Cumultive Probbility (%) Noise SD (HU) Cumultive Probbility (%) Probbility Density 健康文化 47 号 22 年月発行 Effective mas 252 mas 8 kv kv 2 kv

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よりおほがり
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1 22 年月発行放射線科学 CT 画像の画質評価と数学今井國治ヘリカルスキャン方式の CT(Computed Tomogrphy) 装置が開発されて以来 X 線検出器の多列化薄層化が急速に進み高精細な CT 画像が短時間で取得できるようになったその反面この多列化に伴って患者の被ばく量が増加すると言う新たな問題が浮上し CT 検査における X 線線量の適正化がこれまで以上に議論されるようになってきたこの適正化を検討する上で必要不可欠となるのが CT 画像の画質評価である従来 CT 画像の画質は Modultion Trnsfer Function (MTF) や Noise Power Spectrum (NPS) と言った物理的評価方法を用いて定量評価されてきたしかしこれらの方法で臨床画像や人体ファントム画像の画質評価を行うことは極めて難しくこの問題を解決するにはこれらの方法とは別の定量評価法を考案する必要があるそのためには今一度情報理論や数理統計学さらに線形代数や関数論と言った数学を吟味しその適用を再考しなくてはならないそこで本稿ではその足掛かりとしてこれまで筆者が行ってきた研究の一部を題材に解析道具としての数学について述べたいと思う具体的には頭部 CT ファントム画像の画像ノイズストリークアーチファクトそして鮮鋭度の定量評価において数学と言う名の道具をどのように使用したかについてであるではその内容を以下に概説する () 画像ノイズと Guss 分布 (,2) CT 画像上の画像ノイズを評価する方法として CT 値の標準偏差いわゆる Noise SD を指標とする定量評価法があるこの方法は標準偏差の定義式を使って関心領域 (ROI) 内の Noise SD を求める方法で臨床画像におけるノイズ評価で頻繁に用いられているしかしこの評価法の適用例を見てみると評価対象とは全く無関係な部分 ( 均一な部分 ) に ROI を設定しその内部の Noise SD が求められているこのような適用法をとる理由として ROI 内に画像信号が含まれていると信号部分の CT 値変動が影響し正確な Noise SD が求められないからであるではこの指標を用いて不均一な部分のノイズ評価はできないのであろうか一般に画像ノイズは Guss 分布に従うことが知

2 Cumultive Probbility (%) Noise SD (HU) Cumultive Probbility (%) Probbility Density 健康文化 47 号 22 年月発行 Effective mas 252 mas 8 kv kv 2 kv 4 kv CT Number (HU) Tube Voltge (kv) mas Vlue 49 mas 8 kv kv 2 kv 4 kv 4 kv 2 kv kv 8 kv 2 3 Lrgest Difference between Adjcent CT Numbers (HU) Lrgest Difference between Adjcent CT Numbers (HU) 図 Guss 法によるノイズ評価図 2 Gumbel 法によるアーチファクト評価られているつまりこの統計学的性質を利用すれば数学的に画像信号が分離でき不均一な部分でもノイズ評価は可能になるこの性質を利用して解析する方法の一つに正規確率プロットがある ( これを Guss 法と名付けた ) この方法は Guss 分布に従う確率変数 ( 関心領域内においてノイズに起因する CT 値 ) が正規分布確率紙上で直線分布となりそれ以外の確率変数 ( 画像信号に起因する CT 値 ) はこの分布から外れると言う統計学的性質を利用した方法でその直線分布は () 式で与えられる Φ ( F ( x)) x - (F(x)) CT 値 x に対する逆正規分布関数値 CT 画像の平均値 Noise SD () 式中の F(x) は累積確率を表しておりこれは順序統計学に基づくミーンランク法もしくは対称ランク法を用いて推定できる実際にこの方法を用いて評価した結果を図に示すこの図に示されているように CT 値 5HU 以下では直線分布となっておりこの部分が画像ノイズに起因している CT 値となっている ( 直線の傾きの逆数が Noise SD となる ) このように画像ノイズの統計学的性質を利用すれば不均一な部分でも定量的なノイズ評価は可能となる (2) ストリークアーチファクトと極値分布 (2,3) 低線量 CT 検査の検討において必ず問題視されるのが線状の障害陰影つまりストリークアーチファクトである通常このアーチファクトは視覚による評価しか行われておらず画像ノイズのように定量評価は行われていないその理由としてストリークアーチファクトを定量評価する方法がないことが挙げられるではなぜストリークアーチファクトの定量評価法が考案されていないのだろうかこのアーチファクトは CT 画像上で常に画像ノイズと混在しておりその特徴量を見いだすことが困難な上どのような統 2

3 22 年月発行計学的性質を持っているのかが全く知られていないもしこのアーチファクトの統計学的性質がわかればこれを利用して定量評価できるのではないかと考えられるそこでストリークアーチファクトを伴う領域に ROI を設定しヒストグラムを用いて解析したところ当然のことながら Guss 分布となっておりアーチファクトに起因する CT 値変動はその分布の尾根の部分を支配していたつまりこの尾根の部分を数学的に解析すればストリークアーチファクトの統計学的性質が明らかになるこのような状況を解析する方法の一つに極値統計学がある中でもこの CT 値変動のように母集団が Guss 分布的なものに関しては Gumbel 分布に従うことが数学的に証明されているこの Gumbel 分布は極値漸近分布の一つで (2) 式で与えられる t ( t) exp exp( ) F ln ln F ( x) t F(t) CT 値変動 t に対する累積確率位置パラメータ尺度パラメータ (2) そこで極値統計学的解析手順に従ってストリークアーチファクトを解析したところ図 2 に示すようにアーチファクトに起因する CT 値変動は (2) 式に従って直線的に分布し Gumbel 分布に従うことがわかったそれゆえこの統計学的性質に基づくストリークアーチファクトの定量評価が可能となり筆者は最頻値である位置パラメータを物理指標とする定量評価法を提案した ( これを Gumbel 法と名付けたが海外の論文誌では Imi s Index として引用された ) (3) 鮮鋭度と Toeplitz 行列 (4) CT 画像の鮮鋭度を定量評価する方法に MTF があるこの方法は点像強度分布 (PSF) もしくは線像強度分布 (LSF) を用いて鮮鋭度 ( もしくは解像度 ) を評価する方法であるこのことからわかるようにこの方法では臨床画像や人体ファントム画像の鮮鋭度評価は行えないしかしながらこの評価法の基本原理である信号強度を周波数分解すると言う考えは鮮鋭度を評価する上で非常に有用であるそこでこの原理を活かした形で臨床画像にも適用できる新たな鮮鋭度評価法を考案することにしたこれまで MTF を用いて鮮鋭度を評価する場合離散フーリエ変換の計算アルゴリズムである高速フーリエ変換 (FFT) を用いて信号強度の周波数分解が行われてきたこの方法はデータサンプル数を 2 n 個にしなくてはならないと言う制約がつく一般に臨床画像を対象とする場合任意の大きさの ROI を設定することが多くこのような制約 3

4 22 年月発行があると使い勝手が悪いでは FFT を使わずに信号強度の周波数分解ができるのであろうか元来このような周波数分解は自己相関関数を用いて行われてきたさらに線形代数における固有空間と言う概念を用いると自己相関関数値 αi で構成される対称 Toeplitz 行列が導出でき ((3) 式 ) この行列の固有値は各空間周波数におけるエネルギー密度を表していることが数学的に証明されている.4 Tube Voltge; 2 kv Tube Current; 25 ma ASiR 4% ASiR %.2 CT imge reconstructed by FBP Power ASiR /Power FBP Frequency Multipliction A m m (3) 図 3 Toeplitz 行列を用いた鮮鋭度評価このことからこの方法を適用すれば任意のサンプル数で画像信号の周波数分解ができるそこでこの方法を基本に新たな鮮鋭度評価法の原理を構築し実際に考案した方法を用いて鮮鋭度を評価した図 3 は逐次近似再構成 CT 画像を用いた一例で相対評価ができるように各空間周波数におけるエネルギー密度を従来の CT 画像 ( フィルタ補正逆投影法 FBP) の結果で規格化した近年逐次近似再構成 CT 画像が話題となっておりこの方法で CT 画像を再構成すると画像ノイズが格段に減少し被ばく線量軽減に大いに役立つのではないかと言われているその一方でこの方法で再構成された CT 画像は FBP で再構成されたものよりも不鮮鋭になると言う報告もある実際この図に示されているように高周波領域でエネルギー密度がかなり小さくなっており鮮鋭度の低下が認められるこのように線形代数を用いることで人体ファントム画像や臨床画像でも周波数分解が行えこれに基づく鮮鋭度評価が可能であることが実証できた今回 CT 画像の画質評価と数学と銘打って CT 画像の画質を実践数学的に解析したここで例として挙げた評価結果は CT 画像の画質を評価する上で重要と思われる三大要因 ( 画像ノイズストリークアーチファクト鮮鋭度 ) に関するもので読者にとって何らかの有益な情報になればと言う想いで取り上げることにしたこの例示した結果が何かの参考になれば幸いである 4

5 22 年月発行最後に本稿で採用した結果は科研研究 ( 基盤研究 (C) 課題名脳卒中 CT 画像に及ぼす線量効果課題番号 ) の一部であることを付記する参考文献 () 森政樹他, 電気学会論文誌 C, 3 巻, 号, p (2) (2) K.Imi et.l., British Journl of Rdiology, doi.259/bjr/ (in press) (3) K.Imi et.l., Medicl Physics Vol.36, No. 2, p (29) (4) 森政樹他, 22 年電子情報通信学会ソサエティ大会, 講演論文集 ( 予定 ) ( 名古屋大学大学院医学系研究科教授医療技術学専攻医用量子科学講座診断情報工学研究室 ) 5

線形システム応答 Linear System response

線形システム応答 Linear System response 画質が異なる画像例コントラスト劣コントラスト優コントラスト普鮮鋭性普鮮鋭性優鮮鋭性劣粒状性普粒状性劣粒状性優医用画像の画質コントラスト, 鮮鋭性, 粒状性の要因が互いに密接に関わり合って形成されている. 比鮮鋭性コントラスト反反粒状性増感紙 - フィルム系での 3 要因の関係ディジタル画像処理系でもおよそ成り立つ WS u MTFu 画質に影響する因子

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