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- ゆりな ありの
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1 地球惑星科学基礎 V 演習 群の概念 結晶系とブラベー格 の関係 第 3 回 瀬 雄介
2 並進を伴わないもの 対称 ( 点対称 ) Center of symmetry, Inversion center 鏡映 ( 鏡 ) mirror 対称 鏡映 表記 : 1 (one bar) 表記 : m (mirror)
3 並進を伴わないもの 4 回回転 6 回回転 N 回回転 : 軸の周りに 360/N 回転して図形を不変に保つ操作 表記 : 2, 3, 4,
4 並進を伴わないもの 2 回回反 (= 鏡映 ) 4 回回反 N 回回反 : 軸の周りに 360/N 回転したあと対称 を中 に反転して図形を不変に保つ操作 表記 : 1, 2, 3, 対称 鏡映 (m)
5 並進を伴わないもの = 6 = 4 m = 4 m = = 4
6 並進を伴うもの 単位格 平 移動の結果 元の図形と区別できなくなる 単位格 の軸 表記 : P, A, B, C, F, I, R 単純な軸 向への平 移動 センタリングを伴う平 移動 結晶には 必ずいずれかのタイプの格 並進が存在する
7 並進を伴うもの 4 1 らせん 6 2 回らせん 1 周期 1 周期 1/4 周期 2/6 周期 N M らせん : 軸の周りに 360/N 回転したあと 軸 向に M/N 周期だけ平 移動して図形を不変に保つ操作 表記 : 2 1, 3 1, 3 2,
8 並進を伴うもの 鏡映したあとある 向に 1/n 周期平 移動して図形を不変に保つ操作 1 周期 1/2 周期 表記 : a, b, c, n, e, d の 向 平 移動の 向 平 移動の距離によって使い分ける
9 列との関係 並進を伴わない対称操作 回転 (Z 軸 ) cos sin 0 sin cos 回反 (Z 軸 ) 対称 鏡映 (XY 平 ) cos sin 0 sin cos 並進を伴なう対称操作 ( アフィン変換 ) 格 並進 (Z 軸 向 ) 並進を伴わない対称操作 固定 / 映進 (XY 平, X 軸 向 ) らせん (2 回, Z 軸 向 ) / 並進成分 /2 1 1/2 1 移動後の xyz 成分
10 様々な対称操作 並進を伴わないもの 回転 回反 対称 (= 1 回回反 ) 鏡映 (= 2 回回反 ) 組み合わせると有限の きさの物体の対称性を表現することができる 点群 (Point group) 並進を伴うもの 格 並進 ( 平 移動 ) 映進 ( 鏡映 + 平 移動 ) らせん ( 回転 + 平 移動 ) 組み合わせると無限に広がる物体の対称性を表現できる 空間群 (Space group) 点群 空間群によって対称要素の組み合わせ を整理 分類することができる
11 対称要素の組み合わせ 組み合わせ なんて無限にあるような気がするが 2 回軸 2 回軸 2 回軸 直 任意の 度 2 回軸 いつまで繰り返しても元に戻らない 特別な 度で対称要素を組み合わせると 元の位置に戻る 対称要素をうまく組み合わせると 点の集合は 閉じた 関係になる
12 対称要素の組み合わせ 回転 / 回反軸を 特別な 度で交差させると 図形が元に戻るような操作の集合となる このような操作の集合は点群 (Point group) と呼ばれ 群 としての性質を持つ
13 集合 G の任意の元に関して 算法 が定義され 任意 つの元を演算した結果は集合 G に含まれ (a b G ) さらに次の 3 法則を満たすとき G は群であるという. 群とは a d 集合 G b c h f 元 1) 結合法則 Gの任意の元 a, b, cに対して (a b) c=a (b c) となる ただし 演算の 向を変えても結果が同じ [= 可換 ] とは限らない 2) 単位元の存在 Gに元 eがあって,gの任意の元 aに対しa e=e a=aとなる eをgの単位元 (unit element) という. e は なにもしない 元である 3) 逆元の存在 G の任意の元 a に対しある元 aʼ が G にあって,a aʼ=aʼ a=e となる. aʼ を a の逆元といい, ふつう a -1 と書く. e の逆元はかならず e, a の逆元が a になることもある
14 群の例その 1 算法を加算 ( し算 ) としたときのすべての整数を元とする集合 G n,m,l を任意の整数とすると 1) (n + m) + l = n + (m + l) 2) 単位元は 0 3) n の逆元は -n 整数は し算に関して群である 算法を乗算 ( 掛け算 ) としたときのすべての整数を元とする集合 G n,m,l を任意の整数とすると 1) (n * m) * l = n * (m * l) 2) 単位元は 1 3) n の逆元は 1/n ( 駄 ) 整数は乗算に関しては群ではない
15 群とはなにか 群の例その 2 世の中には次の6つのタイプの 間がいるとする 癒し系 不思議系 威圧系 地味系 派 系 普通系 これらのタイプが結婚して出来る 供のタイプは以下のとおり 年上 年下 普通癒し不思議威圧派 地味 普通普通癒し不思議威圧派 地味 癒し癒し普通地味派 威圧不思議 不思議不思議派 普通地味癒し威圧 威圧威圧地味派 普通不思議癒し 派 派 不思議威圧癒し地味普通 地味地味威圧癒し不思議普通派 1) 結合則例 ; ( 癒し + 威圧 ) + 地味 = 派 + 地味 = 普通癒し + ( 威圧 + 地味 ) = 癒し + 癒し = 普通 2) 単位元の存在 : 普通系 3) 逆元の存在 : 普通系 癒し系 不思議系の逆元はそれ 派 系と地味系は互いに逆元 6 タイプの 間は婚姻に関して群である
16 群とはなにか 群の例その 2 普通 癒し 不思議 威圧 派 地味 普通 普通 癒し 不思議 威圧 派 地味 癒し 癒し 普通 地味 派 威圧 不思議 不思議 不思議 派 普通 地味 癒し 威圧 威圧 威圧 地味 派 普通 不思議 癒し 派 派 不思議 威圧 癒し 地味 普通 地味 地味 威圧 癒し 不思議 普通 派 次の 4 つのタイプしかいない集団を考えると 普通系 癒し系 不思議系 威圧系 E A B C D F E E A B C D F A A E F D C B B B D E F A C C C F D E B A D D B C A F E F F C A B E D 群は成 しない 普通 癒し 不思議 威圧 派 地味 普通 普通 癒し 不思議 威圧 派 地味 癒し 癒し 普通 地味 派 威圧 不思議 不思議 不思議 派 普通 地味 癒し 威圧 威圧 威圧 地味 派 普通 不思議 癒し 派 派 不思議 威圧 癒し 地味 普通 地味 地味 威圧 癒し 不思議 普通 派 以下の 3 つのタイプしかいない集団を考えると 普通系 地味系 派 E A B C D F E E A B C D F A A E F D C B B B D E F A C C C F D E B A D D B C A F E F F C A B E D 群を構成している! ある群の中から いくつか選び出した元が群としての性質をもつことがある このように選び出した集合を元の群に対して部分群という
17 点群の例 4 回回転軸 (C 90, C 180, C 270 ) 4 回回転軸を つだけもつ物体を不変に保つ対称操作は 0 回転 (E) 90 回転 (C 90 ) 180 回転 (C 180 ) 270 回転 (C 270 ) の四つがある E C 90 C 180 C 270 E E C 90 C 180 C 270 C 90 C 90 C 180 C 270 E C 180 C 180 C 270 E C 90 この 4 つの元からなるの集合は 結合則 単位元の存在 逆元の存在を満たす ( 群の性質を持っている ) C 270 C 270 E C 90 C 180
18 並進と両 する回転軸 回転や回反の種類は無限にある でも結晶の場合は どうだろうか? 結晶には かならず格 並進 ( 単位格 ) が存在する 2 次元 : 平 四辺形 b γ a 2 本の軸 (a,b) と軸間 度 (γ) で定義される a 3 次元 : 平 六 体 γ β α c b 3 本の軸 (a, b, c) と軸間 度 (α, β, γ) で定義される 4 回回転 2 回回転 3 回回転 5 回回転をもつような図形で空間を埋め尽くそうとすると 6 回回転 2 回回転 隙間ができてしまう 2, 3, 4, 6 回回転があっても平 移動によって空間を埋め尽くすことができる ( 並進と両 する ) 同様に 7 回以上の回転も隙間が出きてしまう
19 並進と両 する回転軸 並進を満たす n 回回転 (n は正の整数 ) があったとき a (1 2 cos [360/n] ) 格 点 格 点 平 360/n 360/n a (1 2 cos [360/n] ) = m a m: 整数 格 点 並進の さ : a 格 点 1 2 cos [360/n] = m 2 cos [360/n] = 1 - m f(n) = cos [360/n] f(1) = 1 f(2) = -1 f(3) = -½ f(4) = 0 f(5) = f(6) = ½ f(7) = この式を満たす n は 1, 2, 3, 4, 6 のみである
20 並進と両 する対称要素 並進と両 しうるのは 1, 2, 3, 4, 6 回軸のみである 同様の理由で 回反 : 1, 2, 3, 4, 6 らせん : 2 1, 3 1, 3 2, 4 1, 4 2, 4 3, 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5 映進 : a, b, c, e ( 軸の 向に 1/2 並進 ) n ( 対 線の 向に 1/2 並進 ) d ( 対 線の 向に 1/4 並進 ) が 並進と両 しうる 結晶族点群上記の 回転 回反を組み合わせたもの 注 ) 点群 : 並進と両 しないものも含めた回転 / 回反の組み合わせ 空間群 格 並進 ( 必須 ) を含み 上記の 回転 回反 らせん 映進を組み合わせたもの
21 単位格 の形状 3 次元の結晶には必ず 3 つの独 な並進ベクトルが存在する もし 2 回軸を持つ結晶があったとして 回回転軸と直 しない並進ベクトルが存在した場合 2 回軸 かならず 2 回軸と 致する 向に並進ベクトルを作ることが出来てしまうということは 残りの2 本の並進ベクトルは2 回軸と直交する 向に存在しなければならない 直 a 並進ベクトル 任意の 度 並進ベクトル b c 2 回軸を含む結晶は 2 回軸に平 な軸を 1 つ 2 回軸に直交する軸を 2 つ選ぶことが可能である このような 対称要素の種類によって単位格 の形状を分類したものを 結晶系 ( 晶系 ) という
22 7 つの結晶系その 1 三斜晶系 3 辺が独 の さをもち 各軸が直交しない 斜 晶系 3 辺が独 の さをもつ直 体 a 1 あるいは -1 がひとつ c b 90 2 あるいは -2 が三つ 単斜晶系 つの軸が他の 2 軸と直交する 正 晶系 底 が正 形の直 体 b c a b 90 c 90 2 あるいは -2 がひとつ a 4 あるいは -4 がひとつ
23 7 つの結晶系その 2 六 晶系 底 が 60 と 120 のひし形の直 柱 晶系 各辺の さが等しい 体 c b 90 a 6 あるいは -6 が最低ひとつ 90 三 晶系 底 が 60 と 120 のひし形の直 柱 c b c b 90 a 3 あるいは -3 が最低四つ a 3 あるいは -3 が最低ひとつ
24 ブラベー格 とは 2 回軸に平 な軸を1つ 2 回軸を含む結晶 ( 単斜晶系 ) は 2 回軸に直交する軸を2つ 選ぶことが可能である 最初から 2 回軸に平 な軸を 1 つ 直交する軸を 2 つあるとき 2 回軸と斜交する軸が 1 つ ( 以上 ) ある場合 2 回軸 2 回軸 2 回軸 2 回軸 直 単純単斜格 底 単斜格
25 単純格 と複合格 単純格 複合格 最 体積の単位格 (= 基本単位格 ) 側 格 or 底 格 記号 : A,B,C 記号 : P 体 格 記号 : I 対称要素を反映する形状を保持した結果 最 体積ではなくなってしまった単位格 格 記号 : F
26 結晶系とブラベー格 の関係 結晶系必須の対称要素ブラベー格 単位格 の形状 三斜晶系 (triclinic) なし 三斜格 (ap ) a b, b c, c a かつ α 90, β 90, γ 90 単斜晶系 (monoclinic) つの 2 回回転 or 2 回 回反 ( 鏡映 ) 単純単斜格 (mp ) 底 単斜格 (mc ) second setting: a b, b c, c a かつ α =90, β 90, γ =90 斜 晶系 (orthorhombic) 互いに直交する三つの 2 回転 or 2 回回反 ( 鏡映 ) 正 晶系 (tetragonal) つの 4 回回転 or 4 回回反 単純斜 格 (op ) 体 斜 格 (oi ) 底 斜 格 (oc ) 斜 格 (of ) 単純正 格 (tp ) 体 正 格 (ti ) a b, b c, c a かつ α = β = γ =90 a = b, b c かつ α = β = γ =90 三 晶系 (trigonal) 六 晶系 (hexagonal) つの 3 回回転 or 3 回回反 (3 i) つの 6 回回転 or 6 回回反 (3/m) 三 格 (hp ) 稜 格 (hr ) hexagonal setting: a = b, b c かつ α = β =90 かつ γ = 120 rhombohedral setting: a = b = c かつ α = β = γ 六 格 (hp ) a = b, b c かつ α = β =90 かつ γ = 120 晶系 (cubic) 四つの 3 回回転 単純 格 (cp ) 体 格 (ci ) 格 (cf ) a = b = c かつ α = β = γ = 90
27 語の整理 結晶系 3 次元では 7 種類の結晶系がある 結晶系とは 必須の対称要素よって分類される単位格 形状の種類 ブラベー格 3 次元では 14 種類のブラベー格 がある ブラベー格 とは なるべく さい体積で 軸の さの和が最も さく 結晶のもつ対称要素と格 の形状を 致させた単位格 のこと 単位格 の形状の表現 通常 3 辺の さを a, b, c 軸間の 度を α, β, γ であらわす a 格 並進の種類 単純格 (primitive lattice, P) 体 格 (body-centered lattice, I)» 単位格 の中 に格 点が存在 底 格 (base-centered lattice: A,B,C)» A: b 軸と c 軸が作る の中 に格 点が存在» B: c 軸と a 軸が作る の中 に格 点が存在» C: a 軸と b 軸が作る の中 に格 点が存在 格 (face-centered lattice, F)» すべての側 の中 に格 点が存在する 稜 格 (rhombohedral lattice, R)[ 三 格 の場合のみ ]» い体対 線の 向に 1/3 ずつずらした点に格 点が存在 γ β α c b
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