我が国における子午線弧長の計算について平成 27 年 11 月 28 弘済会館 Ministry of Land, Infrastructure, Transport and Tourism Geospatial Information Authority of Japan 1

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1 我が国における子午線弧長の計算について平成 27 年 11 月 28 弘済会館 Ministry of Land, Infrastructure, Transport and Tourism Geospatial Information Authority of Japan 1

2 元々の子午線弧長計算式の使途複数地点の子午線弧長測量による地球楕円体パラメータの決定メートル法制定のための測量以後フランス度量衡委員会, Everest, Bessel, Clarke, Helmert, Hayford などがそれぞれの地球楕円体パラメータを提唱国際地球楕円体 (1924), Красовский (1942) 辺りから子午線弧長測量に重力測定の結果を織り交ぜる方法へと変遷測地基準系 1967 (GRS67) 以降では子午線弧長測量に代わり人工衛星高度計レーザー測距による人工衛星軌道解析人工衛星ドップラー測位などによる成果を採用 2

3 子午線弧長計算式の今日的使途 (1) Gauß-Krüger 図法中央子午線の子午線弧長を等長投影する条件付の正角図法国土地理院発行の地形図地勢図公共測量地籍図等に広く採用座標換算式の導出に際し精密な子午線弧長計算式が必要参考 Gauß 等角二重投影法 (Gauß-Schreiber 図法 ) 明治 17 年大三角測量事務が内務省から参謀本部に移管されるに際し設定以来陸地測量部において終戦直後まで採用 ( 所謂旧座標系 ) 回転楕円体面上における一等三角測量の測定値を平面上に化成計算投影の方法論に子午線弧長と直接の関係はない 3

4 子午線弧長計算式の今日的使途 (2) 参考陸地測量部における Gauß 等角二重投影法の規定 4

5 子午線弧長計算式の今日的使途 (3) 明治後期の常用表編集の内容目録 ( 陸地測量部内機関誌 ) Jordan et al., Handbuch der Vermessungskunde ( 測地学便覧 ) を参照しているものと推察 5

6 子午線弧長の計算式の変遷 (1) Euler (1755) 第三離心率の自乗 = で表示した計算式 Delambre (1799) 第一離心率の自乗 = で表示した二項展開項の項別積分による Jordan et al., Handbuch der Vermessungskunde にも記載あり明治時代 ( おそらく ) から2010 年頃まで永らく国土地理院でも採用理科年表 ( 地学部 ) にも1986 年版から2009 年版まで掲載 6

7 子午線弧長の計算式の変遷 (2) Euler (1755) の該当箇所 7

8 子午線弧長の計算式の変遷 (3) Delambre (1799) の該当箇所 8

9 子午線弧長の計算式の変遷 (3) Bessel (1837) 第三扁平率 = で表示した二重級数項の項別積分による有効展開項の大幅な縮減を達成 Helmert (1880) Bessel (1837) の改良版展開係数の更なる簡潔化河瀬 (2009) Helmert (1880) の一般式化 2011 年版理科年表から代替掲載作業規程の準則にも応用 9

10 子午線弧長の計算式の変遷 (4) Bessel (1837) の該当箇所 10

11 子午線弧長の計算式の変遷 (5) Helmert (1880) の該当箇所 11

12 子午線弧長の計算式 ( 従来我が国が採用 ) 赤道から緯度に至る子午線弧長 : についての展開式 = d = 1 1 sin d = sin d = cos 2 d sin sin sin sin sin sin sin sin 16 上式で = 8 までとった近似式 ( 精密測地網一次基準点測量にて使用 ) あまりの桁数にかつて転記ミスも発生 12

13 子午線弧長の改良計算式 (1) 赤道から緯度に至る子午線弧長 : 子午線曲率半径 ( 部分 ) の変形 1 = 1 sin cos 1 sin + sin = 1 sin cos sin 1 sin sin cos = 1 sin cos 2 1 sin sin sin = 1 sin cos 2 1 sin sin sin = 1 sin d d sin sin = 1 sin + d d 1 sin 1 1 sin d = 1 + d d 1 sin d + = 2 = で置換 13

子午線弧長の改良計算式 (2) 赤道から緯度に至る子午線弧長 : 第三扁平率についての展開式 = 1 + d d 1 + 1 + cos 2 + 右多項式の母関数 d = 1 + 1 + d d cos 2 d

8 64 sin 2 + 15 16 4 5 128 sin 4 35 48 5 16 sin 6 + 315 512 7 20 sin 8 693 1280 sin 10 + 1001 2048 sin 12

14 子午線弧長の改良計算式 (2) 赤道から緯度に至る子午線弧長 : 第三扁平率についての展開式 = 1 + d d cos 2 + 右多項式の母関数 d = d d cos 2 d Gegenbauer 多項式 = d d cos 2 d 3 = sin ( ) sin sin sin sin sin sin 12 ( ) 式で = 3 まで採った近似式簡潔でありながら先に示したによる展開近似式に相当する精度を有する Helmert (1880) にて示された結果は赤字を除いた ( ) 式で = 2 まで採った近似式 14

前頁計算式を用いたプログラム例 (html 内の JavaScript) <html><head><title> 緯度を与えて赤道からの子午線弧長を求めるページ </title> <script><!-- a=6378.137 ; rf=298.257222101 n=0.5/(rf-0.5) ; n15=1.5*n ; anh=0.5*a/(1.0+n) ; rho2=math.pi/90.

15 前頁計算式を用いたプログラム例 (html 内の JavaScript) <html><head><title> 緯度を与えて赤道からの子午線弧長を求めるページ </title> <script></script> </head><body /></html> 15

16 現代の地球楕円体 : 測地基準系 1980 (GRS80) IUGG/IAG 第 17 回総会 (1979 キャンベラ ) にて決議採択形状及び大きさを次の 4 基本定数 (Stokes 定数 ) により定義赤道半径 ( ジオイド上のジオポテンシャル ) 大気を包含した地心引力定数力学的形状係数 ( 重力ポテンシャルを帯球調和関数展開した際の 2 次の係数 ) 自転角速度 ω 扁平率は上記基本定数から間接的に導出される 16

17 参考文献 (1) Euler, L. (1755): Élémens de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et plus petits, Histoire de l'académie Royale des Sciences et Belles- Lettres: Année 1753, Delambre, J. B. J. (1799): Méthodes Analytiques pour la Détermination d'un Arc du Méridien; précédées d'un mémoire sur le même sujet par A. M. Legendre, De L'Imprimerie de Crapelet, Paris, Bessel, F. W. (1837): Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht, Astronomische Nachrichten, 14, Helmert, F. R. (1880): Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie, Einleitung und 1 Teil, Druck und Verlag von B. G. Teubner, Leipzig,

18 参考文献 (2) 陸地測量部編 (1917): 一等三角測量實行法, 下巻 ( 觀測計算 ), 第四編第二章. 国土地理院編 (1988): 精密測地網一次基準点測量作業規程, 中川一郎 (1994): 測地基準系, 現代測地学, 日本測地学会, A-1. 河瀬和重 (2009): 緯度を与えて赤道からの子午線弧長を求める一般的な計算式, 国土地理院時報, 119, 河瀬和重 (2011): Gauss-Krüger 投影における経緯度座標及び平面直角座標相互間の座標換算についてのより簡明な計算方法, 国土地理院時報, 121,

Microsoft Word - 03基準点成果表

Microsoft Word - 03基準点成果表基準点成果表 ( 情報 ) < 試験合格へのポイント > 基準点成果表 ( 又は基準点成果情報 ) に関する問題である近年では基準点成果表の項目 ( 内容 ) に関する問題よりは平面直角座標系に絡めた問題が出題されているため平面直角座標系の特徴も併せて覚える方か良いここでは水準点を除くものを基準点として記述する基準点について ( : 最重要事項 : 重要事項 : 知っておくと良い )

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