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きみのしんおえづか
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1 208 年 0 月 23 日 6.2. 期待収入最大化経セミ第 8 回 (203 年 2 月 204 年月号 ) 売り手の目的 : 効率的配分をゆがめてでも収入を高めたい (Remember 同値定理 ) 売り手独占の強みを利用 : 売り渋って価格を吊り上げよう最低入札価額 (Reserve Prce) 設定 : この価格以下で落札させない標準的ミクロ経済学を思い出せ : 独占価格の設定

2 6.2.. 例による説明入札者 2 人非分割財単位 2 入札者 2のタイプは 2 入札者のタイプは [0,] 連続空間 (5.. の最後の例 ) 効率的配分は g( ) f g( ) 2 f 2 2 2

3 Effcency と BIC( と参加制約 ) みたす支払いルール ( のベスト ) は ( ) 2 x and 2 x( ) 0 and 2 x ( ) 0 f x ( ) f 売り手収入は 2 : 入札者に情報レントとられてしまうこれでは入札者はいなくてもいい収入同値定理 : 収入をもっと高めたいなら効率的配分あきらめよ! Reserve Prce 設定 ( 他の人に売る誰にも売らない ) 3

4 入札者に対して Reserve Prce y [,] を以下のように設定しよう! 2 入札者に対しては yでないと売らないそのかわり入札者 2 に 2 で売る : g( ) f y g( ) 2 f y x( ) y and x2( ) 0 f y x( ) 0 and x 2( ) f 2 y この時 BIC 成立 ( 要確認 ) 4

5 期待収入は y P y P y 2 { ( )} ( ) y について期待収入を最大化 : 一階条件は 2 P ( y) yp ( y) p ( y) 0 y P ( y) ( 円 ) に Reserve Prce を定めよ! 2 p ( y) g( ) f g( ) 2 f P ( y) p ( y) 2 P ( y) p ( y) 2 ( でも入札者 2に売る :Why?) 2 5

6 Vrtual Valuaton ( 事実上の評価 Margnal Revenue) 入札者 2に売れば確実に収入 2 を獲得 : 入札者 2に対する事実上の評価 2 しかしタイプの入札者に売ってもを獲得できない : 情報レントが発生するから 6

7 タイプからタイプ (Reserve Prce の入札者が財獲得 ) としよう円リザーブ価格を下げるとタイプからタイプの入札者が獲得 ( 購入確率 p よって ( ) 円収入アップしかし一方で一律円割安になるため { P ( )} 円の損失発生 ( 情報レントの発生 ) p 売り手の収入増は P ( ) p p ( ) ( ) ではなく { } ( ) p ( ) アップ ) 7

8 タイプの入札者に対する Vrtual Valuaton ( 事実上の評価 Margnal Revenue) MR P ( ) ( ) p ( ) 収入最大化の鉄則 : Vrtual Valuaton の高い入札者に売れ! 8

9 数値例 : 一様分布 ( P ( ) ) Vrtual Valuaton for bdder : P ( ) p ( ) 2 2y より 2 y 3 4 を Reserve Prce に設定せよ! 9

10 Vrtual Valuaton P( ) MR( a, ) v( a, ) v2( a, ) p ( ) 解釈 : 一律価格 h v ( a, ) に対して需要 P ( ) と考えよう需要を限界的に増やして限界収入 (, ) MR a を計算しよう! dv [ ( a, ){ P( )}] d MR ( a, ) d d{ P( )} P( ) v( a, ) v2( a, ) p ( ) この限界収入のことを事実上の評価 (Vrtual Valuaton) と呼ぼう! 0

11 Vrtual Valuaton P( ) MR( a, ) v( a, ) v2( a, ) p ( ) P( ) 評価 v( a, ) - 情報レント v 2( a, ) p ( ) 情報レントとは? 需要を一単位上げるためには価格を一律 v (, ) 2 a p( ) v (, ) 2 a { P( )} 円分プレーヤーに情報レント発生 p ( ) 円下げないといけない

12 定理 6-5: BIC をみたす直接メカニズム ( gx, ) がもたらす期待収入は Vrtual Valuaton の和 MR ( g( ), ) の期待値 N ( マイナス y * (0) ) N に等しい : * Ex [ ( )] E[ MR( g( ), )] y(0) N N N 2

13 定理 6-5 の証明 : 同値定理より期待支払額は Ex [ ( )] Ev [ ( g( ), )] * [ [ 2( (, ),, ) ] ] (0) 0 E E v g d y 分布独立性より情報レント分は以下のように書き換えられる : よって E [ Ev [ ( g(, ),, ) ] d] E[ v2( g(, ),, ) d ] Ex [ ( )] Ev [ ( g( ), )] * [ 2( (, ),, ) ] (0) 0 E v g d y 3

14 * 証明においてすべきこと : 情報レント分 E[ v2( g(, ),, ) d ] を書き換えると 0 P( ) Ev [ 2( g( ), ) ] p ( ) になることを示すこと 4

15 の中に v ( (, ),, ) 2 g 情報レント分 E[ v2( g(, ),, ) d ] 0 が登場するのはがが以上になる確率は ( ) よってつまり 0 以上になるケースのみ P E[ v ( g(, ),, ) d] 2 2, E [ v ( g( ), ){ P( )} d ] Ex [ ( )] Ev [ ( g( ), )] E v g P d y * [ 2( ( ), ){ ( )} ] (0) と書き換えることができる ( ここのステップがキモ ) 5

16 よって情報レント分はよってつまりつまり E [ v ( g( ), ){ P( )} d ] 2 P ( ) E [ v ( g( ), ) p ( ) d ] 2 p( ) P( ) Ev [ 2( g( ), ) ]. p ( ) P ( ) Ex Ev g v g y, * [ ( )] [ ( ( ), ) 2( ( ), ) ] (0) p( ) Ex EMR g p y. * [ ( )] [ ( ( ), ; )] (0). * Ex [ ( )] E[ MR( g( ), ; p)] y(0) N N N Q.E.D. 6

17 期待収入最大化問題参加制約条件 (Interm Indvdual Ratonalty, IIR, 中間個人合理性 ): y * ( ) E [ v ( g ( ), ) x ( ) ] 0 期待収入最大化問題 BIC と IIR の制約下で期待収入を最大化せよ! max E[ x( )] subject to BIC and IIR ( gx, ) n 7

18 追加の仮定 : タイプゼロの時が評価最低とする: v ( a, ) v ( a,(0, )) for all a A, N, and また IIR の代わりにとしてよい y * (0) 0 for all N BIC をみたす支払ルール x が存在する配分ルール g の全体集合を Ĝ とする 8

19 定理 6-6:BIC および IIR の制約下での期待収入最大化問題はに等しい max E[ MR ( g( ), )] ggˆ N 期待収入最大化問題の解法例 : E MR g p を Ĝ ではなく限界収入の和の期待値 [ ( ( ), ; )] N 配分ルール全体集合 (G とするただし一般に Ĝ G max E[ MR ( g( ), ; p )] gg N ) について最大化この解を g と記す定理 6-2( 支払同値 ) で示される支払いルール ( のひとつ ) を x と記す分布独立性下で ( g, x ) が BIC をみたすかどうかをチェックする BIC をみたすならば g Gˆ が成立しているこの場合にはもとめた ( g, x ) は期待収入最大化メカニズムである 9

20 期待収入最大化問題の例 : 単一財一単位 (Prvate Values を仮定 ) リザーブ価格付きの二位価格入札ルールが期待収入を最大化することを示そう 20

21 v( a, ) 0, MR( a, ) 0 f a P( ) v( a, ), MR( a, ) f a p ( ) Vrtual Valuaton が一番高くしかも非負である入札者に落札せよ MR(, ) MR( j, j) for all j f g( ) g( ) ( 売らない ) f MR (, ) 0 for all N このように特定した配分ルール g が BIC になるかどうかチェック! 2

22 仮定 ( 単調増加 ): P( ) MR(, ) はの増加関数 p( ) 仮定 ( 分布対称性 ): p( ) pj( j) f j これらの仮定より [ MR (, ; p ) MR ( j, ; p )] [ j] j j 評価がより高い入札者はより高い Vrtual Valuaton 22

23 リザーブ価格付きの二位価格入札指値が一番高くリザーブ価格より高い指値をした入札者が落札そうでなければ非落札 ( 売らない ) 落札者は二位価格とリザーブ価格の大きい方を支払う単調増加 + 分布対称性の仮定下でリザーブ価格付き二位価格入札は評価価値が一番高くリザーブ価格 y 以上である入札者に落札 for all j j f g( ) g( ) f y for all N 23

24 Reserve Prce y を以下のように設定 : MR y y P( y) (, ) 0 p ( y) Vrtual Valuaton が非負の入札者にのみ落札されるリザーブ価格付きの二位価格入札が期待収入最大化を実現! 24

25 参入促進の効果 Bulow and Klemperer (996): Auctons versus Negotatons, Amercan Economc Revew 単一財一単位取引再考 : リザーブ価格 : コミットメントできることが暗黙の仮定コミットメント効かない : 売れ残り認められない売れ残りを認めない場合の最大化期待収入 E MR MR n n [max[ ( ),..., ( )]] 正負に関係なく Vrtual Valuaton の一番高い人に売る 25

26 定理 6-7(Bullow and Klemperer (996)): E[max[ MR( ),..., MRn( n), MRn( n)]] E[max[ MR( ),..., MR n ( n ),0]] リザーブ価格設定よりももう一人新しい入札者 ( どんな奴でも OK) を参入させる方が収入アップに効果的リザーブ価格設定 : Vrtual Valuaton が非負の入札者 (~n) がいない評価ゼロの人つまり売り手自身にタダで上げる n+ 人目を連れてくる : Vrtual Valuaton が非負の入札者 (~n) がいない n+ 人目に売れ! 26

Microsoft Word - keisemi13210

Microsoft Word - keisemi13210 1 2013 年 2 月 24 日経済セミナー 2013 年 4, 5 月号オークションとマーケットデザイン第 5 回標準的なオークションの均衡分析松島斉東京大学経済学研究科教授今回はオークション理論においてもっとも基礎的とされる単一種一単位の財取引について解説する一位価格入札二位価格入札せり上げオークションせり下げオークションといった標準的なオークションのルールにおける入札者の行動を