図 : CGC 回転面. 左の図は正の場合の平行曲面として得られる平均曲率一定回転面ダラネーアンデュロイド上とノドイド下, 中の図はその平行正 CGC 回転面右の図は負 CGC 回転面ミンディング曲面と呼ばれる図 2: 回転面でない位相的な円柱面螺旋対称性を持つ. ダラネー

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あきみつまがみ
5 years ago
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1 (K ) Nick Schmitt (Tübingen ) [6] R 3 K CGC [], R 3 CGC, R 3 CGC CGC CGC CGC 2, [2]. CGC CGC [6] C 3 CGC [4] CGC.

下, 中の図はその平行正 CGC 回転面右の図は負 CGC 回転面ミンディング曲面と呼ばれる図

ダラネーツイズラー左上, 正 CGC ツイズラー (左下) とミンディングツイズラー (右).

には複素双線形形式 h, i によって複素計量を入れておく f によって引き戻した誘導計量は

2 図 : CGC 回転面. 左の図は正の場合の平行曲面として得られる平均曲率一定回転面ダラネーアンデュロイド上とノドイド下, 中の図はその平行正 CGC 回転面右の図は負 CGC 回転面ミンディング曲面と呼ばれる図 2: 回転面でない位相的な円柱面螺旋対称性を持つ. ダラネーツイズラー左上, 正 CGC ツイズラー (左下) とミンディングツイズラー (右). 複素 CGC はめ込み D を C2 の領域として f を D から C3 への正則はめ込みとする C3 には複素双線形形式 h, i によって複素計量を入れておく f によって引き戻した誘導計量はある特別な座標系 (z, w) D D ナル座標が存在して g = eu dzdw, と書けるここで u = u(z, w) は D 上の正則関数. 第二基本形式 II は II := hdf, dn i で定義され II = Qdz 2 + eu Hdzdw + Rdw2 (.) と表現できるここで N は f に対する単位法ベクトル場 Q = hfzz, N i, R = hfww, N i, H = 2e u hfzw, N i. K = det(g II) を複素ガウス曲率と定義する. 曲面 f の構造方程式は次の様に与えられる uzw 2RQe u + 2 H 2 eu =, Qw u 2 Hz e =, Rz 2 u 2 Hw e =. (.2) (.3)

3 K CGC f K f K Q λ 2 Q R λ 2 R λ C., f K f K,λ. f K,λ, F : D SL 2 C [4]: α = F df = F F z dz + F F w dw = Udz + V dw, (.4) ( ) ( 4 U = u z 2 λ He u/2 4 Qe u/2 4 u, V = u w z Re u/2 2 λheu/2 4 u w ), (.5) u, Q, R H (.). ΛSL 2 C g : S SL 2 C (.4) F ΛSL 2 C. F f K. 2 CGC. G/K (x, y) C 2 G/K φ C- ξ Lie(G) φ : C G/K φ(x, y) = exp(yξ) φ(x) f K CGC, F. (x, y) C 2. (z, w) = (x + iy, x iy), (z, w) f K. F. ( ) F (x, y) = exp 2 χye g(x), (2.). χ = aλ + bλ + c, e sl 2 C, g(x) SL 2 C y. f K N F N = 2 F e F, SL 2 C/K, K = {diag(a, a ) a C }. SL 2 C/K F, (2.) [2, 3.4]. CGC, CGC. v = e u/2, U V ( ) ( ) 4 U = v v x 2 λ Hv 4, V = v v x Rv Qv 4 v v x 2 λhv, (2.2) 4 v v x 3

4 . v x. Q, R., (v v x ) 2 + H 2 v 2 + 4QRv 2 2λHR 2λ HQ = χ 2. (2.3), χ 2 χ 2 = 2λHR 2λ HQ + 2c (2.4)., (.2), (v v x ) x + H 2 v 2 4QRv 2 = (2.5). 2.., CGC,, CGC [5]. 2., (2.3) (2.5).,(2.3) (2.5). H, Q, R, c. (H, Q, R, c) = (ɛ, ɛδ 2 /2, ɛδ 2 /2, (ɛδ) 2 (r + r )/2), (2.6) ɛ, δ 2 {, i}, r C F, H, Q, R, c (2.6). (2.3) (2.5) sn(x, m)[3, 8 ]. v = δ r sn(iɛδ r x, r). (2.7),. ɛ = δ =, x, y R, λ S, r R +, R 3 CGC. 2. ɛ = δ =, x, iy R, λ R +, r R S, R 3 CGC. 4

5 , λ =, v S, χ R, λ = ±, v R +, χ ir r = λ = ± r = r S \ {±} λ = r R + \ {} r = λ = r R + \ {} r R \ { } :. ( CGC CGC.) 2.2 CGC, CGC. (H, Q, R, c) = (ɛ, ɛδ 2 /2, ɛδ 2 /2, (ɛδ) 2 (r + r )/2), χ 2 (2.4), v (2.7). ω ρ ( 2R ω = λ Hv 2 (t) + 2R 2Q λhv 2 (t) + 2Q. ρ v.. ) dt, (2.8) 2.3. f K (r, λ) CGC. ψ. ψ(r, λ) = iχ2 (r, λ)ω (r, λ) χ, (2.9) (r, λ) ω (2.8) λ. f K (r, λ ) C 2. ψ(r, λ ) π Q.,, ψ/π. ψ. ( (ṙ, λ) = ψ λ, ψ ), (2.) r. (2.). 2.3 CGC, (2.). 5

6 ,, [3, 9 ]: K(k) = π/2 Π(α 2, k) = dt, E(k) = k 2 sin 2 (t) π/2 π/2 dt = ( α 2 sin 2 (t)) k 2 sin 2 (t) k 2 sin 2 (t) dt, K(k) sn(t, k) k. ρ ρ 2 dt α 2 sn 2 (t, k), (2.) ρ = (iɛδ) r K(r), ρ 2 = (iɛδ) r K(r ) (2.2). 4ρ 4ρ 2 (2.7) v. 2(ρ ± ρ 2 ). ω ω 2 (2.8) ω, ρ ρ ρ 2. ω. ρ ( ) 2R ω = Hλ v 2 (t) + 2R 2Q Hλv 2 dt, (t) + 2Q ω 2 = (iɛδ) r ( Π(λ r, r) Π(λr, r) ). (2.3) ω 2 = (iɛδ) r ( Π(λ r, r ) Π(λr, r ) ) (2.4). (2.9) ψ ψ ψ 2 (2.9) ψ ω ω ω 2. ψ ψ 2 (2.) ( ) λ + λ ψ j (r, λ) = iχ(r, λ) λ λ ρ 2 j(r) λ λ J j(r) ω j (r, λ), (2.5) J (r) = (iɛδ) r (K(r) E(r)), (2.6) J 2 (r) = (iɛδ) r(k(r ) E(r )). (2.7) ψ 2 (r, λ) = ψ (r, λ)., (2.) ( r + r (p, q) =, λ + ) λ. (2.8) 2 2. a, a 2 ρ β. ρ = a ρ + a 2 ρ 2, β = a J +a 2 J 2. ρ β p.,. 6

7 2.5. CGC (2.) (p, q) (ṗ, q) = ( ( p 2 )( qβ), ( q 2 )( pβ) ). (2.9) ɛ = δ = (p, q) R 2. ( p 2 ) (2.9) (ṗ, q) = ( ( qβ), ( q 2 )( pβ)( p 2 ) ) (2.2), R 2 \ {p = } {(, )} CGC D D 2 D = {(p, q) R 2 p <, q }, D 2 = {(p, q) R 2 < p, q < }. (2.2), D, D 2.,. [] A. I. Bobenko, Surfaces in terms of 2 by 2 matrices. Old and new integrable cases, Harmonic maps and integrable systems, Aspects Math., E23, Vieweg, Braunschweig, 994, pp MR MR26483 [2] F. E. Burstall and M. Kilian, Equivariant harmonic cylinders, Q. J. Math. 57 (26), no. 4, MR MR (27j:5367) [3] P. F. Byrd and M. D. Friedman, Handbook of elliptic integrals for engineers and scientists, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 67, Springer-Verlag, New York, 97, Second edition, revised. MR MR (43 #356) [4] J. Dorfmeister, S.-P. Kobayashi, and F. Pedit, Complex surfaces of constant mean curvature fibered by minimal surfaces, Hokkaido Math. J. 39 (2), no., 55. 7

8 3: (p, q) (p, q) p = ± q = ± 9 (p, q) [, ) [, ] (p, q) (, ] [, ), ṗ =,. [5] S.-P. Kobayashi, Real forms of complex surfaces of constant mean curvature, Trans. Amer. Math. Soc. (to appear). [6] S.-P. Kobayashi and N. Schmitt, Constant mean curvature and constant Gauss curvature cylinders, Preprint (2). 8

1 (Berry,1975) 2-6 p (S πr 2 )p πr 2 p 2πRγ p p = 2γ R (2.5).1-1 : : : : ( ).2 α, β α, β () X S = X X α X β (.1) 1 2

1 (Berry,1975) 2-6 p (S πr 2 )p πr 2 p 2πRγ p p = 2γ R (2.5).1-1 : : : : ( ).2 α, β α, β () X S = X X α X β (.1) 1 2 2005 9/8-11 2 2.2 ( 2-5) γ ( ) γ cos θ 2πr πρhr 2 g h = 2γ cos θ ρgr (2.1) γ = ρgrh (2.2) 2 cos θ θ cos θ = 1 (2.2) γ = 1 ρgrh (2.) 2 2. p p ρgh p ( ) p p = p ρgh (2.) h p p = 2γ r 1 1 (Berry,1975) 2-6