 真空中に半径 r, 長さ, 単位長さあたり巻き数 n のソレノイドコイルがあり, その中央付近のすぐ外側に巻きのコイル RS がある. は r にくらべ十分長い.P,Q 間に, 図のように電流 I を流すと, ソレノイドコイル内の磁束密度 B は, 真空の透磁率を µ 0 として, B = µ 0nI で与えられる. このとき以下の問に答えよ.

10 図に示すように, 真空中に半径 r, 長さ, 単位長さあたり巻き数 n のソレノイドコイルがあり, その中央付近のすぐ外側に巻きのコイル RS がある. は r にくらべ十分長い.P,Q 間に, 図のように電流 I を流すと, ソレノイドコイル内の磁束密度 B は, 真空の透磁率を µ 0 として, B = µ 0nI で与えられる. このとき以下の問に答えよ. () ソレノイドコイル内の磁束 Φ を µ 0, r, n, I を使って示せ. (2) 電流 I を, 時間 t の間に I だけ一定の割合で変化させたときの, ソレノイドコイル巻きあたりの起電力を µ 0, r, n, I, t を使って示せ. (3) ソレノイドコイルの自己インダクタンスを µ 0, r, n, を使って示せ. (4) ソレノイドコイルに流す電流 I を図 2 のように変化させたときの, ソレノイドコイルの両端 PQ 間に発生する起電力 V の変化をグラフで表せ. ただし, 正の最大電圧をV0 とせよ. (5) ソレノイドコイルと, 巻きのコイル RS の間の相互インダクタンスを µ 0, r, n を使って示せ. 図図 2

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ÿþŸb8bn0irt 折戸の物理演習プリント N.15 43. 目的 : 電磁誘導は, 基本を理解すれば問題はそれほど難しくない! ということを学ぶ問 1 の [ ] に適切な数値または数式を入れ, 問に答えよ図 1 のように, 紙面に垂直で一様な磁界が 0 の領域だけにある場合について考える磁束密度は Wb/m で, 磁界は紙面の表から裏へ向かっている図のように,1 辺の長さが m の正方形のコイルを,

第1章 様々な運動

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