外から中心に投げたボールの動画 1 中心に向かってまっすぐ投げる回転盤でボールをキャッチ円盤の回転速度とボールの速度を合わせれば, 投げたボールを取れる ( 投げた人にはボールが回ってくるように見える ) 投げてからの時間は, 回転の半周期円盤の外から見る図斜めに飛んでいく投げた人が見る図コ

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せせらまきい
5 years ago
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1 流体地球科学第 6 回外から中心に投げたボールは? 回転盤の外から見た図 ( ) 期待される位置, ( ) 実際の位置間違った図 1 間違った図 2 正しい図東京大学大気海洋研究所准教授藤尾伸三 ujio@aori.u-tokyo.ac.jp 215/11/2 最終更新日 215/11/24 ボールは左 ( ) に曲がった??? 図 2 は遠心力が考慮されていない前回のポイント運動の法則力 ( 単位 : N) = 運動量の時間変化 = 質量加速度回転する座標系では, 遠心力とコリオリ力が必要. ただし, 地球の自転による遠心力は重力に含まれるので, 考えない. 2π 地球の自転角速度 Ω = + 2π = s 1 24 時間 1 年回転系での運動方程式 (3 次元 ) x: 東向き, y: 北向き, z: 上向き 2Ω sin φ mv+2ω cos φ mw = F x ベクトル表記 m dv + 2Ω sin φ mu = F y + 2Ω mu = F m dw Ω = (, Ω cos φ, Ω sin φ) 2Ω cos φ mu = F z 赤道 φ = でも, コリオリ力はある ( 水平面上 w = だと, になる ) 回転系での運動方程式 ( 水平 2 次元 ) w が小さい場合 mv = F x, m dv + mu = F y コリオリ係数 = 2Ω sin φ ( 角速度の 2 倍 ) 授業では, 特に記載ない場合, 北半球を想定する ( > ) 外から中心に投げたボールの解釈 C O D O ( ) 投げた人の位置 D ( ) 遠心力コリオリ力を考慮しない C ( ) 投げなかった場合 ( ) 遠心力のみ考慮 O C 遠心力による移動 ( ) 実際の位置 C 投げたことによる移動 (= O D) コリオリ力による移動 ( 右にずれた ) ujio@aori.u-tokyo.ac.jp ujio@aori.u-tokyo.ac.jp 1

2 外から中心に投げたボールの動画 1 中心に向かってまっすぐ投げる回転盤でボールをキャッチ円盤の回転速度とボールの速度を合わせれば, 投げたボールを取れる ( 投げた人にはボールが回ってくるように見える ) 投げてからの時間は, 回転の半周期円盤の外から見る図斜めに飛んでいく投げた人が見る図コリオリ力と遠心力で後ろに飛ばされる中心を通るように投げる外から中心に投げたボールの動画 2 中心を通るように投げる水平面での運動慣性の法則物体は力が加わっていないと, 等速直線運動する回転系での慣性運動は? 慣性振動水平面上 (w ) で, 力が作用していない場合, 運動方程式は mv =, mdv + mu = d2 u + 2 u = 2 この常微分方程式 ( 波動方程式 ) の一般解は, V と θ を積分定数として, u = V sin(t + θ), v = V cos(t + θ) ( あるいは, u = sin t + cos t, v = cos t sin t) 速度は u も v も単振動速度ベクトルは角速度で回転する速度ベクトルの大きさは変化しない ( 向きが変わるだけ ) ( 運動エネルギー 1 2 m(u2 + v 2 ) は変化しない ) 円盤の外から見る図斜めに投げる投げた人が見る図コリオリ力で右に曲がることを考慮初期条件として, 時刻 t = で u = u, v = v とすれば, V = u 2 + v2, θ = tan 1 (v /u ) に決まる. ujio@aori.u-tokyo.ac.jp ujio@aori.u-tokyo.ac.jp 2

3 慣性円物体が t = に原点にあったとすれば, dx = u = 1 dv から, t 経過の x 座標は, x = t u = t 1 同様に, y = V よって, 物体の軌跡は ( x v ) 2 ( + y + u dv sin(t + θ) u ) 2 = 1 = [v(t) v()] = V ( ) 2 V すなわち, 物体は円を描く ( 慣性円 ) 円の半径 R = V, 角速度 ω = V R =, 周期 T = 2πR V 系の角速度 Ω = 2, 2π 周期 Ω = 2T = 2π cos(t + θ) + v ( v, u ) [ 別解 ] コリオリ力 (V) と遠心力 (Rω 2 = V 2 /R) が釣り合う回転方向 V = V2 R より R = V 慣性振動の緯度依存性回転の向きは北半球は, 時計回り南半球は, 反時計回り ( 赤道上では, 直進 ) 北半球では, コリオリ力は進行方向に対して右向き南半球左向きに働く慣性周期一周に要する時間 ( 周期 ) T = 2π 2π = 2Ω sin φ = T [ E T E = 2π ] 2 sin φ Ω は地球の自転周期 ( 約 1 日 ) 緯度がいほど, 周期は長い ( 速度に依らない ) 赤道慣性振動しない ( 周期無限大 ) 北極自転周期の半分 ( 半日 ) 北緯 3 度 sin φ = 1/2 だから, 自転周期 (1 日 ) 回転の半径 R = V. 初速が大きいと, 半径は大きい. 緯度がいと, 半径は大きい ( 赤道 = では半径無限大直線運動 ) 慣性振動回転系で, 周囲から力をうけない場合の運動等速円運動コリオリ力で進行方向が曲げられる ( 速さは変化しない ) コリオリ力と, 円運動に伴う遠心力がバランスしている速さ V, コリオリ係数円の半径 V. 初期値 u =, v = V, x = y = であれば, 角速度, 周期 u = V sin t, v = V cos t, x = V (1 cos t), y = V sin t y v u ( ) 2π 1/8 1/4 3/8 1/2 x ピッチャーが投げたボールは, コリオリ力で曲がるか? 東京 ( 緯度 35.6 度, = s 1 ) で時速 1km の速さでボールを投げる慣性円の半径 R = V/ = 327km 地面にボールが落ちないとすれば, 右図黒丸は 1 時間ごとの位置 (12 時間後まで ) 北緯 3 度よりも北なので, 慣性周期は 1 日より短い (2.5 時間 ). ピッチャーマウンドとホームベースの間は 18.44m 右図の青い点線 = 黒い弦赤い弧 ( 慣性円での軌道 ) = 18.44m 赤い弧の中心角 18.44m 327km = rad 青い弧の中心角その半分 rad ( 度 ) 曲がった距離 ( 青い弧 ) 18.44m =.51mm 結論 : 曲がらない別の要因で, これ以上に右や左に曲がる ( 同様に, 洗面所の渦巻きもコリオリ力は関係ない ) 別解 : 到達時間 t = 18.44m 1km 36 秒 =.66 秒 d 2 x/ 2 = du/ = V より x = Vt 2 /2 =.51mm ujio@aori.u-tokyo.ac.jp ujio@aori.u-tokyo.ac.jp 3

4 慣性振動の観測例慣性振動を観測するには, 長時間 ( 慣性周期程度 ), 物体に力が加わらず, 初速が維持される ( 摩擦などない ) ことが必要. 北緯 3 度 ( 慣性周期は 1 日 ), 深さ 1m に放流した中立ブイの軌跡 3.5 日間の軌跡平均を除いた軌跡 Nan niti et al. (1964) 半径は約 1 海里 (1.85km) 時速約.5m ( 徒歩は時速 4km) ベータ効果緯度側 ( 西向きで ) 大回りになり, 一周期で物体は西にずれる南半球でも西向きコリオり係数が緯度によって異なる ( 地球は球だから ) ベータ効果 ( これはその一例 ) = 2Ω sin φ は, 近似的に (y) = + β(y y ) = 2Ω sin φ β = d dy = d dφ dφ dy = 2Ω a cos φ a は地球の半径 64km (y = aφ) β は赤道で最大 s 1 m 1 南北の移動距離を L とすれば, と βl を比較する数字は緯度経度 ( の目安 ) 1 周期分 ( 印は 1 日おき ) 緯度による違い時速 1km で真北に投げた軌跡緯度ほど半径 V/ が大きい周期 2π/ が長い速さは常に時速 1km 半径が大きいと, 周上のは異なる高緯度側で小回り緯度側で大回り円にならない半径が小さければ, 緯度によるの違いは気にしなくてよい数字は緯度経度 ( の目安 ) 1 周期分 ( 印は 1 日おき ) 非回転系から見た慣性振動原点からの距離に比例した向心力が必要 (x, y) = (1, ) で, 外向き ( 赤線 ) に投げたボールの動き円盤上でちょうど半周したところで, ボールが戻ってくる回転していない人が見るボール回転している人が見るボール 2 周する黒丸 : 投げた人の動き青丸 : ボールの動き赤線 : 投げた人の向く方向 ujio@aori.u-tokyo.ac.jp ujio@aori.u-tokyo.ac.jp 4

5 斜面での運動水平面から y 方向に α で傾いている. y 方向にかかる力 F y = mgs (s = sin α). mv =, mdv + mu = mgs 一般解 ( ベータ効果は考えず, は定数 ) u = V sin(t + θ) gs, v = V cos(t + θ) はじめに静止していたとすると, u = gs (cos t 1), v x = gs (sin t t), y 2 = gs sin t 回転と x 方向の移動 = gs (cos t 1) 2 サイクロイド運動エネルギーと位置エネルギー mgsy の和が保存 1 慣性周期 (T = 2π ) で, x 方向に gs 2πgs T = 2 2 移動する. 斜面を下る向きの重力と, 上る向きのコリオリ力がバランス円錐状の斜面凹型 ( すりばち状 ) 凸型コリオリ力 F C と重力がバランスすれば, 斜面から落ちずに, 回り続ける重力を気圧差とみれば, 気圧高気圧に相当. 正確には圧力傾度力このような風を地衡風速度 V とすると, コリオリ力 F C = mv = V = m 反時計回り F C 高 F C 時計回り初速をつけた場合 u = V sin(t + θ) gs v = V cos(t + θ) 初速によらず, 1 慣性周期で 2πgs 移動. 2 ( 同じ場所を通る ) いろいろな初速での軌跡初速を u = gs, v = とすると, 等速直線運動 ( 青い軌跡 ) コリオリ力と斜面下向きの重力がバランスもとの運動方程式で du/ = dv/ = とおいてもよい. mv =, m dv + mu = mgs g = 9.8, = 8 1 5, s = 1 3 (= 1mm/1m = 1m/1km) とすると, u = 12 m s 1 ( 時速 44km), 1 慣性周期での移動距離は 1 万 km 傾斜をもっと小さくしないと, 速すぎるコリオリ力がない場合凹型 ( すりばち状 ) 凸型遠心力 F と重力がバランスすれば, 斜面から落ちずに, 回り続けるすりばち状のみ ( ルーレット ) 回転の向きはどちらでもよいこのような風を旋衡風普通にいう渦速度 V, 半径 R とすると, 遠心力 F = mv2 R = V = FG R 時計回り実際には, コリオリ力遠心力重力の 3 つのバランス m F 反時計回り ujio@aori.u-tokyo.ac.jp ujio@aori.u-tokyo.ac.jp 5 F

流体地球科学第 7 回力のバランス永遠に回れるバランス ( 以下, 北半球 =コリオリ力は進行方向の右向き ) 慣性振動 : 遠心力 =コリオリ力地衡風 : コリオリ力 = 圧力傾度力東京大学大気海洋研究所准教授藤尾伸三

流体地球科学第 7 回力のバランス永遠に回れるバランス ( 以下, 北半球 =コリオリ力は進行方向の右向き ) 慣性振動 : 遠心力 =コリオリ力地衡風 : コリオリ力 = 圧力傾度力東京大学大気海洋研究所准教授藤尾伸三流体地球科学第 7 回力のバランス永遠に回れるバランス ( 以下, 北半球 =コリオリ力は進行方向の右向き ) 慣性振動 : 遠心力 =コリオリ力地衡風 : コリオリ力 = 圧力傾度力東京大学大気海洋研究所准教授藤尾伸三 http://ovd.aori.u-tokyo.ac.jp/fujio/205chiba/ fujio@aori.u-tokyo.ac.jp F C F A 旋衡風 : 遠心力