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れいがいいはた
5 years ago
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1 1 第 4 章 VCG メカニズム (Vckrey-Clarke-Groves Mechansm) 2018 年 10 月 12 日参考文献 : 松島経セミ第 7 回 ( ただし用語古く混乱あり要注意 )

2 2 本章のテーマ効率的な社会的選択ルール f : ( 総余剰最大化 ) A v( f( ), ) v( a, ) for all and a A N N をメカニズムデザインで達成させよう!

3 3 表明原理 (Revelaton Prncple) より g を効率的配分ルールとして Drect Mechansm ( g, x ) が Incentve compatble になるように支払いルール x をうまくデザインすればよい効率的配分ルール g : v ( g( ), ) v ( a, ) ここで A とは余剰最大化のこと : for all and a A N N 正直表明によって効率的な社会的選択ルールが遂行 g f

4 4 どのように支払いルール x をデザインすればよいか? Answer: Desgn VCG mechansm! さらにはプレーヤーの最低限の利得を保障するため参加制約条件をつけると Desgn Pvot Mechansm! What are VCG and Pvot mechansms??

5 5 本章における大事な仮定 : Prvate Values v ( a, ) v ( a, ) 選好についての情報の非対称性 cf. 品質についての情報の非対称性 ( なぜこの仮定が必要かについては後述 )

6 6 本章の大定理 Prvate Values の仮定下では任意の効率的社会的選択ルールについて VCG メカニズムを定義することができてしかも VCG メカニズムは Incentve Compatble n Domnant Strategy (DIC) である! つまり Prvate Values においては常に優位戦略によって効率的配分が達成可能であるその際のメカニズムデザインは VCG メカニズムである

7 7 例 : この定理のすごいところは Prvate Values 以外になんら仮定を置かずに成立すること! 私的財の配分 : 複数種類の財各々複数単位経済主体ごとに選好まちまち : 代替財? 補完財? 独立財? スケールメリット? デメリット? これらすべて買い手によってまちまちでもよい cf. コーヒーと紅茶コーヒーと砂糖砂糖と PC 電波オークション (5G): 私にとってライセンス A とライセンス B は補完財あなたにとっては代替財彼女にとっては独立財私はライセンスがたくさんあるとスケールメリットあなたにとってはデメリット追加価値ダウン公共財の配分問題も VCG で OK: 伝統的には VCG 研究の重要テーマだった

8 VCG Mechansm: Defnton Defnton: Drect mechansm ( g, x ) s sad to be a VCG mechansm f the allocaton rule g s effcent,.e. for every, v( g( ), ) v( a, ) for all a A, N and for every N, there exsts a functon h : R such that N x( ) v ( g( ), ) h( ) j j j N\{ } この ( 一見わかりにくい ) 支払いルールの意味を理解することが本章の目的!

9 9 VCG Mechansm の支払いルール x とはどんな意味?? Message profle m M がアナウンスされると CPは各プレーヤーに対して vj ( g( m), mj ) 円支払う j N\{ } さらにCPは各プレーヤーから h( m ) 円徴収するよってプレーヤーの私的便益は v ( g( m), ) x ( m) v ( g( m), ) v ( g( m), m ) h( m ) j j j N\{ } になる

10 10 VCG メカニズムを理解するためまず特殊ケースとして徴収なしのケースを考えてみよう : h( m ) 0, that s, x ( m) v ( g( m), m ) j j j N\{ } 各プレーヤーは私のタイプは m とアナウンスする CP はそれを鵜呑みにするとしよう真の状態は m ( m ) N だと信じよう配分を g( m ) としよう N j j と想定し j N CP は社会的便益 ( 総余剰 ) を v ( g( m), m ) 各プレーヤーの私的便益を v ( g( m), m ) と想定したことになる社会的便益と私的便益は乖離しているこのままではうそをつかれる懸念あり

11 11 そこで CP は内部化 (Internalzaton) を企てる : 社会的便益と私的便益は一致してないので内部化によって一致させよう VCG の支払いルールの含意は内部化である!

12 12 VCG の支払いルールの本質は内部化にある CP は各プレーヤーに他のプレーヤーの私的便益の総和 j N\{ } v j ( g( m), m ) を支払ってやるすると CPが予想する各プレーヤーの利得は v ( g( m), m ) v ( g( m), m ) j j j N\{ } v j N j ( g( m), m ) max vj( a, mj) a A j N j これは社会状態 m の時の最大化総余剰に一致している j

13 13 一方 CP の予想でなく真の社会状態をとすると各プレーヤーの実際の便益は v( g( m), m ) でなく v ( g( m), ) であるよって各プレーヤーの実際の利得は v ( g( m), ) v ( g( m), m ) j j j N\{ } 社会状態 (, m ) にて配分 ( ) これは gm が選ばれた場合の総余剰に一致している

14 14 配分が gm ( ) A でなく g(, m ) A ならば ( つまり m の代わりにをアナウンスするならば ) プレーヤーの利得は v ( g(, m ), ) v ( g(, m ), m ) j j j N\{ } max{ v ( a, ) v ( a, m )} a A j j j N\{ } v ( g( m), ) v ( g( m), m ) これは社会状態 (, m ) j j j N\{ } の時の最大化総余剰に一致! 相手のメッセージ m に関係なく正直にタイプ表明するのがベスト正直が優位戦略!

15 15 VCG メカニズム ( gx, ): 一般形 x ( m) v ( g( m), m ) h( m ) j j j N\{ } h( m ) はどんな値でもOK 自身のメッセージただし m から独立でないとだめ ( 独立でない場合にはうそをついて徴収額を低くする可能性があり正直がベストにならない )

16 16 h( m ) の追加は CP にとってとても大事 : これがないと大赤字各プレーヤーに vj ( g( m), mj ) 支払っているのでトータルで j N\{ } { v ( g( m), m )} ( n 1) v ( g( m), m ) j j j j N j N\{ } j N つまり総余剰 vj( g( m), mj) の n 1 倍もCPは支払っていることになる j N ならば各プレーヤーから h( m ) 円を徴収しよう!

17 17 定理 4-1: 任意の VCG メカニズムにおいて各プレーヤーにとって正直戦略は優位戦略であるつまり VCG メカニズムは ncentve compatblty n domnant strategy (DIC) をみたす証明 : 任意の m M について v( g( m), ) x( m) v( g( m), ) vj( g( m), mj) h( m ) j max{ v ( a, ) v ( a, m )} h( m ) a A j j j v( g(, m ), ) vj( g(, m ), mj) h( m ) j Q.E.D.

18 ピヴォットメカニズム (Pvot Mechansm) 徴収額 h( m ) を大きくすればするほどCPは儲かるしかし大きくしすぎるとプレーヤーが参加しなくなる恐れがあるプレーヤーの参加制約を考慮すべし! 以下配分問題に参加しない場合の機会費用をゼロとしよう ( ゼロじゃないケースの考察も重要 : 後述 ) 参加制約条件 (Partcpaton Constrant, Indvdual Ratonalty):A drect mechansm ( gx, ) satsfes partcpaton constrant f for every N, v ( g( ), ) x( ) 0 for all.

19 19 参加制約をみたす VCG メカニズム v ( g( ), ) x ( ) v ( g( ), ) h( ) 0 for all j j j j N Pvot Mechansm とは? 参加制約をみたす VCG メカニズムの中でもっとも CP の収入をたかめるメカニズムのこと N and, h( ) mn vj( g( ), j) For every j N Pvot Mechansm においては for every N and, v( g( ), j) x( ) vj( g( ), j) h( ) 0 for all j N where the equalty holds for some,

20 20 配分に関心ないタイプさらに追加仮定として v ( a, ) 0 for all N, a A および There exsts such that v ( a, ) 0 for all a A, and が存在する ( オークションでは財評価ゼロのタイプ : 0) この追加仮定下ではピヴォットメカニズムにおける徴収額 h( m ) は h( ) max vj( a, j) a A j N \{ } プレーヤー抜きでの最大化総余剰に一致

21 21 追加仮定下ではピヴォット VCG メカニズムにおける支払いルールは x ( m) v ( g( m), m ) max v ( a, m ) j j j j a A j N\{ } j N/{ } となる自分がいなかった時の他のプレーヤーの最大便益 : 自分がいる場合の他のプレーヤーの便益 : max j(, j) a A j v a m N \{ } vj( g( m), mj) j N\{ } = 自分がいることによって被る他のプレーヤーの損失分を CP に支払うことになる

22 22 Margnal Contrbuton( 限界的貢献度 ) ピヴォットメカニズムにおいて各プレーヤーの利得は v ( g( ), ) x ( ) v ( g( ), ) max v ( a, ) j j j j a A j N j N\{ } max v ( a, ) max v ( a, ) a A j j j j a A j N j N\{ } となるこれはつまり Margnal Contrbuton( 限界的貢献度 )! 自分がいることによって総余剰がどのくらい高まるかが利得になっている!

23 二位価格入札は Pvot Mechansm である Pvot Mechansm: x ( m) v ( g( m), m ) max v ( a, m ) j j j j a A j N\{ } j N\{ } 0 max max f g( m) j j j max max 0 f g( m) j j j j j ( 落札 ) ( 非落札 ) 二位価格入札はピヴォットメカニズム!

24 24 * 二位価格入札のコペルニクス的発想転換価格の決まり方 ( いくら? 高い安い?) 配分の効率性 : 二位価格を支払う ( 自分がいることで失う他者の便益 ) ピヴォットメカニズムへ一般化!

25 25 VCG メカニズムはすごいメカニズムデザイン! 1)State Space に "connectedness" という数学的条件が備わっていると VCG 以外には効率的 ncentve compatble mechansm n domnant strategy は存在しない (Green-Laffont-Holmstrom Theorem) Theorem 7-2 (Unqueness):Suppose that for any : A R and any N, there exsts such that v(, ). Then, VCG mechansms are only drect mechansms satsfyng DIC. 2) 優位戦略を BNE に置き換えても Pvot mechansm より高収入を CP にもたらす ncentve compatble mechansm n BNE (wth partcpaton constrant) は存在しない ( 後述する収入同値定理 (Revenue Equvalence Theorem) から導かれる ) 3)Prvate Values 以外に利得関数に制約条件必要なし

26 26 しかし VCG メカニズムにも問題点がある 1)Prvate Values の仮定が必要 Interdependent Values の場合には嘘をつくインセンティブ考えられる v ( g( ), ) v ( g( ), ) v ( g( m, ), ) v ( gm (, ), m, ) j j j N\{ } j N\{ } となる m が存在しうる 2) 談合 ( カルテル ) が成立しやすい ( 後述 ) 3) 収支均衡しない 4) 機会費用 =0 とは限らない場合 CP の赤字が解消されない ( 後述 ) 5)Cogntve complexty: 正直が優位戦略にもかかわらずわかりにくい二位価格ですら現実にあまりつかわれていない反論 : せり上げ入札 : すごく現実に使われている二位価格入札と論理的に同じ ( 後述 ) 6)Computatonal Complexty 複雑な配分問題になると効率的配分の算出が難しい Algorthmc Game Theory: New Feld of Game Theory 第 4 章終わり

27 27 宿題 4( 第 4 章まとめ ): 一週間後の午前中までに教務に提出すること

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Microsoft Word - 18MGUNG12.docx 208 年 0 月 23 日 6.2. 期待収入最大化経セミ第 8 回 (203 年 2 月 204 年月号 ) 売り手の目的 : 効率的配分をゆがめてでも収入を高めたい (Remember 同値定理 ) 売り手独占の強みを利用 : 売り渋って価格を吊り上げよう最低入札価額 (Reserve Prce) 設定 : この価格以下で落札させない標準的ミクロ経済学を思い出せ : 独占価格の設定 6.2..