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1 2-ctegory lg-d 年 1 月 1 日 この PDF では g のように, 一部の記号で色を使用していますが, 色が分から なくても問題無いようにはなっています. 定義はここやここを参照. 圏の圏 Ct では, 対象 C, D Ct に対して Hom Ct (C, D) も圏になるのであった ( 関手が対象, 自然変換が射 ). このように Hom がまた圏となるような圏を 2-ctegory と いう. 目次 1 定義 1 2 米田 32 3 Coherence 71 4 lx, oplx ctegory の中での随伴 Kn 拡張 80 1 定義 まずは定義を述べ, 詳しい説明は追々していくことにする. 定義. ictegory ( もしくは wek 2-ctegory) B とは, 以下を満たすことをいう. 1

2 (1) 集まり O(B) が与えられている.O(B) の元を対象 ( もしくは 0-cell) と呼ぶ. (2) 各対象, B に対して圏 B(, ) が与えられている. (3) 各対象,, c B に対して関手 M c : B(, c) B(, ) B(, c) が与えられている. (4) 各対象 B に対して関手 I : 1 B(, ) が与えられている. (5) 各対象,, c, d B に対して次の自然同型 α cd が与えられている. B(c, d) B(, c) B(, ) M cd id id M c B(, d) B(, ) B(c, d) B(, c) α cd M d B(, d) M cd (6) 各対象, B に対して次の自然同型 λ, ρ が与えられている. 1 B(, ) B(, ) I id λ B(, ) B(, ) M B(, ) 1 B(, ) id I ρ B(, ) B(, ) M (7) 次の自然変換の等式が成り立つ.( スペースの都合上,Bc : B(, c) B(, ) 等 の略記を行った.) M cde id id Bec M ce id Be α cde id M e Bedc id M cd id M de id Bed α de Be id α cd id M d id id M c Bedc id M cd M de Bed M cde id id Bec M ce id Be M e Bedc id M c M cde id α ce Bce Be id id M c Bedc Bed M ce α cde id M cd M de 2

3 (8) 次の自然変換の等式が成り立つ. Bc Bc id id I id id id id (ρ c ) 1 id Bc id λ Bc M c id id M α c Bc Bc Bc M c Bc M c M c Bc M c また α cd, λ, ρ が全て恒等変換のとき,strict 2-ctegory という. * 1 B を ictegory,, B を対象とするとき B(, ) は圏である. この圏の対象 を B の 1-morphism ( もしくは 1-cell) と呼ぶ. このとき を の domin, を の codomin と呼び, 記号では : と表す. また圏 B(, ) の射 β を B の 2-morphism ( もしくは 2-cell) と呼ぶ.β の ( 圏 B(, ) の射としての ) domin が,codomin が g のとき記号では β : g と表す., g : であることも明示する場合は β : g : と表す. 図式では次のように書く. β g, g, h: を 1-morphism,β : g,γ : g h を 2-morphism とする.β, γ は圏 B(, ) の射だから合成することができる. この合成を垂直合成 (verticl composition) と呼び, ここでは γ β と書く *2. 図式で書くと次のようになる. β γ g γ β h h *1 strict 2-ctegory を単に 2-ctegory という事も多い. *2 垂直合成 ( や後に述べる水平合成 ) の決まった記号というのは特に無いようで, 論文によっても記号が異なる. 3

4 今度は, g : と k, l : c を 1-morphism,β : g,γ : k l を 2-morphism とする. 関手 M c により M c (γ, β): M c (k, ) M c (l, h) を考えることができる. これを水平合成 (horizontl composition) と呼ぶ.k : M c (k, ),γ β : M c (γ, β) と書く. β γ c g k l k c γ β l g また M c (k, ): B(, ) B(, c),m c (, ): B(, c) B(, c) も関手である. これを k : M c (k, ), : M c (, ) のように書くことにする. この記号を使えば k β id k β,γ γ id である. M c (γ, ): M c (k, ) M c (l, ),M c (, β): M c (, ) M c (, g) は自然変換である. これも γ : M c (γ, ), β : M c (, β) のように書くことにする.(γ ) γ,( β) k k β である. また次の図式の状況の時 β c γ k g σ τ h m l M c : B(, c) B(, ) B(, c) が関手であることから (τ σ) (γ β) (τ γ) (σ β) が成り立つことが分かる.( これを interchnge lw という.) k γ β τ σ c h m σ β c τ γ k m h l g さて,ictegory の定義の条件 7 は自然変換の等式だから, 自然変換の各成分が等しけ ればよい. 即ち, 任意の対象 k, h, g, B(d, e) B(c, d) B(, c) B(, ) に対して, 圏 B(, e) における射の等式 M de (id k, α cd hg ) α de k,m cd (h,g), M e (α cde khg, id ) α cde k,h,m c (g,) αce M cde (k,h),g, 4

5 が成り立つという条件と同等である. これは上記の記号を使うと (k α cd hg ) α de k,h g, (α cde khg ) α cde k,h,g α ce k h,g, となる. これは圏 B(, e) における図式として書けば, 次の可換性を示している. α cde khg ((k h) g) α ce k h,g, (k (h g)) (k h) (g ) α de k,h g, k ((h g) ) k α cd hg α cde k,h,g k (h (g )) 同様に,8 は (g λ ) α c g,id, ρ g となり, 図式として書けば次の可換性を示している. α c g,id, (g id ) g (id ) ρ g g g λ ictegory では,α により同型 (h g) h (g ) 等が与えられることになる. この α により, 例えば同型 ((l k) (h g)) l (k ((h g) )) などが得られるのであるが, 一般にこのような同型を α から得る方法は複数あることになる. というのも, 射が 4 つの場合でも既に, 同型 ((k h) g) k (h (g )) は上記の五角形の図式のように二つあるからである. つまり, 何も条件が無ければこのような同型は自然には定まらないことになる.λ と ρ についても同様である. そこで ictegory の条件として α, λ, ρ によって複数の同型が得られる場合, それらは常に一致する という条件を付け加えたいわけである. これを coherence 条件という. ところが実は,coherence 条件は上記の ( 五角形と三角形の ) 二つの図式の可換性さえ認めてしまえば, 証明できることが分かっている (coherence 定理 ). そこで ictegory の条件としてこの二つを入れているのである.coherence 定理は後で証明する ( 系 28). 例 1. Ct は strict 2-ctegory になる. まず圏 A, B に対して Ct(A, B) : B A と定義し, 圏 A, B, C に対して関手 M ABC : Ct(B, C) Ct(A, B) Ct(A, C) を自然変 5

6 換の水平合成で定義する. 即ち F K A β B γ C G L のとき, A に対して M ABC (γ, β) : γ G K(β ) である. このとき次の図式は可換である. D C C B B A M BCD id id M ABC D B B A D C C A M ABD D A M ACD 1 B A B A B A 1 B A I B id M ABB id I A M AAB B B B A B A A A よって α ABCD, λ AB, ρ AB として恒等変換を取ることができる. 故に ictegory の定義 の条件 7, 8 は明らかに成り立つから Ct は ictegory である.α ABCD, λ AB, ρ AB が恒 等変換だから Ct は strict 2-ctegory である. 例 2. 圏は Hom を離散圏と見なすことで strict 2-ctegory になる. 例 3 (ndmentl 2-gropoid). 位相空間 X に対して以下のように定めると ictegory Π 2 (X) が得られる. この ictegory を ndmentl 2-gropoid という. 点 X を対象とする. 即ち O(Π 2 (X)) : X である. X から X への道 : [0, 1] X を から への 1-morphism とする. 道 : から g : へのホモトピーを 2-morphism とする ( 但しホモト ピー同値な 2-morphism は同じものと見なす ). これにより, X に対して圏 Π 2 (X)(, ) が定まる. :,g : c に対して合成 g : c を ( (2t) 0 t 1 ) 2 g (t) : ( ) 1 g(2t 1) 2 < t 1 6

7 で定義する. これは関手 M c : Π 2 (X)(, c) Π 2 (X)(, ) Π 2 (X)(, c) を与 える. g c h d とする. 連続写像 α hg : [0, 1] [0, 1] X を α hg (s, t) : ( ) ( 4t 0 t 2 s ) 2 s 4 ( 2 s g(4t 2 + s) < t 3 s 4 4 ( ) ( ) 4t 3 + s 3 s h < t s 4 ) により定める. 1 s g h t 2 4 これは α hg : (h g) h (g ) である. この α hg は, g, h について自然 な同型である. X に対して id : は id (t) : で定まる道 id : [0, 1] X とする. : に対して λ : id と ρ : id を ( ) ( 2t 0 t 1 + s ) 1 + s 2 λ (s, t) : ( ) 1 + s < t 1 2 ( 0 t 1 s ) 2 ρ (s, t) : ( ) 1 s (2t 1 + s) < t 1 2 により定める. これは について自然な同型である. これらは条件 7,8 を満たす. 以上により Π 2 (X) は ictegory である. 7

8 例 4. C を pllck を持つ圏とする. このとき圏 C の spn がなす ictegory Spn(C) を以下のように定めることができる. O(Spn(C)) : O(C) とする. から への 1-morphism は から への spn, 即ち図式 0 1 とする. 2-morphism は spn の射とする. これにより対象, C に対して Spn(C)(, ) は圏になる. 0 1 と g 0 g g 1 c の合成 g c を,pllck を使って次の図 式で定める. 0 g p.. 1 c g g 0 g 1 これは関手 M c : Spn(C)(, c) Spn(C)(, ) Spn(C)(, c) を与える.... ) β : g :,γ : k l : c に対して M c (γ, β) を pllck の普遍性で得られる次の点線の射で定義する. k k β γ c g l l g pllck の普遍性から, この M c が関手となることは容易に分かる. g c h d とする.α hg : (h g) h (g ) を pllck の普遍性に 8

9 より定める. α hg (h g) h (g ) g h g g h c d これは, g, h について自然である.... ) β :,γ : g g,δ : h h として (δ (γ β)) α hg α h g ((δ γ) β) を示せばよいが, それは普遍性により分かる. α hg (h g) h (g ) g h g g h (δ γ) β δ (γ β) β γ β γ c δ γ δ d g h g h g (h g ) h (g ) α h g また普遍性から明らかに,α hg は同型である. id id を id とする. : に対して λ : id と ρ : id を pllck の射影により 9

10 定める. λ id id ρ id id λ,ρ は について自然な同型である. pllck の普遍性により, 条件 7,8 が成り立つ. 以上により Spn(C) は ictegory である. 例 5. B を ictegory とする. このとき, 次のように定めた B op, M op, α op, λ op, ρ op は ictegory を与える. O(B op ) : O(B)., B に対して B op (, ) : B(, ).,, c B に対して, 関手 (M op ) c : B op (, c) B op (, ) B op (, c) を で定める.,, c, d B に対して, 自然同型 B(c, ) B(, ) B(, ) B(c, ) M c B(c, ) B op (c, d) B op (, c) B op (, ) (M op ) cd id B op (, d) B op (, ) B op (c, d) B op (, c) (α op ) cd id (M op ) c (M op ) d B op (, d) (M op ) d を B(, ) B(c, ) B(d, c) id M dc M c id B(, ) B(d, ) B(c, ) B(d, c) (α dc ) 1 M d B(d, ) M dc 10

11 で定義する. (λ op ) : ρ,(ρ op ) : λ とする. また, 次のように定めた B co も ictegory である. O(B co ) : O(B) B co (, ) : B(, ) op よって B coop : (B co ) op も ictegory である. さて, 後で必要となる補題をいくつか証明しておく.( これらの補題は coherence 条件 の例である.) 補題 6. ictegory B の 1-morphism :,g : c に対して, 圏 B(, c) におけ る次の図式は可換である. α c g,,id (g ) id g ( id ) ρ c g g g ρ 証明. ρ c が自然同型だから, 次の三角柱の図式の側面となる四角は全て可換である. ((g ) id ) id ρ c g id (g ) id ρ c (g ) id α c g,,id id (g ( id )) id (g ρ ) id ρ c g ρ c g (g ) id g ρ c g ( id) α c g,,id g ( id ) g ρ 今示したいのは底面部分の三角形の可換性だから, 上面部分の三角形の可換性を示せばよ 11

12 い. その為に次の図式を考える.(( ) が今可換性を示したい部分である.) α c g,id,id (g ) (id id ) α c g,,id id ((g ) id ) id α c g,,id id ( ) ρ c g id ( ) (g ) id g ( id ) (g ρ ) id (g ) λ id α c g,,id (α) g ( (id id )) (g ( id )) id g (( id ) id ) α c g, id,id (α) g (ρ id ) g ( λ id ) ( ) g α,id,id (α) の部分は α が自然変換だから可換である. また ( ) の部分は ictegory の定義の条 件 8 により可換である. また外側の五角形は ictegory の定義の条件 7 により可換であ る. 故に ( ) の部分も可換である. また, 同様にして次の補題が成り立つ. 補題 7. :,g : c に対して次の図式は可換である. α cc idc,g, (id c g) id c (g ) λ c g g λ c g 証明. 補題 6 と同じように次の図式から分かる.( ここで, 上付きの添え字は省略した. 以 降, 上付きの添え字は省略することがある.) id c ((id c g) ) id c α id c,g, id c (id c (g )) λ (id c g) id c (λ g ) id c (g ) id c λ g id c λ (g ) α id c,g, (id c g) id c (g ) λ g λ g g λ g 12

13 α id c idc,g, (id c id c ) (g ) α id c,idc,g ((id c id c ) g) (ρ id c g) ρ id c (g ) id λ g id c (id c (g )) α id c,idc,g α id c,g, (id c g) id c (g ) id α id c,g, (id λ g ) id (λ g ) (id c (id c g)) id c ((id c g) ) α id c,idc g, 補題 8. λ id ρ id : id id id である. 証明. 補題 6 と同様に,id λ id id ρ id を示せばよい. まず ρ の自然性から ρ id id id id (id id ) id id id ρ id ρ id id ρ id id id id id ρ id となるが,ρ id は同型だから ρ id id の条件 8 と補題 6 を使えば ρ id id が分かる. よって,ictegory の定義 α id,id,id (id id ) id α id,id,id id (id id ) ρ id id ρ id id id (id id ) id λ id id id id ρ id が可換となる.α id,id,id が同型であることから id λ id id ρ id が分かる. 関手の ictgory 版が psedonctor である. 定義. B, C を ictegory とする.psedonctor ( もしくは wek 2-nctor もしくは homomorphism) F : B C とは以下を満たすことである. (1) 関数 F : O(B) O(C) が与えられている. (2) 各対象, B に対して関手 F : B(, ) C(F, F ) が与えられている. 13

14 (3) 各対象,, c B に対して次の自然同型 φ c が与えられている. B(, c) B(, ) F c F C(F, F c) C(F, F ) B(, c) φ c M c F,F,F c M C(F, F c) F c よって g, B(, c) B(, ) に対して φ c g : F g F F (g ) は C の同型 な 2-morphism である. (4) 各対象 B に対して C の同型な 2-morphism ψ : id F F (id ) が与えられ ている. (5) B の 1-morphism g c h d に対して次の C(F, F d) の図式が可換である. φ hg F φ h g, (F h F g) F F (h g) F F ((h g) ) α F h,f g,f F (α hg ) F h (F g F ) F h F (g ) F (h (g )) F h φ g φ h,g これは,α を省略して書けば, 次の C の図式で表される. F F F φ c g F g F (g ) F (h (g )) φ cd h,g F c F h F d F F F φ d h g, F g F (h g) φ cd hg F ((h g) ) F c F h F d (6) B の 1-morphism : に対して次の C(F, F ) の図式が可換である. id F F λ F F F id F ρ F F ψ F F (λ ) F ψ F (ρ ) F (id ) F φ id, F (id ) F F (id ) F ( id ) φ,id 14

15 これは C の図式で書けば次のようになる. F ψ id F F id F F F φ id, F (id ) F (λ ) F (id ) F F F λ F F F () F () id F ψ F id F F F F (id ) φ,id F ( id ) F (ρ ) F F F ρ F F F F F 更に, 各 φ c と ψ が id となるとき,F を strict 2-nctor ( もしくは strict homomorphism) と呼ぶ. psedonctor では, 関手の条件 (F (g ) F g F,F (id) id) が同型であればよいというように弱められており, 代わりに条件 5, 6 が追加されている. 条件 5 は,ictegory の構造の 1 つである α を F が保つという条件である. つまり, g c h d を B の 1-morphism としたとき α は 2-morphism α hg : (h g) h (g ) を与えるが, これを F で写した F (α hg ) が α F h,f g,f : (F h F g) F F h (F g F ) と一致するという条件である. 但し,F (α hg ) と α F h,f g,f では domin と codomin が一致していないので φ を使った調整が必要で, 結果として定義の条件が得られる. 条件 6 についても同様である. 例 9. B, C を ictegory,f : B C を psedonctor とする.F op を次のように定義する. B に対して F op () : F (). 15

16 , B に対して (F op ) を により定める.,, c B に対して, 同型 B op (, ) B(, ) F C(F, F ) C op (F, F ) (F op ) c (F op ) B op (, c) B op (, ) C op (F, F c) C op (F, F ) B op (, c) (φ op ) c (M op ) c (M op F,F,F c ) C op (F, F c) (F op ) c を F F c B(, ) B(c, ) C(F, F ) C(F c, F ) B(c, ) φ c M c F c,f,f M C(F c, F ) F c により定める. A に対して (ψ op ) : ψ とする. この F op は psedonctor B op C op を定める. 自然変換の ictegory 版となるのが psedontrl trnsormtion である. 定義. F, G: B C を psedonctor とする.F から G への psedontrl trnsormtion θ : F G とは以下を満たすことである. (1) 各 B に対して C の 1-morphism θ : F G が与えられている. (2) 各, B に対して, 次の自然同型 θ が与えられている. G B(, ) C(G, G) C(F, F ) θ θ C(F, G) F θ 16

17 故に : のとき θ : G θ θ F は同型な 2-morphism である. F θ G F G θ θ G G (3) B の 1-morphism g c に対して, 次の C(F, Gc) の図式は可換である. (Gg G) θ Gg (G θ ) Gg (θ F ) (Gg θ ) F α Gg θ α 1 θ g F (θ c F g) F φ g θ α θ c (F g F ) G(g ) θ θ g θ c φ g θ c F (g ) これは,α を省略して書けば, 次の C の図式で表される. F F θ θ G G F θ G G F (g ) F g F c F θ c θ g θ φ g Gc G Gg F (g ) G(g ) θ g F c θ c φ g Gc G Gg (4) B に対して次の等式が成り立つ. F θ G F θ G F (id ) id F θ λ θ ψ id G ρ 1 F G θ F (id ) θ id F G(id ) θ ψ G id G 更に, 各 θ が恒等変換となるとき,θ を strict ntrl trnsormtion と呼ぶ. 17

18 psedontrl trnsormtion も, 自然変換の条件となる可換図式が同型であればよいというように弱められていて, 代わりに θ が合成等と可換になるという条件が付け加わっている. 命題 10. B, C を ictegory,f, G, H : B C を psedonctor とする.psedontrl trnsormtion θ : F G,σ : G H に対して垂直合成 σ θ *3 を, 対象 B に対して (σ θ) : σ θ で定めれば,σ θ は psedontrl trnsormtion F H となる. 証明. まず θ, σ が psedontrl trnsormtion だから, 次の自然同型が与えられている. G B(, ) C(G, G) C(F, F ) θ θ C(F, G) F θ H C(H, H) B(, ) σ σ C(G, H) G C(G, G) σ 次に ictegory C の定義から次の自然同型が得られる. σ C(G, H) θ C(G, G) α σ,,θ C(F, H) θ C(F, G) σ これらをあわせて次の図式を得る. B(, ) C(H, H) C(G, G) C(F, F ) (σ θ ) σ H σ C(G, H) α 1,σ,θ θ σ G θ α σ,,θ C(F, H) F θ θ C(F, G) α 1 σ,θ, σ (σ θ ) *3 この命題や以降の命題で定義する合成の記号は, この後定義する ictegory B における,, が,, となるように定義している. このように を付けて区別しなければいけない理由はない ( 文脈から判断できるため ) が, 明示して区別した方が分かりやすいという主観的な感想からこのようにしている. 18

19 この合成により (σ θ) を定める. 即ち B(, ) に対して (σ θ) : α 1 σ,θ,f (σ θ ) α σ,g,θ (σ θ ) α 1 H,σ,θ である.α を省略して書けば,(σ θ) ある. F θ は次の図式の合成で与えられる 2-morphism で F G H θ G σ F G H θ σ σ H この σ θ が psedontrl trnsormtion となることを示そう. まず条件 3 を示す. そ 19

20 の為には次の図式が可換であることを示せばよい. H(g ) (σ θ ) α 1 (H(g ) σ ) θ σ g θ (σ c G(g )) θ α σ c (G(g ) θ ) φ (σ θ ) (α) (φ σ ) θ (σ) (σ c φ) θ (α) σ c (φ θ ) (Hg H) (σ θ ) α 1 ((Hg H) σ ) θ α θ (Hg (H σ )) θ (Hg σ ) θ (Hg (σ G)) θ α 1 θ ((Hg σ ) G) θ (σ g G) θ ((σ c Gg) G) θ α θ (σ c (Gg G)) θ α σ c ((Gg G) θ ) σ c α σ c (Gg (G θ )) α α α ( ) Hg (H (σ θ )) (B) Hg α 1 Hg ((H σ ) θ ) (α) Hg (σ θ ) Hg ((σ G) θ ) Hg α Hg (σ (G θ )) Hg (σ θ ) Hg (σ (θ F )) Hg α 1 Hg ((σ θ ) F ) α 1 (Hg (σ θ )) F α 1 F ((Hg σ ) θ ) F σ c θ g σ c (θ c F (g )) α 1 (σ c θ c ) F (g ) (θ) σ c (θ c φ) (α) σ c (Gg (θ F )) ((σ c Gg) θ ) F σ c ((Gg θ ) F ) σ c ((θ c F g) F ) σ c (Gg θ ) (σ g θ ) F σ c α 1 σ c (θ g F ) σ c α α F (σ c (Gg θ )) F (α) (σ c θ g ) F (σ c (θ c F g)) F α 1 F σ c (θ c (F g F )) (B) ((σ c θ c ) F g) F (σ c θ c ) φ α 1 α 1 α 1 α (σ c θ c ) (F g F ) (α) は α が自然変換であるから可換である.(B) は ictegory の定義より可換である. (θ),(σ) は θ, σ が psedontrl trnsormtion であるから可換である.( ) は次の図 20

21 式により可換であると分かる.((α),(B) は上記と同じで,( ) は明らかに可換である.) (Hg (σ G)) θ α Hg ((σ G) θ ) α 1 θ ((Hg σ ) G) θ α (B) (Hg σ ) (G θ ) α Hg α Hg (σ (G θ )) (σ g G) θ ((σ c Gg) G) θ α α θ (σ c (Gg G)) θ (σ c Gg) (G θ ) α σ c ((Gg G) θ ) σ c α σ c (Gg (G θ )) (α) σ c (Gg θ ) σ c (Gg (θ F )) σ c α 1 σ c ((Gg θ ) F ) (B) (α) α 1 α 1 σ g (G θ ) (Hg σ ) θ ( ) (Hg σ ) (θ F ) (σ c Gg) θ σ g (θ F ) (σ c Gg) (θ F ) (B) α 1 (α) α 1 α α 1 (α) (B) Hg (σ θ ) Hg (σ (θ F )) Hg α 1 Hg ((σ θ ) F ) α 1 (Hg (σ θ )) F α 1 F ((Hg σ ) θ ) F (σ g θ ) F ((σ c Gg) θ ) F α F (σ c (Gg θ )) F 次に条件 4 を示す. 即ち, B に対して F (σ θ) H F (σ θ) H F (id ) id F λ (σ θ) (σ θ) id G ρ ψ 1 (σ θ) F H (σ θ) F (id ) F (σ θ)id G(id ) (σ θ) ψ H id G 21

22 を示す. その為には次の図式が可換であることを示せばよい. H(id ) (σ θ ) ψ (σ θ ) id H (σ θ ) α 1 (α) α 1 (7) λ σ θ (H(id ) σ ) θ σ id θ (ψ σ ) θ (id H σ ) θ (σ) λ σ θ (σ G(id )) θ α σ (G(id ) θ ) σ θ id σ (θ F (id )) α (σ θ ) F (id ) (σ ψ) θ (α) σ (ψ θ ) σ (θ ψ) (α) (σ θ ) ψ (σ id G ) θ α σ (id G θ ) (θ) σ (θ id F ) (6) α (B) (σ θ ) id F ρ 1 σ θ σ λ θ σ ρ 1 θ σ θ ρ 1 σ θ (α) は α が自然変換であるから可換である.(B) は ictegory の定義より可換である. (θ),(σ) は θ, σ が psedontrl trnsormtion であるから可換である.(6) は補題 6 から,(7) は補題 7 から可換である. ictegory の場合には更に,psedontrl trnsormtion の間の射である modiiction を定義することができる. 定義. F, G: B C を psedonctor,θ, σ : F G を psedontrl trnsormtion とする.θ から σ への modiiction Γ: θ σ とは以下を満たすことである. (1) 各 B に対して C の 2-morphism Γ : θ σ が与えられている. (2) B の 1-morphism : に対して,C の 2-morphism に関する次の等式が成り立つ. θ θ F F F θ θ G G Γ G F F F σ σ Γ G G G σ σ 22

23 命題 11. F, G: B C を psedonctor,θ, σ, τ : F G を psedontrl trnsormtion,γ: θ σ, : σ τ を modiiction とする.modiiction の垂直合成 Γ を, B に対して ( Γ) : Γ で定めれば, Γ は modiiction θ τ となる. 証明. B の 1-morphism : に対して θ θ θ F F θ θ G G F F σ σ Γ G G F F σ Γ τ G G F σ Γ G F σ G F τ G τ τ τ である. 定義. psedontrl trnsormtion F G を対象,modiiction を射として, 垂直合成を射の合成とすれば圏となることが分かる.(θ : F G の恒等射 id θ は (id θ ) : id θ で与えられる.) この圏を Nt ps (F, G) と書くことにする. 命題 12. F, G, H : B C を psedonctor,θ, σ : F G,τ, ξ : G H を psedontrl trnsormtion,γ: θ σ, : τ ξ を modiiction とする.modiiction の水平合成 Γ を, B に対して ( Γ) : Γ で定めれば, Γ は modiiction τ θ ξ σ となる. 証明. 次の等式を示せばよい. (τ θ) (τ θ) F F F (τ θ) (τ θ) ( Γ) H H H F F F (ξ σ) (ξ σ) ( Γ) H H H (ξ σ) (ξ σ) 即ち (( Γ ) F ) α 1 τ,θ,f (τ θ ) α τ,g,θ (τ θ ) α 1 H,τ,θ α 1 ξ,σ,f (ξ σ ) α ξ,g,σ (ξ σ ) α 1 H,ξ,σ (H ( Γ )) 23

24 を示す. その為には次の図式が可換であることを示せばよい. H (τ θ ) α 1 H ( θ ) (α) H (ξ θ ) α 1 H (ξ Γ ) (α) H (ξ σ ) α 1 (H τ ) θ τ θ (H ) θ ( ) (H ξ ) θ ξ θ (H ξ ) Γ ( ) (H ξ ) σ ξ σ (τ G) θ α τ (G θ ) τ θ τ (θ F ) ( G) θ (α) (G θ ) ( ) (θ F ) (ξ G) θ α ξ (G θ ) ξ θ ξ (θ F ) (ξ G) Γ (α) ξ (G Γ ) (Γ) ξ (Γ F ) (ξ G) σ α ξ (G σ ) ξ σ ξ (σ F ) α 1 (α) α 1 (α) α 1 (τ θ ) F ( θ ) F (ξ θ ) F (ξ Γ ) F (ξ σ ) F (α) は α が自然変換であるから可換である.( ),(Γ) は, Γ が modiiction であるから可換である.( ) は明らかに可換である. 命題 13. F, G, H : B C を psedonctor とするとき,psedontrl trnsormtion の垂直合成は関手 Nt ps (G, H) Nt ps (F, G) Nt ps (F, H) を与える. 証明. modiiction Γ: θ σ : F G と : τ ξ : G H に対して M(, Γ) : Γ と定める. この M が関手になることを示せばよい. まず id τ id θ id を示す τ θ. それは B に対して (id τ id θ ) id τ id θ id τ θ id (τ θ) だから成り立つ. 後は ( ) (Γ Γ ) ( Γ) ( Γ ) を示せばよい. それは B に対して ( ( ) (Γ Γ ) ) ( ) (Γ Γ ) ( ) (Γ Γ ) ( Γ ) ( Γ ) ( Γ) ( Γ ) ( ( Γ) ( Γ ) ) だから成り立つ. 24

25 定理 14. ictegory B, C に対して ictegory Fn ps (B, C) を以下のように定義すること ができる. psedonctor B C を対象とする. Fn ps (B, C)(F, G) : Nt ps (F, G) とする. 即ち psedontrl trnsormtion が 1-morphism で modiiction が 2-morphism である. また 1-morphism の合成 は であり,2-morphism の水平合成 垂直合成は, である. 証明. F, G, H, K : B C を psedonctor,θ : F G,σ : G H,τ : H K を psedontrl trnsormtion とする. 対象 B に対して θ, σ, τ は 1-morphism である. よって同型な 2-morphism α τ,σ,θ : (τ σ ) θ τ (σ θ ) が得られる. (Γ τσθ ) : α τ,σ,θ とすれば, これは modiiction Γ τσθ : (τ σ) θ τ (σ θ) を与 える.... ) : に対して (τ σ ) θ (τ σ ) θ F F F ((τ σ) θ) K (τ K σ ) θ (Γ τσθ ) K F F F (Γ τσθ ) τ (σ θ ) (τ (σ θ)) H H K τ (σ θ ) τ (σ θ ) を示せばよい. 定義より ( 但し, 演算子の優先順位は が一番低いものとしておく ) ((τ σ) θ) α 1 (τ σ),θ,f (τ σ) θ α (τ σ),g,θ (τ σ) θ α 1 K,(τ σ),θ α 1 τ σ,θ,f ((τ σ ) θ ) α τ σ,g,θ [α 1 τ,σ,g (τ σ ) α τ,h,σ (τ σ ) α 1 K,τ,σ ] θ α 1 K,τ σ,θ α 1 τ σ,θ,f (τ σ ) θ α τ σ,g,θ α 1 τ,σ,g θ (τ σ ) θ α τ,h,σ θ (τ σ ) θ α 1 K,τ,σ θ α 1 K,τ σ,θ 25

26 (τ (σ θ)) α 1 τ (σ θ) α τ,(σ θ),f τ,h,(σ θ) τ (σ θ) α 1 K,τ,(σ θ) α 1 τ,σ θ,f τ [α 1 σ,θ,f (σ θ ) α σ,g,θ (σ θ ) α 1 H,σ,θ ] α τ,h,σ θ τ (σ θ ) α 1 K,τ,σ θ α 1 τ,σ θ,f τ α 1 σ,θ,f τ (σ θ ) τ α σ,g,θ τ (σ θ ) τ α 1 H,σ,θ α τ,h,σ θ τ (σ θ ) α 1 K,τ,σ θ である. 故に次の図式が可換であることを示せばよい. K ((τ σ ) θ ) α 1 (K (τ σ )) θ α 1 θ ((K τ ) σ ) θ (τ σ ) θ ((τ H) σ ) θ α θ (τ (H σ )) θ (τ σ ) θ (τ (σ G)) θ α 1 θ ((τ σ ) G) θ α (τ σ ) (G θ ) (τ σ ) θ (τ σ ) (θ F ) α 1 ((τ σ ) θ ) F K α α α α α α α α F K (τ (σ θ )) α 1 (K τ ) (σ θ ) τ (σ θ ) (τ H) (σ θ ) α τ (H (σ θ )) τ α 1 τ ((H σ ) θ ) τ (σ θ ) τ ((σ G) θ ) τ α τ (σ (G θ ) τ (σ θ ) τ (σ (θ F )) τ α 1 τ ((σ θ ) F ) α 1 (τ (σ θ )) F これは α の自然性と ictegory の条件 7 により明らか. 26

27 この Γ τσθ は τ, σ, θ について自然である.... ) Θ: θ θ,σ: σ σ,φ: τ τ を modiiction としたとき, 次の図式が可 換であることを示せばよい. Γ τσθ (τ σ) θ τ (σ θ) (Φ Σ) Θ Φ (Σ Θ) (τ σ ) θ τ (σ θ ) Γ τ σ θ 即ち B に対して α τ,σ,θ (τ σ ) θ τ (σ θ ) (Φ Σ ) Θ (τ σ ) θ τ (σ θ ) α τ,σ,θ Φ (Σ Θ ) が可換であることを示せばよいが, それは α が自然変換であるから明らか. 次に id F を B に対して (id F ) : id F. ρ F λ 1 : に対して (id F ) : (F id F F F id F F ). と定義するとこれは psedontrl trnsormtion id F : F F を与える.... ) まず (idf ) が自然同型 F B(, ) C(F, F ) C(F, F ) id F id F C(F, F ) F id F 27

28 を与えることを示そう. そのためには β : g : に対して ρ F F id F F id F F F β id F F β F g id F F g id F F g ρ F g λ F λ 1 F g id F F β が可換となればよいが, それは λ, ρ の自然性より明らか. さて, この id F が psedontrl trnsormtion の条件を満たすことを示そう. まず条件 3, 即ち B の 1-morphism g c に対して次の図式が可換であることを示す. (F g F ) id F α F g (F id F ) F g ρ F F g F F g λ 1 F (6) F g (id F F ) ρ F g F id F g F (8) α 1 (F g id F ) F ρ F g F φ g id F F g F (ρ) λ 1 F g F λ 1 F g F (7) (id F c F g) F α φ g id F c (F g F ) (λ) id F c φ g F (g ) id F ρ F (g ) F (g ) λ 1 F (g ) id F c F (g ) (λ),(ρ) は λ, ρ の自然性により可換である.(6),(7) は補題 6, 7 より可換である. ( ) は ictegory の条件 8 により可換である. 以上により条件 3 は成り立つ. 28

29 ρidf 最後に条件 4 を示す. 即ち B に対して F id F F F (id ) id F id F id F ψ ρ 1 id F F id F λidf F id F F (id ) F F F (id ) λ 1 F (id) F ρ F (id ) F (id ) id F ψ id F F を示す. まず補題 8 により ( 左辺 ) id F ψ である. 一方,λ, ρ は自然同型だから ρ idf λ 1 id F id F id F id F id F id F ψ id F ψ id F ψ F (id ) id F F (id ) id F F (id F ) ρ F (id ) λ 1 F (id) は可換である. 故に F id F F ( 右辺 ) F (id ) id F ψ id F λ 1 id F id F id F ψ ( 左辺 ) F id F F が分かる. 次に (Λ θ ) : λ θ : id G θ θ,(ψ θ ) : ρ θ : θ id F θ と定義する. これ らは modiiction Λ θ : id G θ θ,ψ θ : θ id F θ を与える.... ) : に対して等式 id G θ id G θ F F F (id G θ) G id G G θ (Λ θ ) G F F F θ θ (Λ θ ) G G G θ θ 29

30 θ id F θ id F F F F (θ id F ) G θ G id F (Ψ θ ) G F F F θ θ (Ψ θ ) G G G θ θ を示せばよい. つまり (λ θ F ) α 1 id G,θ,F (id G θ ) α idg,g,θ ((id G ) θ ) α 1 G,id G,θ θ (G λ θ ) (ρ θ F ) α 1 θ,id F,F (θ (id F ) ) α θ,f,id F (θ id F ) α 1 G,θ,id F θ (G ρ θ ) を示せばよい. そのためには次の図式が可換であることを示せばよい. G (id G θ ) ( ) G λ θ G θ θ θ F ρ G θ α 1 λ G θ λ G θ λ θ F λ θ F (G id G ) θ (id G ) θ (id) (id G G) θ (7) α id G (G θ ) (λ) id G θ id G (θ F ) (7) α 1 (id G θ ) F G (θ id F ) (6) G ρ θ ρ θ F (6) G θ θ (F id F ) θ θ F ρ G θ α 1 θ ρ F θ λ F λ θ F (G θ ) id F θ id F (ρ) (θ F ) id F α θ (id F ) (id) θ (id F F ) (7) α 1 (θ id F ) F (λ),(ρ) は λ, ρ の自然性により可換である.(id) は id F の定義により可換である. (6),(7) は補題 6, 7 より可換である.( ) は ictegory の条件により可換である. この Λ θ, Ψ θ は θ について自然である. 30

31 ... ) Θ: θ σ を modiiction としたとき, 次の図式が可換であることを示せばよい. id G Θ id G θ id G σ Λ θ Λ σ θ σ Θ Θ id F θ id F σ id F Ψ θ Ψ σ θ σ Θ 即ち B に対して id G Θ id G θ id G σ λ θ λ σ θ σ Θ Θ id F θ id G σ id F ρ θ ρ σ θ σ Θ が可換であることを示せばよいが, それは λ, ρ が自然変換であるから明らか. 最後に Γ, Λ, Ψ が ictegory の条件 7, 8 を満たすことを示せばよい. まず条件 7 を示すためには Γ βτσ θ ((β τ) σ) θ Γ β τ,σ,θ (β (τ γ)) θ (β τ) (γ θ) Γ β,τ σ,θ β ((τ γ) θ) β Γ τσθ Γ β,τ,σ θ β (τ (γ θ)) が可換であることを示せばよい. 即ち B に対して α β,τ,σ θ ((β τ ) σ ) θ α β τ,σ,θ (β (τ γ )) θ (β τ ) (γ θ ) α β,τ σ,θ α β,τ,σ θ β ((τ γ ) θ ) β (τ (γ θ )) β α τ,σ,θ 31

32 が可換であることを示せばよいが, これは C が ictegory であるから可換である. 条件 8 についても Γ σ,idg,θ (σ id G ) θ σ (id G θ) Ψ σ θ σ θ σ Λ θ の可換性を示せばよいが, これも B に対して α σ,id G,θ (σ id G ) θ σ (id G θ ) ρ σ θ σ θ σ λ θ が可換であるからよい. 定理 15. C が strict 2-ctegory ならば Fn ps (B, C) も strict 2-ctegory である. 証明. 定理 14 の証明から明らか. 系 16. ictegory B に対して B : Fn ps (B op, Ct) は strict 2-ctegory である. 2 米田 さて, B が定義できたので, 米田埋込 y : B B も定義できるのではないか, という期待が出てくるが, 実際これは定義できて 米田の補題 が成り立つ ( 定理 25). それを示すのがこの節の目的である. まず米田埋込 y を定義しよう. B を ictegory として B を対象とする.s B に対して F s : B(s, ) Ct とする. 随伴 Hom Ct (A B, C) Hom Ct (B, C A ) を思い出せば,t B に対して関手 M ts : B(s, ) B(t, s) B(t, ) から F st : B op (s, t) B(t, s) Ct(B(s, ), B(t, )) Ct(F s, F t) が得られる. : t s とするとき, 定義より F st () : B(s, ) B(t, ) である. 即ち,B の δ : k l : s に対して F st ()(k) k,f st ()(δ) δ となる. また β : g : t s とするとき F st (β) β : g は自然変換であり, F st (β) k k β : k k g となる. 32

33 命題 17. 上記の F st により psedonctor F : B op Ct が得られる. 証明. その為には s, t, r B に対して自然同型 B op (t, r) B op (s, t) F tr F st Ct(F t, F r) Ct(F s, F t) B op (s, r) φ M str F sf tf r M Ct(F s, F r) F sr を定義しなければならない. このような φ がもし存在すれば,p: t s,q : r t に 対して φ gp : ( q) ( p) (p q): F s F r は自然同型である.( ここで, 関手の合成を緑色の記号 で表した. 以下, 関手 自然 変換の合成は緑色で表す.) 即ち g F s B(s, ) に対して は B の同型な 2-morphism である. (φ qp ) g : (g p) q g (p q): c また ψ s : id F s F (id s ): F s F s も定義する必要がある. これは即ち自然変換 id B(s,) id s である. s, t, r B を対象,r q t p s g を B の 1-morphism としたとき (φ qp ) g : α gpq と 定義する.α が自然同型だから φ qp α pq : ( q) ( p) (p q) も自然同型 である. 更に φ も自然同型である. また ψ s : (ρ s ) 1 と定める. 条件 5 を示す. 即ち次の可換図式を示す. (F h F q) F p F (q h) F p F (p (q h)) α F h,f q,f p φ hq F p φ h q,p F (α 1 pqh ) F h (F q F p) F h F (p q) F ((p q) h) F h φ qp φ h,q p 33

34 つまり,g : s に対して次の可換図式を示せばよい. α g p,q,h α g,p,q h ((g p) q) h (g p) (q h) g (p (q h)) g α 1 pqh ((g p) q) h (g (p q)) h g ((p q) h) α gpq h α g,p q,h これは ictegory の定義の条件 7 から成り立つ. 条件 6 を示す. 即ち p: t s に対して次の二つが可換であることを示せばよい. id F t F p λ F p F p F p id F s ρ F p F p ψ F p F (ρ p ) F p ψ F (λ p ) F (id t ) F p F (p id t ) φ idt,p F p F (id s ) φ p,id s F (id s p) 定義から,g : s に対して次の図式の可換性を示せばよい. g p g p g p g p ρ 1 g p g ρ p (g p) id t g (p id t ) α g,p,idt ρ 1 g p g λ p (g id s ) p g (id s p)) α g,id s,p 右の図式は ictegory の定義の条件 8 であり, 左の図式は補題 6 である. 命題 17 の F を y() もしくは B(, ) で表す. 証明から明らかに系 18. B が strict 2-ctegory のとき y(): B op Ct は strict 2-nctor である. B の 1-morphism : と s B を取る.M s : B(, ) B(s, ) B(s, ) は関手だから y() s : M s (, ) : B(s, ) B(s, ) も関手である. 命題 19. y(): y() y() は psedontrl trnsormtion である. 証明. 34

35 s, t B に対して自然同型 y() Ct(B(s, ), B(t, )) y() s B op (s, t) y() st Ct(B(s, ), B(t, )) y() Ct(B(s, ), B(t, )) y() t を定義しなければならない. もしこのような y() st が存在すれば,p: t s に対し て y() st p : ( p) ( ) ( ) ( p) は自然同型である. よって g : s に対して (y() st p ) g : ( g) p (g p) は B の 2-morphism である. s, t B を対象,t p s g を 1-morphism とする.(y() p ) g : α gp と置く.α が自 然同型だから y() p は自然同型であり,y() も自然同型である. 条件 3 を示す.p: t s,q : r t に対して次の自然変換の等式を示せばよい. B(s, ) B(s, ) B(s, ) B(s, ) (p q) p p φ qp q B(t, ) B(t, ) B(r, ) B(r, ) y()p y()q q (p q) (p q) y() p q φ qp B(r, ) B(r, ) p B(t, ) q 即ち,g : s に対して B での等式 ( α gpq ) α,g p,q (α gp q) α,g,p q α g,p,q を示せばよいが, これは ictegory の定義の条件 7 から成り立つ. 条件 4 を示す.s B に対して自然変換の等式 B(s, ) B(s, ) id id s ρ 1 id B(s, ) B(s, ) id s B(s, ) B(s, ) y() id s id s ρ 1 id B(s, ) B(s, ) 35

36 を示せばよい. 即ち g : s に対して ρ 1 g α,g,ids ρ 1 g を示せばよい. α,g,id ( g) id (g id ) ρ g g ρ g これは補題 6 より成り立つ. 定理 20. 上記で定めた y(), y() は psedonctor y : B B を与える. これを米田埋込と呼ぶ. 証明. その為にはまず φ c と ψ を定義しなければならない.φ c は次の自然同型であった. B(, c) B(, ) y y B(y(), y(c)) B(y(), y()) B(, c) M y()y()y(c) φ c B(y(), y(c)) M c y よって B の 1-morphism :,g : c に対して φ c g は modiiction y(g) y() y(g ) である.y の定義より,s B に対して (φ c g ) s : (g ) ( ) (g ) : B(s, ) B(s, c) は自然変換で,h: s に対して ((φ c g ) s ) h : g ( h) (g ) h: s c は B の 2-morphism である. また ψ : id y() y(id ) は modiiction id y() id : y() y() である. よって s B に対して ψ s : id id : B(s, ) B(s, ) は自然変換である. s h g c に対して ((φ g ) s ) h : (α gh ) 1 と定義する.α が自然同型だから (φ g ) s も自然同型である. φ g : y(g) y() y(g ): y() y(c) は同型な modiiction である. 36

37 ... ) 1-morphism p: t s に対して次の自然変換の等号を示せばよい. B(s, ) B(t, ) y() p p B(s, ) p B(t, ) (g ) g y(g) p B(s, c) p g (φ g ) t B(t, c) B(s, ) B(s, ) B(s, c) p (g ) p y(g ) p B(t, ) B(t, c) (g ) (φ g ) s g 即ち,h B(s, ) に対して α 1 g,,h p (g α hp) α g, h,p α g,h,p (α 1 gh p) を 示せばよいが, それは ictegory の定義の条件 7 から成り立つ. φ は自然同型である.... ) β : :,γ : g g : c とする. 次が可換であることを示せば よい. y(γ) y(β) φ g y(g) y() y(g ) y(γ β) y(g ) y( ) y(g ) φ g 即ち s B に対して, 自然変換の図式 (φ g ) s (g ) ( ) (g ) y(γ) y(β) s y(γ β) s (g ) ( ) (g ) (φ g ) s の可換性を示せばよい. 故に,k : s に対して g ( k) α 1 gk (g ) k γ (β k) (γ β) k g ( k) (g ) k α 1 g k 37

38 の可換性を示せばよい. これは α が自然同型であることから明らか. : s に対して (ψs ) : λ 1 : id と置く.λ が自然同型だから,ψs も自然 同型である.ψ は modiiction である.... ) p: t s に対して自然変換の等式 id B(s, ) B(s, ) id p p id p B(t, ) B(t, ) ψ t id id B(s, ) B(s, ) ψ s p id p (id ) p B(t, ) B(t, ) id を示せばよい. 即ち g : s に対して λ 1 g p α id,g,p (λ 1 g p) を示せばよい. α id,g,p (id g) p id (g p) λ g p g p λ g p これは補題 7 より成り立つ. 条件 5 を示す. g c h d に対して φ hg y() φ h g, (y(h) y(g)) y() y(h g) y() y((h g) ) α y(h) (y(g) y()) y(h) y(g ) y(h (g )) y(h) φ g φ h,g y(α) が可換であることを示せばよい. 即ち s B,k : s に対して α 1 α 1 h,g, k h g,,k h (g ( k)) (h g) ( k) ((h g) ) k h (g ( k)) h ((g ) k) (h (g )) k h α 1 gk α 1 h,g,k α hg k が可換となればよいが, それは ictegory の定義の条件 7 から分かる. 38

39 条件 6 を示す. まず : に対して次の等号を示す. y() ψ id y() y() id y() y() y() φ id, y(id ) y(λ ) y(id ) y() y() y() λ y() y() y() y() その為には s B に対して次の自然変換の等号を示せばよい. B(s, ) ψ s id B(s,) B(s, ) id B(s,) (φ id,)s (id ) B(s, ) B(s, ) λ id B(s, ) B(s, ) 即ち,g : s に対して (λ g) α 1 id,,g λ 1 g id を示せばよい. α id,,g (id ) g id ( g) λ g g λ g これは補題 7 より成り立つ.ρ についても同様で, : に対して id y() ψ y() id y() y() y() y(id ) φ,id y( id ) y(ρ ) y() y() y() ρ y() y() y() y() y() 39

40 即ち s B に対して id B(s,) ψ s B(s, ) id B(s,) B(s, ) id (φ,id ) s ( id ) B(s, ) B(s, ) ρ B(s, ) B(s, ) を示せばよい. 従って g : s に対して (ρ g) α 1,id,g よい. α,id,g ( id ) g (id g) ( λ 1 g ) id を示せば ρ g g λ g これは ictegory の定義の条件 8 である. 命題 21. A, B, C を ictegory,f : A B,G: B C を psedonctor とする. このとき A の β : g : に対して GF () : G(F ()) GF () : G(F ()) GF (β) : G(F (β)) と定義すれば psedonctor GF : A C が得られる. 証明. その為には自然同型 A(, c) A(, ) GF GF M C(GF, GF c) C(GF, GF ) A(, c) φ c M C(GF, GF c) GF 40

41 と同型 ψ : id GF GF (id ) を定義しなければならない. もしこのような φ c が 存在すれば, g c に対して φ c g : GF (g) GF () GF (g ) は同型な 2-morphism である. psedonctor F : A B,G: B C が与える自然同型を φ F,φ G と書くことにする. F F A(, c) A(, ) B(F, F c) B(F, F ) A(, c) M φ F B(F, F c) M F G G B(, c) B(, ) C(G, Gc) C(G, G) B(, c) M φ G C(G, Gc) M G この二つの合成 F F A(, c) A(, ) B(F, F c) B(F, F ) A(, c) G G C(GF, GF c) C(GF, GF ) M φ G C(GF, GF c) M φ F B(F, F c) G M F を φ GF と定める. また F, G が与える同型な 2-morphism を ψ F,ψ G と書く. このとき A に対して ψ GF : G(ψ F ) ψ G : id GF G(id F ) GF (id ) と定める. これらが psedonctor の定義を満たすことを示す. まず条件 5 を示す. 即ち,A の 1-morphism g c h d に対して次の C(GF, GF d) での図式が可換であることを 41

42 示せばよい.(φ の下付きの添え字は省略した.) φ GF GF (GF h GF g) GF GF (h g) GF GF ((h g) ) φ G GF ( ) ( ) G(φ F ) GF φ G G(φ F ) G(F h F g) GF G(F (h g) F ) (φ G ) G((F h F g) F ) (G) (F ) G(F h (F g F )) (φ GF h G(F g F ) G ) G(F h F (g )) ( ) φ G ( ) G(φ F ) GF h (GF g GF ) GF h GF (g ) GF (h (g )) φ GF φ G G(φ F F ) α G(α) GF (α) φ G G(F h φ F ) GF h φ G GF h G(φ F ) GF h φ GF φ GF ( ) の部分は φ GF の定義だからよい.(F ), (G) は F, G が psedonctor だから可換である.(φ G ) は φ G が自然変換であるから可換である. 条件 6 を示す. 即ち : に対して次の C(GF, GF ) の図式が可換であることを示す. id GF GF λ GF GF GF id GF ρ GF GF ψ GF GF GF (id ) GF φ GF id, GF (λ ) GF (id ) GF ψ GF GF (ρ ) GF GF (id ) GF ( id ) φ GF,id まず左の図式については, 次の図式が可換であることを示せばよい. ψ GF GF id GF GF ( ) ψ G GF λ GF GF G(λ F ) G(id F ) GF G(id F F ) G(ψ F ) GF (G) φ G id F,F G(ψ F F ) (φ G ) GF (id ) GF G(F (id ) F ) GF (id ) φ G F id,f ( ) (F ) G(φ F id, ) GF (λ ) φ GF id, 42

43 ( ) は定義,(F ), (G) は psedonctor の定義の条件 6,(φ G ) は φ G の自然性により可換 となる. 右の図式についても同様で GF ψ GF GF id GF ( ) GF ψ G ρ GF (G) GF G(ρ F ) GF G(id F ) G(F id F ) GF G(ψ F ) φ G F,id F G(F ψ F ) (F ) GF (ρ ) (φ G ) GF GF (id ) G(F F (id )) GF ( id ) φ G F,F id ( ) φ GF,id G(φ F,id ) が可換となり成り立つ. 故に psedonctor F : B op Ct に対して, 合成 B(y( ), F ) : (B op y op op B(,F ) ( B) Ct) も psedonctor である. B は strict 2-ctegory だから B(, F ) は strict 2-nctor と なり ( 系 18), B(y( ), F ) の自然同型 φ は c g に対して φ g yop B(φ g, F ) ( φy g ): ( y(g)) ( y()) ( y( g)) で与えられる. y op y op B op (, c) B op (, ) ( B) op (y(), y(c)) ( B) op (y(), y()) B op (, c) B(,F ) B(,F ) Ct( B(y(), F ), B(y(c), F )) Ct( B(y(), F ), B(y(), F )) M id M Ct( B(y(), F ), B(y(c), F )) φ yop ( B) op (y(), y(c)) B(,F ) M y op 即ち σ : y() F に対して (φ g ) σ σ φ y g : (σ y(g)) y() σ y( g): y() F 43

44 である.d B に対して ( ) (σ y(g)) y() d σ d y(g) d y() d σ d (g ) ( ) ( ) σ y( g) d σ d y( g) d σ d (( g) ) だから ((φ g ) σ ) d : σ d (g ) ( ) σ d (( g) ): B(d, c) F d であり, h: d c に対して (((φ g ) σ ) d ) h : σ d (g ( h)) σ d ((g ) h) となる. 定義より となる. (((φ g ) σ ) d ) h (σ φ y g ) d) h (σ d (φ y g ) d) h σ d (((φ y g ) d) h ) σ d (α 1 gh ) 定義. ictegory B の対象, B が同値 ある 1-morphism :,g : と,2-morphism id g, g id が 存在する. 例 22. Ct における同値とは圏同値のことである. 今の目標である 米田の補題 とは, B の対象 B(y( ), F ) と F が同値となることを主 張する. これを示すため, まずはこの同値を与える θ : B(y( ), F ) F を定義する. 補題 23. B を ictegory,f : B op Ct を psedonctor とする. 対象 B に対 して関手 θ : B(y(), F ) F を以下のように定める. σ : y() F に対して θ (σ) : σ (id ). Γ: σ τ : y() F に対して θ (Γ) : (Γ ) id. y() Γ F B(, ) Γ F τ τ σ σ σ (id ) τ (id ) (Γ ) id この θ は psedontrl trnsormtion B(y( ), F ) F を与える. 証明. 44

45 その為には, B に対して自然同型 F B op (, ) Ct(F, F ) Ct( B(y(), F ), B(y(), F )) θ θ Ct( B(y(), F ), F ) B(y( ),F ) θ を定義しなければならない. もしこのような θ が存在すれば, : に対して θ B(y(), F ) F B(y(), F ) F θ F θ B(y(),F ) y() は自然同型である. よって σ B(y(), F ) に対して は圏 F の同型射である. ここで である. (θ ) σ : F (θ (σ)) θ (σ y()) F (θ (σ)) F (σ (id )) θ (σ y()) (σ y()) (id ) (σ y() )(id ) σ ( id ), B を対象,σ : y() F を psedontrl trnsormtion とすると次の自然同 型が与えられる. F B op (, ) Ct(F, F ) Ct ( B(, ), B(, ) ) σ σ Ct ( B(, ), F ) y() σ 45

46 即ち : に対して自然同型 σ B(, ) F B(, ) F σ F σ が成り立つ.id B(, ) を考えれば圏 F の同型 を得る. そこで圏 F の射 (θ ) σ を合成 (σ ) id : F (σ (id )) σ (id ) F (σ (id )) (σ ) id σ (id ) σ (λ ) σ () σ (ρ 1 ) σ ( id ) で定義する. 上で注意したように,(θ ) σ : F (θ (σ)) θ (σ y()) である. これは自然同型 θ : F θ θ ( y()) を与える. θ B(y(), F ) F B(y(), F ) F θ F θ y()... ) σ, τ B(y(), F ) として Γ: σ τ を modiiction とする. 圏 F における次 の図式の可換性を示せばよい. F (θ (σ)) F (θ (Γ)) F (θ (τ)) (θ ) σ (θ ) τ θ (σ y()) θ (Γ y()) θ (τ y()) 46

47 定義より θ (Γ y()) ((Γ y()) ) id (Γ y() ) id (θ (Γ ) y() (id ) (Γ ) id ) σ σ (ρ 1 ) σ (λ ) (σ ) id (θ ) τ τ (ρ 1 ) τ (λ ) (τ ) id F (θ (Γ)) F ((Γ ) id ) である.( ここで, 圏 F における合成を赤色の記号 で表した. 以降, このような合 成はこの記号で表す.) よって (Γ ) id σ (ρ 1 ) σ (λ ) (σ ) id τ (ρ 1 ) τ (λ ) (τ ) id F ((Γ ) id ) を示せばよい. 今 Γ: σ τ が modiiction だから B(, ) B(, ) σ σ σ τ F F Γ F B(, ) B(, ) σ τ τ τ Γ F F F となり (Γ ) id (σ ) id 然変換だから (τ ) id F ((Γ ) id ) である. また Γ : σ τ は自 σ (id ) (Γ ) id τ (id ) σ (λ ) σ () τ () τ (λ ) σ (ρ 1 ) (Γ ) τ (ρ 1 ) σ ( id ) τ ( id ) (Γ ) id 47

48 が可換である. この二つを組み合わせて可換図式 F ((Γ ) id ) F (σ (id )) F (τ (id )) (σ ) id σ (id ) σ (λ ) σ () (Γ ) id τ (id ) τ () (τ ) id τ (λ ) σ (ρ 1 ) (Γ ) τ (ρ 1 ) σ ( id ) τ ( id ) (Γ ) id を得る. この外側の四角が今示したかった可換性である. この θ が自然同型 θ を与える. F B op (, ) Ct(F, F ) Ct( B(y(), F ), B(y(), F )) θ θ Ct( B(y(), F ), F ) B(y( ),F ) θ... ) β : g : を 2-morphism とする. 次が可換であることを示せばよい. θ F θ θ ( y()) β F β θ θ ( y(β)) g F g θ θ ( y(g)) θ g その為には σ B(y(), F ) に対して (θ ( y(β))) σ (θ ) σ (θ g ) σ ((F β) θ ) σ 48

49 を示せばよい. 定義より となるから (θ ( y(β))) σ θ (( y(β)) σ ) θ (σ y(β)) (θ (θ を示せばよい. まず σ (σ y(β)) (id ) (σ y(β) )(id ) σ (β id ) ) σ σ (ρ 1 ) σ (λ ) (σ ) id g ) σ σ (ρ 1 g ) σ (λ g ) (σg ) id ((F β) θ ) σ (F β) θ (σ) (F β) σ (id ) σ (β id ) σ (ρ 1 ) σ (λ ) (σ ) id σ (ρ 1 g ) σ (λ g ) (σg ) id (F β) σ (id ) が について自然だから σ F σ σ ( ) β F β σ σ ( β) g F g σ σ ( g) σ g は可換である. また λ, ρ は自然同型だから λ ρ 1 id id id β β β id id g g id λ g ρ 1 g も可換である. この二つから可換図式 F (σ (id )) σ (id ) σ () σ ( id ) F β σ (id) (σ σ (id β) σ (λ ) σ (β) F g(σ (id )) σ (id g) σ (g) σ (g id ) (σ g ) id ) id σ (λ g ) σ (ρ 1 ) σ (ρ 1 g ) σ (β id ) が得られる. この外側の四角が今示したかった可換性である. 49

50 θ が psedontrl trnsormtion であることを示すため, まず条件 3 を示す.c g に対して自然変換の等式 B(y(), F ) y() θ θ F F B(y(), F ) θ F F y( g) B(y(), F ) B(y(c), F ) y(g) θ c θ g θ φ g F c F F g y( g) F ( g) B(y(c), F ) θ g θ c φ g F c F F g を示せばよい. 即ち σ B(y(), F ) に対して, 圏 F c での等式 を示せばよい. 定義より θ c ((φ g ) σ ) (θ g ) σ y() F g((θ ) σ ) (θ g ) σ (φ g ) θ (σ) θ c ((φ g ) σ ) (((φ g ) σ ) c ) idc σ c (α 1,g,id c ) (θ g ) (σ y()) σ y() c(ρ 1 g ) (σ y()) c (λ g ) ((σ y()) g ) id σ c ( ρ 1 g ) σ c ( λ g ) σ c (α,id,g) (σ g ) id σ c ( ρ 1 ( g ) σ c ( λg ) α,id,g) (σg ) id σ c ( ρ 1 g ) σ c (ρ g) (σ g ) id F g((θ ) σ ) F g(σ (ρ 1 ) σ (λ ) (σ ) id ) だから示すべき等式は (θ g ) σ σ c (ρ 1 g ) σ c(λ g ) (σ g ) id (φ g ) θ (σ) (φ g ) σ (id ) σ c (α 1,g,id c ) σ c ( ρ 1 g ) σ c (ρ g) (σ g ) id F g(σ (ρ 1 )) F g(σ (λ )) F g((σ ) id ) σ c (ρ 1 g ) σ c(λ g ) (σ g ) id (φ g ) σ (id ) である. 補題 6 より σ c (α 1,g,id c ) σ c ( ρ 1 g ) σ c (ρ 1 g ) だから σ c (ρ g) (σ g ) id F g(σ (ρ 1 )) F g(σ (λ )) F g((σ ) id ) σ c (λ g ) (σ g ) id (φ g ) σ (id ) 50

51 を示せばよい. まず σ g : F g σ σ s ( g) が自然変換だから (σ g ) id F g(σ (id )) σ s ((id ) g) F g(σ (λ )) σ s (λ g) F g(σ ()) σ s ( g) F g(σ (ρ )) (σ g ) σ s (ρ g) F g(σ ( id )) σ s (( id ) g) (σ g ) id が可換である. 次に σ が psedontrl trnsormtion だから次の自然変換の等号が成 り立つ. B(, ) σ σ F F B(, ) σ F F ( g) g B(c, ) B(, ) σ g σ c σ α g F c F F g ( g) F ( g) B(c, ) σ g σ c φ g F c F F g 故に id B(, ) を考えれば次が可換である. (φ g ) σ (id) F g(f (σ (id ))) F ( g)(σ (id )) (σ g ) id F g((σ ) id ) σ s (id ( g)) σ s (α id,,g) F g(σ (id )) σ s ((id ) g) (σ g ) id 51

52 この二つと補題 7 を組み合わせて (φ g ) σ (id) F g(f (σ (id ))) F ( g)(σ (id )) (σ g ) id F g((σ ) id ) σ s (α 1 id,,g ) σ s (id ( g)) F g(σ (id )) σ s ((id ) g) F g(σ (λ )) F g(σ (ρ 1 )) (σ g ) id σ s (λ g) F g(σ ()) σ s ( g) (σ g ) σ s (ρ g) F g(σ ( id )) σ s (( id ) g) (σ g ) id σ s (λ g ) を得る. この外側の四角が今示したい可換性である. 条件 4 を示す. 即ち次の自然変換の等式を示せばよい. B(y(), F ) θ F B(y(), F ) θ F y(id ) id θ id F ψ B(y(), F ) θ F y(id ) B(y(), F ) θid ψ F (id ) θ F id F 即ち σ B(y(), F ) に対して, 圏 F での等式 を示せばよい. 定義より θ (σ ψ) (θ id ) σ ψ θ (σ) θ (σ ψ) ((σ ψ) ) id (σ ψ ) id σ ((ψ ) id ) σ (λ 1 id ) (θ id ) σ σ (ρ 1 id ) σ (λ id ) (σ id ) id ψ θ (σ) ψ σ (id ) で, 補題 8 より λ id ρ id だから σ (λ 1 id ) (σ id ) id ψ σ (id ) を示せばよい. これは 52

53 σ : y() F が psedontrl trnsormtion だから B(, ) B(, ) σ F σ id id λ 1 id F σ F id B(, ) σ id B(, ) F (id ) σ σ ψ F F id F となり成り立つ. さて, 米田の補題 を示すためには, 今定義した θ の 逆 ω : F B(y( ), F ) を定義しなければならない. ひとまずこのような psedontrl trnsormtion が存在するとしよう. すると B に対して ω : F B(y(), F ) は関手である. よって対象 F に対して ω (): y() F は psedontrl trnsormtion である. 即ち B の 1-morphism p: t s に対して ω () s : B(s, ) F s は関手で,ω () p は自然同型 ω () s B(s, ) F s B(t, ) F p ω () p F t p ω () t である. つまり g : s に対して (ω () p ) g : F p(ω () s (g)) ω () t (g p) は F t の射である. さて,, s B, F とする. 関手 ω () s : B(s, ) F s を g : s に対して ω () s (g) : F g(). β : g h: s に対して ω () s (β) : (F β). g F g F g() h β s F F h F β F s F h() (F β) により定義することができる.... ) F が psedonctor だから F : B(s, ) Ct(F, F s) は関手である. 故に F (γ β) F γ F β,f (id) id となるので ω () s (γ β) ω () s (β) ω () s (β) と ω () s (id) id が分かる. 53

54 これにより ω (): y() F は psedontrl trnsormtion になる.... ) g : s と p: t s に対して次が成り立つ. ω () t (g p) F (g p)() F p(f g()) F p(ω () s (g)). そこで (ω () p ) g : (φ pg ) と定義する.ω () p : F p ω () s ω () t ( p) は 自然変換である.... ) β : g h: s に対して, 圏 F t の図式 (ω () p ) g F p(ω () s (g)) ω () t (g p) F p(ω () (β)) ω () c (β p) F p(ω () s (h)) ω () t (h p) (ω () p ) h が可換であることを示せばよい. 定義より F p(f g()) F p((f β) ) F p(f h()) (φ pg ) (φ ph ) F (g p)() F (β p) F (h p)() の可換性, 即ち F p F g φ pg F (g p) F p F β F p F h F (h p) φ ph F (β p) の可換性を示せばよいが, これは φ が自然変換だから成り立つ. psedontrl trnsormtion の条件 3 を示す. つまり r q t p s に対して自然 54

55 変換の等式 B(s, ) p ω () s ω () p F s F p B(s, ) ω () s F s F p (p q) α 1 q B(r, ) B(t, ) ω () q ω () r ω () t F r F t pq F q (p q) ω () p q F (p q) B(r, ) ω () r φ qp F r F t F q を示せばよい. 即ち g B(s, ) に対して, 圏 F r での等式 ω () r (α 1 gpq) (ω () q ) g p F q((ω () p ) g ) (ω () p q ) g (φ qp ) ω () s (g) を示す. 定義より ω () r (α 1 gpq) (F α 1 gpq) (ω () q ) g p (φ q,g p ) F q((ω () p ) g ) F q((φ pg ) ) (ω () p q ) g (φ p q,g ) (φ qp ) ω () s (g) (φ qp ) F g() であるが,F : B op Ct が psedonctor だから条件 5 より となるので 3 が成り立つ. F (α gpq ) φ p q,g (φ qp F g) φ q,g p (F q φ pg ) 条件 4 を示す.s B に対して次の自然変換の等式 B(s, ) ω () s F s B(s, ) ω () s F s id id id F ψs B(s, ) ω () s ω () s F s id ω()id B(s, ) ψ s F (id ) ω () s F s id F を示す. 即ち g : s に対して ω () s (ρ 1 g ) (ω () id ) g ψω s () s (g) を示す. 定 55

56 義より ω () s (ρ 1 g ) (F ρ 1 g ) (ω () id ) g (φ id,g) ψ s ω () s (g) ψs F g() であるが,F が psedonctor だから条件 6 より F (ρ g ) φ id,g (ψ s F g) id と なり,4 が成り立つ. ω : F B(y(), F ) が関手となることを示そう. その為には F の射 k : v に対 して modiiction ω (k): ω () ω (v): y() F を定義する必要がある. g : s に対して,F s の射 (ω (k) s ) g : (ω () s )(g) F g() F g(v) (ω (v) s )(g) を (ω (k) s ) g : F g(k) で定める.ω (k) s : ω () s ω (v) s : B(s, ) F s は自然変換 である.... ) β : g h に対して次が可換であることを示せばよい. ω () s (g) (ω (k) s ) g ω (v) s (g) ω () s (β) ω (v) s (β) ω () s (h) (ω (k) s ) h ω (v) s (h) これは定義より F g() F g(k) F g(v) (F β) (F β) v F h() F g(h) F h(v) となるから,F β : F g F h が自然変換であることより可換である. これにより ω (k): ω () ω (v): y() F は modiiction となる. 56

57 ... ) p: t s に対して自然変換の等式 ω () s ω () s B(s, ) ω () p F s B(s, ) ω (k) s F s p B(t, ) ω () t F p ω (k) t F t p ω (v) s B(t, ) ω (v) p F t F p ω (v) t ω (v) t を示せばよい. 即ち g : s に対して, 圏 F t での等式 (ω (k) t ) g p (ω () p ) g (ω (v) p ) g F p((ω (k) s ) g ) を示せばよい. 定義より (ω (k) t ) g p F (g p)(k) (ω () p ) g (φ pg ) (ω (v) p ) g (φ pg ) v F p((ω (k) s ) g ) F p(f g(k)) だから F (g p)(k) (φ pg ) (φ pg ) v (F p(f g(k))) を示せばよいが, これは F が psedonctor だからよい. 定義から明らかに ω : F B(y(), F ) は関手である. ω : F B(y( ), F ) が psedontrl trnsormtion であることを示そう. その為には, B に対して自然同型 B(y( ),F ) B op (, ) Ct( B(y(), F ), B(y(), F )) Ct(F, F ) ω ω F Ct(F, B(y(), F )) ω を定義しなければならない. もしこのような ω が存在すれば, : に対して 57

58 自然同型 ω F F B(y(), F ) y() ω B(y(), F ) ω F が得られる. よって対象 F に対して (ω ) : ω () y() ω (F ()): y() F は同型な modiiction である. 故に s B に対して ((ω ) ) s : ω () s ( ) ω (F ()) s : B(s, ) F s は自然同型となる. 従って g : s に対して (((ω ) ) s ) g : ω () s ( g) ω (F ()) s (g) は圏 F s の射である.ω の定義から (((ω ) ) s ) g : F ( g)() F g(f ()) で ある.,, s B と s g に対して (((ω ) ) s ) g : (φ 1 g ) と定義する. 先と同様にし て, これは自然同型 ((ω ) ) s : ω () s ( ) ω (F ()) s を定めることが分かる. (ω ) : ω () y() ω (F ()) は modiiction である.... ) p: t s に対して自然変換の等式 B(s, ) B(t, ) α p p B(s, ) B(t, ) ω () s F s ω () p p F p ω () t ((ω ) ) t ω (F ()) t F t B(s, ) B(t, ) B(s, ) F s ω (F ()) p s F p ω (F ()) p ((ω ) ) s ω (F ()) t ω () s F t を示せばよい. 即ち g : s に対して, 圏 F t での等式 (((ω ) ) t ) g p ω () t (α gp ) (ω () p ) g (ω (F ()) p ) g F p((((ω ) ) s ) g ) 58

59 を示せばよい. 定義から (((ω ) ) t ) g p (φ 1 g p, ) ω () t (α gp ) (F α gp ) (ω () p ) g (φ p, g ) (ω (F ()) p ) g (φ pg ) F () F p((((ω ) ) s ) g ) F p((φ 1 g ) ) であるが,F : B op Ct が psedonctor だから条件 5 より となり成り立つ. F (α 1 gp ) φ g p, (φ pg F ) φ p, g (F p φ g ) ω : ( y()) ω ω F は自然同型である.... ) その為には F の射 k : v に対して ω (k) y() ω () y() ω (v) y() (ω ) (ω ) v ω (F ()) ω (F (v)) ω (F (k)) が可換であることを示せばよい. その為には s B に対して, 自然変換の可換図式 ((ω ) ) s ω () s ( ) ω (F ()) s ω (k) s ( ) ω (F (k)) s ω (v) s ( ) ω (F (v)) s ((ω ) v ) s を示せばよい. 即ち g : s に対して, 圏 F s での図式 F ( g)() F ( g)(k) F ( g)(v) (φ 1 g ) (φ 1 g ) v F g(f ()) F g(f (k)) F g(f (v)) 59

60 の可換性を示せばよいが, これは φ 1 g : F ( g) F g F が自然同型であること から明らか. あとは ω : F B(y( ), F ) が psedontrl trnsormtion であることを示せばよ い. まず条件 3 を示す.c g に対して自然変換の等式 ω F B(y(), F ) ω F B(y(), F ) F ω y() y() F ( g) ω φ g F g F B(y(), F ) ω g y(g) F ( g) y( g) ω g φ g B(y(), F ) y(g) F c B(y(c), F ) ω c F c B(y(c), F ) ω c を示せばよい. 即ち, F に対して modiiction の等式 ω c ((φ g ) ) (ω g ) F () ((ω ) y(g)) (ω g ) (φ g ) ω () を示せばよい. つまり s B と h: s c に対して, 圏 F s での等式 を示せばよい. 定義より ((ω c ((φ g ) )) s ) h (((ω g ) F () ) s ) h (((ω ) y(g)) s ) h (((ω g ) ) s ) h (((φ g ) ω ()) s ) h ((ω c ((φ g ) )) s ) h F h((φ g ) ) (((ω g ) F () ) s ) h (φ 1 h,g ) F () (((ω ) y(g)) s ) h (((ω ) ) s y(g) s ) h (((ω ) ) s ) y(g)s (h) (((ω ) ) s ) g h (φ 1 g h, ) (((ω g ) ) s ) h (φ 1 h, g ) (((φ g ) ω ()) s ) h ω () s (α 1 gh ) (F (α 1 gh )) であるが,F : B op Ct が psedonctor だから条件 5 より となり成り立つ. F (α 1 gh ) φ g h, (φ hg F ) φ h, g (F h φ g ) 60

61 最後に条件 4 を示す. B に対して自然変換の等号 ω F B(y(), F ) ω F B(y(), F ) F (id ) id F ω id ψ F B(y(), F ) ω F id ω id y(id ) ψ id F B(y(), F ) ω を示せばよい. 即ち, F に対して ω (ψ ) (ω id ) ψ ω () を示せばよい. 定義 より だからこれは成立する. 以上により次の補題が得られた. ((ω (ψ )) s ) g F g(ψ ) (((ω id ) ) s ) g (φ 1 g,id ) ((ψ ω ()) s ) g F (id g)() 補題 24. 上記のように定義された ω : F B(y( ), F ) は psedontrl trnsormtion である. 定義を復習しておくと,,, s, t B, :,β : g h: s,p: t s, Γ: σ τ : y() F : B op Ct,, v F,k : v として θ : B(y( ), F ) F は psedontrl trnsormtion である. θ (σ) : σ (id ). θ (Γ) : (Γ ) id. (θ ) σ : σ (ρ 1 ) σ (λ ) (σ ) id. ω : F B(y( ), F ) は psedontrl trnsormtion である. ω () s (g) : F g(). ω () s (β) : (F β). (ω () p ) g : (φ pg ). (ω (k) s ) g : F g(k). (((ω ) ) s ) g : (φ 1 g ). さて, 我々が示したい 米田の補題 とは, B(y( ), F ) と F が (ictegory B の対 象として ) 同値であることである. 即ち, 先の補題で定義した θ : B(y( ), F ) F と 61

62 ω : F B(y( ), F ) に対して, 同型な modiiction Σ: ω θ id と : id θ ω を 定義すればよい. まずそのような : id θ ω が存在したとする. B に対して : id θ ω : F F は自然変換である. よって F に対して ( ) : θ (ω ()) は F の射である. 定義より θ (ω ()) ω () (id ) F (id )() となる. そこで B, F に対して ( ) : ψ : F (id )() と定義する.ψ は自然 同型だから も自然同型である. : id θ ω は同型な modiiction である.... ) : に対して自然変換の等号 F F F ω id F id F B(y(), F ) id F F θ F F F F B(y(), F ) B(y(), F ) F ω θ F ω ω id F y() θ θ F を示せばよい. 即ち F に対して, 圏 F での等式 を示せばよい. 定義より ( ) F () θ ((ω ) ) (θ ) ω () F (( ) ) だから, 圏 F での等式 ( ) F () ψ F () θ ((ω ) ) (((ω ) ) ) id (φ 1 id, ) (θ ) ω () ω () (ρ 1 ) ω () (λ ) (ω () ) id (F ρ 1 ) (F λ ) (φ,id ) F (( ) ) F (ψ ) ψ F () (φ 1 id, ) (F ρ 1 ) (F λ ) (φ,id ) F (ψ ) 62

63 を示せばよい. 今 F : B op Ct が psedonctor だから F ψ id F F id F F φ id, F (id ) F F F ( id ) F (ρ ) F F F F F id F ψ F id F F F (id ) φ,id F F F F (id ) F (λ ) F F F F F となり,(F ρ ) (φ id, ) ψ F () id F () (F λ ) (φ,id ) F (ψ ) だから成り立つ. 故に id θ ω である. よって, 後は同型な Σ: ω θ id を定義すればよい. そのような Σ が存在したとすると B に対して Σ : ω θ id: B(y(), F ) B(y(), F ) は自然変換である.σ B(y(), F ) に対して (Σ ) σ : ω θ (σ) σ : y() F は modiiction である.ω θ (σ) ω (σ (id )) であり,s B に対して ((Σ ) σ ) s : ω (σ (id )) s σ s : B(s, ) F s は自然変換である. 従って g : s に対して (((Σ ) σ ) s ) g : ω (σ (id )) s (g) σ s (g) 63

64 は圏 F s の射で ω (σ (id )) s (g) F g(σ (id )) となる. また σ は psedontrl trnsormtion だから自然同型 σ B(, ) F B(s, ) σ g g F g F s σ s が与えられている. そこで, s B,g : s,σ : y() F に対して (((Σ ) σ ) s ) g : σ s (λ g ) (σ g ) id : ω (σ (id )) s (g) F g(σ (id )) σ s (g) と定義する.((Σ ) σ ) s は自然同型である.... ) (((Σ ) σ ) s ) g は同型射である. よって β : g h: s に対して, 圏 F s の図式 ω (σ (id )) s (g) ω (σ (id )) s (β) ω (σ (id )) s (h) (((Σ ) σ ) s ) g (((Σ ) σ ) s ) h σ s (g) σ s (h) σ s (β) が可換であることを示せばよい. それには定義より (σ g ) id σ s (λ g ) F g(σ (id )) σ s (id g) σ s (g) (F β) σ (id) σ s (id β) σ s (β) F h(σ (id )) σ s (id h) σ s (h) (σ h ) id σ s (λ h ) が可換であることを示せばよいが, これは σ g と λ g が g について自然だから明らか. (Σ ) σ : ω θ (σ) σ は同型な modiiction である. 64

65 ... ) p: t s に対して自然変換の等号 B(s, ) p B(t, ) (ω θ (σ)) s (ω θ (σ)) p F s (ω θ (σ)) t F p ((Σ ) σ ) t F t B(s, ) p B(t, ) (ω θ (σ)) s ((Σ ) σ ) s σ p σ s F s F t F p σ t σ t を示せばよい. 即ち g : s に対して, 圏 F t での等式 を示せばよい. 定義より (((Σ ) σ ) t ) g p ((ω (θ (σ))) p ) g (σ p ) g F p((((σ ) σ ) s ) g ) (((Σ ) σ ) t ) g p σ t (λ g p ) (σ g p ) id ((ω (θ (σ))) p ) g ((ω (σ (id ))) p ) g (φ pg ) σ (id ) F p((((σ ) σ ) s ) g ) F p(σ s (λ g ) (σ g ) id ) だから, 圏 F t での等式 σ t (λ g p ) (σ g p ) id (φ pg ) σ (id ) (σ p ) g F p(σ s (λ g )) F p((σ g ) id ) を示せばよい. まず σ p : F p σ s σ t ( p) が自然変換だから (σ p ) id g F p(σ s (id g)) σ t ((id g) p) F g(σ s (λ g )) σ t (λ g p) F p(σ s (g)) σ t (g p) (σ p ) g が可換である. 次に σ : y() F が psedontrl trnsormtion だから自然変換 65

66 の等式 B(, ) g σ σ g F F g B(, ) σ F F g (g p) p B(t, ) B(s, ) σ p σ t σ s α gp F t F s F p (g p) F (g p) B(t, ) σg p σ t φ pg F t F s F p が成り立つ. よって id B(, ) を考えれば (φ pg ) σ (id) F p(f g(σ (id ))) F (g p)(σ (id )) (σ g p ) id F p((σ g ) id ) σ t (id (g p)) σ t (α id,g,p) F p(σ s (id g)) σ t ((id g) p) (σ p ) id g が可換となる. この二つと補題 7 を組み合わせて可換図式 (φ pg ) σ (id) F p(f g(σ (id ))) F (g p)(σ (id )) (σ g p ) id F p((σ g ) id ) σ t (α id,g,p) σ t (id (g p)) (σ p ) id g F p(σ s (id g)) σ t ((id g) p) σ t (λ g p ) F g(σ s (λ g )) F g(σ s ()) (σ p ) g σ t (λ g p) σ t (g p) を得る. 一番外側が今示したかった可換性である. Σ : ω θ id: B(y(), F ) B(y(), F ) は自然同型である. 66

67 ... ) Φ: σ τ : y() F を modiiction とする. 次の可換図式を示せばよい. ω (θ (Φ)) ω (θ (σ)) ω (θ (τ)) (Σ ) σ (Σ ) τ σ τ Φ 即ち s B,g : s に対して, 圏 F s の図式 ω (θ (σ)) s (g) (ω (θ (Φ)) s ) g ω (θ (τ)) s (g) (((Σ ) σ ) s ) g (((Σ ) τ ) s ) g σ s (g) τ s (g) (Φ s ) g が可換であることを示せばよい. 定義より (((Σ ) σ ) s ) g σ s (λ g ) (σ g ) id (((Σ ) τ ) s ) g τ s (λ g ) (τ g ) id (ω (θ (Φ)) s ) g (ω ((Φ ) id ) s ) g F g((φ ) id ) だから (σ g ) id σ s (λ g ) F g(σ (id )) σ s (id g) σ s (g) F g((φ ) id ) (Φ ) id g (Φ s ) g F g(τ (id )) σ s (id g) τ s (g) (τ g ) id τ s (λ g ) が可換であることを示せばよい. 左の四角は Φ: σ τ が modiiction だから σ σ B(, ) σ g F B(, ) Φ F g B(s, ) σ s F g Φ s F s g B(s, ) τ g τ F s F g σ t τ s 67

68 となり成り立つ. 右の四角は Φ s : σ s τ s が自然変換だから成り立つ. Σ: ω θ id: B(y( ), F ) B(y( ), F ) は同型な modiiction である.... ) : に対して自然変換の等号 B(y(), F ) y() B(y(), F ) θ θ θ F F id F ω B(y(), F ) ω ω y() Σ B(y(), F ) θ B(y(), F ) F B(y(), F ) id y() y() id B(y(), F ) B(y(), F ) id Σ ω を示せばよい. 即ち σ : y() F に対して modiiction の等式 (Σ ) σ y() ω ((θ ) σ ) (ω ) θ (σ) (Σ ) σ y() を示せばよい. 即ち s B,g : s に対して, 圏 F s の等式 (((Σ ) σ y() ) s ) g ((ω ((θ ) σ )) s ) g (((ω ) θ (σ)) s ) g (((Σ ) σ y()) s ) g を示せばよい. 定義より (((Σ ) σ y() ) s ) g (σ y()) s (λ g ) ((σ y()) g ) id σ s (y() s (λ g )) ( ) σ s ((y() g ) id ) (σ g ) y() (id ) (σ s ( λ g )) σ s (α,id,g) (σ g ) id σ s (( λ g ) α,id,g) (σ g ) id σ s (ρ g) (σ g ) id ((ω ((θ ) σ )) s ) g (ω (σ (ρ 1 ) σ (λ ) (σ ) id ) s ) g F g(σ (ρ 1 ) σ (λ ) (σ ) id ) (((ω ) θ (σ)) s ) g (((ω ) σ (id )) s ) g (φ 1 g ) σ (id ) (((Σ ) σ y()) s ) g (((Σ ) σ ) s y() s ) g (((Σ ) σ ) s ) y()s (g) (((Σ ) σ ) s ) g σ s (λ g ) (σ g ) id 68

69 だから, 圏 F s の等式 σ s (ρ g) (σ g ) id F g(σ (ρ 1 )) F g(σ (λ )) F g((σ ) id ) (φ 1 g ) σ (id ) σ s (λ g ) (σ g ) id を示せばよい. まず σ g : F g σ σ s ( g) が自然変換だから (σ g ) id F g(σ (id )) σ s ((id ) g) F g(σ (λ )) σ s (λ g) F g(σ ()) σ s ( g) F g(σ (ρ )) (σ g ) σ s (ρ g) F g(σ ( id )) σ s (( id ) g) (σ g ) id が可換である. 次に σ : y() F が psedontrl trnsormtion だったから B(, ) σ σ F F B(, ) σ F F (p q) g B(s, ) B(, ) σ g σ t σ s α g F s F F g ( g) F ( g) B(s, ) σ g σ t φ g F s F F g となる. よって id B(, ) を考えれば次が可換である. (φ g ) σ (id) F g(f (σ (id ))) F ( g)(σ (id )) (σ g ) id F g((σ ) id ) σ s (id ( g)) σ s (α id,,g) F g(σ (id )) σ s ((id ) g) (σ g ) id 69

70 この二つと補題 7 を組み合わせて可換図式 (φ 1 g ) σ(id) F g(f (σ (id ))) F ( g)(σ (id )) (σ g ) id F g((σ ) id ) σ s (α 1 id,,g ) σ s (id ( g)) F g(σ (id )) σ s ((id ) g) F g(σ (λ )) F g(σ (ρ 1 )) (σ g ) id σ s (λ g) F g(σ ()) σ s ( g) (σ g ) σ s (ρ g) F g(σ ( id )) σ s (( id ) g) (σ g ) id σ s (λ g ) を得る. この外側の四角が今示したかった可換性である. 以上により ω θ id が分かり, 次の定理が証明できた. 定理 25 ( 米田の補題 ). B を ictegory,f : B op Ct を psedonctor とすると き ictegory B での同値 B(y( ), F ) F が成り立つ. よって B に対して圏同値 B(y(), F ) F が成り立つ. 系 26. B を ictegory とする., B に対して y : B(, ) B(y(), y()) は圏同値 を与える. 証明. 米田の補題により B(y(), y()) y()() B(, ) である. この圏同値は, 米田 の補題の証明での記号を使うと ω : B(, ) B(y(), y()) で与えられる. 故に ω y を示せばよい. まず : に対して ω () y() を示す.s B に対して ω () s : B(s, ) B(s, ) であり, 定義より g : s に対して ω () s (g) y()(g)() g である. よって ω () y() となる. 次に β : : に対して ω (β) y(β) を示す.s B に対して ω (β) s : であり,g : s に対して (ω (β) s ) g (y()(g))(β) β g である. よっ て ω (β) y(β) となる. 70

71 3 Coherence 定義. ictegory B, C が ieqivlence ある psedonctor F : B C が存在して以下を満たす. (1) 任意の c C に対して, ある B が存在して, 同値 F c が成り立つ. (2) 任意の, B に対して F : B(, ) C(F, F ) は圏同値である. 定理 27 (coherence 定理 ). 任意の ictegory はある strict 2-ctegory と ieqivlence である. 証明. B を ictegory,y : B B を米田埋込とする.strict 2-ctegory C を以下のように定める. O(C) : {y() B} C(y(), y()) : B(y(), y()) このとき psedonctor y : B C が得られる. 明らかにこの y は対象に関して全射で, また各, B に対して y : B(, ) C(y(), y()) は系 26 により圏同値である. 系 28. α, λ, ρ から得られる図式は可換である. 即ち,σ, τ を α, λ, ρ を合成して作られた 2-morphism とするとき,dom(σ) dom(τ),cod(σ) cod(τ) ならば σ τ である. 証明. 定理 27 により strict 2-ctegory C と ieqivlence F : B C が存在する. このとき F (σ) F (τ) を示せばよい.... ) : dom(σ) として : dom(), : cod() とする.F は ieqivlence だから F : B(, ) C(F, F ) は圏同値, 従って忠実関手である. 故に σ, τ B(, ) だから,F (σ) F (τ) ならば σ τ である. σ β n β 0, τ γ m γ 0 β i : i s i i 0 i+1 s i+1 i+1 0 γ i : g i t i g i 0 g i+1 t i+1 g i

72 と書く. 次の図式を考える. F (β 0 ) F ( 0 s ) F (γ 0 ) F (s ) F (gt 1 1 g0) 1 F (s 0 0 ) F (0 0 ) β 0 F ( 1 s 1 ) F ( 1 0 ) F (g 1 t 1 ) F (g 1 0) γ F ( n 1 s n 1 ) F ( n 1 0 ) F (g m 1 t m 1 ) F (g n 1 0 ) β n γ m F ( F (s n 1 n 1 0 n 1 s n n ) F (0 n ) ) F (gt m 1 m 1 g n 1 0 ) F (β n ) F ( n s n n 0 ) F (γ m ) ここで となっている 1-morphism は,F が psedonctor であることから得られる同型である. また β i は,β i に現れる α, λ, ρ ( これらは B の α, λ, ρ である ) を C の α, λ, ρ に置き換えたものである.C の α, λ, ρ は全て id だから, この図式の真ん中は明らかに可換である. 故に F ( i s i i 0) F ( i s i ) F ( i 0) F (β i ) β i ( ) F ( i+1 s i+1 i+1 0 ) F ( i+1 s i+1 ) F ( i+1 0 ) が可換であることが分かれば, 一番外側が可換になり F (σ) F (τ) が分かる.F が psedonctor であるから, 次の 3 つの図式は可換である. F ((h g) ) F (h g) F () (F (h) F (g)) F () F (α) F (h (g )) F (h) F (g ) F (h) (F (g) F ()) α 72

73 F (id ) F (id) F () id F () F ( id) F (y) F (id) F () id F (λ) F () λ F () F (ρ) F () ρ F () 図式 ( ) はこれらの可換図式を組み合わせて得られるから, やはり可換である. 4 lx, oplx psedonctor の定義において,φ c と ψ が同型でなくともよい, としたものを lx 2-nctor という. 即ち定義. B, C を ictegory とする.lx 2-nctor F : B C とは以下を満たすことである. (1) 関数 F : O(B) O(C) が与えられている. (2) 各対象, B に対して関手 F : B(, ) C(F, F ) が与えられている. (3) 各対象,, c B に対して次の自然変換 φ c が与えられている. F c F B(, c) B(, ) M c C(F, F c) C(F, F ) B(, c) φ c F,F,F c M C(F, F c) F c (4) 各対象 B に対して C の 2-morphism ψ : id F F (id ) が与えられている. (5) B の 1-morphism g c h d に対して次の C(F, F d) の図式が可換である. φ hg F φ h g, (F h F g) F F (h g) F F ((h g) ) α F h,f g,f F (α hg ) F h (F g F ) F h F (g ) F (h (g )) F h φ g φ h,g 73