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たつぞういなくら
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2 これからのスライドは下記を参考に,Java でプログラミングしながら, 作成しました岡本栄司著, 暗号理論入門 [ 第 2 版 ] 共立出版株式会社

3 RSA 暗号とネットワーク暗号化と復号の鍵を別にして, かつ, 暗号化の鍵を公開できると便利計算量という壁を使って, 上記を実現したものの代表が RSA 暗号これを理解するには, 整数論の知識が必要 : ある整数で割った余りで等しい整数の体系を扱う

4 Java の BigInteger クラス import java.math.biginteger; x = new BigInteger(" "); System.out.println(x.toString());

5 剰余系 17 = 22 (mod 5) 数を 5 で割ったあまりで比較すれば,17 と 22 は同じ (mod 5) は比較の方法を記述あまりをとる演算子ではない

6 BigPower のデモ (mod n) で, aのx 乗を計算するプログラム % java BigPower

7 RSA暗号の例大きな素数2つ(秘密からnと鍵を二つ生成する e: encode_key, d: decode_key n= (公開, e=20003 公開, d= 秘密ベキ乗演算で暗号化 c=me(mod n) ベキ乗演算で復号 m'=cd(mod n) つまりm'=cd=med (mod n) このとき m'=m (mod n) が成立するデモ

8 RSA:n = 10, e = 3, d = 3 暗号化 ( 板書 ) 1 3 = 1 (mod 10) 2 3 = 8 (mod 10) 3 3 = 7 (mod 10) 4 3 = 4 (mod 10) 5 3 = 5 (mod 10) 6 3 = 6 (mod 10) 7 3 = 3 (mod 10) 8 3 = 2 (mod 10) 9 3 = 9 (mod 10)

9 RSA:n = 10, e = 3, d = 3 復号(板書) 13 = 1 (mod 10) 23 = 8 (mod 10) 33 = 7 (mod 10) 43 = 4 (mod 10) 53 = 5 (mod 10) 63 = 6 (mod 10) 73 = 3 (mod 10) 83 = 2 (mod 10) 93 = 9 (mod 10) 13 = 1 (mod 10) 83 = 2 (mod 10) 73 = 3 (mod 10) 43 = 4 (mod 10) 53 = 5 (mod 10) 63 = 6 (mod 10) 33 = 7 (mod 10) 23 = 8 (mod 10) 93 = 9 (mod 10)

10 素朴な疑問 ( 公開 ), 20003( 公開 ), ( 秘密 ) ベキ乗演算で暗号化ベキ乗演算で復号どうして通信できるのか説明には有限体の知識が必要

11 剰余系 12 = 22 (mod 10) 数を 10 で割ったあまりで比較すれば,12 と 22 は同じ (mod 10) は比較の方法を記述したもの等しいという関係を修飾している 11

12 a = b (mod n) n で割った余りを問題にするならば,a と b は等しい直感的にわからなかったら,n=10 とするこれは, 整数の一番下の桁で整数を比較することになる

13 a = b (mod n) n で割った余りを問題にするならば,a と b は等しい a; a = a(mod n) 反射律 a; b; a = b(mod n) b = a (mod n) 対称律 a; b; c; a=b(mod n) かつ b=c(mod n) a=c (mod n) 推移律

14 a = b (mod n) n で割った余りを問題にするならば,a と b は等しい整数は,n 個のグループに分類されるが, そのグループのなまえに,0 から n-1 までの整数を使うこれは, グループの名前であることに注意する必要がある

15 加算 a=b (mod n) ならば, z 整数, a+z = b+z (mod n) 直感的にわからなかったら,n=10 とするこれは, 整数の一番下の桁で整数を比較することになるグループの名前を求めるには, 通常の加算をして, 下の桁だけを使うことでよい

16 減算 a=b (mod n) ならば, z 整数, a-z = b-z (mod n) 直感的にわからなかったら,n=10 とするこれは, 整数の一番下の桁で整数を比較することになるグループの名前を求めるには, 負にならないように 10 を加算することをして, 一番したの桁を使うことでよい

17 乗算 a=b (mod n) ならば, z 整数, z a = z b (mod n) 直感的にわからなかったら,n=10 とするこれは, 整数の一番下の桁で整数を比較することになるグループの名前を求めるには, 通常の乗算をして, 一番下の桁だけを使うことでよい

18 逆数 (mod 10) 3 7 = 1 (mod 10) よって,3-1 =7 (mod 10) 注意逆数は通常の意味と大きく異なる演習, 下記のxをもとめてみよう x = 1-1 (mod 10) x = 7-1 (mod 10) x = 9-1 (mod 10)

19 逆数 (mod 10) 1 = 1-1 (mod 10) 3 = 7-1 (mod 10) 9 = 9-1 (mod 10) 注意, 0, 及び,10と互いに素でない数, x = 0-1 (mod 10) x = 2-1 (mod 10) x = 5-1 (mod 10) を満たすxは存在しない

20 逆数 : (mod 5) 3 2 = 1 (mod 5) よって,3-1 =2 (mod 5) 注意逆数は通常の意味と大きく異なる演習, 下記のxをもとめてみよう x = 1-1 (mod 5) x = 2-1 (mod 5) x = 4-1 (mod 5)

21 逆数 (mod 5) 1 = 1-1 (mod 5) 3 = 2-1 (mod 5) 2 = 3-1 (mod 5) 4 = 4-1 (mod 5) どのように求めた? ( 順番に条件を満たすか検査したと思う ) 注意,x = 0-1 (mod 5) を満たす x は存在しない

22 逆数 (mod 素数 p) n=1, 2,..., p-1について, x = n -1 (mod p) となる,xがある注意,n 0である x = 0-1 (mod p) を満たすxは存在しない

23 割り算 (mod 素数 p) n=1, 2,..., p-1 について, x = n -1 (mod p) となる,x がある y/n は,y n -1 と考える ( 掛け算の逆演算 ) すると,0 以外の数で割り算した結果が存在する ( 整数はみたさないが, 有理数や実数が満たす性質 : 集合と加算と乗算が体である )

24 整数をあまりでグループ分けするグループに名前をつける 5で割ったあまりが0の整数を "0" と書くことにする "1", "2", "3", "4" も同様, つまり, "1" は,{ 1, 6, 11, 16,... } のグループのこと, グループは5つある演算は表にできる

25 グループでの足し算と掛け算表

26 負の数と逆数この演算表では, 2 は 3 と考えると考えることができる 2 1 は, 3 と考えることができる

27 有限体体とは数の集合と演算の組合わさったもののである, ある性質をもつものの名前である体の重要な性質の一つは, ある数の乗算に逆演算となる数が存在する数が 0 以外には存在することである逆演算となる数があることが復号で役立つ有限の集合での乗算の体系に逆数が存在するのは, 面白い性質 27

28 RSA 暗号の例 ( 再度 ) 大きな素数 2 つ ( 秘密 ) から n と鍵を二つ生成する e: encode_key, d: decode_key n= ( 公開 ), e=20003( 公開 ), d= ( 秘密 ) ベキ乗演算で暗号化 c=m e (mod n) ベキ乗演算で復号 m'=c d (mod n) つまり m'=c d =m ed (mod n) このとき, m'=m (mod n) が成立する 28

29 フェルマーの小定理 pが素数のとき ap-1=1 (mod p) ただし a=1, 2,... p-1 どのような定理か aがどれであっても aをp 1回掛けるベキ乗すると1になることが運命付けられている p=5のときを計算してみよう 29

30 p(=5) のときのフェルマーの小定理の確認 p(=5) が素数のとき,a p-1 =1 (mod p) ただし, a=1, 2,... p-1 確認してみる = =4 4= =9 9= =16 16=256 1 注意 :0のときは成立しない =0なので 0 p-1 1 (mod p) 30

31 観測 :p=5 では na の集合と a の集合に 1 対 1 対応が存在する p(=5) は素数 a と n は,1 から p-1 まで整数とする S は 1 から p-1 までの整数の集合とする任意の a に対し n と an に (mod p) での 1 対 1 対応が存在する

32 観測 :p=5では, 0でないaには, 逆数が存在存在する p(=5) は素数 aは,1からp-1まで整数とする Sは1からp-1までの整数の集合とする任意のaに対して, an=1 (mod p) となる nが存在する

33 フェルマーの小定理の証明の p は素数とする準備 (1) a 0 (mod p), x 0 (mod p) である整数 a, x について ax 0 (mod p) つまり a と x が p の倍数でないとき ax も p の倍数でない ax = 0 (mod p) とすると 1 以下 p 1 以下の整数 n があって ax = np 素因数分解するとと a か x が p の倍数であることになり仮定と矛盾する

34 フェルマーの小定理の証明の準備 (2) pは素数とする aは,1 以上 p-1 以下の整数とする x yは1 以上 p-1 以下の異なる整数とするすると ax ay (mod p) つまり 0でないx,yで異なるx, y をa 倍した結果をpで割った余まりは異なるということを意味している

35 フェルマーの小定理の証明の準備 (2) pは素数とする aは,1 以上 p-1 以下の整数とする x yは1 以上 p-1 以下の異なる整数とするすると ax ay (mod p) 証明 1. 仮定より (x-y) 0 (mod p), 2. 仮定より a 0 (mod p) 3. よって a(x-y) 0 (mod p) であり ax ay (mod p) となる

36 フェルマーの小定理の証明の p は素数とする準備 (3) a は,1 から p-1 まで整数とする S は 1 から p-1 までの整数の集合とする T(a)={m n S, m S, m=na (mod p)} なる集合 T(a) を考えるすると T(a) = S = p-1 証明 : n ごとに対応する m は異なるので,T(a) の要素の個数は S と同じ p-1 になる

37 フェルマーの小定理の証明の準備 (4) pは素数とする aは,1からp-1まで整数とする Sは1からp-1までの整数の集合とする T(a)={m n S, m S, m=na (mod p) } とする任意のaについて,T(a)=S 証明 : 明らかにT(a) Sであり, 一方 T(a) = S

38 フェルマーの小定理の証明の準備 (5) pを素数とする a, nは,1からp-1まで整数とする S は 1 から p-1 までの整数の集合とする任意のaに対しあるnが存在して1 = na (mod p) 証明 T(a)={m n S, m S, m=na (mod p) } とする 1 S, より1 T(a), よって, n, 1=na (mod p)

39 フェルマーの定理 ( 実演 ) pが素数のとき a p-1 =1 (mod p) aは 1からp-1まで, どれでも成立する (p= で実験) 39

40 a の集合と anの集合が等しい 0を除いて全部掛け合わせてみる掛け合わせる対象の集合をSとする S={1,2,..., p-1}

41 n と a n が S 上で 1 対 1 に対応している全部掛け合わせる n = an(mod p) n T (a) n S n = a p 1 n(mod p) n T (a) n S n = a p 1 n(mod p) n S T(a)=S={1,2,..., p-1} n S n S pが素数なので b n =1 (mod p) となるbが存在するので, それを右から掛けると, 1 = a p 1 (mod p)

42 フェルマーの小定理の系 pが素数 λがp-1の倍数のとき aλ 1=a (mod p) 注意 aが任意の整数で成立 aの制限がないので使いやすいまた記憶しやすい 42

43 ベキ乗の計算 p の 5 乗 (mod 5) p(=5) が素数のとき,a p =a (mod p) = = =4 4 2= =9 9 3=81 3= = =256 4= aが0のときも成立する 9 乗,13 乗もおなじようにもとにもどる 43

44 フェルマーの小定理の系 ( ) の証明 pが素数 λがp-1の倍数のとき,a λ+1 =a (mod p) 証明 : ある整数 kをaをpで割ったときの商とする (1)a=kp のとき, 明らかに a λ+1 =k λ+1 p λ+1 =0 (mod p) またa=0 (mod p) よって,a λ+1 =a (mod p) (2)a=kp+b ただし, b {1,2,..., p-1} のときフェルマの小定理より, b (p-1) =1(mod p) なので, a λ+1 =b λ+1 =b K(p 1)+1 =(b (p 1) ) K b=1 K b (mod p) 一方,a=b (mod p) よって, a λ+1 =a (mod p) 44

45 中国人の剰余定理 pとqが互いに素最大公約数が1)とするまたn=pqとするある数x, yが x=y (mod p)かつ x=y (mod q)であれば x=y (mod n) q(=5) p(=2) n(=10) ある数の5で割ったあまりと奇数偶数がわかれば 1桁目がわかる

46 中国人の剰余定理 pとqが互いに素でないときは n=pq として, ある数 x, y が x=y (mod p) かつ,x=y (mod q) であっても x=y (mod n) とはいえない q(=4) p(=2) 0 0, 4-2, , 5-3, 7 n(=8)

47 中国人の剰余定理 ( 証明の準備 ) p と q が互いに素 ( 最大公倍数が 1) とするまた n=pq とするある数 z が z=0 (mod p) かつ z=0 (mod q) であれば,z=0 (mod n) である証明 z は p と q の公倍数である p と q は互いに素なので,p と q の最小公倍数は pq つまり n であるよって, ある整数 k に対し z=kn と表現できるので, z=0(mod n) となる

48 中国人の剰余定理 / 証明 pとqが互いに素とするまたn=pqとするある数 x, y が x=y (mod p) かつ,x=y (mod q) とする (x-y) =0 (mod p), かつ (x-y) = 0 (mod q) であるよって, (x-y) = 0 (mod n) となるしたがって, x = y (mod n)

49 二つの素数に関わる性質 pとqが素数のとき λをp-1とq-1の最小公倍数とすると任意の整数K aについてakλ+1=a (mod pq) 49

50 p(=2) と q(=5) が素数のとき λ を p-1 と q-1 の倍数とすると, a λ+1 =a (mod pq) 0 3 = 0 (mod 10) 1 3 = 1 (mod 10) 2 3 = 8 (mod 10) 3 3 = 7 (mod 10) 4 3 = 4 (mod 10) 5 3 = 5 (mod 10) 6 3 = 6 (mod 10) 7 3 = 3 (mod 10) 8 3 = 2 (mod 10) 9 3 = 9 (mod 10) 0 4 = 0 (mod 10) 1 4 = 1 (mod 10) 2 4 = 6 (mod 10) 3 4 = 1 (mod 10) 4 4 = 6 (mod 10) 5 4 = 5 (mod 10) 6 4 = 6 (mod 10) 7 4 = 1 (mod 10) 8 4 = 6 (mod 10) 9 4 = 1 (mod 10) 0 5 = 0 (mod 10) 1 5 = 1 (mod 10) 2 5 = 2 (mod 10) 3 5 = 3 (mod 10) 4 5 = 4(mod 10) 5 5 = 5 (mod 10) 6 5 = 6 (mod 10) 7 5 = 7 (mod 10) 8 5 = 8 (mod 10) 9 5 = 9 (mod 10)

51 二つの素数に関わる性質の証明 p と q が素数のとき λ を p-1 と q-1 の最小公倍数とすると, 任意の整数 K について a Kλ+1 =a (mod pq) 証明 :b=a Kλ+1 とする Kλ は p-1 の倍数であるので ( ) より b=a Kλ+1 =a (mod p) Kλ は q-1 の倍数でもあるので, b=a Kλ+1 =a (mod q) pとqは互いに素であるので, 中国人の剰余定理に 51 より, b=a Kλ+1 =a (mod pq)

52 RSA 暗号フェルマーの定理ユークリッドの互除法と拡張これらをつかって, 2つの大きな素数から上手にn, e, dを生成する n= ( 公開 ), e=20003( 公開 ), d= ( 秘密 ) e: encode, d:decode 52

53 RSA:鍵の生成大きな素数p, qを決める λをp-1とq-1の最小公倍数とする eをλと互いに素な数として決める ed = 1(mod λ)となる dを求める n(= pq)とeを公開する (他は秘密とするこれから具体的に計算してみる

54 RSA: 鍵の生成素数 p, q を決める : p=2, q=5

55 RSA: 鍵の生成素数 p, q を決める : p=2, q=5 λ を p-1 と q-1 の最小公倍数 (= 4 ) とする.

56 RSA: 鍵の生成素数 p, qを決める : p=2, q=5 λをp-1とq-1の最小公倍数 (=4) とする. eをλと互いに素な数 : たとえば3とする. ( 互いに素 : 最大公約数が 1 であること )

57 RSA: 鍵の生成素数 p, qを決める : p=2, q=5 λをp-1とq-1の最小公倍数 (=4) とする. eをλ(=4) と互いに素な数 : たとえば 3とする. ( 互いに素 : 最大公約数が1であること ) ed(mod λ)=1となるdをもとめ,d:3とする. 3 3 =1 (mod 4) 注 : ここでは順番にテストしてもとめるが, 効率のよい方法がある

58 RSA:鍵の生成素数p, qを決める p=2, q=5 λをp-1とq-1の最小公倍数 (4)とする eをλと互いに素な数: 3とする ed(mod λ)=1となるdをもとめ d:3とする 1= 3 3 (mod 4) n = 10, e = 3, d = 3 (注 e: encode, d: decode

59 RSA:n = 10, e = 3, d = 3 暗号化 1 3 = 1 (mod 10) 2 3 = 8 (mod 10) 3 3 = 7 (mod 10) 4 3 = 4 (mod 10) 5 3 = 5 (mod 10) 6 3 = 6 (mod 10) 7 3 = 3 (mod 10) 8 3 = 2 (mod 10) 9 3 = 9 (mod 10)

60 RSA:n = 10, e = 3, d = 3 復号 13 = 1 (mod 10) 23 = 8 (mod 10) 33 = 7 (mod 10) 43 = 4 (mod 10) 53 = 5 (mod 10) 63 = 6 (mod 10) 73 = 3 (mod 10) 83 = 2 (mod 10) 93 = 9 (mod 10) 13 = 1 (mod 10) 83 = 2 (mod 10) 73 = 3 (mod 10) 43 = 4 (mod 10) 53 = 5 (mod 10) 63 = 6 (mod 10) 33 = 7 (mod 10) 23 = 8 (mod 10) 93 = 9 (mod 10)

61 RSA: 鍵の生成大きな素数 p, q を決める : p=100003, q=100019

62 RSA: 鍵の生成大きな素数 p, q を決める : p=100003, q= λ を p-1 と q-1 の公倍数 ( ) とする.

63 RSA: 鍵の生成大きな素数 p, qを決める : p=100003, q= λをp-1とq-1の公倍数 ( ) とする. eをλと互いに素な数 : 20003とする. ( 互いに素 : 最大公約数が 1 であること )

64 RSA: 鍵の生成大きな素数 p, q を決める : p=100003, q= λ を p-1 と q-1 の公倍数 ( ) とする. e を λ と互いに素な数 : とする. ed=1(mod λ) となる d をもとめ,d: とする. 1= (mod ) ( 注 :e と λ から d を求める方法は, この例のように数が大きいと工夫する必要があることがわかるその方法は後述する )

65 RSA: 鍵の生成 ( 復号の説明の準備 ) 大きな素数 p, q を決める : 秘密 λ を p-1 と q-1 の最小公倍数とする. [ ある a,b が存在して,λ=a(p-1), λ=b(q-1)]...1 e を λ と互いに素な数として決めるこのとき ed = 1 (mod λ) なる d がもとまる [ ある K が存在して,ed= Kλ+1 ]...2 n(= pq) と e を公開する

66 RSA:鍵の性質任意の整数m, と任意の整数Kについて mkλ 1=m (mod n) 証明 pとqが素数であり n pqであり λがp-1とq-1の最小公倍数 ① なのでを用いると任意のKについて mkλ 1=m (mod n)... ③

67 RSA: 送信受信 c=m e (mod n) で暗号化し c を送る... 4 m'=c d (mod n) で復号し m' を得る... 5

68 RSA暗号:通信ができるわけ m' =cd(mod n) =med(mod n) =m(kλ+1)(mod n) = m (mod n) ⑤ ④ ② ③

69 RSA: 鍵の生成の難しいところ λは大きな数 ( 素数ではない ) λと互いに素なeを求める ed = 1 (mod λ) を満たすdを求める例 :1= (mod ) λは大きな数そのような数 dは存在するのか eからdをどうやってもとめればよいのか λが大きいと, 順番にdを探すことは不可能

70 RSA: 鍵の生成の難しいところ逆数を求めるところ ed = 1 (mod λ) を満たす d を求める例 :1= d (mod ) となる d を求めるつまり d をで割った商を -β として, そのときのあまりが 1 になるような d を求める 1=20003 d β を満たす, 整数 d と整数 β を求めたい整数という条件は難しい条件である

71 20003 逆数を求める方針目標 : 整数 d と整数 β で, 1=20003 d β としたい γ(d, β) =20003 d β として, (d, γ, β) の三次元の格子点 ( 座標が整数の点 ) を対象に演算をして, 格子点であることを保証しつつ,γ =1 となる点を求める (1, 20003, 0) と (0, ,1) からスタートする

72 ユークリッドの互除法お互いに割り算をして, 余りをとっていく最大公約数を求めることができる例を板書 ( 次のスライド )

73 u=7, v=5 7, 5 -> 商は1 あまりは7 1 5 = 2 5, 2 -> 商は2 あまりは5 2 2 = 1 2, 1 -> 商は2 あまりは2-2 2 = 0なのでその前の数字 1 GCD(7, 5)=1

74 ユークリッド互除法の操作の準備 d と λ で定まる平面で,(α, αd + βλ, β) の平面は原点を通るので平面上の 2 点の位置ベクトル p, q に対し任意の実数 t について p-tq で表される点も同じ平面にある

75 ユークリッド互除法の操作の準備要素が整数の 2 つのベクトル p=(p x, p y, p z ), q=(q x,q y,q z ) がありこれが (α, αd + βλ, β) の平面 2 点の位置ベクトルであるとするいま t を p y を q y で割ったときの整数の商であるとすると r = p t q で定まるベクトル r =(r x, r y, r z ) とする r x, r y, r z は整数 r y が 0 でないとき GCD(p y, q y )=GCD(q y, r y ) r は同じ平面上にある点の位置ベクトル

76 ユークリッド互除法の拡張 d と λ から定まる平面で, (α, αd + βλ, β) の関係のある 3 次元空間の平面において,(1, d, 0) と (0,λ,1) からユークリッドの互除法を実行する ( 板書 ) ユークリッドの互除法と同じ動作をして α,β を更新していく二つ整数 u, v に対し, ある整数 α,β が存在して αd + βλ = GCD(d, λ) となることが示せる

77 u=7, v=5, (α, 7α+5β, β) (1, 7, 0), (0, 5, 1) -> 7 5は1 あまりがある次の点は (1, 2, -1)=(1, 7, 0) 1 (0, 5, 1) (0, 5, 1), (1, 2, -1) -> 5 2は2 あまりがある次の点は (-2, 1, 3) = (0, 5, 1) 2 (1, 2, -1) (1, 2, -1), (-2, 1, 3) -> 割り切れる目的地 (-2, 1, 3) に到達 1=GCD(7, 5), (-2) = 1

78 (α, 7α+5β, β) の平面内 α,βは整数 (1, 7, 0), (0, 5, 1) より操作を開始 (1, 7, 0), (0, 5, 1) -> (1, 2, -1) (0, 5, 1), (1, 2, -1) -> (-2, 1, 3) (-2, 1, 3) は目的地, なぜなら,1 = GCD(7, 5) このとき, 7 (-2) +5 (3) = 1 つまり, 7 (-2) = 1 (mod 5)

79 (α, 3α+4β, β) の平面内 α,βは整数 (0, 4, 1), (1, 3, 0) より操作を開始 (0, 4, 1), (1, 3, 0) -> (-1, 1, 1) (-1, 1, 1) は目的地, なぜなら,1 = GCD(3, 4) このとき, 3 (-1) +1 (4) = 1 つまり, 3 (-1) = 1 (mod 4), -1 = 3 (mod 4)

80 RSA: 鍵の生成大きな素数 p, qを決める : p=100003, q= λをp-1とq-1の公倍数 ( ) とする. eをλと互いに素な数 : 20003とする. ed(mod λ)=1となるdをもとめ,d: とする. 1= (mod ) n(= pq= ) と e(=20003) を公開する

81 RSA: まとめ ( 転記 ) 鍵の生成大きな素数 p, q を決める : 秘密 λ を p-1 と q-1 の最小公倍数とする. e を λ と互いに素な数として決めるこのとき ed =1(mod λ) なる d がもとまる n(= pq) と e を公開する送信 :c=m e (mod n) で暗号化し c を送る受信 :m'=c d (mod n) で復号し m' を得る

2015－2018年度２次数学セレクション（整数と数列）解答解説

2015－2018年度２次数学セレクション（整数と数列）解答解説 015 次数学セレクション問題 1 [ 千葉大文 ] k, m, n を自然数とする以下の問いに答えよ (1) k を 7 で割った余りが 4 であるとするこのとき, k を 3 で割った余りはであることを示せ () 4m+ 5nが 3 で割り切れるとするこのとき, mn を 7 で割った余りは 4 ではないことを示せ -1- 015 次数学セレクション問題 [ 九州大理 ] 以下の問いに答えよ