奇数ゼータの公式

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ようじろうふじた
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1 3 奇数ゼータの公式ゼータ母関数で得られた奇数ゼータは下位のゼータで表された自己同型な公式であった本章ではこれらから下位のゼータを取り除いて陽表的な公式を得る 3 cot 系ゼータの公式公式 3 B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, をベルヌイ数とし H t するとき 0< < について次式が成立する ( + ) () 0 +( ) 特にのとき B ( ) i ( )! /t を調和数 B H ( )!( + )! B B 0 ( )!( ++ )! ( + ) B H ( )!( + )! B B 0 ( )!( ++ )! ( ) 証明公式 4 3 ( 4 ) で次のリーマンゼータが得られた ( 3 ) ( 5 ) ( 7 ) ( 9 ) i 4 3! i + 6 5! i 8 7! i + 0 9! log H log H 5 6 log H log H 9 B + ( +3 )! k を順次下の式に代入していくと次のようになるこれらの ( ) ( + ) () C i 0 () 0 + () 0 ここで C はつぎのような有理数である B +4 + () 3 ( +5 )! 3! B () 5 () 3 ( +7 )! 3! 5! B () 7 () 5+ () 3 ( +9 )! 3! 5! 7! C ( + )! log H + C ( ++ )! B

2 C 0, C, C 3! 5! 3!3! C ! 3!7! 5!5! 7!3! + 5!3!, C 3 7! 3!5! !3!5! 3!5!3! 5!3!3! +, 3!3!3! 3!3!3!3! 実はこれらは cc のテイラー級数の係数でありの冪と階乗とベルヌイ数とで次のように計算できる C B 0,,, ( )! これを上式に代入すれば B ( ( + ) ) () i () 0 ( )! 0 B log H + ( )!( + )! 右辺の括弧内は次のように変形できる B 0 ( )!( + )! 0 log H + B log ( )!( + )! 0 0 ( )!( ++ )! 0 0 B B ( )!( ++ )! B B ( )!( ++ )! B H + ( )!( + )! B B + B ( )! ここで Lemma 3.4. と Lemma 3.4.c より次式が成立する 0 これらを用いれば B ( )!( + )! B ( )! B log + ( + )! B 0 ( )!( + )! i.e. log H + i 0 B B H + log ( )! 0 ( )!( + )! 0 B B + ( )!( ++ )! B 0 ( )!( + )! 0 log H + B H + ( )!( + )! 0 0 ( )!( ++ )! B ( + )! B B B i log + ( )! B B ( )!( ++ )! B B ( )!( ++ )!

3 これを上の括弧内に代入すれば ( + ) () 0 ここで 0 () 0 +( ) () であるから B + ( )! i B ( ) i () ( )! B H + ( )!( + )! 0 B ( ) i ( )! B B ( )!( ++ )! B i + ( )! () B ( )! i B H ( )!( + )! B B 0 ( )!( ++ )! B i ( )! () ( + ) () 0 +( ) B ( ) i ( )! B ( ) i ( )! B H ( )!( + )! B B 0 ( )!( ++ )! Note のときこの公式の収束速度は三角関数系中で最速である例 B ( +5 )! 6( +3 )! 360( + )! ( ) 例 ζ(7) の公式に従いこの計算を行った級数を項まで計算したところ有効数字 0 桁が得られた 3

4 公式 3 調和数を H /t ( + ) + としベルヌイ数 B 及びオイラー数 E をそれぞれ t B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, B 8 /30, E 0, E, E 4 5, E 6 6, E 8 385, とするとき 0< < について次式が成立する ( + ) ( ) 0 E ( ) co ( )! + E H E 0 ( )!( )! + B 0 ( )!( + )! 証明公式 4 3 ( 4 ) で次のリーマンゼータが得られた ( 3 ) ( 5 ) ( 7 ) ( 9 ) co 3! co + 5 4! co 7 6! co + 9 8! log H + 4 log H 4 6 log H log H 8 B + ( + )! B +4 + () 3 ( +4 )!! これらの ( k) を順次下の式に代入していくと次のようになる ( + ) 0 ここで C はつぎのような有理数である C + co + () 0 C 0, C, C + 0!! 4!!! C 4 8! + + 6!! 4!4! +!6! B () 5 () 3 ( +6 )!! 4! B () 7 () 5+ () 3 ( +8 )!! 4! 6! () 0, C 3 そして Sugimoto 氏によればこれらは次式で計算できる C () E E 0,,, ( )! ( )! これを上式に代入すれば 6! () C ( )! log H () C B ( + )! + 4!!!4! + + 4!!!!4!!!!4! +!!! +!!!!, 4

5 ( + ) 0 0 E ( ) + ( )! E ( )!( )! 右辺の括弧内は次のように変形できる 0 E ( )!( )! log H 0 0 E log co + () log H 0 ( )!( )! 0 E ( )!( + )! 0 E ( )!( + )! E ( )!( + )! E H ( )!( )! B B E + ( )! ここで Lemma 3.4. と Lemma 3.4.c より次式が成立する 0 これらを用いれば 0 E E ( )!( )! ( )! B log + ( )! E ( )!( )! log H co 0 E log ( )! 0 0 H 0 であるから 0 E ( )!( )! 0 log H E ( )!( + )! 0 E H ( )!( )! 0 ( ) これを上の括弧内に代入すれば ( + ) ここでであるから ( ) 0 E ( ) + ( )! E ( )!( + )! E H ( )!( )! E ( )!( + )! B B + ( )! E!( + )! co () E + ( )! B ( )! B E co log + B B E co + ( )! co E H E 0 ( )!( )! + B 0 ( )!( + )! () E ( )! co E ( ) ( )! co + 5

6 ( + ) ( ) 0 E ( ) co ( )! + E H E 0 ( )!( )! + B 0 ( )!( + )! 例 ζ(7) /64 としてこの計算を行った級数を4 項まで計算したところ有効数字 0 桁が得られた 6

7 3 ta 系ゼータの公式公式 3 ベルヌイ数 B 及びタンジェント数 T をそれぞれ B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, B 8 /30, T, T 3, T 5 6, T 7 7, T , とするとき 0< について次式が成立する ( + ) 特にのとき ( + ) 0 () 0 () ( ) () B ( ) () i ( )! B B ( )!( ++ )! 0 証明公式 5 3 ( 5 ) で次のディリクレイータが得られた ( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 5 ) ( ) ( 7 ) ( ) i + i 4 i 6 + i 8 ( )!( ++ )! B ( + )! B T B + + () ( +3 )! 3! これらの ( k) を順次下の式に代入していくと次のようになる ( + ) () C () i 0 B () 3 () ( +5 )! 3! 5! B () 5 () 3+ () ( +7 )! 3! 5! 7! () 0 C ( ++ )! B ここで C は公式 3 と同じ係数であり C B で与えら得れるよって ( )! ( + ) 0 () B ( ) () i ( )! 7

8 これに ( + ) () 0 ( + ), T B ( )!( ++ )! B B を適用して与式を得る例 6 4 ( 5 ) 5 ( +5 )! + 6( +3 )! 7 360( + )! B 例 ζ(7) の公式に従いこの計算を行った級数を3000 項まで計算したところ有効数字 4 桁が得られた例で見たようにの公式の収束は非常に遅いそこで Lemma3.4.t より T ( + )! B log ( + )! これを用いての公式を次のように変形すれば収束は速くなる公式 3 ( + ) ( ) ( ) 0 B ( )!( ++ )! B B + log ( )! 例 ζ(7) 例と同じ計算をこの公式で行った級数を 55 項まで計算したところ有効数字 6 桁が得られた 8

9 公式 3 ベルヌイ数 B 及びオイラー数 E をそれぞれ B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, B 8 /30, E 0, E, E 4 5, E 6 6, E 8 385, とするとき 0< について次式が成立する ( + ) 0 () 0 E ( ) () co ( )! + E ( )!( + )! 証明公式 5 3 ( 5 ) で次のディリクレイータが得られた B ( ) () ( 3 ) () ( 5 ) () ( 7 ) () co + co 3 co 5 + co 7 ( )! B + + () ( + )!! これらの ( k) を順次下の式に代入していくと次のようになる B B () 3 () ( +4 )!! 4! B () 5 () 3+ () ( +6 )!! 4! 6! ( + ) C () co +( ) 0 + B 0( ) C ( + )! E ここで C は公式 3 と同じ係数であり C () E ( )! ( )! よって ( ) () 0 E ( ) () co ( )! + E ( )!( + )! これに ( + ) ( +) を適用して与式を得る B で与えられる 9

10 3 3 cc 系ゼータの公式公式 3 3 B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, をベルヌイ数とし H t とするとき 0< について次式が成立する + ( + ) + + 特にのとき () ( ) + ( + ) () ( ) () B H + ( )!( + )! B H + ( )!( + )! /t を調和数 B ( ) i( ) ( )! ( ) B ( )!( ++ )! B B ( )!( ++ )! 証明公式 6 3 ( 6 ) からシコシコと導出するのが本来であるがここでは前節から導く公式 3 と公式 3 より ( + ) () B ( ) i 0 ( )! B H + +( ) + 0 ( )!( + )! B B 0 ( )!( ++ )! ( + ) 辺々足せば 0 ( + ) +( ) 0 () B ( ) () i ( )! () () 0 () 0 0 B B ( )!( ++ )! B () B ( ) i( ) i ( )! B H + ( )!( + )! B B ( )!( ++ )! ここで ( + ) +( + ) + ( + ) () B ( ) i () i ( )! 0 + ( +) () B ( ) i( ) ( )! ( ) + 0

11 であるから + ( + ) + + () ( ) () B H + ( )!( + )! B ( ) i( ) ( )! ( ) + 0 B ( )!( ++ )! Note 証明から明らかなようにこれらは公式 3 と公式 3 の加重平均であり固有の公式ではないこれらは煩雑なだけであまり価値がない公式 3 3 調和数を H /t ( + ) + としベルヌイ数 B 及びオイラー数 E をそれぞれ t B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, B 8 /30, E 0, E, E 4 5, E 6 6, E 8 385, とするとき 0< について次式が成立する + ( + ) + 特に / のとき ( + ) 0 () ( ) + E ( ) co( ) ( )! ( ) + 0 ( )!( )! E H 0 B E B ( )!( + )! () E H E + 0 ( )!( )! B 0 ( )!( + )! 証明公式 3 と公式 3 より ( + ) ( ) ( ) 辺々足せば 0 E ( ) co ( )! + E H E 0 ( )!( )! + B 0 ( )!( + )! + 0 ( + ) +( ) E ( ) () co ( )! + + () E ( )!( + )! E ( ) ( )! B co () co +

12 ここで E H E 0 ( )!( )! B 0 ( )!( + )! ( ) ( + ) +( + ) 0 であるから Note E ( ) ( )! + ( + ) + + ( +) co () co + 0 () ( ) + 0 E {( ) } co {( ) } ( ) + ( )! E ( ) co( ) ( )! ( ) + 0 E H ( )!( )! 0 E B ( )!( + )! これらも公式 3 と公式 3 の加重平均であるが / の式は固有の式であり価値がある例 4 ( 5 ) ( 4+ )! 5 + ( + )! 4( )! B 例 ζ(7) / の公式に従いこの計算を行った級数を 3 項まで計算したところ有効数字 0 桁が得られた

13 3 4 補助公式 Lemma 3.4. ベルヌイ数 B 及びオイラー数 E をそれぞれ B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, B 8 /30, E 0, E, E 4 5, E 6 6, E 8 385, とするとき自然数について次式が成立する 0 B 0 ( )!( + )! 0 E 0 ( )!( )! 証明 i.e. cch e e B ( )! < 0 B 0 B 0!! ここで C B と置けば e e C 0 C C + 4 C !! 4! 6! e e ! 3! 5! 7! 9! コーシー積を採れば C 0 +!! C 0 +!3! 4 B 4 4 4! C C 0 + 0!3! C + + 0!5! 4!! これが任意のについて成立するためには即ち次により C 0, 0 C 0 C + 0, 0!3!!! C ( )!( + )! 0 ech 0 e + e E < ( )! C C 0 C C , 0!5!!3! 4!! B 0 ( )!( + )! E 0 E E + E + 3 E !!! 3! 4! 3

14 e + e !!! 3! 4! コーシー積を採れば E 0 +!0! E E 0 + 0!! E 0 E !!!!!0! これが任意のについて成立するためには E + 即ち E 0, 0 E 0 E + 0, 0!!!0! E 0!( )! E E 3 E 5 0 であるから E 0 E E + + 0, 0!!!!!0! 0 を得る E 0 ( )!( )! Lemma 3.4.c B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, をベルヌイ数とするとき 0< < について次式が成立する特にのとき B ( )! B ( + )! B log ( )! co + log i + log B log ( + )! 証明 cot のテイラー級数とフーリエ級数の階積分は次のようであった (05 項別高階積分 ) cot d log これらより cot d 0 B 0< < ( )! i log 0< < 4

15 B ( )! を / に置換すれば B ( )! co( ) + log co + log 次に cot のテイラー級数とフーリエ級数の階積分は次のようであったこれらより cot d cot d ( log ) 0 と置けばよってこれより ( log ) B + ( + )! log B ( + )! + ( + )! i log B + log B + ( + )! i( ) log log B ( + )! ( log ) B + ( + )! B log( ) + ( + )! を / に置換すれば B log + ( + )! + i( ) log i( ) log i( ) Lemma 3.4.t B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, をベルヌイ数とするときについて次式が成立する B ( )! () co + log 5

16 特にのとき B ( + )! B log ( + )! () i + log 証明 ta のテイラー級数とフーリエ級数の階積分は次のようであった ( 05 項別高階積分 ) これらより ta d 0 ta d 0 0 ( )! を / に置換すれば B < ( )! i ( ) B B ( )! + log < () co( ) + log () co + log 次に ta のテイラー級数とフーリエ級数の階積分は次のようであったこれらより 0 ta d 0 0 ta d 0 B + ( + )! i + log ( ) B ( + )! を / に置換すれば B ( + )! () i( ) + log () i + log リニューアル宇宙人の数学 K. Koo 6

偶数ゼータの公式

4 偶数ゼータの公式ゼータ母関数で得られた偶数ゼータは下位のゼータで表された自己同型な公式であった本章ではこれらから下位のゼータを取り除いて陽表的な公式を得る 4 cot x 系ゼータの公式公式 4 B 0 =, B 2 =/6, B 4 =/30, B 6 =/42, をベルヌイ数とし n を自然数とするとき 0< x