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1 材料力学講義 (3) 応力と変形 Ⅲ ( 曲げモーメント, 垂直応力度, 曲率 ) 今回は, 曲げモーメントに関する, 断面力 - 応力度 - 変形 - 変位の関係について学びます 1

2 曲げモーメント 曲げモーメント M 静定力学で求めた曲げモーメントも, 仮想的に断面を切ることによって現れる内力です

3 軸方向力は断面に働く力 曲げモーメント M は断面力 曲げモーメントも, 一つのモーメントとして表しますが, これは断面全体に働いている力を表します したがって, 断面力です 3

4 曲げモーメント ( 断面力 ) は断面に作用するモーメントの足し合わせ 断面力 ( 応力 ) 応力 ( 応力度 ) 断面にどのように働いているかと言うと, 図に示すように, 断面に垂直な分布力が, 片側は引っ張り, 片側は圧縮に働いています このような応力度を, 一本のモーメントとして表しているわけです 4

5 足し合わせは積分で表す 要素内で一定と仮定 σ dy b y 図心 y=0 dx 要素に作用するモーメントは y ( σ dxdy) a N a b iσi a b i= 1 (, ) y dxdy yσ x y dxdy 曲げモーメントも, 微小要素に働く力に関するモーメントを断面全体で積分することによって求められます ただし, このモーメントは, 断面の図心軸からの距離を掛けたモーメントとして計算されます なお, この曲げによる応力度は, 断面に垂直な方向の応力度ですから, 軸力による応力度と同じ記号 σで表します 力は, 方向が同じであれば加えることができるため, 軸力による応力度と曲げモーメントによる応力度は, 足し合わせることができます 後に出てきますが, 柱の設計では, 軸力と曲げモーメントが同時に働くので, 双方の応力は加えられて, 設計されます 5

6 曲げモーメントと垂直応力の関係 M a b a b = yσ dxdy y y b 図心位置 a したがって, 曲げモーメントと垂直応力度の関係は, ここに示すような積分で表されます 軸力と垂直応力度の関係がN=σA, せん断力とせん断応力度の関係がQ=τAと表されたのに比べると, 今の段階では,M=σ (?) という形には表すことはできません 6

7 曲げに対する変形 曲率 ( 軸の角度の変化率 ) 1 dv φ = = ρ dx 曲率曲率半径角度の変化率 x v 1 x v y x v1 v v3 v 3 x v 1 x v x v1 v v3 v 3 x 次に, 曲げモーメントによる変形について考えてみます 部材がどれくらい曲がったかという指標は, 材軸の角度がどれくらい変化しているかという変化率で表すことができます すなわち, 角度の変化が大きい場合は, 部材は急激に曲がります 角度の変化が緩い場合は, ゆるやかに曲がります このような角度の変化率を曲率と呼んでいます また, この曲率は, 微小要素が曲がった時の, 円弧の半径の逆数になります すなわち, この円弧の半径が小さいと大きな曲がりになり, 大きいとゆるやかな曲がりになります 7

8 断面力と変形の関係 軸力と変形の関係 N = EAε せん断力と変形の関係 Q = GAγ 曲げモーメントと変形の関係 M =? φ EI I は断面 次モーメント さて, 次に, 力と変形の関係について調べてみます 軸力およびせん断力の説明の時は, 応力度と変形の関係を説明しました しかし, 曲げ変形は,1つの応力度によって生じる変形ではなく, 曲げモーメント ( 積分された力 ) によって生じる変形です したがって, ここでは, 曲げモーメントとそれによる変形 ( 曲率 ) の関係を求める必要があります ちなみに, 軸力と変形の関係は,N=σA,σ=Eεの関係を用いると,N=EAεとなります また, せん断力と変形の関係は,Q=τA,τ=Gγの関係を用いると,Q=GAγとなります すなわち, 同じ軸力であれば, 断面積 ( 断面の大きさ ) とヤング係数が大きいほど軸方向の変形は小さくなり, 同じせん断力であれば, 断面積とせん断弾性係数が大きいほどせん断変形は小さくなります したがって,EAを部材の軸方向剛性,GAを部材のせん断剛性と呼びます それでは, 曲げに対する剛性は, 何で表されるのでしょうか? 一つは, 曲げによる応力度は, 軸力の応力度と同じことから, 材料のヤング係数に剛性が比例することはわかります それでは, 断面積が大きくなれば曲げに対する力が大きくなるかというと, 同じ断面積でも, 明らかに平べったい板の方が曲げやすいので, 断面積に比例することはありません 結論から言うと, 断面の曲がりにくさを表す指標は, 断面 次モーメントという定数で表されます したがって, 曲げに対する剛性は, ヤング係数と断面 次モーメントを掛けたもの (EI) で表されます 次に, この断面 次モーメントの定義の導出を行ってみます 8

9 梁の曲げによる軸方向変位 u dv = y dx x v( x) v v v y y dv v = dx yv 少し難しい話になりますが, 我慢して聞いて下さい まず,x 軸を部材の材軸とします そして, 部材が曲がると,y 方向の変位 ( たわみ )vが生じ, また, 曲げによる回転によって, x 方向の変位 uが生じます ここで, この曲げによる回転角は, 変位 vのx 軸方向の傾きと一致しますから,vのx 方向の微分で表されます そうすると,x 方向の変位 uは, 近似的に, この角度 v と材軸からの距離 yを掛けたもので近似できます なお,y 軸は, 下向きが正なので,uは, 上に書いてある式で表されることになります 9

10 梁の曲げによる軸方向歪み 歪み - 変位関係 ε = du dx u dv = y dx 代入 d v ε = y dx 曲率 φ 垂直ひずみと変位の関係は,ε=du/dxとなりますから, これに, 先ほどのx 方向変位 u の式を代入すると, 曲げに対するひずみが求まります ここで, たわみ変位 vの 階微分は, 曲率になります 10

11 梁の曲げによる軸方向応力 応力 - 歪み関係 σ = Eε d v ε = y dx 代入 d v σ = Ey dx 垂直応力と垂直ひずみの関係は,σ=Eε となりますから, これに, 先ほどのひずみの式を代入すると, 曲げによる応力が求まります 11

12 曲げモーメントと曲率の関係 M yσ dydz = S d v σ = Ey dx 代入 M d v = E y dydz S dx 断面 次モーメント I = y dydz S M d v = M EIφ EI dx = すでに示したように, 曲げモーメントと垂直応力度の関係は, ここに示すような積分の形式で表されます したがって, この曲げモーメントの式に, 垂直応力と変位の関係式を代入すると, M=-Eiφという式が導かれます そして, この断面 次モーメントIに相当する部分が,yの 乗を断面内で積分した量になることがわかります ちなみに断面 次モーメントの単位は,y^に面積が掛けられるので,cm^4になります ここでは, この最終的な式,M=-Eiφ という式が非常に重要となりますので, 憶えてください 1

13 曲げモーメントから応力を求める σ = Eyφ M φ = EI 代入 σ = M y I 先ほどの曲げモーメントとその変形である曲率の関係がわかると, 逆に, 曲げモーメントと応力度の関係も, 積分を除いた形で表現できます ここで, 断面 次モーメントは, 断面の大きさと形状による定数ですから, 曲げモーメントに対する垂直応力度は, 図心からの距離 yに比例する形で表されることがわかります すなわち, 曲げモーメントによる垂直応力度は, 材軸が通る図心では0で, 断面の端で最も大きくなります この σ の式は, 必ず憶えてください 13

14 断面力と応力の関係 軸力から応力度を求める σ = N A 曲げモーメントから応力度を求める せん断力から応力度を求める σ = τ = M y I Q A 図心からの距離 これで, 軸力, 曲げモーメント, せん断力に関して, 応力度と断面力の関係が示されたことになります N=σA,Q=τA,σ=(M/I)y の 3 つの式は, 必ず憶えてください 14

15 断面内最大応力と断面係数 σ = M y I 原点は図心 y y t M σ max = ht = I M Z t Z t I = h t o z h t h c x 梁の断面 M h M Z σ c = max c I = Z c c = I h c σ=(m/i)yの式から, 断面内の最大応力度を求めることができます 曲げモーメントによる最大応力度は,yが最も大きいところで生じます すなわち, 断面の端部です 断面の図心から, 断面の端までの距離をht, hcとすると, 引っ張り側の最大応力度 σtmaxは,(m/i)htとなります また, 圧縮側の最大応力度はσcmaxは,(M/I)hcとなります このような断面の端の応力度を 縁応力度 と呼ぶ場合があるので憶えておいて下さい このような曲げモーメントによる最大応力度を直接求める係数として, 断面係数 Zという定数が定義されます 断面係数 Zは, 断面 次モーメントを, 図心から断面端までの距離で割ったものです 単位はcm^3になります この 断面係数 という言葉と定義式も憶えてください 15

16 引張合力 (T) と圧縮合力 (C) b t σ max t ( σ max hb t ) c ( σ max hb c ) T = C = T h t j h c C c σ max j = ht + h 3 3 c 最後に, 最大応力度から, 逆に, 曲げモーメントを求める計算について説明しておきます まず, 引張側の応力度の合力は, 引張側の縁応力度に断面の中立軸から上の断面積を掛け, 三角形なのでそれを半分にしたものになります 圧縮側も同様に計算されます また, 合力の作用点は, 三角形なので, 図心軸から縁までの距離の/3を上下で加えたものになります 16