ゲーム理論

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さみつなかわ
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1 8. 時間の経過とゲーム理論多段階交渉と繰り返しゲーム 195 首都大学東京講義ゲーム理論

2 利得の割引と多段階交渉 196 首都大学東京講義ゲーム理論

3 将来の利得は割引かれる今日の 100 万円と 1 年後の 100 万円は同じ価値ではない! 現在の 100 万円を運用すれば,1 年後には 100 万円以上になる 1 年後の 100 万円を現在の価値に直す現在価値割引法経営財務, ファイナンスなどで習う例えば,1 期間の割引率を 0.8 とすると... 1 期間後の 100 万円は現在価値で 80 万円繰り返しの交渉では割引率が大きな影響を与える 197 首都大学東京講義ゲーム理論

4 モデル 8:W 家の土地交渉 PART: 段階交渉ゲーム段階の W と売主の土地交渉 1 段階目 : W が売買額を提示し, 売主が承諾か拒否かを選択承諾ならば, その金額で売買成立拒否ならば日を改めて交渉へ段階目に移る段階目 : 今度は売主が売買額を提示し,W が承諾か拒否かを選択承諾ならば, その金額で売買成立拒否ならば交渉決裂双方利得首都大学東京講義ゲーム理論

5 段階交渉ゲームを解く #1 後から解く ( バックワードインダクション ) 1 段階目 :W が売買額を提示売主が承諾か拒否かを選択承諾 W の提示額で決着提案拒否段階目 : 売主が売買額を提示 Wが承諾か拒否かを選択承諾ならば, その金額で売買成立拒否ならば交渉決裂双方利得 0 段階目は売主の最後通牒ゲーム! 売主が 690 万円を提示し,W が承諾 W の支出許容額 700 万円, 売主の留保価格 500 万円 199 首都大学東京講義ゲーム理論

6 段階交渉ゲームを解く # 割引率を 0.8 として考える結果 : 第 1 段階目でWが660 1 段階目 :Wが売買額を提示万円を提示し承諾, 売主が承諾 Wの提示額で決着売主が承諾か拒否かを選択提案拒否段階目結果 : 売主の最後通牒ゲーム売主が 690 万円を提示,W が承諾 W の利得は 10 万円, 売主は 190 万円現在価値に直すと : 売主の利得 190 万円 0.8=15 万円売主 : W の提示額が 65 万円以下だと拒否して段階目に持ち越した方が良い W の支出許容額 700 万円, 売主の留保価格 500 万円 00 首都大学東京講義ゲーム理論

7 段階交渉ゲームの解しかし段階目の決着は現在価値では割り引かれる早く決着したい!( 結果は 660 万円 ) 1 回きりの最後通牒ゲームと違い,W は 40 万円の利得を得られる ( 最後通牒ゲームでは 10 万円 ) 最終的な最後通牒権を持っている方が有利最後通牒権 ( 段階目の提案権 ) は売主段階目では, 最後通牒権を持っている方が断然有利 (700 万円ぎりぎりで決着 ) 売主はそれ故,1 段階目で自分に不利な提案は徹底拒否割引率が低くなると? 01 首都大学東京講義ゲーム理論

8 段階交渉ゲームを解く #3 割引率が 0.5 の場合結果 : 第 1 段階目でWが600 1 段階目 :Wが売買額を提示万円を提示し承諾, 売主が承諾 Wの提示額で決着売主が承諾か拒否かを選択提案拒否段階目結果 : 売主の最後通牒ゲーム売主が 690 万円を提示,W が承諾 W の利得は 10 万円, 売主は 190 万円現在価値に直すと : 売主の利得 190 万円 0.5=95 万円売主 : W の提示額が 595 万円以下だと拒否して段階目に持ち越した方が良い W の支出許容額 700 万円, 売主の留保価格 500 万円 0 首都大学東京講義ゲーム理論

9 段階交渉ゲームまとめ割引が小さい ( 時間が経過しても利得がそんなに減らない ) ときは最後通牒権 ( 段階目の提案権 ) を持っている方が有利しかし, 割引が大きいときは, 先に提案できる権利 (1 段階目の提案権 ) を持っている方が有利多段階交渉ゲームに当てはまる一般的な結論 03 首都大学東京講義ゲーム理論

10 ポイント 50 繰り返しの交渉では, 割引率と最後通牒権が重要な役割を果たす時間の価値が小さい時, 割引が小さい時は最後通牒権を取れ割引が大きい時は, 先の提案権を取るべき 04 首都大学東京講義ゲーム理論

11 演習演習プレイヤー 1 とが 100 万円を分ける交渉ゲーム後手は, 承諾する場合と拒否する場合で利得が同じときは承諾する, とする. 1 段階の交渉ゲーム ( 最後通牒ゲーム ) プレイヤー 1 が, 自分の取り分 x を提案し, プレイヤーは承諾か拒否を選ぶ. 承諾した場合は, プレイヤー 1 の配分は x, プレイヤーの配分は 100 x であり, その配分が利得となる. 拒否した場合は双方 0 であるとする. プリントの問題について答え, kibaco には指定された解を入力せよ. 段階の最後通牒ゲーム. 第 1 段階では, プレイヤーが自分の取り分 y を提案し, プレイヤー 1 は承諾か拒否を選ぶ. 承諾した場合は, プレイヤーの配分は y, プレイヤー 1 の配分は 100 y である. 拒否した場合は第段階へ移る. 第段階では, プレイヤー 1 が, 自分の取り分 x を提案し, プレイヤーは承諾か拒否を選ぶ. 承諾した場合は, プレイヤー 1 の配分は x, プレイヤーの配分は 100 x であり, 拒否した場合は双方 0 であるとする. 交渉が 1 段階遅れると, 配分を割引因子 R = 0.9 で割り引いた値が利得になると考える ( 配分と利得という言葉を区別する ). プリントの問題について答え, kibaco には指定された解を入力せよ. 05 首都大学東京講義ゲーム理論

12 交渉ゲームの発展ナッシュの交渉理論何度も交渉が続くゲーム無限に交渉が続くゲーム最後通牒がいつか分からないゲーム時間に対する価値が高い方が我慢がきかないので妥協するその他実験 - 国による違い繰返し - 妥協評判 06 首都大学東京講義ゲーム理論

13 繰り返しゲーム - 入門編 07 首都大学東京講義ゲーム理論

14 長期的関係と繰り返しゲーム同じゲームを何度も繰り返す繰り返しゲーム囚人のジレンマにおける協調は達成できるのか? 1 回きりではない場合, 裏切った相手に罰則を与えるという戦略を与えることで, 協力が手製できるのではないか? 理論的成果有限の繰り返し無限の繰り返しとフォーク定理実験結果初期の頃の実験アクセルロッドの実験 08 首都大学東京講義ゲーム理論

15 実験 : 囚人のジレンマ 1 協力する協力しない協力する (, ) ( -1, 3 ) 協力しない ( 3, -1 ) ( 0, 0 ) 繰り返しゲームを 30 回繰り返すどのようにすれば得点が高くなるか? 09 首都大学東京講義ゲーム理論

16 実験 : 囚人のジレンマ 10 1 パー ( 協力する ) グー ( 協力しない ) パーグー ( 協力する )( 協力しない ) (, ) ( -1, 3 ) ( 3, -1 ) ( 0, 0 ) グーとパーを用いて, 協力と非協力を表そう 30 回繰り返す結果は Kibaco に入力後, クリッカーにも入力しましょう.( 講義中に指示します ) 首都大学東京講義ゲーム理論

17 実験 1: 初期の頃の実験フラッド, ドレッシャーの実験人の被験者 A. アルキアン (AA) J. ウィリアムス (JW) JW AA C( 協力 ) D( 非協力 ) C( 協力 ) D( 非協力 ) ( 1/, 1) ( -1, ) (, -1) ( 0, -1/) 11 首都大学東京講義ゲーム理論

18 アルキンとウイリアムスのコメント #1 A:JW は D で来るだろう, 間違いなく勝てるからと, いうことは, こちらが C にすると... 負ける J: ものわかりのいい相手でありますように 1 回目 : D( 非協力 ) C( 協力 ) A: 何やってるんだ!? J: まだわかってないようだが, そのうち分かってくるだろう回目 : D( 非協力 ) C( 協力 ) 1 首都大学東京講義ゲーム理論

19 アルキンとウイリアムスのコメント # A: 両方まぜてくるつもりか? J: そうくるんだな, ばかやろう 3 回目 : D( 非協力 ) D( 非協力 ) A:D に決めたのかな? J: そうくるんだな, ばかやろう 4 回目 : D( 非協力 ) D( 非協力 ) A: ちょっとはずしてやれ J: それがいちばんいい手なわけじゃないのに 5 回目 : C( 協力 ) D( 非協力 ) 13 首都大学東京講義ゲーム理論

20 アルキンとウイリアムスのコメント #3 A: 向こうはあと 4 回は混ぜてくるだろうから,D を続けよう J: ほう, そう来ましたねもう 1 度チャンスを与えてやらなきゃ 6 回目 : D( 非協力 ) C( 協力 ) J: なかなか抜け目がないね. んー 7 回目 : D( 非協力 ) C( 協力 ) J: そのうち気がつくだろうけど,10 回位じゃ無理だな 8 回目 : D( 非協力 ) D( 非協力 ) 14 首都大学東京講義ゲーム理論

21 アルキンとウイリアムスのコメント #4 9 回目 : D( 非協力 ) D( 非協力 ) ( 人とも長いコメント ) 10 回目 : D( 非協力 ) D( 非協力 ) J: たぶん, もう分かっただろう 11 回目 : D( 非協力 ) C( 協力 ) 1 回目 : C( 協力 ) C( 協力 ) 13 回目 : C( 協力 ) C( 協力 ) 14 回目 : C( 協力 ) C( 協力 ) 15 回目 : C( 協力 ) C( 協力 ) 15 首都大学東京講義ゲーム理論

22 アルキンとウイリアムスのコメント #5 16 回目 : D( 非協力 ) C( 協力 ) J: やな奴 17 回目 : C( 協力 ) D( 非協力 ) J: ばかじゃないか, 痛い目に合わせてやらなきゃ 18 回目 : C( 協力 ) D( 非協力 ) A: わからなくなってきた向こうは何かメッセージを送ろうとしているんだろうか 19 回目 : D( 非協力 ) D( 非協力 ) 16 首都大学東京講義ゲーム理論

23 アルキンとウイリアムスのコメント #6 0 回目 : D( 非協力 ) D( 非協力 ) J: たぶん, 今度はいい子になるだろう 1 回目 : D( 非協力 ) C( 協力 ) J: 何か覚えるには時間がかかるもんだ回目 : C( 協力 ) C( 協力 ) 3 回目 : C( 協力 ) C( 協力 ) 4 回目 : C( 協力 ) C( 協力 ) 5 回目 : C( 協力 ) C( 協力 ) 17 首都大学東京講義ゲーム理論

24 アルキンとウイリアムスのコメント #7 以下, ほとんど CC( 双方協力 ) が続くたまに A が裏切り,J に仕返しされる 98 回目 : C( 協力 ) C( 協力 ) 99 回目 : D( 非協力 ) C( 協力 ) 100 回目 : D( 非協力 ) D( 非協力 ) 18 首都大学東京講義ゲーム理論

25 実験結果 : アクセルロッドの実験ロバートアクセルロッド 1983 年に, 様々な分野の研究者を集めて囚人のジレンマを対戦させるコンピュータプログラム選手権を実行 14 人の参加者 + ランダムプログラム総当たり戦の合計得点を競う 1 回の対戦で 00 回の繰り返し予備実験を行い, その結果と分析をあらかじめ参加者に通知 19 首都大学東京講義ゲーム理論

26 囚人のジレンマ繰り返しゲームの代表的戦略オウム返し戦略 1 回目は協力する回目以降は, 前の回の相手の戦略と同じ戦略トリガー戦略 1 回目は協力する回目以降 : それまでに相手が 1 回も非協力を選ばなかったら協力する. それまでに 1 回でも相手が非協力を選べば, 協力しないその他 : 常に協力する戦略, 常に協力しない戦略... 0 首都大学東京講義ゲーム理論

27 アクセルロッドの実験結果と参加者複雑なプログラムが点が高いわけではない ( チェスの選手権とは違う ) たくさんある中で, 1 位は Rapoport のオウム返し! 1 首都大学東京講義ゲーム理論

28 勝敗のポイント先に相手を裏切らないような, 上品な戦略 (nice strategy) が上位を占めるダウニングが, そのキーパーソン! ダウニングは, 相手が最初に裏切ってくると, そいつを裏切るタイプと認識し, 裏切り続ける方に仕向ける最初に協力すると, 互いに協力する方へ上品な戦略の中での最下位はトリガー (Freedman) 首都大学東京講義ゲーム理論

29 第回選手権やはりオウム返し戦略作ってきたのはやはり Rapoport! 1 回目の選手権の結果を克明に記して, 次の年に再度, 大会を開催 6 カ国から 6 名の参加皆, オウム返しの対抗戦略も研究第 1 位は? 003 年に 30 周年記念の大会 3 首都大学東京講義ゲーム理論

30 渡辺ゼミでの実験 ( ) 300 回繰り返し,5 班で総当たり戦 (1 班 ) 最初は D, 後は相手がそれまでに出した回数が多い戦略を選ぶ ( 班 ) C D 乱数 C D 乱数 50 回ずつ (3 班 ) 最初の 150 回 C あとの 150 回 D (4 班 ) ほとんどオウム返し, ただし 75 回ごとに C を出す (D が出続けるのを防ぐ ) (5 班 ) ほとんどオウム返し, 最後の 4 回裏切る 4 首都大学東京講義ゲーム理論

31 渡辺ゼミでの実験 5 首都大学東京講義ゲーム理論

32 まとめ囚人のジレンマの繰り返しゲーム ( 入門 ) 長期的関係で囚人のジレンマを克服するには? オウム返し戦略が重要やられたら, やり返す昔のこと ( 恩遺恨 ) は忘れる相手が協力したら, こちらも寛容に協力する ( 罰則を与えるだけではダメ ) 上品な戦略最初は協力からはじめる 6 首都大学東京講義ゲーム理論

33 ポイント 53 囚人のジレンマの繰り返しで協力を達成するには, 最初は協力することから始めよ相手が協力しなければこちらも協力しないオウム返し戦略が有効である 7 首都大学東京講義ゲーム理論

34 繰り返しゲームの理論 8 首都大学東京講義ゲーム理論

35 (1) 繰り返しゲームの戦略 9 首都大学東京講義ゲーム理論

36 繰り返しゲームの理論戦略形ゲームを何回か繰り返す繰り返しの回数, 回,3 回, n 回, 無限回利得は, 毎回のゲームの結果の割引合計和毎回繰り返される戦略形ゲームを成分ゲームと言う繰り返しゲームの戦略, 利得について考える 30 首都大学東京講義ゲーム理論

37 囚人のジレンマの繰り返しゲームを考える以下の囚人のジレンマを成分ゲームとする繰り返しゲームを考える 1 C 1 D 1 C D (4, 4) (-6,10) (10, -6) (0, 0) 各プレイヤーの行動 (action) C i : プレイヤー i が協力する (C は Cooperation を意味 ) D i : プレイヤー i が協力しない (D は Defection を意味 ) 31 首都大学東京講義ゲーム理論

38 繰り返しゲームは展開形ゲームで表せる囚人のジレンマを回繰り返すゲーム 3 首都大学東京講義ゲーム理論展開形ゲームの戦略は? どの情報集合で, どのような行動を選択するか. C D C D C 1 D 1 C D C D C 1 D 1 C D C 1 D 1 C D C D C 1 D 1 C D C D C 1 D 1 C D

39 繰り返しゲームの戦略の例囚人のジレンマ回繰り返しゲームの戦略の組合せの例プレイヤー 1 の戦略 1 回目 : C 1 回目 : 1 回目 (C 1, C ) C 1 1 回目 (C 1, D ) D 1 1 回目 (D 1, C ) C 1 1 回目 (D 1, D ) C 1 プレイヤーの戦略 1 回目 : D 回目 : 1 回目 (C 1, C ) D 1 回目 (C 1, D ) D 1 回目 (D 1, C ) C 1 回目 (D 1, D ) D 上の戦略の組によって起きる結果は? 1 回目 : (C 1, D ) 回目 : (D 1, D ) 回繰り返すだけで戦略は 3 個! 33 首都大学東京講義ゲーム理論

40 囚人のジレンマ回繰り返しゲームの戦略の組合せ左の戦略の組によって起きる結果は? 1 回目 : (C 1, D ) 回目 : (D 1, D ) 1 人の戦略の数は 3 個! ( 回繰り返すだけで ) 戦略の数は膨大にあるが, ほとんどは実際に起きず, 影響を及ぼさないような行動を決めているすべての戦略を考えなくても, 理論は構成できる代表的ないくつかの戦略について, 考察する 34 首都大学東京講義ゲーム理論

41 囚人のジレンマ繰り返しゲームの代表的戦略協力 - オウム返し戦略 1 回目は協力する回目以降は, 前の回の相手の戦略と同じ戦略非協力 - オウム返し戦略 1 回目は協力しない回目以降は, 前の回の相手の戦略と同じ戦略トリガー戦略 1 回目は協力する回目以降 : それまでに相手が 1 回も非協力を選ばなかったら協力する. それまでに 1 回でも相手が非協力を選べば, 協力しないその他 : 常に協力する戦略, 常に協力しない戦略首都大学東京講義ゲーム理論

42 ( 例 ) 囚人のジレンマを 5 回繰り返す戦略プレイヤー 1 の戦略協力 - オウム返しプレイヤーの戦略常に非協力上の戦略の組によって起きる結果は? (C 1, D ) (D 1, D ) (D 1, D ) (D 1, D ) (D 1, D ) ゲームの結果は各回で起きた結果 ( 戦略の組 ) を並べたものこれを履歴と呼ぶ 36 首都大学東京講義ゲーム理論

43 ( 例 ) 囚人のジレンマを 5 回繰り返す戦略もう少し複雑な戦略を考えてみようプレイヤー 1 の戦略協力 - オウム返しこの戦略の組によって起きる結果は? プレイヤーの戦略 1 回目 D 回目 1 回目のオウム返し 3 回目回目のオウム返し 4 回目 3 回目までに相手が 1 回でも D 1 を選べば D, そうでなければ C 5 回目 4 回目のオウム返し (C 1, D ) (D 1, C ) (C 1, D ) (D 1, D ) (D 1, D ) 37 首都大学東京講義ゲーム理論

44 演習囚人のジレンマの 5 回繰り返しゲーム囚人のジレンマを 5 回繰り返すゲームにおいて, 各プレイヤーが以下の戦略を選んだ時, 起きる結果 (5 回の履歴 ) を書け (1) プレイヤー 1: 協力 - おうむ返しプレイヤー : すべて協力 () プレイヤー 1: トリガー戦略プレイヤー : すべて非協力 (3) プレイヤー 1: 協力 - おうむ返しプレイヤー : : 協力 - おうむ返し (4) プレイヤー 1: 協力 - おうむ返しプレイヤー : : 非協力 - おうむ返し 38 首都大学東京講義ゲーム理論

45 () 繰り返しゲームの利得 40 首都大学東京講義ゲーム理論

46 繰り返しゲームの利得繰り返しゲームの利得は, 毎回の成分ゲームの平均利得か, 割引利得和を考える. この割引因子が結果に影響を与える. 例 : 3 回の繰り返しゲームプレイヤー 1: トリガー戦略プレイヤー : 非協力 - おうむ返し結果 :(C 1, D ) (D 1, C ) (D 1, D ) 平均利得の場合プレイヤー 1 : ( ) 3= 4/3 プレイヤー : ( ) 3= 4/3 41 首都大学東京講義ゲーム理論

47 繰り返しゲームの利得ー割引利得の場合例 : 3 回の繰り返しゲームプレイヤー 1: トリガー戦略プレイヤー : 非協力 - おうむ返し結果 :(C 1, D ) (D 1, C ) (D 1, D ) 割引利得の場合 ( 割引因子を R とする ) プレイヤー 1 : -6+10R+0R = -6+10R プレイヤー : 10-6R +0R = 10-6R R=0.9 とすると? プレイヤー 1 は 3, プレイヤーは 4.6 同じ -6, 10, 0 という利得を 1 回ずつ得ているが, 各プレイヤーの割引利得和は違う ( 平均利得は同じ ) 4 首都大学東京講義ゲーム理論

48 演習繰り返しゲームの割引利得和演習 3 回の繰り返しゲームプレイヤー 1: 協力 - おうむ返しプレイヤー : 非協力 - おうむ返し割引因子を R として, 割引利得和を求めよ 43 首都大学東京講義ゲーム理論

49 解答繰り返しゲームの割引利得和結果 :(C 1, D ) (D 1, C ) (C 1, D ) 割引利得の場合 ( 割引因子を R とする ) プレイヤー 1 : -6+10R ー 6R プレイヤー : 10-6R+10R 演習 3 回の繰り返しゲームプレイヤー 1: 協力 - おうむ返しプレイヤー : 非協力 - おうむ返し割引因子を R として, 割引利得和を求めよ 44 首都大学東京講義ゲーム理論

50 繰り返しゲームの利得 - 多数無限の繰り返し多数回 (n 回 ) 繰り返すゲームや, 無限回繰り返すゲームの割引利得和は等比級数の和の公式で求める a の利得を n 回得た時の割引利得和 ( 割引因子を R とする ) a の利得を無限回得た時の割引利得和 ( 割引因子を R とする ) 45 首都大学東京講義ゲーム理論

51 無限の割引利得和 #1 例 : 無限の繰り返しゲームプレイヤー 1: トリガー戦略プレイヤー : トリガー戦略結果 :(C 1, C ) (C 1, C ) (C 1, C ) (C 1, C ) (C 1, C ) 割引利得和 ( 例 ) R = 0.9 とすると? 首都大学東京講義ゲーム理論

52 無限の割引利得和 # 例 : 無限の繰り返しゲームプレイヤー 1: トリガー戦略プレイヤー : すべて非協力結果 :(C 1, D ) (D 1, D ) (D 1, D ) (D 1, D ) (D 1, D ) 割引利得和 ( 例 ) R = 0.9 とすると? プレイヤー 1:-6, プレイヤー :10 47 首都大学東京講義ゲーム理論

53 (3) 繰り返しゲームの解 48 首都大学東京講義ゲーム理論

54 部分ゲーム完全均衡 ( 有限ゲーム ) 囚人のジレンマを回繰り返すゲーム C 1 D 1 C D C D C 1 D 1 C 1 D 1 C 1 D 1 C 1 D 1 C D C C C D D D C D C C C D D D 1 つの部分ゲーム意味 : 1 回目が (C 1,C ) の時のゲーム 49 首都大学東京講義ゲーム理論

55 理論的結果 1: 有限のゲーム有限の繰り返しゲームで部分ゲーム完全均衡解 ( 先読み ) を解と考える回の繰り返しゲームでは? 1 回目の 4 つの結果に応じて, 各プレイヤーは戦略を選ぶ 1 回目の囚人のジレンマ C 協力する D 協力しない (C,C) (C,D) (D,C) (D,D) 回目の囚人のジレンマ回目の囚人のジレンマ回目の囚人のジレンマ回目の囚人のジレンマ 50 首都大学東京講義ゲーム理論

56 有限のゲームと部分ゲーム完全均衡 #1 有限の繰り返しゲームで部分ゲーム完全均衡解 ( 先読み ) を解と考える回の繰り返しゲームでは? 1 回目の 4 つの結果に応じて, 各プレイヤーは戦略を選ぶ 1 回目の囚人のジレンマ C 協力する D 協力しない (C,C) (C,D) (D,C) (D,D) 回目の囚人のジレンマ (D,D) 回目の囚人のジレンマ (D,D) 回目の囚人のジレンマ (D,D) 回目の囚人のジレンマ (D,D) 51 首都大学東京講義ゲーム理論

57 有限のゲームと部分ゲーム完全均衡 # 先読みで回目の結果を考える回目のゲームは, 独立で 1 回目の結果に依存しない回目 = 最終回で, プレイヤーは (1 回目の結果が何であっても ) 通常の囚人のジレンマに直面する結果は, どの部分ゲームでも協力しない 1 回目の囚人のジレンマ C 協力する D 協力しない (C,C) (C,D) (D,C) (D,D) 回目の囚人のジレンマ (D,D) 回目の囚人のジレンマ (D,D) 回目の囚人のジレンマ (D,D) 回目の囚人のジレンマ (D,D) 5 首都大学東京講義ゲーム理論

58 有限のゲームと部分ゲーム完全均衡 #3 回目のゲームはどちらも協力しない- 必ず裏切りあう回目のゲームを先読みして1 回目の戦略を決定するしかし,1 回目に何を選択しても回目は同じ 1 回目に, 通常の (1 回きりの ) 囚人のジレンマに直面 1 回目も協力しない C 協力する D 協力しない 1 回目の囚人 (D,D) のジレンマ (C,C) (C,D) (D,C) (D,D) 回目の囚人のジレンマ (D,D) 回目の囚人のジレンマ (D,D) 回目の囚人のジレンマ (D,D) 回目の囚人のジレンマ (D,D) 53 首都大学東京講義ゲーム理論

59 有限のゲームと部分ゲーム完全均衡有限の繰り返しゲームバックワードインダクションまず最終回に何が起きるか先読みする最終回では,1 回きりの囚人のジレンマに直面 - 協力しない最終回の1 回前のゲーム最終回のゲームは ( 今回の選択に依存せず ) すべて協力しないそこでこの回でも,1 回きりの囚人のジレンマに直面 - 協力しないバックワードインダクションでこれを続けていくと... すべての回で協力しないという結果になる 54 首都大学東京講義ゲーム理論

60 無限のゲームの解無限ゲームの部分ゲーム完全均衡は難しいそこで, 無限ゲームを戦略形ゲームに変換し, そのナッシュ均衡を考える部分ゲーム完全均衡はナッシュ均衡の精緻化左のゲームを無限に繰り返すと, 無数の戦略がある 1 常に非協力トリガー協力 - おうむ返し常に非協力 (a, a) (c, b) (e, d) 戦略形ゲームへの変換イメージトリガー協力 - おうむ返し (b, c) (d, e) (g, g) 55 首都大学東京講義ゲーム理論

61 トリガー戦略はナッシュ均衡になるかトリガー戦略をとりあうことはナッシュ均衡になるか? 相手がトリガー戦略を選んでいるとき, 自分がトリガー戦略から別の戦略に変える ( 逸脱する ) と, 利得が上がらないならナッシュ均衡トリガー戦略どうしの結果 :(C 1, C ) (C 1, C ) (C 1, C ) ( ずっと協力 ) 例えば, 自分が常に協力しないに戦略を変えると? 結果 :(C 1, D ) (D 1, D ) (D 1, D ) ( 最初, 得をするが, そのあとずっと損する ) 56 首都大学東京講義ゲーム理論

62 トリガー戦略はナッシュ均衡になるかトリガー戦略をとりあうことはナッシュ均衡になるか? 相手がトリガー戦略を選んでいるとき, 自分がトリガー戦略から別の戦略に変える ( 逸脱する ) と, 利得が上がらないならナッシュ均衡トリガー戦略どうしの結果 :(C 1, C ) (C 1, C ) (C 1, C ) ( ずっと協力 ) 自分が常に協力しないに戦略を変えると? 結果 :(C 1, D ) (D 1, D ) (D 1, D ) ( 最初, 得をするが, そのあとずっと損する ) 割引因子 R が小さいと, その後にずっと損をし続けるよりも 1 回だけ得をしたほうが良くなる 57 首都大学東京講義ゲーム理論

63 トリガー戦略はナッシュ均衡になるか常に協力しないだけではなく, どんな戦略に変えても利得は高くならない. 一般に, 以下のことが成り立つその結果 :(C 1, C ) (C 1, C ) (C 1, C ) ずっと協力することがナッシュ均衡になる 58 首都大学東京講義ゲーム理論

64 トリガー戦略はナッシュ均衡になる : 証明 1 証明相手がトリガー戦略を選んでいるとき, 自分がトリガー戦略から別の戦略に変える ( 逸脱する ) と, 利得が上がらないならナッシュ均衡トリガー戦略 :(C 1, C ) (C 1, C ) ( ずっと協力 ) 自分 ( プレイヤー 1) が戦略を変えると? ケース 1: 戦略を変えても,1 度も D 1 が現れない場合利得は同じケース : 戦略を変えた結果, 少なくとも 1 回は D 1 が現れる場合 : 最初の D 1 が現れるのを n 回目とする. その回 (n 回目 ) の利得は 10 相手は n+1 回目以降, ずっと協力しないその後の利得は最良でも 0( 悪いと -6 になる ) 戦略を変えたときの最良の利得 59 首都大学東京講義ゲーム理論

65 トリガー戦略はナッシュ均衡になる : 証明自分 ( プレイヤー 1) が戦略を変えると? ケース 1: 戦略を変えても,1 度も D 1 が現れない場合利得は同じケース : 戦略を変えた結果, 少なくとも 1 回は D 1 が現れる場合 : 最初の D 1 が現れるのを n 回目とする. その回 (n 回目 ) の利得は 10 相手は n+1 回目以降, ずっと協力しないその後の利得は最良でも 0( 悪いと -6 になる ) 戦略を変えたときの最良の利得トリガーの時の利得その差は? 60 首都大学東京講義ゲーム理論

66 トリガー戦略はナッシュ均衡になる : 証明 3 自分 ( プレイヤー 1) が戦略を変えると? 戦略を変えたときの最良の利得トリガー時の利得ケース 1: 戦略を変えても,1 度も D 1 が現れない場合利得は同じケース : 戦略を変えた結果, 少なくとも 1 回は D 1 が現れる場合 : 最初の D 1 が現れるのを n 回目とする. その回 (n 回目 ) の利得は 10 相手は n+1 回目以降, ずっと協力しないその後の利得は最良でも 0( 悪いと -6 になる ) その差は? 61 首都大学東京講義ゲーム理論

67 有限ゲームでトリガー戦略はナッシュ均衡になるか無限期間ではなく有限期間で, トリガー戦略を選び合うことはナッシュ均衡か? 部分ゲーム完全均衡は, お互い協力しないことだけだったしかし無限の時のロジックを用いれば, トリガー戦略を選び合うことはナッシュ均衡では? n 回繰り返しゲームで考えてみるトリガー時の利得相手がトリガー戦略を用いている時, 自分はトリガー戦略より利得を高くする戦略がある. それは? 最後の 1 回裏切る戦略! 峰不二子戦略! 無限の時との違いは? 最後の回があるので, そこで裏切っても, その後に罰則できない! 峰不二子戦略を取り合うことはナッシュ均衡か? 相手が峰不二子戦略の時は, 最後から回目に裏切ると, 利得を高くできるので均衡ではない! 6 首都大学東京講義ゲーム理論結局, すべての回で協力しないことだけがナッシュ均衡

68 まとめ繰り返しゲームの戦略と利得を定義したトリガー戦略, 協力 - オウム返しなど, 代表的な戦略を考察する. 無限期間のゲーム割引が十分に小さい ( 割引因子が 1 に近い ) と, 協力が達成できる ( フォーク定理 ) トリガー戦略によって, 協力を達成有限期間のゲームバックワードインダクションにより, すべての回で協力しないことが部分ゲーム完全均衡ナッシュ均衡だけ考えても, すべての回で協力しない ( トリガー戦略による協力は, 峰不二子戦略で達成できないから ) 63 首都大学東京講義ゲーム理論

調和系工学ゲーム理論編

調和系工学ゲーム理論編ゲーム理論第三部知的都市基盤工学 5 月 30 日 ( 水 5 限 (6:30~8:0 再掲 : 囚人のジレンマ囚人のジレンマの利得行列協調 (Cooperte:C プレイヤー裏切 (Deect:D ( 協調 = 黙秘裏切 = 自白プレイヤー C 3,3 4, D,4, 右がプレイヤーの利得左がプレイヤーの利得ナッシュ均衡点プレイヤーの合理的な意思決定の結果 (C,C はナッシュ均衡ではない