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1 中学校第 3 学年 数学 - 二次方程式 - 1 コアについて (1) 二次方程式 における他単元や他領域等との関連 第 3 学年 (1) 正の数の平方根について理解し, それを用いて表現し考察することができるようにする イ数の平方根を含む簡単な式の計算をすること () 文字を用いた簡単な多項式について 式の展開や因数分解ができるようにするとともに 目的に応じて式を変形したりその意味を読み取ったりする能力を伸ばす ア単項式と多項式の乗法及び多項式を単項式で割る除法の計算をすること 第 1 学年では 一元一次方程式とその解の意味を理解し 解き方について学習する 第 学年では 連立二元一次方程式とその解の意味を理解し 解き方について学習する イ簡単な一次式の乗法の計算及び次の公式を用いる簡単な式の展開や因数分解をすること (a+b) =a +ab+b (a-b) =a -ab+b (a+b)(a-b)=a - b (x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab (3) 二次方程式について理解し それを用いて考察することができるようにする ア二次方程式の必要性と意味及びその解の意味を理解すること イ因数分解したり平方の形に変形したりして二次方程式を解くこと ウ解の公式を知り それを用いて二次方程式を解くこと エ二次方程式を具体的な場面で活用すること 参考 高校 方程式と不等式 図形 ( 三平方の定理 ) 三平方の定理の応用場面などで 二次方程式を利用し より広く問題を解決する () 指導するための基本的な考え方 積み重ねを生かした指導 解を求めることに習熟するのではなく 一次方程式の解法に帰着したり 平方根の考えを活用しながら 二次方程式を解くための工夫について考えるよう指導する コアを身に付けるための数学的活動 既習の方程式では 解決できない問題の解法には二次方程式が必要であることを 道路や花壇の面積を求める数学的活動を通して理解できるよう指導する 指導上の工夫 具体的な問題について二次方程式を利用して解決を図るときは 特に式をつくる段階の指導に重点を置くよう工夫して指導する 生徒に定着の図られていない内容について 補充的な学習を指導過程に位置付けたりするなどの工夫をして指導する -1-

2 単元名二次方程式 3 単元の目標及び評価規準 (1) 目標 二次方程式の必要性とその解の意味を理解する 二次方程式を解くことができ それを利用できる () 評価規準 具体的な事象を通して 二次方程式及びその解に関心をもち 二次方程式を解こうとしたり 二次方程式を利用して 問題を解決しようとする 数学への関心 意欲 態度 因数分解や平方根の考え方を用いて二次方程式が解けることに気付き 二次方程式の解き方や解の意味を考察することができる 数学的な見方や考え方 二次方程式をつくることができ 因数分解や平方根の考えを利用して解をもとめたり その手順や解の適否を説明することができる 数学的な表現 処理 因数分解や平方根の考え方 解の公式を用いた二次方程式の解き方を理解している 数量 図形などについての知識 理解 4 単元の指導計画 ( 色付きの部分がコア ) 時間 主な学習内容 内容の理解と定着を図るためのポイント 二次方程式とその解 二次方程式を成り立たせる 正方形の一方の辺を 1 cm長くし他方の辺を 1 cm短くした長 方形の面積が4cmであったときの もとの正方形の一 xの値について調べること辺を長さを求めるなどの具体的な場面から立式し 二次方 1 程式が必要であることに気付かせる 二次方程式の解の意味は一次方程式と同じような扱いとなるが 相違について考え 一般に解が二つあるということに気付かせる 因数分解による解き方 因数分解によって一次式の積に変形し AB=0ならば 因数分解を利用した解き方 A=0 または B=0 であることを用いる方法による解き 3 形に適した解き方の工夫方では 既習の一次方程式の解法に帰着できることに気付 平方根の考え方による解き方 かせる 等式の変形によって x =kの形を導き 平方根の考え 4 平方根の考えを使って 二を用いる方法による解き方では 平方根を求めることに帰 次方程式を解くこと 着できることに気付かせる 5 xの係数が偶数の場合の二 解を求めることに習熟するのではなく 二次方程式を解く 次方程式の解き方 のに 因数分解や平方根の考えによるなど工夫して考える ようにする 数学的活動積み重ね積み重ね 6 解の公式による解き方 完全平方式を用いた 次方程式の解き方と比較しながら 解の公式について理解する 解の公式が導かれる過程を調べる 7 こと 解の公式を利用することにより 次方程式を能率的に解 解の公式を用いて 次方程 く方法として生み出された解の公式の有用性を見いだす 式を解くこと --

3 時間 主な学習内容 内容の理解と定着を図るためのポイント 二次方程式の利用 問題の解決により広く方程式が利用できることを実感させ 二次方程式を利用して 問る 題を解決する方法を考える ( 例 ) 第 学年の既習事項を踏まえ 文字を用いた式のよこと ( 本時案の例 ) さを繰り返し指導するとともに 二次方程式を用いて問 8 題を解決する具体的な問題を設定する 問題を解決する際に 一元一次方程式や連立二元一次方程 9 式 二次方程式を見通しをもって的確に用いることができるようにする 二次方程式のまとめとして個の学習状況に応じるため 個別学習やコース別学習などを設定し 既習事項の定着を図る 数学的活動指導上の工夫指導上の工夫 10 学習のまとめ -3-

4 5 本時 (8/10) (1) 目標 n 角形の対角線の本数を文字を用いて表し 二次方程式を利用して問題を解決することができる () 展開 指導のねらいと発問 学習活動 指導のポイント 評価 配慮事項等 既習事項の復習 年生の復習 本時で用いる問 n 角形の内角の和を 四角形 五角形とそれぞれについて 題や表は ワー 表す式とその求め方 考え n 角形の場合を求めた クシートなどに を振り返るして生徒に配付四角形五角形六角形七角形八角形 n 角形 n 角形の内角の和は する 三角形の数 n- どのような式で表すこ内角の和 ( n-) とができたでしょう か 頂点がnの多角形は 1つの頂点から 積 み 重 ね 年生で学習し その式はどのように 引いた対角線によって (n-) 個 第 学年で学習 たn 角形の内角 して求めたでしょう の三角形に分けることができる した内容を提示 の和の求め方を か 1つの三角形の内角の和は180 だ し 数量の関係 表や図を使って から n 角形の内角の和は180 を文字を用いて 確認する (n-) である 表すことのよさや必要性についての理解を深める 問題の提示 問題 今日は多角形の対角数学的活動 n 角形の対角線の本数を求めるにはど線の本数について考えうしたらよいか 第 学年で学習てみましょう した内容を発展 解決方法の検討 n 角形の対角線の本数を文字を用いた させた問題を示 式で表す し 解決への意 内角の和を求めたように表で考える 欲を高める 表を用いて考えてみましょう 対角線の数 四角形の対角線につ 1つの頂点からひいた対角線の本数は いて考えてみましょ 1 本である う 頂点が4つあるから対角線は4 本引く ことができる でも 全部で対角線 か所重なっているからをひいた 1 重なりをひく の数は 本です どう 同じ対角線を 回数えているのでで 考え方 で してでしょうか 割った 割る考え方につ いて より簡単 では五角形の対角線 1つの頂点からひいた対角線の本数は な方法を生徒が についても考えてみま 本である 問題を解決する しょう 頂点が5つあるから対角線は10 本引 中で考えさせる くことができる でも 全部で対角線 5か所重ねっているから5をひいた の数は5 本です どう 同じ対角線を 回数えているのでで してでしょうか わった 対角線の数 5-4-

5 指導のねらいと発問学習活動指導のポイント評価 配慮事項等 問題解決 ( 自力解決 ) ( 六角形について ) 六角形から八角形ま 1つの頂点からひいた対角線の本数は 既習事項が問題 個人で考えたり で考えてみよう 3 本である の解決に役立つ 相談したりする 頂点が6つあるから対角線は18 本引 ことを実感でき 時間を十分に保 くことができる るようにする 障する 9か所重ねっているから9をひく 同じ対角線を 回数えているのででわる ( 七角形 八角形については略 ) 対角線の数 問題解決 ( 相互交流 ) すべての頂点からひくことのできる本 物事の関係やき 対角線の本数を求め 数をで割れば対角線の本数を求める まりを見つけた るときに気を付けるこ ことができる り たどり着い とは何だろう た結果について 1つの頂点からひいた対角線の本数は 根拠を明らかに ( 評価 ) ではn 角形の対角線 (n-3) 本 し筋道立てて説 既習事項を活用 の本数を求めてみよ 頂点がn 個あるから対角線は 明し伝え合うよ しながら n 角 う n(n-3) 本引くことができる うにする 形の対角線の本 同じ対角線を 回数えているので 数を式で表すこ でわって n 角形の対角線の本数は とができる 数学 n(n-3) 的な見方や考え方 ( 机間指導 本と表すことができる ノート 発表 ) 対角線の本数は 四角形五角形六角形七角形八角形 n 角形 nn ( ー 3) 対角線の数 では 対角線が0 n(n-3) 本の多角形は八角形に本と表わせるので なるかどうか確かめて n(n-3) みよう どうすればよ =0 という式が成 いか り立つ この方程式を解けばよい 両辺にをかける ( 評価 ) 方程式を解いてみま n(n-3)=40 二次方程式を用 しょう n -3n=40 いて 具体的な n -3n-40=0 問題を解決する (n-8)(n+5)=0 ことができる n=8 n=-5 数学的な見方や考え方 ( 机 nは4 以上の整数でないと成り立たな 間指導 ノート 発表 ) いので -5は問題に適していない 求める多角形は八角形である 既習事項で学ん 確認の問題を行う だ考え方をもと 結果の確認と学習の n 角形の対角線の本数をもとに二次 に 新たな問題 まとめ指導上の工夫の解決に活用で対角線の本数が35 本である多角形は 二次方程式を用きることのよさ何角形ですか ( 十角形 ) いることのよさに気付かせる 方程式をつくり 解を求める を理解できるよ 学習を振り返る うに 立式し 具体的な問題を二次方程式を用いて解方程式を解く問題を設定する 決することができる 今日の学習から分かったことを自由記 述する -5-