カルキング　印刷サンプル

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1 数 式 計 算 /ドキュメント 作 成 ソフト 数 式 / 文 書 / 作 図 / 表 / 関 数 グラフ/TeX/HTML 変 換 カ ル キ ン グ ( サンプル 集 ) Windows8.x/7/Vista 対 応 (/6bit) 科 学 / 技 術 計 算 / 教 育 / 統 計 0.5 Z X Y このサンプル 集 は すべて カルキング で 作 成 計 算 貼 り 付 け 編 集 印 刷 されたものです 株 式 会 社 シンプレックス 上 記 HPより 無 料 体 験 版 がダウンロードできます

2 目 次 ワ-プロ 編 集 機 能 カルキングの 計 算 及 び 印 刷 例 計 算 式 の 作 成 方 法 自 動 単 位 計 算 (SI 国 際 単 位 系 に 準 拠 ) 基 本 幾 何 教 育 応 用 基 本 演 算... 代 数 計 算 因 数 分 解... 方 程 式 ( 線 形 非 線 形 不 定 )... システム 定 数 システム 関 数 条 件 式... 6 数 式 エディタ 数 式 検 索 と 置 換 機 能... 論 理 計 算 多 項 式 の 属 性 関 数... 行 列 行 列 式 ベクトル 配 列 逆 行 列... 連 分 数 再 帰 関 数 演 算 子... 7 数 列 生 成 演 算 子 内 包 的 集 合... 9 微 分 積 分 極 限 計 算 微 分 方 程 式... ActiveX(OLE) 機 能 ユーザパレット... 関 数 グラフ(D D 陰 関 数 対 数 シーケンス) 6 作 図 機 能 立 体 図 展 開 図 平 面 図... Dグラフデータ 型 (X-Y-Z 軸 )... 5 交 差 円 筒 内 接 円 と 無 理 方 程 式... 7 入 試 問 題 作 成 例 ( 高 校 数 学 )... 9 冬 期 講 習 ( 高 校 物 理 )... 表 機 能 表 を 使 った 数 式 作 成... 7 スクリプト 例 プログラミング 機 能 CADとExcelへの 貼 り 付 け 連 携... 5 数 量 計 算 書 柱 型 枠 建 設 土 木 測 量 溶 接 5 側 圧 開 発 工 事 計 算 書 作 成 研 究 分 野... 6 材 料 力 学 インピーダンス プリント 基 板 回 路 計 算 固 有 値 エレベータ 設 計 トランジスタ 単 相 相 交 流 ブリッジ 回 路 7 アナログ 集 積 回 路 変 圧 器 オプトロニクス.. 77 部 品 検 査 成 績 表 工 程 表 燃 焼 無 段 伝 動 装 置 8 クラッチ エンジン ディーゼルサイクル 成 績 管 理 品 質 管 理 散 布 図 光 学 レンズ 光 の 屈 折 と 反 射... 9 統 計 SVDデータ 解 析 回 帰 分 析 正 準 相 関 分 析 経 常 収 支 分 析 Excelへのリンク 機 能... 0 HTML 変 換 例 プロフェッショナル 版 機 能 ( 一 部 P. P.7~9 P.~5 P.8にもあります) 線 形 計 画 法 高 速 フーリエ 計 算 各 種 展 開 と 部 分 分 数 分 解 Laplace 変 換 楕 円 積 分 応 用 行 列 構 成 演 算 子 直 和 分 解... LU 分 解 QR 分 解 Jordan 標 準 形... 5 ベクトル 解 析... 9 その 他 LaTeXソ-スファイルへの 変 換 例...

3 カルキング のワープロ 編 集 機 能 グリッド 単 位 でマウスクリック 可 能 可 変 括 弧 の 中 でも 改 行 接 続 が 可 能 A=,,,,,,,, 改 行 接 続 で A=,,,,, 5 6,,, 行 間 隔 の 制 御 指 定 した 文 字 数 での 自 動 折 り 返 し(ページ 境 界 折 り 返 しも 含 む) 表 のセル 内 でも 自 動 折 り 返 し 機 能 が 使 用 可 能 5 å k= = k ( 行 間 隔 が 広 い) 5 å k= = k ( 行 間 隔 が 狭 い) + 0 可 変 のアンダーライン オーバーライン 円 弧 ベクトル 記 述 ができる mn under AB over AB ¾ OA /. 角 文 字 のサポートでより 表 現 に 富 んだ 数 値 が 記 述 できる 柔 軟 性 に 富 んだ 部 分 選 択 領 域 の 微 調 整 機 能 のサポート abcdefghijklmn 微 調 整 機 能 を 実 行 すると 作 成 した 式 をそろえる 位 置 合 わせ 機 能 x + y = r x + y = r xe -5x dx=0.0 x-5 y= a x-5 y= a 左 端 をそろえる ó õ0 ó õ0 ¾¾ vector abcd ef ghij kl mn 9!!=95 中 心 をそろえる xe -5x dx =0.0 9!!=95

4 Windows8.x/7/Vista 対 応 (/6bit) カルキング の 計 算 及 び 印 刷 例 ActiveX(コンテナ/サーバ 対 応 ) 単 位 計 算 表 計 算 プログラミング 機 能 D/Dグラフ HTML/Texへ 変 換 可 能 CAD 等 双 方 向 貼 付 可 能 分 数 でも 小 数 でも 自 由 自 在 大 きい 数 もOK! 複 素 数 計 算 = = = 帯 分 数 表 示 (+i) =i = j = =8.09 小 数 ( 小 数 点 以 下 桁 で 四 捨 五 入 ) 6 6=56=(00) 6=(00) 8 a=(5,,7) b=(7,5,) =0 5 小 数 ( 表 示 精 度 5 桁 ) ( 基 数 表 現 ) q i 高 精 度 の 複 素 数 計 算 = i 代 数 計 算 (A+B-C)(A-B+C)=A -B +BC-C,56,700.0=,80,0 ( x +5x - x+) (x-)= x +x- abcos q =.57 ( 桁 区 切 り) ベクトル 演 算 a b=(-, 9, ) 方 程 式 因 数 分 解 + 6 =7 6 厳 密 表 示 ( 一 元 多 項 式 ) 5 x +5 x y+0 x + xy+ y - x+ y-=( x+ y+) 5 x + y- + 6 =7.6 近 似 表 示 0.55x +0.x -0.5x=-0.x + cos q-sin q=(cosq-sin q) cos q+cosqsin q+sin q sum(0, 0, 0)=60 average(90, 85, 78, 65, 9) =8 x = i 微 分 Õ k=0 5 = det x = -.09 k= det = x = i d sin x=cosx d dx x 5 =0x dx ( e x )'= e x J (0.5)= G( 0.5)= x =.0705 ( 連 立 方 程 式 ) 偏 微 分 複 雑 な 分 数 式 u(x,y) u(x,y) u(x,y)=xy =y =x x y a +b+c=5 a = b = = a-0.7b=c 不 定 積 分 c = a+b c ó = = 9 õ eax dx e ax ó sinhx cosh xdx= cosh x a õ 自 動 単 位 計 算 b>0 条 件 をつけられる 次 元 関 数 グラフ m/s で 動 いている 5kg の 重 さの 物 体 の 運 動 エネルギーを 求 める Newtonコマンド( 非 線 形 連 立 方 程 式 ) 媒 介 変 数 型 x( q) = 5(cos q+ qsin q) m 0=5kg v= m/s a +sinb= ( ) 伸 開 線 (インボリュート) y( q) = 5(sinq-q cos q) a m v e -cosb=6 ( 5) 60 0 =.50 J newton(( ),( 5),a=0,b=) 80 条 件 式 f(-)= 求 まった 解 a= x (x<0) f( )= b= 表 f(x)= x (0 x<) 数 数 値 逆 数 常 用 対 数 自 然 対 数 x ( x) f( )= -80 a a /a log0a logea 数 学 関 数 P 5 P =70 C 0C =8070 π 次 元 関 数 グラフ n 5 k =- n 5 + n + n 5 + n 6 å ( 代 数 計 算 ) e k= 6 メビウスの 輪 ( 表 中 の 数 値 はカルキングの 表 計 算 機 能 により 算 出 ) x(u,v)=cosu+vcos(u )cosu å a i,j x i=a,jx +a,jx +a,jx +a,jx ( 代 数 計 算 ) i= 北 陸 y(u,v)=sinu+vcos(u )sinu - sin (+ i)= 県 名 人 口 世 帯 数 面 積 人 口 密 度 世 帯 人 数 z(u,v)=vsin(u ) 新 潟 (0<u< p, -0.<v<0.) 富 山 i ( 高 精 度 計 算 ) 石 川 定 積 分 福 井 合 計 p óó Z sin ( x+ y) 0 ô ô dx d y = ( 合 計 はカルキングの 表 集 計 機 能 により 算 出 した 結 果 です) -0. õ0 õ0 + x + y ó x -. d x = 基 本 的 なワ-プロ ( 代 数 計 算 ) 機 能 付 õ0 0 Y X 素 因 数 分 解 常 微 分 方 程 式 の 数 値 解 法 7 スクリプト 機 能 05000= 素 数 列 挙 プログラム 行 列 計 算 x y n n i å i i= i= n n n i å i i i= i= i= n n n i= i i= i i= i n n n 5 i= i i= i i= i n å x x å x å x x å x å x å x å x å x å x å x å x å x å x 作 図 機 能 /Excelへのリンク 機 能 配 列 による 柔 軟 なデータ 構 造 n i i= n i i= n 5 i i= n 6 i i= - n å y i i= n å (x y ) i= n i i å (x y ) i= n i i å (x y ) i= i i = Prime( x ) var m ( for k = to x step ) m=k break x k k=x return m A..00=0 c= j= ( for k = to 500 step ) d=prime(c) A j=c c=d j=j+ c=c+ break j>00

5 カルキングの 計 算 式 の 作 成 方 法 -b± b -ac 例 として a を 作 成 します ここではファンクションキーを 併 用 します 手 順 画 面 で 表 示 される 様 子 (カーソルの 表 示 は 省 略 ) () 計 算 式 を 作 る 個 所 をマウスクリックで 指 定 する ()Fキーを 入 力 する ( 分 数 パートの 作 成 ) ()aを 入 力 し 次 にEnterキーを 入 力 する このEnterキーによりカーソルが 分 子 に 移 動 する ()-bを 入 力 する (5) 数 学 記 号 文 字 盤 の±をマウスでクリックする (6)F5キーを 入 力 する (ルート 記 号 パートの 作 成 )??? a -b a -b± a -b±? a (7)bを 入 力 する -b± a b (8)Fキーを 入 力 する ( 指 数 パートの 作 成 ) (9)を 入 力 次 にEnterキーを 入 力 する このEnterキーによってカーソルが 通 常 の 位 置 に 移 動 する -b± b? a -b± b a (0)-acを 入 力 し 次 にEnterキーを 入 力 する このEnterキーによりカーソルがルート 記 号 の 内 側 から 外 の 位 置 に 移 動 する -b± b -ac a ()Enterキーを 入 力 する このEnterキーによりカーソルが 分 子 から 通 常 の 位 置 に 移 動 する -b± b -ac a

6 計 算 式 の 編 集 方 法 今 作 った 式 を 基 に -b±( b -ac) を 作 る a ()ルート 記 号 の 直 前 でマウスクリック -b± b -ac a ()Delete 記 号 を 入 力 (ルート 記 号 が 取 れ -b±b -ac カーソルはb の 前 にある) a ()Shiftキーをおしたまま 記 号 を6 回 入 力 する (b -acの 部 分 が 選 択 される) () 可 変 括 弧 ツールバーをマウスでクリック -b±( b -ac) a 積 分 の 作 成 方 法 ó log xdx を 作 る õ () 積 分 記 号 ツールバーをマウスでクリック (カーソルは 下 限 値 の 位 置 を 指 す)? ó õ? ()を 入 力 し 次 にEnterキーを 入 力 する このEnterキーによりカーソルが 上 限 値 の 位 置 に 移 動 する? ó õ ()を 入 力 し 次 にEnterキーを 入 力 する このEnterキーによりカーソルが 通 常 の 位 置 に 移 動 する ó õ ()logを 入 力 する ó log õ (5)Fキーを 入 力 する ( 添 字 パートの 作 成 ) (6)を 入 力 し 次 にEnterキーを 入 力 する このEnterキーによってカーソルが 通 常 の 位 置 に 移 動 する (7)xdxを 入 力 する ó log õ? ó log õ ó log xdx õ

7 特 徴 自 動 単 位 計 算 (SI 国 際 単 位 系 に 準 拠 ) ()カルキングは 自 動 的 に 単 位 計 算 ができます () 単 位 の 記 述 法 は 次 の 通 りを 実 現 しています (a) 添 字 型 (b)かぎ 括 弧 表 記 00 kg 00[ kg] (c) 直 接 表 記 00kg (この 表 記 では 単 位 部 分 は 青 色 表 示 されます ) () 単 位 記 号 と 変 数 の 名 前 の 重 複 が 可 能 です メートルでmという 記 号 を 使 用 していても mという 変 数 を 混 在 して 使 用 できます ()ユーザ 独 自 の 単 位 を 登 録 できます 漢 字 の 単 位 も 登 録 できます 計 算 例 自 動 計 算 結 果 =0 00 km m km m =870.5 km m m m 特 定 の 単 位 を 指 定 した 時 の 計 算 結 果 = km m cm このように 計 算 結 果 の 単 位 を 指 定 して 計 算 すると =85000 km m cm 変 数 および 置 き 換 え 計 算 機 能 間 口 =.5 m 奥 行 き=0. m 面 積 = 間 口 奥 行 き=.5 0. =55 m m m 特 殊 な 単 位 計 算 - sin 0.75=8.66² 物 理 の 複 雑 な 単 位 計 算 例 m =5.6 0 kg v=.9 m/s 85 =70.8% 0 E= m v = = kg m/s 単 位 換 算 例 (ここではかぎ 括 弧 表 示 で 示 す) [ l] =000[cm ]=0.00[m ] [ 間 ] =.88[ m] =0.5999[ 丈 ] -9 [ nm] =0 [ m] = [ mm] 6 [ t] =000[ kg] =0 [ g] [ l.y.] = [ km] [ ft] =0.8[ cm] =0.08[ m] [ ha] =00[ a] =0000[m ] [ μm] =0.0000[ dm] =0.00[ mm] ( 光 年 の 距 離 ) J 面 積 単 位 名 称 記 号 定 義 アール a 00m ヘクタール ha 0000m エーカ acre 80yd バーン b 00fm 平 方 尺 平 方 尺 (0/) m 坪 坪 6 平 方 尺 畝 畝 0 坪 段 段 00 坪 町 歩 町 歩 000 坪 平 方 里 平 方 里 555. 町 歩 力 単 位 名 称 記 号 定 義 ニュートン N m kg/s メガニュートン MN 6 0 N キロニュートン kn 000N ミリニュートン mn 0.00N マイクロニュートン μn -6 0 N ダイン dyn -5 0 N メガダイン Mdyn 6 0 dyn 重 量 キログラム kgf N 重 量 グラム gf 0.00kgf 重 量 トン tf 000kgf 重 量 ポンド lbf.865n パウンダル pdl0.8595n ステーヌ sn 000N

8 . 単 位 について (SI 国 際 単 位 系 に 準 拠 ) カルキングでは, 単 位 付 きの 自 動 計 算 をサポートしています この 例 で 単 位 部 分 は 青 色 表 示 されます 問 題 ( 長 さ) km= m cm= m mm= m 答 え km=000m cm=0.0m mm=0.00m 問 題 ( 面 積 ) km = m cm = m ha= a a= m 答 え km =000000m cm =0.000m ha=00a a=00m 問 題 ( 体 積 ) cm = m kl= l dl= l ml= l 答 え cm = m kl=000l dl=0.l ml=0.00l 問 題 ( 時 間 ) 分 = 秒 時 間 = 秒 日 = 時 間 答 え 分 =60 秒 時 間 =600 秒 日 = 時 間.かけ 算 記 号 について * が 使 えます 0 0=00 掛 算 記 号 は Ctrlキー + * キ ー で 入 力 0 0=00 掛 算 記 号 は 数 学 記 号 パレットから 入 力 0*0=00 また 変 数 どうしの 掛 算 では 掛 算 記 号 を 省 略 できます ( ab+cd) =a b +abcd+c d 注 ) 割 算 記 号 は Ctrl キー+ / キー で 入 力 はベクトル 演 算 の 場 合 には 内 積 となり ( 外 積 )と 区 別 されます (, ) (, ) = (, ) (, ) =(, -). 虚 数 について 虚 数 i は 数 学 記 号 パレットから 入 力 します 虚 数 として j を 使 うこともできます 数 学 記 号 パレットから 入 力 します. 円 周 率 π について 円 周 率 πについては P.6 の システム 定 数 をご 覧 ください

9 < 基 本 演 算 > 小 数 モード..5 = = ( 指 数 表 示 ) 7..5 =..5 = = = = =8.097 分 数 モード ( 仮 分 数 表 示 ) ( 帯 分 数 表 示 ) 表 示 精 度 の 指 定 (5 桁 ) (5 桁 ) ( 小 数 点 以 下 桁 ) ( 小 数 点 以 下 5 桁 ) 演 算 記 号 の 選 択 =0.6. *.5 / = 0.6 大 きい 数 もOK! = = = 分 数 計 算 連 分 数 も 可 + 7 [ + { ( 指 数 計 算 = ) + 6}] = = = ( 固 定 カッコ) ( 可 変 カッコ) ルート 記 号 を 含 む 計 算 ( 近 似 解 ) = = + 5 = 5 +6 ( 厳 密 解 ) 基 数 表 現 (000) +(00) =(000) (7777) + (0) =(00) (FFF) - (A) =(EE5) = 56 =( ) =(00) =(00) ² ² = 7 ² sin 0.8=5 08 度 分 秒 表 示 ( 度 分 秒 ) - ( 度 分 ) - sin 0.8= ( 度 分 秒 秒 の 小 数 点 以 下 桁 ) ( 度 ) ² sin 0.8=5 桁 区 切 り, ,56.9 =97,6,7,88.7 複 素 数 演 算 ( + i)( - i ) =0 e pi = i ( 虚 数 単 位 i) 数 学 記 号 を 含 む 式 - =j e p j =- - j ( 虚 数 単 位 j) 000 å n= n(n + ) ó xdx = 0.5 õ0 = 素 因 数 分 解 0 = 5 å åm=l l= å n=m lmn =7 5 Õ n = n= = ! = P =90 5C =0 60 = = 5

10 代 数 計 算 基 本 演 算 x x - 5 x+ 6 - x+ + x- = +5 x+ x + x + x - x - x x < 代 数 計 算 因 数 分 解 > a+ a- a+ =+ a- ( cos y+sin x) =cos y+cosysin x+sin x (a +a +)(a -a +)=a -a a +a -6a -a + 行 列 行 列 式 ベクトル a c b d - = d -b a b -bc+ad -c a c d a b c d a a +b c a b +b d = a c +c d b c +d d a c b d + =ad-bc+ (a,b,c ) (a,b,c ) =aa +bb +cc (a,b,c ) (a,b,c ) =(bc-bc,-ac +ac,ab-ab ) シグマ 関 数 の 展 開 9 å k= k(k+) = (+) + (+) 多 変 数 最 大 公 約 数 (GCD) + (+) + (+) + 5(+5) + 6(+6) + 7(+7) + 8(+8) + 9(+9) gcd( 00076a x -7660a x+80a a bx a bx a bx-6600a b a b x a b x a b x+700a b a b x a b x a b x a b ab x ab x ab x+50000ab b x b x b x, b x b x b x) =6x -55x+ プロフェッショナル 版 限 定 機 能 因 数 分 解 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) =(a-c)(b-c)(a-b)(a+b+c) x 8 + x 7 +7 x 6 +6x 5 - x +0x -5x -00 x+00 =( x-) ( +) ( +5) x - xy+ y = ( x - y ) sin x+sinxcos y+cos y =( cos y+sin x) 9 6 システム 関 数 を 含 んだ 式 (a +a +)(a -a +)-a =(a +a +)(a -a +) x x 6 x +ux +yzx +u x +u x +w x +wyzx +y x +z x +u x+u x+u yzx+u yzx+uw x+uwyzx 6 5 +uy x+uz x+w yzx+wy z x+y zx+yz x+u +u +u w +u wyz+u y +u z +u w +u y +u z w +w yz+w y +w z +wy z+wyz +y +y z +z =(x +u +u +w +wyz+y +z )(x +ux+yzx+u +w +y +z ) プロフェッショナル 版 限 定 機 能 式 番 号 を 用 いた 等 式 操 作 x + y =( x sin q+ y cos q) () 式 番 号 ()の 式 ( ) を 代 数 計 算 すると x + y = x sin q+ y cos q e () を 代 数 計 算 すると e x +y = e x sin q+y cos q x+5 y= () 式 番 号 ()の 式 7x- y= () 7 ( )- ( ) を 代 数 計 算 すると y=6 式 番 号 ()の 式 xが 消 去 されます

11 < 方 程 式 > 一 元 多 項 方 程 式 ) x -=0 x = - x = ) 虚 数 解 ( 複 素 数 モードで 解 く) x = i x -6x -x-8=0 x = x = i x = ) 厳 密 解 ( 分 数 表 示 ルート 表 示 ) 次 以 下 の 方 程 式 で 可 能 7 x 7 + x + =0 x = x = x -5=0 x = 5 x = x = - 5 ( - 5)i ( - 5)i ) 記 号 解 ( 記 号 表 示 ) 次 以 下 の 方 程 式 で 可 能 未 知 数 を 指 定 して 解 く ax +bx+c=0 連 立 方 程 式 x = -b+ -ac+b x = a -b- -ac+b 一 次 の 場 合 は 小 数 解 分 数 解 のどちらも 求 められます a ) a+b+c+d=0 a+b+c+d=5 a-b-6c-8d= -a+b-6c+9d=0 a b c d a = 9.55 b = c = d = a = b = - 58 c = - 9 係 数 を 表 にセットして 解 くこともできます d = 58-5a-b ca- -bc-5 x = 記 号 解 も 求 められます x -a y =b cx- y =-5 y = ca- 複 素 数 係 数 でも 計 算 できます(プロパティを 複 素 数 モードにして 解 きます) (- i)x +(+0. i)y+8z=-7. i x = i x+(9-7. i)y+7z=5+0. i (+. i)x+6y+(-5. i)z=-7. i y = i z = i ) 添 字 つきの 未 知 数 も 解 けます a a = a = a +a =0 -a +a a +a =- a = a = a = a +a -a =-5 a =.55

12 条 件 のついた 方 程 式 (a -5) +b =.5 (a -a ) +(b -b ) =.9 a +b =.8 a +b =6.8 a >0 a = b >0 a = a >0 b >0 b =.989 b =.7955 ニュートン 法 による 解 法 sint+cost=0 グラフ 表 示 機 能 により 解 のおおよその 見 当 をつけ 初 期 値 を 入 力 ( 左 は グラフ 機 能 で 作 成 貼 り 付 けたグラフです) 回 の 実 行 でつの 解 が 求 まる t =.569 t = t = 度 分 秒 表 示 で 解 を 求 められます(プロパティを 設 定 し 保 存 できます) ( 回 実 行 した 結 果 ) t = -05 t = -5 t = 5 t = -5 t = 5 t = 95 (6 回 実 行 した 結 果 ) 区 間 指 定 法 による 解 法 ) sint+cost=0-0<t<0 で 解 くと t = t = グラフ 表 示 機 能 により 解 のおおよその 見 当 をつけて 区 間 を 設 定 すると 区 間 内 の 全 ての 解 が 求 まる t = t =.5695 t = ) k t = ak t =0 a={,,} とする t = å k= ) x ó (-t +sint)dt=0 õ0 x = ) 未 知 数 が 漢 字 変 数 の 例 不 定 方 程 式 x+y-z= sin 角 度 +cos 角 度 =0 プロパティを 度 表 示 にして -0~0 の 範 囲 で 解 くと ( 範 囲 の 指 定 はラジアン 値 になります) 5x+6y-7z=8 x y z = 角 度 = -05 角 度 = -5 角 度 = -5 角 度 = 5 角 度 = 5 角 度 = 95 式 を 選 択 して[ 実 行 ]-[ 方 程 式 関 連 ]-[ 特 異 方 程 式 ]コマンド k 厳 密 解 も 求 められます x y z = 5-5 +k -

13 <コマンドによる 方 程 式 > 式 番 号 を 活 用 した 記 述 ) s o l v e コ マ ン ド ( 一 元 多 項 式 と 連 立 一 次 方 程 式 を 解 く 時 条 件 も 設 定 できる) b=-76 c=80 x +9x +bx-c=0 (0) solve((0),(),x) 求 まった 解 x={-5, -} x<0 () 実 行 するとxに 解 が 設 定 される ) n e w t o n コ マ ン ド sint+cost=0 ( ) ( 非 線 型 方 程 式 を 解 く 時 ) -6 newton(( ), t= 0, e=0 ) 求 まった 解 t= a +sinb= ( ) a e -cosb=6 ( 5) newton(( ),( 5),a=0,b=) 初 期 値 と 誤 差 範 囲 をコマンドのパラメータで 指 定 実 行 するとtに 解 が 設 定 される 求 まった 解 <システム 関 数 を 使 った 方 程 式 > a= b= 係 数 のみを 配 列 で 与 えて 解 く( 線 形 方 程 式 の 近 似 解 と 記 号 解 のみです ) x -=0 この 一 元 多 項 方 程 式 は 次 のように 計 算 できます 計 算 操 作 で 解 を 配 列 形 式 で 表 示 します solve_script({,0,-})={ , } solve_script({"","0","-"})= " ", "- " x-6 y=8 x-y-7=-5 近 似 解 記 号 解 記 号 解 を 求 めるときは 係 数 を 文 字 列 で 与 えます この 連 立 方 程 式 は 次 のように 表 せます solve_script({{,-6,-8},{,-,-}})={-0.5, -.75} 方 程 式 と 未 知 数 を 文 字 列 の 引 数 として 関 数 に 渡 します スクリプト 等 で 場 合 によって 方 程 式 が 変 更 される 場 合 に 使 います A="x y-5xy+6y -xy=56" 変 数 名 解 の 精 度 の 指 定 は 次 のようになります B="x -xy -7xy+9y =" 変 数 名 solve_string({{a,b},{"x","y"},0})={{, }, {, }} 近 似 解 を 指 定 5

14 πについて <システム 定 数 > カルキングでは πの 入 力 は 数 学 記 号 パレットから 行 います このπの 値 は 000 桁 のシステム 定 数 としてもっています これとは 別 に 任 意 の 桁 数 の 近 似 値 のπをユーザがライブラリ 定 数 として 設 定 できます このときの 入 力 はギリシア 文 字 で 行 います π= sin π=0 5 π- π= システム 定 数 のπは 円 周 率 としての 意 味 を 持 ち 代 数 計 算 を 使 うと 円 周 率 と しての 計 算 ができます 置 き 換 え 計 算 の 結 果 をπのままで 表 すこともできます sin +sin π π = 代 数 計 算 a=0 代 入 定 義 sina+ π=sin0+ π 置 き 換 え 計 算 e について 自 然 数 e の 入 力 は 数 学 記 号 パレットから 行 います この e の 値 は 000 桁 のシステム 定 数 としてもっています e= 極 限 計 算 微 分 不 定 積 分 等 で 自 然 数 e を 使 いたいときは 必 ず 数 学 記 号 パレットから 入 力 してください キーボードから 入 力 した e は a や b と 同 じ 単 なる 変 数 となります e x lim - = x 0 x lim e x - =lne x 0 x ó x dx=x - õ ex e x e x ó x xe lne-e xe dx= õ ln e γについて x x d dx e x = e x d x x e =e lne dx オイラー 定 数 γ の 入 力 は 数 学 記 号 パレットから 行 います この γ の 値 は 000 桁 のシステム 定 数 としてもっています γ=

15 <システム 関 数 > 基 本 数 学 関 数 は000 桁 位 の 精 度 まで 拡 張 数 学 関 数 (プロフェッショナ ル 版 のみ)は 引 数 が 複 素 数 でも00 桁 位 の 精 度 まで 計 算 できます 三 角 関 数 度 分 秒 ラジアンのどちらも 計 算 できます cos p SIN5 =0.707 tan ² =0.86 sin(- j5)= i = sin{0,5,60 }={0.5, 0.707, } sec5 =. cosec5 =. cot5 = べき 乗 逆 関 数 の 記 法 sin p + cos p = 双 曲 線 関 数 sin 0.= ² sin (- i)= i COS 0.=.69 - ARCSIN0.=0.06 sin {0.,0.,0.}={0.06, 0.069, 0.5} sinh0.5=0.5 sech(0.5- i)= i TANH{0.5,0.6,0.7}={0.6, , 0.607} べき 乗 逆 関 数 の 記 法 sinh 0.5=0.75 対 数 関 数 arcsech(0.5- i)= i - COTH {5,6,7}={0.07, 0.68, 0.8} 常 用 対 数 log=0 log7 i= i LOG0= log{,,}={0.00, 0.77, } 自 然 対 数 ln=0 lnj5= i LN e = ln{,,}={0.695,.0986,.86} 底 を 指 定 log 0=.06 e log (- )= i i log 8=6 log00= LOG e e = 統 計 関 数 引 数 は 次 元 配 列 A={60,68,77,59,7,6,,6,,9,76,57,58,6,8,00,8} A =7 A=5 sum(a) =7565 min(a) =8 var(a) =68. varp(a) =5. stdev(a) =0.7 stdevp(a) =9.06 average(60,68,77,59,7)=67. {60,68,77,59,7}=67. median(60,68,77,59,7)=68 分 布 関 数 (normdist,norminv,chiinv,chidist,tdist,tinv,fdist,finv) 標 本 分 散 関 連 関 数 (cov,covp,cov_matrix,covp_matrix,corr,corr_matrix,var,varp) ベッセル 関 数 J 0(-0.5)=0.987 J 0(0.5)=0.987 J 0({5,6,7}) ={-0.776, , } J ()=0.005 Y 0(0.5)=-0.5 Y (5) =0.786 J ({7,8,9}) ={-0.0, -0.99, 0.85} Y (0.)=-7.6 プロフェッショナル 版 限 定 機 能 J 0(-5 i)=7. J 0({,- i,0.})={0.765,.796, } ⑴ ⑴ ⑴ H (.55)= i H (.5 i)=.67 H ({,- i})={ i, i} ⑵ H (.5 i) = i I (-.5 i) = i K ({.5,- i})={0.5866, i} 複 素 数 演 算 関 数 R(-5 i )= R(+ j 7)= I (-5 i )=-5 I (+ j7)=7 arg( -5 i) = i= + 5i + j7= - j7 特 殊 関 数 G (0.5)=.775 G( +0.5 i) = i G({,,})={,, 6} B(,5)= B(,5 i)= i B({,},{5,6.}) ={0.0, } P (5)=05 P (-5 i)=-.5-5i P ({5,6,7})={6, , 0} H( 0)= H({-,0,}) ={0,, } - erf(0.8)=0.7 erfc({0.5,0.6,0.7})={0.795, 0.96, 0.} erfc ({0.795, 0.96, 0.})={0.5, 0.6, 0.7} プロフェッショナル 版 限 定 機 能 H (5)=90 L 5({5,6,7})={., 7.,.67} L (-5 i) = i T (5)=85 U (-5 i)= i T (-5 i)= i U 5({5,6,7}) ={9600, 960, 56890} Si(5)=.599 Ci( - i) = i E ({0.5,.,})={0.65, , } Ψ(5)=.506 Ψ({0.,.5,})={-.56, 0.069, 0.978} ζ({.5,.,})={.6,.8,.0} 7

16 γ(.,) = Γ( + i,) = i P({- i,0.5,.},)={ i, 0.955, } Q(.,)=0.8 B 0.(.,)= I 0.({,,},{0.,.,.})={0.0675, , 0.05} 楕 円 関 数 プロフェッショナル 版 限 定 機 能 sn(0.8,0.65)= sn(5+.75 i,0.5) = i cn( +.75 i,0.65)= i dn(0.5,0.6) = dn({0.7,.75 i,+. i},0.7) ={0.899, 8.906, i} ns(0.7,0.65)=.598 ns(5+.7 i,0.65) = i nc( +.5 i,0.5) = i nd({.7,.75 i,+.8 i},0.65)={.007, , i} am( i,0.5) =0.995 楕 円 積 分 プロフェッショナル 版 限 定 機 能 第 一 種 完 全 楕 円 積 分 K(0.79)=.6 K.5+ i = i K(0)= 第 二 種 完 全 楕 円 積 分 第 三 種 完 全 楕 円 積 分 第 一 種 不 完 全 楕 円 積 分 第 二 種 不 完 全 楕 円 積 分 E( 0.5)=.675 E +.5 i = i E()= Π(0.8,0.9)=5.98 Π( 0.,0.6+ i) = i Π(0.8,)= F(0.,0.8 )=0.09 F(0. ;0.8 )=0.077 F(0. \0.5 )=0.00 E( 0.,0.5)= E( 0. ;0.5 ) =0.05 E( 0. \0.5 ) = 第 三 種 不 完 全 楕 円 積 分 Π ; π, 0. = Π ; π 0. = Π(-0.7 ;0.6 \0.5 )= その 他 のシステム 関 数 00.5 = = = =-0 GCD(90, 69, 07) = 7 LCM(90, 6, 0) = 70 mod(0,9)= divmod(0,9)={, } sort({90,69,07,00,05,87,9}) ={87, 00, 90, 9, 07, 69, 05} reverse({90,69,07,00}) = {00, 07, 69, 90} delta(,)=0 pow(,0.5)=. sqrt()=. exp(.0)=7.89 sign()= 5C =0 5P =0 å åj= δi,jp i, j=5 å åj= sign( i-j )p i,j= p= 5 6 det i= i= det ratio(.,.)={, } ratio(,5)={, 5} enumerate_prime_number(,5)={,, 5, 7, } F, ; ;0.5 = 超 幾 何 級 数 プロフェッショナル 版 限 定 機 能 (+ i) 5 = i ポッホハマー 記 号 行 列 配 列 表 関 連 の 関 数 create_array(p)={{,, }, {, 5, 6}, {7, 8, 9}} create_matrix({{, }, {, 5}})= 5 B= Sheet5 A= matrix_column_change(b,,)= + A = ==> 表 の 行 数 列 数 の 取 得 table_row(sheet5)= table_column(sheet5)= 一 般 逆 行 列 操 作 matrix_row_change(b,,)= A = *, =0 - = 列 ベクトルの 取 り 出 し 8

17 I = m= m= 単 位 行 列 生 成 0 = , 零 行 列 生 成 rank m,0 = 行 列 のランク( 第 引 数 は ゼロ 判 定 する 基 準 値 を 指 定 ) trace( m)=9 行 列 の 対 角 和 size(m) ={, 5} ベクトル 行 ベクトル 列 ベクトルの 要 素 数 dim 6 - = dim(( ))=5 dim((,,))= 行 列 の 行 数 と 列 数 行 ベクトル 列 ベクトルをベクトルに 変 換 プロフェッショナル 版 限 定 機 能 vector 6 - 行 列 演 算 の 関 数 =(, 6, -, ) vector(( ))=(-, 6, -, -, 5) m= プロフェッショナル 版 限 定 機 能 eigen(m)= {8.5055, 6.56, -, }, ( 行 列 固 有 値 関 数 ) poly(m)= l - l +5 l +5 l+87 svd(m)= {8.505, 6.56,.66, }, ( 行 列 の 固 有 多 項 式 ) , ( 特 異 値 分 解 ) M= プロフェッショナル 版 限 定 機 能 LU(M)= {{, }}, QR(M) = , , Jordan(M)= { ,.05687},

18 < 条 件 式 > 条 件 付 きの 式 を 一 般 的 な 記 法 で 記 述 し, 計 算 することができます 基 本 的 な 条 件 式 とグラフ f(x) = x (x<0) x (0 x <) x ( x) 条 件 に 対 応 する 式 条 件 漢 字 変 数 の 使 用 商 品 を 販 売 するにあたり 数 量 00 個 未 満 のときは 割 引 なし 00 個 以 上 のときは 割 引 とする 数 量 単 価 0 数 量 <00 売 上 ( 数 量 単 価 )= 数 量 単 価 0.8 数 量 00 売 上 (90,00)=8000 f(-) = f(0.5) =0.5 f() = 売 上 (50,00)=000 売 上 (0,00)=0 売 上 (50,00)=000 売 上 (-50,00)= エラー 表 示 され 計 算 しない 条 件 式 に 論 理 記 号 を 含 んだ 例 座 標 の 逆 計 算 ( 測 量 ) 基 準 側 点 () 測 定 測 点 () x = x = y = y =89.00 Δ x= x -x Δ y= y - y β=tan δ= - Δ y Δ x β Δx 0 Δy β Δx<0 Δ y β Δx<0 Δ y<0 60 -β Δx 0 Δy<0 計 算 結 果 δ= 5 9 ( 方 位 角 ) 媒 介 変 数 型 のグラフ sinq cosq 0 x( q)= q< p sinq cosq p q<p sinq sinq 0 y( q)= q< p sinq sinq p q<p <ユーザー 関 数 > 引 数 のない 関 数 定 義 した 関 数 を 使 う yen = doller rate doller = 5 rate = 99 の 時 yen=5579 引 数 のある 関 数 f( )= 9 7 f()= f(i)=- f({,,})={,, 9} f(sin5 )=0.5 f(x) = x f(a+b+c)=a +ab+ac+b +bc+c f( + )= 6 +5 ( 代 数 計 算 ) システム 関 数 を 使 った 関 数 H( x)=sin x+cosx x G( x)=sin +cos x p H( )= すでに 定 義 済 みの 関 数 を 使 って 関 数 を 定 義 する G(8 5 ² )= k( x)=h( x)+g( x) k(.5)= k(5 )=.896 k(0)= 0

19 < 数 式 エディタ 機 能 > カルキングは, 数 式 を 数 学 などの 表 記 法 通 りに 記 述 し, 計 算 をし, 答 を 出 すことができます しかしながら, 一 部 の 数 式 に 関 しては,まだ 計 算 機 能 をサポートしていません ここでは 記 述 のみが 可 能 な 数 式 ( 計 算 はできません)を 含 め,カルキングの 数 式 エディタ(ワープロ) 機 能 を 取 り 上 げます ( 例 ) 連 立 高 階 の 線 形 偏 微 分 方 程 式 () k å Aiju j=f i (t,x) ( i=,, k ) j= ただし (m),n A = a (t,x) ij k å m +n m j ij x x t m n m n n x=( x,,x ),( )=(,, ), = + +, n m m m n m m m n を 考 える Petrowskiは()の 特 性 方 程 式, () å m +n=m j a (m),n l n m m n x x n =0 ij の 根 (λの 方 程 式 として)が x 0ならばすべて 相 異 なる 実 数 となるとき ()は 双 曲 型 であると 定 義 した ( 例 ) mとnが 正 整 数 (m n)のときは m n は 相 異 なる m 個 の 物 から n 個 とり 出 す 組 合 せの 個 数 に 等 しく これを C で 表 わすことが 多 い 二 項 係 数 はつぎの 二 項 展 開 式 の 係 数 になっている m n m m m- m- (a+b) =a + m a b+ m a b + + m m- m- m ab +b (mは 整 数 ) ( 参 考 )カルキングでは C の 記 述 でも m m n の 記 述 でも 計 算 可 能 です n ( 例 ) n 正 の 収 斂 半 径 をもつ 冪 級 数 f(z)= å anz a に 対 し nz は 整 函 数 であって n=0 f(z)= å n=0 n! z < r において f(z)= ó e (zt) dt が 成 立 する(Borelの 定 理 ) õ0 -t f この f(z) を 冪 級 数 å a z または 級 数 に 関 するBorelの 函 数 という n=0 n n 無 限 級 数 å a において それに 関 するBorelの 函 数 を f(z) とするとき n=0 n ó -t e f(z) dt = S õ0 であるか,または lim e x + -x å n=0 s x n! n n = S が 存 在 するとき, 級 数 å a n はBorel 総 和 可 能 であるといい,このことを n [ s = a +a + +a ] n 0 n å a n = S(B) と 書 き,Borelの 和 という

20 < 数 式 の 検 索 置 換 機 能 > カルキングの 検 索 置 換 機 能 は 単 語 や 文 章 はもとより 数 式 にまで 検 索 置 換 が 可 能 です 様 々な 数 式 が 混 じった 論 文 レポートを 作 成 されているときも 安 心 です また 入 力 に 時 間 がかかる 添 え 字 付 き 変 数 や 数 式 等 を 入 力 時 に A B などと 入 力 し 後 でまとめて 置 換 することにより 入 力 の 手 間 を 大 幅 に 削 減 できます sin( A±B) =sinacosb±cosasinb cos( A±B) =cosacosb sinasinb v x '= -x x +y x +y 置 換 結 果 v y '= -y x +y sin( θ ±θ ) =sinθ cosθ ±cosθ sinθ cos( θ ±θ ) =cosθ cosθ sinθ sinθ dv x -x dv = y -y = dt x +y x +y dt x +y x +y x +y 置 換 テーブル A B v x ' v y ' x y θ θ dv x dt dv y dt x y < 画 像 出 力 機 能 > カルキング 上 の 文 章 数 式 グラフ 表 作 図 オブジェクト 等 あらゆるものを 画 像 (BMP PNG)に 出 力 する 機 能 です カルキングで 作 成 された 数 式 やオブジェクト 等 を 簡 単 にwebや 他 のアプリケーションに 移 行 できます

21 論 理 演 算 論 理 積 ( ), 論 理 和 ( ), 同 値 ( ), 論 理 包 含 ( ), 否 定 ( )の 計 算 ができます 真 偽 値 はそれぞれと0で 表 します 真 理 値 表 計 算 もサポートしました 計 算 式 やスクリプトでも 使 用 できます a= b=0 c= ( aº b) c= p q pº qp q pùq púq Øp 代 入 定 義 真 理 値 表 計 算 代 入 定 義 代 入 定 義 計 算 有 理 多 項 式 の 属 性 関 数 ( 特 定 次 数 最 高 次 数 分 母 分 子 参 照 機 能 ) ( x+ y) 0 P= ( a + b ) 0 左 のPの 展 開 式 は 一 つの 大 きな 分 数 となるため ページ 折 り 返 しができず 印 刷 できませんが 分 母 分 子 を 取 り 出 すdenominator 関 数 numerator 関 数 を 利 用 すると 可 能 になります denominator(p)= a 0 +0 a 9 b+90 a 8 b +0 a 7 b +85 a 6 b +550 a 5 b a b a b a b a b a 0 b a 9 b a 8 b +7750a 7 b a 6 b +550 a 5 b a b 6 +0 a b a b 8 +0 ab 9 + b 0 numerator(p)= x 0 +0 x 9 y+90 x 8 y +0 x 7 y +85 x 6 y +550 x 5 y x y x y x y x y x 0 y x 9 y x 8 y x 7 y x 6 y +550 x 5 y x y 6 +0 x y x y 8 +0 xy 9 + y 0 Q= x 0 +0 x 9 y+90 x 8 y +0 x 7 y +85 x 6 y +550 x 5 y x y x y x y x y x 0 y x 9 y x 8 y x 7 y x 6 y +550 x 5 y x y 6 +0 x y x y 8 +0 xy 9 + y 0 leading_degree(q,x)=0 n_degree_coefficient(q,x,)=90y 8 Qでのxに 関 する 最 高 次 数 Qでのxの 次 式 の 係 数 微 分 関 数 の 数 値 計 算 における 利 用 f( x) =x +5x +x+5 関 数 定 義 df 以 下 の f' や は 関 数 です この 関 数 の 引 数 が5の 時 の 値 を 求 めています dx ここでの 留 意 すべき 点 は 数 値 計 算 モードで 計 算 できることです f'( 5) =7 又 は df ( 5) =7 dx 計 算 引 数 は 関 数 のカッコ でくくらなければなりません 計 算 dは 数 学 記 号 パレットのdを 使 います

22 行 列 基 本 演 算 < 行 列 行 列 式 ベクトル 配 列 > = sin0 e log0 ó x d x õ = 逆 行 列 複 素 数 転 置 行 列 = - T 0 - i = = - 0 i A = のとき A = A = T A = 5 0 = 応 用 ( 連 立 次 方 程 式 の 解 法 ) - 5 x y = - を 解 く -5 6 z - 行 列 式 基 本 演 算 = ベクトル 基 本 演 算 cosq sinq det -sinq cosq = x y z =-00 = q= p (0, 0, 0) + (0,, 50) - (5, 5, 5) =(5, -, 5) = log0 sin0 cos e 5 =-77.5 ( 5,.758, ) + (log 0,, sin) =(0.6, 0.7,.5) 57 e a = (,, ) b = (, 5, 7) のとき a + b =(, 7, 0) a b = ( 内 積 ) a =(,, 6) a b =(-, -, ) ( 外 積 ) ベクトルを 行 列 の 列 ベクトルに 変 換 できる 行 列 生 成 関 数 を 使 う プロフェッショナル 版 限 定 機 能 配 列 M(0, 0, 0)= Ma= 0 0 π π 0 cos sin Ma= π π 0 -sin cos - ベクトルの 回 転 基 本 演 算 {95,00,0,0,,7}+{5,0,0,0,,}={00, 0,, 0,, 8} {95,00,0,0,} 5={75, 500, 50, 550, 560} {{95,},{5,0}} ={{7.5, 7}, {6.5, 5}} 配 列 定 義 ( 範 囲 変 数 を 添 字 とし 初 期 値 を 与 えて 領 域 を 確 保 する) n =..0 A = 0 要 素 の 値 を 変 えるには 添 え 字 をつけて 代 入 する A =5 要 素 の 参 照 height={95,00,0,0,0,7} height =95 weight -weight =5 m= height ( 範 囲 変 数 を 代 入 定 義 ) n ( 配 列 定 義 ) ( 値 の 確 認 ) A ={0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0} weight={,,7,9,,6} m å height k=09. m k=

23 行 列 < 行 列 計 算 応 用 > 一 般 逆 行 列 = svd 関 数 を 利 用 した 特 異 値 分 解 やノルム 計 算 プロフェッショナル 版 限 定 機 能 A= w={.0, 0.77, 0.0} {w,u,v}=svd(a) A = U= V= eigen 関 数 を 利 用 した 対 称 行 列 の 固 有 値 M= {w,v}=eigen(m) 求 まった 固 有 値 及 び 固 有 ベクトル w={.609,.9, -.5} v= 強 力 な 編 集 機 能 プロパティ 機 能 行 列 行 列 式 表 から 別 のオブジェクトを 作 成 したり 貼 り 付 けたりできる 行 列 式 から 行 列 を 作 る 例???????????????? 右 上 の 行 列 式 の 中 味 だけをコピーして この 行 列 に [ 行 / 列 ]-[ 表 の 貼 り 付 け]で 貼 り 付 ける log0 sin0 cos0 e これを 行 の 等 間 隔 モードにすると log0 sin0 cos0 e log0 sin0 cos e 5 行 列 から 表 を 作 成 する 例 上 の 行 列 の 中 味 だけをコピーして この 表 に[ 行 / 列 ]-[ 表 の 貼 り 付 け] で 貼 り 付 ける log0 sin0 cos e 行 列 の 行 列 の 挿 入 削 除 操 作 例 上 の 行 列 に 対 して 最 後 の 行 を 削 除 して 列 を 追 加 する 操 作 を 行 うと ? 8+7 log0 sin0 cos0? e? 5

24 < 一 般 逆 行 列 の 応 用 > 次 の 表 がデータです このデータに 対 して xとyの 関 係 を 近 似 する 次 の 多 項 式 を 最 小 自 乗 法 で 求 めます これは 次 の 方 程 式 で 係 数 c i(i=~)を 求 めることです Data y c + c x + c x + c x ()» ステップ: 配 列 の 準 備 表 の 第 行 目 を 列 の 名 前 として 登 録 します x=data.x y=data.y h= x m=..h n=.. A=0 h, 代 入 定 義 : 表 データを 配 列 に 代 入 代 入 定 義 : 表 データを 配 列 に 代 入 代 入 定 義 :データ 数 を 求 める 代 入 定 義 代 入 定 義 Y=(create_matrix({y})) T または 代 入 定 義 : 数 学 関 数 ツールバーの Y=(M{y}) T ステップ: 行 列 の 作 成 h 行 列 の 零 行 列 を 作 成 します x y をクリックして 代 入 定 義 : 配 列 を 次 元 にして 行 列 に 変 換 し 注 :プロフェッショナル 版 限 定 機 能 スクリプトを 用 いて 行 列 に 値 を 入 れます 転 置 して 縦 行 列 にします ( for i = to h step ) ( for j = to step ) A =x i,j i j- 関 数 名 の 無 いスクリプトです この 場 合 計 算 を 実 行 すると 値 がはいります 注 : 行 列 Aは 計 画 行 列 と 呼 ばれるものです または n- A m,n=xm 代 入 定 義 ステップ: 係 数 ベクトルを 計 算 式 ()は 計 画 行 列 Aを 用 いて 次 のように 表 現 できます Y» Ac それゆえ Aの 一 般 逆 行 列 A + を 用 いて c は 次 のように 計 算 されます c = A + Y 代 入 定 義 c=

25 連 分 数 機 能 数 値 データの 正 則 連 分 数 表 示 を 連 数 表 示 します 引 数 の0は 連 分 数 の 段 数 です continued_fract 関 数 では 分 子 がになる 表 現 の 連 分 数 表 示 を 行 います continued_fract(,0) = 計 算 正 則 連 分 数 の 行 テキスト 表 現 continued_fractaは 以 下 のような 連 分 数 の 行 テキスト 表 現 を 行 います continued_fracta(,0) =[ ;,,,,,,,,,] 連 分 数 の 行 テキストに 関 しては 以 下 のような 操 作 も 可 能 です 計 算 f=[ ;,,,,,,,,,] 代 入 f=[ ;,,,,,,,,,] 計 算 f = f = f..6=[ ;,,] 計 算 continued_fractp 関 数 を 使 えば 連 分 数 の 行 テキストを 連 分 数 にできます continued_fractp( f) =

26 再 帰 関 数 演 算 子 ( 計 算 はプロ 版 専 用 ) プロフェッショナル 版 限 定 機 能 カルキング 独 自 のK 演 算 子 機 能 連 分 数 の 規 則 性 を 数 式 で 表 現 して これを 連 分 数 表 現 します 7 K k= k = k 代 数 計 算 代 数 表 現 のプロパティー: 降 冪 k 連 分 数 の 各 段 は の k +... 規 則 性 があります 表 示 段 数 を にして 計 算 すると 自 動 判 定 で 収 束 する 値 を 表 示 します K k= k = k +... 計 算 プロパティー: 小 数 モード 表 示 精 度 希 望 の 桁 数 を 指 定 分 子 側 に...を 記 述 この 形 の 数 値 計 算 はできません K k= k+... ( k) = 代 数 計 算 代 数 表 現 のプロパティー: 昇 冪 7 K k= k+ ¼ = 代 数 計 算 代 数 表 現 のプロパティー: 昇 冪 7 K k= 代 数 計 算 k+ ¼ = 代 数 表 現 のプロパティー: 降 冪 8

27 数 列 ( 数 値 の 配 列 ) 生 成 の 機 能 があります ツールバーを 使 って 入 力 します から9までの 整 数 の 数 列 N ={,,,, 5, 6, 7, 8, 9}..9 または 数 列 を 格 納 した 配 列 変 数 を 作 る < 数 列 生 成 演 算 子 > a=n..00 実 行 - 代 入 定 義 自 然 数 整 数 素 数 数 列 生 成 9 R k={,,,, 5, 6, 7, 8, 9} k= a={,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 50, 5, 5, 5, 5, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 6, 6, 6, 6, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 7, 7, 7, 7, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 8, 8, 8, 8, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 9, 9, 9, 9, 95, 96, 97, 98, 99, 00} a={?} 実 行 - 代 入 定 義 でメモリ 解 放 から5までを0.0 刻 みで 格 納 した 配 列 を 作 る N b= または 内 包 的 記 法 を 使 って 00 x b= xîn 実 行 - 代 入 定 義 計 算 で 確 認 b={,.0,.0,.0,.0,.05,.06,.07,.08,.09,.,.,.,...,,...,...,.88,.89,.9,.9,.9,.9,.9,.95,.96,.97,.98,.99, 5} その 他 の 例 Z または R k={ -, -, -, 0,, } -.. ={ -, -, -, 0,, } k=- 整 数 P ={, 5, 7,,, 7}..7 素 数 N R k={, 6, 9,, 5}..5={, 6, 9,, 5} または k= の 倍 数 5 N 0..5={ 0,, 8, 7, 6, 5} または 5 R k ={ 0,, 8, 7, 6, 5} k=0 立 方 数 - N..5=,,,, 5 または 5 R =,,,, k= k 5 逆 数 N 0..5+={,, 5, 7, 9, } または 5 奇 数 R (k+)={,, 5, 7, 9, } k=0 9

28 応 用 例 5で 割 れば 余 りがになり で 割 れば 余 りがとなる 数 はいくつか? ( 5N +) ( N +)..50 Ç..80 ={, 9,, 59, 7, 89, 0, 9,, 9, 6, 79, 9, 09,, 9} 求 まった 配 列 は カルキングの 集 合 演 算 に 活 用 できます またデータ 部 をコピーしてEXCELに 貼 り 付 けたり 等 様 々な 活 用 が 可 能 になります 上 で 作 成 したから5までを0.0 刻 みで 格 納 した 配 列 を 使 って 次 のような 計 算 ができます +sinb ={.88,.68,.00,.,.087,.059,.00,...,,...,..., 0.5, , 0.608, 0.705, 0.765, 0.808, 0.877, 0.95} c= +sinb このデータを 使 い カルキングの データグラフを 作 成 します { b,c} を 選 択 して 実 行 - Dグラフ - データ 型 [X-Y 軸 ] カルキングの 表 にシリアル 番 号 を 付 加 する A=N..table_row(Sheet)- 実 行 - 代 入 定 義 表 の 列 行 目 のセルにAと 入 力 し 表 の 第 一 列 を 選 択 して 計 算 します 数 列 生 成 の 応 用 例 Sheet A 5 数 値 0に 作 用 させると 以 下 のような0で 初 期 化 された 配 列 データを 簡 単 に 作 成 できます 0 R Rl= k= 0={{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}} 0

29 < 内 包 的 集 合 定 義 > 数 学 で 使 用 される 内 包 的 集 合 定 義 に 類 似 した 形 式 で 数 列 の 生 成 や 配 列 文 字 列 からの 検 索 等 に 便 利 に 使 えます メニューから 入 力 - 配 列 - 内 包 的 記 法 で 入 力 します k + k ÎN..0 ={, 5, 0, 7, 6, 7, 50, 65, 8, 0} {{k} k ÎN..0 }={{}, {}, {}, {}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {0}} {{k,m} k ÎN..,m ÎN.. }={{, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }} {0 k ÎN..0 }={0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0} 文 字 列 str の 中 で "f" と "g" の 位 置 を 求 める 例 str="dfdfd56fghjhk78fyuygtuf" {k k ÎN.. str,str k ="f" Ústr k ="g"}={6, 8,,,, 5, 8} {k k ÎN.. str,str k ="f" Ústr k ="g"} ={6, 8, } 最 も 大 きな 真 価 を 発 揮 するのは 集 合 から 条 件 を 指 定 して 複 数 のデータを 検 索 するときです a={,5,78,90,,,,5,78,90,0,5,76,,,0,,85,67,,,60,} {a k,a >5 a <60} ={5, 5, 5,, } k ÎN.. a k Ù k 5 数 学 の 内 包 的 集 合 定 義 と 異 なる 点 は 生 成 するデータの 個 数 を 限 定 することができることです 添 字 の 形 で 個 数 ( 上 記 の 場 合 は5)を 指 定 します {{a,k} k,a >5 a <60} ={{5, }, {5, 8}, {5, }} k ÎN.. a k Ù k {k k ÎN.. a,mod( a k,5)= }={, 9, 7} 内 包 的 集 合 定 義 のネストもできます k+ kî l l ÎN.. ={, 5, 0} 内 包 的 集 合 定 義 の 処 理 の 実 行 中 に ある 条 件 が 発 生 すると そこで 処 理 を 終 了 することも できます セミコロン; 節 で 終 了 条 件 を 記 述 します(カルキング 独 自 形 式 ) M= 代 入 定 義 {{x,x} xîn.., M x,x ¹ 0; M x,x=0}={{, }, {, }} 条 件 を 満 たすデータが 見 つからないときは {?} ( 空 データ)を 返 します {a k,a >50}={?} k ÎN.. a k 条 件 を 満 たすデータが 見 つからないときに 決 まった 値 を 返 すように 指 定 できます コロン: 節 を 使 って 指 定 します(カルキング 独 自 形 式 ) {a : "over" k,a >50}={"over"} k ÎN.. a k

30 微 分 基 本 の 微 分 < 微 分 積 分 > d ( x +x - x+6) = x d -cosx +x- d cosec x = (ln x ) = dx dx sin x dx x ( x 5 )' =5.0000x (sin x)' =cosx ( e x )' = e x x x (5 )' =5 ln5 ( 注 )logの 引 数 以 外 での 絶 対 値 を 含 む 項 a x bx+c, 階 乗 などの 項 を 含 む 項 は 微 分 できません n 次 導 関 数 関 数 定 義 されている 式 の 微 分 d =0 dx x 5 x d sin x =-cos x dx ( x 5 )'' =0x f( x) = sin x y=log a x ( 関 数 定 義 ) f ' ( x) =cosxsin x d f ( x ) =cos x sin x y ' = dx x lna d f ( t ) =cos t sin t dt 偏 微 分 定 積 分 基 本 の 定 積 分 g(u,v)= ln(u +v ) ( 関 数 定 義 ) = ug -u +v u +u v +v = vg u -v u +u v +v p ó õ0 (cos x+sin x) dx= ó õ0 ó õ0 x - x dx =6.667 ( e y -) dy =0.788 ó õ0 ó õ0 xe -5x dx=0.0 tan(x+5 i) dx= i 上 下 限 に が 使 えます 被 積 分 関 数 が 複 素 数 でも 積 分 できます 多 重 積 分 ó õ0 ó xydxdy=0.5 õ0 5 x ó ó ydy dx =.667 õ0 5 õ0 積 分 範 囲 に 変 数 が 使 われている 場 合 不 定 積 分 ó sin = õ +cosx dx x cos x + ó 7 = tan - x+ dx õ x + x+5 ó = õ eax dx e ax a 極 限 計 算 x lim = lim - = x x - x 0 x x lim = lim tan ax a = x 0 sinh x x 0 bx b e x x lim =- - x 0 e x x lim =- ln(- x ) x 0 lim + + = x x sin( x+ n)-sin x lim = sin n n n x 0

31 () 微 分 方 程 式 を 式 番 号 付 きで 作 成 します < 微 分 方 程 式 を 解 く> d d y =-y () dx x y =y - y () d x d x y =y - d y () d x x y =y - y () d x 式 番 号 は 必 ず カルキングの 式 番 号 機 能 で 入 力 してください 注 この 連 立 微 分 方 程 式 は Bessel 関 数 を 表 現 しています 通 常 は 回 の 微 分 方 程 式 で 表 されます () 入 力 メニューの 表 / 行 列 のカスケードメニューの 微 分 方 程 式 の 諸 元 表 を 実 行 してください このダイアログでは 表 の 名 前 従 属 変 数 の 個 数 解 法 の 種 別 チェック 等 を 入 力 します independent var initial value final value step num output num equation num dependent var initial value expression id この 表 に 必 要 なデータを 埋 めます 微 分 方 程 式 で 使 われる 表 分 かり 易 いユ-ザ-インタ-フェイス BESSEL independent var x initial value 0. final value 50 step num 500 output num 00 equation num dependent var y y y y initial value expression id () () () () 一 般 に 初 期 値 の 設 定 は 少 し 面 倒 です 初 期 値 が 不 適 切 であれば 解 は 求 まりません xの 初 期 値 は0.にします 0ではこの 方 程 式 の 表 現 では 発 散 します ここでy,y 等 は 便 宜 上 Bessel 関 数 を 使 って 求 めておきます ステップ 数 は 計 算 アルゴリズムの 精 度 に 関 連 します 出 力 データ 数 はステップ 数 を 超 えない 値 です 式 番 号 は 必 ず カルキングの 式 番 号 機 能 で 入 力 してください () この 表 を 選 択 して 実 行 メニューの 方 程 式 の 微 分 方 程 式 を 実 行 します ダイアログの グラフ 化 と 従 属 変 数 に 代 入 をチェックします これでグラフ 表 示 が 出 ます 微 分 方 程 式 の 解 のグラフ 表 示 ここで 同 時 にデータも 表 示 できます 従 属 変 数 のそれぞれの 右 肩 に 文 字 修 飾 で{0}を 付 けた 変 数 を 配 列 に 見 立 てて そこにデータがセットされています データの 値 を 表 示 するときは プロパティの 書 式 の ページ 境 界 で 折 り 返 し を 指 定 してください 有 効 桁 数 にも 注 意 してください 以 下 にそれぞれの 値 の 一 部 を 表 示 します 微 分 方 程 式 の 解 のデータ 表 示 {0} y ={0.9975, , 0.96, 0.865, 0.78, 0.597, 0.58, 0.078, 0.6, 0.05,-0.00, -0.08, -0.98, , -0.98, -0.06, -0.87, -0.96, -0.96,-0.09,...} {0 y ={0.099, 0.77, 0.87, 0.886, 0.78, 0.5, 0.570, 0.588, , 0.59,0.687, 0.900, 0.97, 0.960, 0.09, -0.09, , -0.96, , -0.09,-0.8,...} {0 y ={0.00, 0.05, 0.09, 0.085, 0.7, 0.960, 0.58, 0.9, 0.759, 0.8,0.599, 0.8, 0.86, 0.7, 0., 0.96, 0.50, 0.68, 0.800, 0.097,0.0070, ,...} {0 y ={ 0, , 0.00, 0.0, 0.059, 0.060, 0.07, 0.068, 0.6, 0.90, 0.67, 0.85, 0.80, 0.677, 0.999, 0.5, 0.6, 0.6, 0.59, 0.86, 0.7, 0.89, 0.5,...}

32 <ActiveX(OLE) 機 能 > 他 のアプリケーションとの 双 方 向 やりとり 可 能 コンテナ 機 能 ( 他 のアプリケーションからカルキングへ) Rを 定 数 とするとき 半 径 Rの 球 に 内 接 する 直 円 錐 の 体 積 の 最 大 値 を 求 めよ また そのときの 高 さを 求 めよ ワードアート 解 説 直 円 錐 の 底 面 の 半 径 を r 高 さを h 体 積 をVとすると 0<h<R r + (h-r) = R よって であるから r =R - (h-r) = h(r-h) V= r h = h (R-h) = Rh - h p p p p R h dv d = ( Rh p - h p ) = Rh p -h p = p h( R-h) dh dh r カルキングで 作 成 サーバー 機 能 (カルキングから 他 のアプリケーションへ) Ms-Word(ワードパッド)への 貼 り 付 け 例 二 次 方 程 式 a, b, cは 定 数 a 0 として ax +bx+c=0 の 形 であらわされる 方 程 式 を xについての 二 次 方 程 式 という 方 程 式 を 満 たす 変 数 の 値 を その 方 程 式 の 解 または 根 といい 解 をすべて 求 めることを その 方 程 式 を 解 くという 二 次 方 程 式 の 係 数 は 実 数 を 表 すものとする 因 数 分 解 による 解 き 方 左 辺 の 二 次 式 が 因 数 分 解 できれば 解 を 求 めることができる 例 題 ワ ド カ ル キ ン グ ワ ド 次 の 方 程 式 を 解 け x-x-5=0 [ 解 ] 左 辺 を 因 数 分 解 して (x-)(x+5)=0 ゆえに または x-=0 x+5=0 したがって 求 める 解 は x=, カ ル キ ン グ

33 <ユーザーパレット> ユーザーパレット 上 でクリックするだけで カーソルの 置 かれている 場 所 に クリックした 文 字 などが 入 力 されます 作 成 するドキュメントに 応 じて 様 々なユーザ 定 義 パレットをいくつも 作 成 できるため 非 常 に 便 利 です しかも ただの 数 学 記 号 や 文 字 だけではなく 数 式 そのものも 定 義 できます これで 数 式 などを 含 んだ 複 雑 なドキュメント 作 成 も あっという 間 です k å aiju j=f i (t,x) ( i=,, k ) j= ただし (m),n a = å a (t,x) ij k ij m +n m j x x t m n x=( x,..., x n ) μ=(μ,...,μ ) n m n n, μ =μ +...+μ n カスタマイズしたユーザ 定 義 パレット x x n a i,j x 標 準 ユーザーパレット カスタマイズしたユーザ 定 義 パレット 単 位 計 算 a b c d e f g h i j Unit_Suffix k l m n o p q r s t =05. cm m km cm m km m u v w x y z g mg kg 5 g+68 mg+0.85 kg=879g68mg A ma ka 標 準 ユーザーパレット 三 角 関 数 標 準 ユーザーパレット a b c d e f g h i j sin( A± B) =sinacosb± cosasinb sin( A± B) =sinacosb± cosasinb k l m n o p q r s t cos( A± B) =cosacosb sinasinb cos( A± B) =cosacosb sinasinb u v w x y z tana± tanb tana± tanb tan(a+b)= tan(a+b) = tanatanb tanatanb 標 準 ユーザーパレット 科 学 反 応 式 カスタマイズしたユーザ 定 義 パレット a b c d e f g h i j C+O CO H k l m n o p q r s t O HO CH H O H +O CO CO NH CH u v w x y z CH +O CO +HO CH CH 5 OH C H + O CO +H O t m m 作 図 部 品 パレット 作 図 機 能 で 描 画 された 図 を 図 形 パレットに 登 録 挿 入 できます 作 図 時 の 効 率 も 大 幅 に 向 上 します CH O NHCOCH CH O CH O O OCH R L C i e R e L e C e 5

34 Dグラフの 概 要 < 関 数 グラフ 基 本 > ノーマル 型 媒 介 変 数 型 陰 関 数 型 データ 型 があります グラフウィンドウ 上 に 作 成 し 必 要 に 応 じてカルキングドキュメントに 貼 り 付 けられます 貼 り 付 けたグラフは 再 編 集 できます 編 集 機 能 ( 拡 大 縮 小 等 )の 充 実 により 様 々な 表 現 が 可 能 です しおり 機 能 により 構 図 の 一 時 保 存 ができます つのグラフウィンドウに 最 大 00 個 迄 のグラフを 描 くことができます 同 時 作 成 各 グラフごとの 設 定 ( 色 線 の 太 さ 等 ) ノーマル 型 媒 介 変 数 型 データ 型 の 混 在 が 可 能 です 複 数 グラフの 同 時 作 成 a(x)=0.x - b(x)=sin x+cos c(x)= ó õ0 x e t dt+ d(x)= e x sinx y= x + x グラフの 編 集 6 x(t)=(t-sint) y(t)=(-cost) e ex- x 568 ( 媒 介 変 数 型 ) サイクロイド [ 媒 介 変 数 型 ]コマンドで 縮 小 パラメータの 範 囲 変 更 作 成 (デフォルト 値 ) 等 方 性 目 盛 指 定 文 字 (コメント)の 挿 入 グラフの 表 示 方 法 グリッドの 表 示 なしで 背 景 色 を 変 える グラフの 枠 表 示 なし グラフのみを 表 示 6

35 円 だ 円 パラメータ 型 x ( t)=sint x ( t)=sint カテナリー( 懸 垂 線 ) ノーマル 型 f ( x)= ( e x + e -x ) < 関 数 グラフD> f ( x)= - ( e -x + e x ) 伸 開 線 (インボリュート) サイクロイド パラメータ 型 x( q)=5(cos q+ qsin q) y ( t)=cost y ( t)=cost f ( x)= ( + e - ) f ( x)= - ( e - + ) y( q)=5(sin q-qcos q) e x x x e x パラメータ 型 x ( q)= ( q- sin q ) y ( q)= ( - cos q ) x ( q)= q-sinq y ( q)=-cosq 減 衰 振 動 曲 線 ノーマル 型 y= e -x sin5x y= e -0.00x sin5x y= e -0.x sin0x 条 件 式 のグラフ ノーマル 型 x (x<0) f(x)= x (0 x<) x ( x) パラメータ 型 sinq cos q (0< q< p) x( q)= sinqcos q ( p q< p) sin sin (0< < ) y q q q p ( q)= sinqsin q ( p q< p) グラフの 回 転 変 換 式 a( t)= xcost-ysint b( t)= xsin t+ ycost 楕 円 x( q)=sinq y( q)=cosq a( t)=sint p cos - cos t p sin b( t)=sint p sin +cost p cos 放 物 線 y= x a( t)= t p cos -t p sin b( t)= t p sin + t p cos t= p 極 座 標 形 式 のグラフ 媒 介 変 数 型 グラフへ 変 更 する 代 数 らせん(アルキメデスのらせん) x( q)=5(cos q+ qsin q) x( q)= qcosq y( q)=5(sin q-qcos q ) y( q)= qsinq r= f( q ) x( q)= f( q)cosq y( q)= f( q)sinq グラフの 応 用 r= aq x( q)= aqcosq y( q)= aqsinq -7 多 角 形 を 描 く( 円 の 応 用 ) - x( q)=cosq 五 角 形 x( q)=cos( q- 5 ) 三 角 形 y( q)=sinq y( q)=sin( q- 5 ) (0 q p ) (0 q p) 分 割 数 分 割 数 5 放 物 らせん 逆 らせん x( q)= q cosq x( q)= cos q q y( q)= q sinq y( q)= sin q q 直 線 を 描 く f ( x)={ 0 x< x( t)= y( t)={ t 0 t< g( x)={ x 0 x< 0 7

36 < 次 元 陰 関 数 グラフの 例 > y =x (-x ) x +y =6xy y (x -)=x < 次 元 対 数 グラフの 例 > y=logx y=e x (X 軸 : 常 用 対 数 スケール 使 用 ) (Y 軸 : 自 然 対 数 スケール 使 用 ) () () (-) (-) 0 () () (-) (-) < 次 元 関 数 グラフの 例 > f(x,y)=x -xy f(x,y)=sinxsiny x(t,u)=cost (+cosu) y(t,u)=sint (+cosu) z(u)=.5sinu 0 0 Z Y X Z Y X 0 (0<t< p, 0<u< p).5 Z Y - 0 X x(u,v)=(+sinu)cosv y(u,v)=u z(u,v)=(+sinu)sinv (-0<u<0, 0<v< p) z y x 8

37 シーケンス 型 関 数 グラフ シーケンス 型 グラフは 複 数 の 関 数 グラフを 時 系 列 的 に 表 示 します 従 って 複 数 個 のパラメータデータが 必 要 になります パラメータデータは 組 のみです 例 ノーマル 型 a={,.,.,.,.,.5,.6,.7,.8,.9, } y=ax 代 入 定 義 選 択 して 実 行 - D-グラフ - ノーマル 型 でダイアログ 画 面 が 表 示 されますので OKボタンを 押 します 右 のグラフウインドウが 表 示 されます 実 行 ボタンを 押 すと 直 線 が 変 化 します 実 行 ボタン 停 止 ボタン コマ 送 り コマ 戻 し リセット 例 ノーマル 型 y=ax 同 じように 実 行 してみてください 放 物 線 の 丸 みが 変 化 します カルキングのシーケンス 型 では00 個 のデータまで 表 示 できます 規 則 的 データの 作 り 方 は 数 列 生 成 ボタンを 利 用 すると 便 利 です 例 ノーマル 型 b= N 代 入 定 義 y=bx この 関 数 グラフはよりきめ 細 かな 動 きになります 9

38 例 ノーマル 型 c= 0 N0..0 代 入 定 義 y=e cx 例 5 パラメータ 型 x( t) =csint y( t) =ccost 二 つの 式 を 選 択 して 実 行 - D-グラフ - パラメータ 型 円 が 拡 大 します 例 6 sin 曲 線 A= k=5 w=0 代 入 定 義 代 入 定 義 代 入 定 義 t= N 代 入 定 義 y=a sin( kx - w t) + A cos( ( k+) x-wt) この 例 はより 複 雑 な 進 行 波 になります パラメータデータは いろいろな 作 り 方 があります 数 列 生 成 ツールバーの R の 利 用 も 便 利 です 0 d= R + k k=0 0 代 入 定 義 d={,.,.,.,.,.5,.6,.7,.8,.9, 5} 計 算 0

39 < 作 図 機 能 > ( ドロ- 系 の 作 図 機 能 ) 中 心 を 指 定 する 方 法 で 円 弧 を 作 成 します 両 端 を 指 定 する 方 法 で 円 弧 を 作 成 します テキストの 背 景 部 分 は 枠 線 のない 長 方 形 を 作 成 して 円 弧 の 一 部 を 削 除 しています 直 線 曲 線 多 角 形 等 の 基 本 機 能 正 多 角 形 円 弧 扇 型 60 各 頂 点 への 自 動 スナップ 自 由 領 域 への 網 掛 け 多 様 な 矢 印 機 能 ( 大 きさ 向 き 等 ) 作 図 モ-ドのもとで 文 字 数 式 関 数 グラフとの 重 ね 書 き 使 用 O 各 軸 の 目 盛 りは 点 ツールの 目 盛 りスタイルを 使 用 しています 目 盛 りの 幅 は 編 集 - 位 置 合 わせ コマンドで 均 等 化 しています 領 域 の 網 掛 け 部 分 は 連 続 直 線 ツールを 使 用 しています 領 域 の 内 側 をクリックしながら トレースして 最 後 に 閉 じた 図 形 にします 仕 上 げに 枠 線 を なし にして 黒 で 塗 り 潰 して 網 掛 けのスタイルを 指 定 します y θ P'(x', y') Q' P(x, y) PからP へのベクトルの 回 転 は まずカット&コピーでコピーを 作 成 し ドラッグして 同 じ 位 置 に 移 動 します 次 に 回 転 軸 を 原 点 に 移 動 して 適 当 に 回 転 します 他 のベクトルや 補 助 線 の 回 転 も 同 様 です θ Q x

40 いろいろな 立 体 の 作 図 ( 見 取 り 図 と 展 開 図 ) 角 柱 円 柱 三 角 すい 底 面 はグラフで 点 線 の 半 円 と 実 線 の 半 円 を 作 成 し グラフのみをグラフの 大 きさを 適 当 にかえて 貼 り 付 ける 円 すい 底 面 はグラフで 点 線 の 半 円 と 実 線 の 半 円 を 作 成 し グラフのみをグラフの 大 きさを 適 当 にかえて 貼 り 付 ける 直 方 体 六 角 柱

41 カルキング 平 面 図 形 直 線 AB 線 分 AB 半 直 線 AB A B A B B A 角 AOB 垂 直 AB CD 平 行 AB ³ CD A C B O B A B A D 円 O D C AB B おうぎ 形 A 弦 AB O おうぎ 形 中 心 角 中 心 角 正 多 角 形 正 三 角 形 正 方 形 正 五 角 形 正 六 角 形 線 分 ABの 垂 直 等 分 線 AOBの 等 分 線 A A B O B

42 直 線 線 分 の 作 り 方 直 線 ツールで Shift をおしながら 直 線 を 引 きます 点 ツールで 点 を 作 り 作 図 オプションの 点 の 種 類 で 半 径 :を 選 び 内 部 の 色 を 黒 にします 角 の 作 り 方 角 は 円 弧 ツールで 作 図 オプションの 円 弧 の 種 類 を 扇 形 にして 作 成 し 内 部 の 色 を 灰 色 にします 垂 直 の 作 り 方 垂 直 を 表 す 四 角 は 長 方 形 ツールで Shift をおしながらマウスをドラッグして 正 方 形 を 作 ります 作 成 してから 適 当 な 位 置 に 移 動 します 移 動 は 矢 印 キーを 使 ってドット 単 位 で 行 えます 平 行 の 作 り 方 まず 直 線 を 作 って 作 図 オプションで 矢 印 の 種 類 で 終 点 に 付 けるを 選 び 矢 印 のプロパティで 矢 印 の 形 を 適 当 な 形 にします これをコピーして 本 の 矢 印 つき 直 線 にします 次 に 元 の 直 線 を 矢 印 のある 側 にコピーしてつながった 位 置 になるところまで 移 動 します この 直 線 には 矢 印 はつけません これで 直 線 の 真 中 に 矢 印 があるように 作 れます ³ 記 号 はSimplex Martiniにあります または をイタリックにします 円 弧 記 号 の 入 力 ABの 入 力 は 入 力 - 文 字 修 飾 - 円 弧 を 使 います 扇 形 の 作 り 方 おうぎ 形 は 円 弧 ツールで 作 図 オプションの 円 弧 の 種 類 を 扇 形 にして 大 小 個 作 成 し 小 さいほうの 内 部 の 色 を 灰 色 にします 垂 直 等 分 線 角 の 等 分 線 の 補 助 線 の 作 り 方 垂 直 等 分 線 角 の 等 分 線 の 補 助 線 は 円 弧 ツールで 作 成 し 線 のスタイルを 点 線 にします 作 図 とテキストの 関 係 作 図 機 能 で 作 成 した 図 と ふつうに 入 力 した 式 や 文 字 は 別 々のものです 片 方 を 移 動 しても もう 片 方 はそのままですが 空 白 の 削 除 挿 入 は 図 と 式 が 位 置 関 係 を 保 って 移 動 できます

43 サッカーボール Dグラフデータ 型 XーYーZ 軸 白 い 正 六 角 形 の 中 に 黒 い 正 五 角 形 をちりばめた サッカーボールの 形 状 は 正 二 十 面 体 を 完 成 した とろから 始 めます 正 二 十 面 体 は 下 図 のような 構 成 で p-p7の 長 さを L,7のように 表 すことにすると 次 のような 関 係 でし た L,7=L,8=L,9=c L,=L,5=L,6=d c, d は 定 数 正 多 面 体 ですから 原 点 o から 全 ての 頂 点 p ~0 までの 距 離 は 一 定 です 互 いに 隣 接 する 頂 点 同 士 の 間 の 距 離 も 一 定 です Sheet p7 p x y z Z p 0 c d p c d 0 p5 p p6 p d 0 c X p9 p0 p p o p p 頂 点 間 の 距 離 の 関 係 は d= とすれば c= 5- p8 Y p でした p 0 c -d p5 c -d 0 p6 -d 0 c p7 0 -c d p8 -c d 0 p9 d 0 -c p0 0 -c -d p -c -d 0 p -d 0 -c サッカーボールは 辺 の 長 さが 同 じ 正 六 角 形 0 枚 と 正 五 角 形 枚 から 構 成 されています 黒 い 正 五 角 形 から 見 れば 周 りは 全 部 正 六 角 形 で 囲 まれていますが 正 六 角 形 から 見 れば 周 りは 五 角 形 と 六 角 形 が 交 互 に 敷 き 詰 められています 正 二 十 面 体 は 全 ての 面 が 正 三 角 形 で どの 頂 点 を 見 ても 正 三 角 形 が 5 枚 ずつ 集 まっています 頂 点 付 近 の 部 分 を 平 面 で 切 り 落 とすと 切 り 口 は 五 角 形 になります 全 ての 頂 点 に 対 して 同 じように 切 り 落 とし ていくと 結 果 は サッカーボールに 類 似 のものになります 正 二 十 面 体 の 全 ての 稜 線 を 等 分 して 上 記 の 切 り 口 が その 等 分 点 を 通 るように 切 断 すると 切 断 面 が 正 五 角 形 に 正 三 角 形 だった 部 分 は 頂 点 部 分 が 切 り 取 られて 正 六 角 形 になります その 結 果 が サッカー ボールです 元 のなる 正 二 十 面 体 の 座 標 データは 既 にあります 次 ページの Sheet です 全 座 標 点 は 順 番 にたど っていけば 正 二 十 面 体 が 形 成 されます サッカーボールを 作 るには 正 二 十 面 体 の 各 座 標 点 で 次 の 図 のp-p-p-p- のように 追 う 場 合 に p p 各 々の 座 標 点 間 を 分 割 した 点 を p,-p,-p,-p,- p, p, p,-p,-p,5- のように 追 跡 します p, p, p, p5 p p, p5, p5,6 p6,5 p,5 p6 p ( 注 ) Sheet は 小 さな 文 字 にしても ページに 収 め るのは 無 理 なので 印 刷 できない 右 ページにおいて あります 印 刷 データとして 欲 しいときは 印 刷 ページ へ 移 動 させてください 一 筆 書 きに 使 う 頂 点 を 表 Sheet の p 欄 へ 順 番 を 間 違 えないように 抜 け 落 ちがないように 並 べます 各 点 の x-y-z 座 標 は p,の 場 合 には p*+p p, なら p+p* となるように 入 れて 表 を 完 成 させ ます( 計 算 上 全 て で 割 り 付 けるべきだが ここでは 手 抜 き) 実 際 には それだけでは 不 足 する 線 が 発 生 するため 印 刷 した 正 二 十 面 体 のグラフの 中 へ 手 作 業 で 実 際 に 線 を 引 きながら かなりの 量 の 不 足 データを 追 加 挿 入 して 表 を 仕 上 げました この 作 業 は 極 めて 間 違 い やすい 作 業 です (c は 代 入 定 義 が 生 きている ) 表 が 正 しいかどうか? は グラフが 期 待 通 り 書 けたかどうか で 決 めました 勿 論 表 も グラフも 完 成 しています 5

44 グラフを 描 くためには 表 の 項 目 行 ( 行 目 )と 頂 点 名 列 ( 列 目 ) 以 外 の 部 分 を ドラッグして 選 択 状 態 にしま す 実 行 D-グラフ データ 型 [X-Y-Z 軸 ] と 指 示 すると グラフが 作 れます 大 半 の 作 業 は Dのリニアタイプ と 同 様 です Sheet p x y z p 0 c p c 0 p 0 c p 0 c p8 -c 0 p6-0 c p 0 c p7 0 -c p6-0 c p -c - 0 p - 0 -c p6-0 c p8 -c 0 p c 0 p 0 c - p8 -c 0 p - 0 -c p 0 c - p - 0 -c p0 0 -c - p 0 c - p9 0 -c p0 0 -c - p9 0 -c p c 0 p 0 c p9 0 -c p5 c - 0 p 0 c p7 0 -c p5 c - 0 p7 0 -c p -c - 0 p5 c - 0 p0 0 -c - p -c - 0 以 上 のように 一 度 データが 完 成 すると グラフを 好 きなように 回 転 させて 気 に 入 っ たものをビットマップで コピーします Windows のペイントへ 貼 り 付 け 色 入 れします このグラフが ワイヤフレームスタイルであるため 裏 面 ( 視 点 から 見 て 遠 い 部 分 ) が 見 る 人 にとって 煩 わしいものです ペイントで 色 入 れする 際 には 裏 面 サイドの 稜 線 を 全 部 消 去 することが 必 要 です このサッカーボールなら 中 央 付 近 にある 正 六 角 形 のうち 最 大 のものが 直 接 見 える 面 で それに 直 接 接 している 正 五 角 形 を 黒 で 塗 りつぶします 図 A は 塗 り つぶし 完 了 段 階 です ここで 不 要 となった 背 面 側 の 稜 線 を 全 て ペイントの 消 し ゴムで 消 して 図 B で 完 成 です 図 C 図 D 図 A 図 B 改 めて 全 てを 選 択 し コピーをとります 貼 り 付 け 先 は カルキングでも お 手 持 ちの ワープロや 表 計 算 でもOKです 尚 貼 り 付 け 先 で 枠 付 ( 図 C)は 面 白 くありません 枠 の 内 側 を 右 クリックすると プロパティで オブジェクトの 属 性 を 修 正 できます ここで 輪 郭 線 を なし に 指 定 すれば 図 D となってOKです ペイントで 処 理 したビットマップは かなり 重 たいものになります 本 来 小 さかったファイルが ビットマップを 乗 せたお 陰 で 大 きくなり メールで 送 信 する 際 に 驚 くほど 送 信 時 間 が 掛 かります 印 刷 時 のサイズが 小 さ いものは ビットマップでコピーする( 色 入 れ 前 の)サイズを 最 初 から 小 さくしておくことをお 勧 めします 左 の 絵 は フラーレン60 をイメージしたものです 炭 素 ばかりが 60 個 集 まって できた 分 子 で 半 導 体 だそうです 炭 素 原 子 の 存 在 する 格 子 点 は 丁 度 サッカー ボール 型 の 各 頂 点 に 該 当 します 元 は 勿 論 上 記 のグラフです 遠 近 感 を 与 えるためには オプション 作 図 モードをON にして 近 景 のみに 点 と 線 を 入 れました 右 は ペイントで 同 様 の 作 業 をしたものです 以 上 は デ-タグラフと 作 図 の 融 合 例 です 6

45 < 交 差 する 円 筒 の 交 線 の 長 さ> つの 円 筒 (C, C )があり 図 のように 交 差 し b > a とする a b 円 筒 C の 半 径 をa, 円 筒 C の 半 径 をbとし a b このとき C がC に 交 差 する 曲 線 と 長 さを 表 示 せよ a b 交 差 する 曲 線 を 媒 介 変 数 で 表 すと 以 下 のようになる z a C a x z b P C b y a P y a b θ Q P 図 図 x 境 界 線 の 任 意 の 一 点 の 座 標 を x, y, zとする 図 より 図 より y +z =a x +y =b () 式 ()を 式 ()に 用 いると したがって x(t)= b -a cos t y(t)= acost z(t)= asint a= b=5 パラメータtを 用 いると x =b -a cos t Dグラフは 右 のようになる y y=acost () z=asint のときの 長 さは 以 下 の 式 で 求 められる Z Y 図 作 図 機 能 で 作 成 0 X - - ó ô õ0 π dx(t) dt + dy(t) dt + dz(t) dt dt=9.6 小 数 点 以 下 桁 精 度 指 定 代 数 計 算 を 使 った 検 算 dx(t) dt + dy(t) dt + dz(t) dt a cos t-a b = a cos t-b a cos t-a b a cos t-b = a a cos t-b a cos t-b a>0なので π ó ô a õ0 a cos t-b dt=9.6 a cos t-b 小 数 点 以 下 桁 精 度 指 定 a=cm b=5cm のとき π ó ô a õ0 -a cos t+b -a cos t+b dt = cm 定 積 分 値 の 中 での 自 動 単 位 計 算 7

46 < 直 線 に 接 するすべての 円 の 導 出 > 連 立 多 項 式 方 程 式 と 関 数 グラフ 機 能 の 応 用 例 一 般 公 式 ax+by+c=0 に 接 する 円 の 方 程 式 は (ax +by +c) =(a +b )r で 与 えられる 0 0 ここで 中 心 座 標 (x,y ) 半 径 r 0 0 中 心 座 標 を(a,b) 半 径 をrとすると 以 下 の 直 線 に 内 接 する 円 の 方 程 式 は 以 下 のようになります 直 線 の 式 x-5y=0 x+y-9=0 x-y=0 方 程 式 の 全 ての 解 ( 組 ) のとき 連 立 多 項 式 方 程 式 (a-5b) =9r (a+b-9) =5r (a-b) =7r r>0 ( 条 件 式 も 方 程 式 の 一 部 ) a =.8598 a = a = 5.69 a =.75 b =.06 b =.85 b = 5.96 b = -.5 r =.875 r =.9 r =.57 r = つの 円 を 表 す 関 数 群 x(t)=r cos(t)+a x(t)=r cos(t)+a y(t)=r sin(t)+b y(t)=r sin(t)+b 直 線 とこれに 接 する 円 8 x(t)=r cos(t)+a x(t)=r cos(t)+a y(t)=r sin(t)+b y(t)=r sin(t)+b 無 理 方 程 式 ¾ PQRの 底 辺 QRの 長 さを5とする ¾ Pから 底 辺 QRへの 垂 線 をPHとする QHの 長 さをx PHの 長 さをyとする ここでPQとPRの 長 さの 和 が7とする PQHの 面 積 を.としたとき x yの それぞれの 値 を 求 めよ Q P y x H R 作 図 機 能 で 作 成 このとき 方 程 式 は 次 の 無 理 方 程 式 になる x +y + (5-x) +y =7 z= x +y z+a=7 xy=. z =x +y x<5 a= (5-x) +y xy=. a =.0 x =.759 a =(5-x) +y y =.9 連 立 多 項 式 zとaを 導 入 x < 5 z =.9678 方 程 式 を 解 く ニュートン 法 より 楽 に 解 ける n 乗 根 記 号 と 多 項 式 の 組 み 合 わせから 構 成 さ れる 方 程 式 簡 単 な 変 換 規 則 連 立 多 項 式 方 程 式 8

47 公 立 高 等 学 校 入 試 問 題 問 次 の 計 算 をしなさい 数 式 文 書 作 図 表 すべてカルキングで 作 成 (ア) (イ) 7-5 ( - ) (ウ) - 5 (エ) 6 a b 8ab (オ) 7 x + x (カ) - 8 (キ) x( x + ) - ( x - ) 問 次 の 問 いに 答 えなさい (ア) ( x + )( x - 5) + x + を 因 数 分 解 しなさい (イ) 次 方 程 式 5 x - x - = 0 を 解 きなさい (ウ) 不 等 式 x - x - 7 > を 解 きなさい (エ) x の 値 が から まで 増 加 するとき つの 関 数 y = ax と y = 5 x の 変 化 の 割 合 が 等 しくなるような a の 値 を 求 めなさい (オ) 75n が 自 然 数 となるような 自 然 数 n のうち 最 も 小 さい n の 値 を 求 めなさい 問 右 の 図 において 直 線 は 関 数 y = - x + のグラフで あり 曲 線 は 関 数 y = ax のグラフである 点 A,Bはともに 直 線 と 曲 線 との 交 点 で 点 Aの x 座 標 は, 点 Bの x 座 標 は - である 点 Cは 曲 線 上 の 点 で 線 分 ACは x 軸 に 平 行 である また 点 Dは x 軸 上 にあり 線 分 ADは y 軸 に 平 行 である 原 点 をOとするとき 次 の 問 いに 答 えなさい B y (ア) 曲 線 の 式 y = ax の a の 値 を 求 めなさい (イ) 直 線 CDの 式 を y = mx + n とするとき m, n の 値 を 求 めなさい (ウ) 線 分 OBと 線 分 ACとの 交 点 をEとするとき 三 角 形 ABEと 三 角 形 ACDの 面 積 の 比 を 最 も 簡 単 な 整 数 の 比 で 表 しなさい C E O D A x 9

48 問 右 の 図 のように 横 に 長 い 長 方 形 の 盤 があり その 盤 面 は 縦 の 線 で6 等 分 され 左 から 順 に スタート,A,B,C,D,Eと 書 かれている また スタート の 位 置 にはコインが 枚 置 かれている スタート A B C 大 小 つのさいころを 同 時 に 回 投 げ 出 た 目 の 数 によって 次 の,の 操 作 を 順 に 行 い スタート の 位 置 にある コインを 動 かすことにする 大 き いさいころの 出 た 目 の 数 だけ スタート の 位 置 にあるコインをコマずつ右 に 動 かす ただし Eの 位 置 まできたらEで 止 める 小 さ い さいころの 出 た 目 の 数 だけ の 操 作 で 動 かしたコインをコマずつ左 に 動 かす ただし スタート の 位 置 まできたら スタート で 止 める 例 大 き い さいころの 出 た 目 の 数 が 小 さ いさいころの 出 た 目 の 数 が のとき 最 初 に スタート の 位 置 にあるコインを右 に コマ 動 かす の 操 作 後 の 図 スタート A B C D D E E 次 にBの 位 置 にあるコインを左 に コマ 動 かす ところであるが コマ 動 かすとスタート の 位 置 にくるので そこで 止 める この 結 果 コインは 最 後 に スタート の 位 置 にある の 操 作 後 の 図 スタート A B C D E いま コインが スタート の 位 置 にある 状 態 で 大, 小 つのさいころを 同 時 に 回 投 げるとき 次 の 問 いに 答 えなさい (ア) コインが 最 後 にCの 位 置 にある 確 率 を 求 めなさい の 位 置 にある 確 率 を 求 めなさい (イ) コインが 最 後 に スタート 問 5 辺 の 長 さが cm の 黒 い 正 方 形 のタイルと 辺 の 長 さが cm の 白 い 正 方 形 のタイルがある 次 のとをともにみたす 方 法 で 辺 の 長 さが acm の 正 方 形 を 作 る ただし a は 以 上 の 奇 数 である 正 方 形 を 作 る 方 法 黒 と 白 の 種 類 のタイルをかならず 使 い それぞれが 重 ならないよううに すき 間 なくしきつめる 黒 いタイルをできるだけ 多 く 使 い 使 う 種 類 のタイルの 合 計 枚 数 を 最 も 少 なくなるようにする 下 の 表 は a = と a = 5 のときの それぞれのつくられた 正 方 形 の 一 例 と 使 われた 黒 いタイルと 白 いタイルの 枚 数 を 示 したものである つくられた 正 方 形 の 辺 の 長 さ cm 5cm つくられた 正 方 形 の 一 例 黒 いタイルの 枚 数 枚 枚 白 いタイルの 枚 数 5 枚 9 枚 このような 方 法 で 正 方 形 をつくるとき 次 の 問 いに 答 えなさい (ア) 辺 の 長 さが 7cm の 正 方 形 をつくるには 黒 いタイルと 白 いタイルは 合 計 何 枚 必 要 であるか その 数 を 求 めなさい (イ) 使 われた 黒 いタイルの 枚 数 が 白 いタイルの 枚 数 より 枚 多 くなるのは つくられた 正 方 形 の 辺 の 長 さが 何 cmのとき であるか その 長 さを 求 めなさい 0

49 問 6 右 の 図 は 辺 ADと 辺 BCが 平 行 で AD = 0cm, BC = cm, AB = CD = 5cm の 台 形 ABCDを 底 面 とし AE = BF = CG = DH = 7cm を 高 さとする 四 角 柱 である このとき 次 の 問 いに 答 えなさい E F G H (ア) この 四 角 柱 の 側 面 上 に 頂 点 Eから 辺 BFと 辺 CGに 交 わるように 頂 点 Dまで 線 を 引 く このような 線 のうち 最 も 短 い 線 の 長 さを 求 めなさい (イ) 平 行 なつの 線 分 AD,FGを 含 む 平 面 でこの 四 角 柱 を 切 り つの 立 体 に 分 けるとき 頂 点 Bをふくむほうの 立 体 の 体 積 を 求 めなさい 7cm A 5cm B 0cm cm C D 5cm 問 7 右 の 図 のように Aが 鈍 角 の 三 角 形 ABCが 円 Oに 内 接 している いま 点 Cにおける 円 Oの 接 線 と 線 分 BAの 延 長 との 交 点 をDとし ADCの 二 等 分 線 と 線 分 ACとの 交 点 をEとする G また 点 Fを 円 Oの 周 上 に DE ³ CFとなるようにとり 直 線 CDと F 線 分 BFの 延 長 との 交 点 をGとする このとき 次 の 問 いに 答 えなさい C (ア) 三 角 形 ADEと 三 角 形 FBCが 相 似 であることを 次 のように 証 明 した くうらん 空 欄 にあてはまることがらとして 最 も 適 するものを (あ) ~ (う) には A 群 から ( a) ~ ( c) には B 群 から それぞれつ 選 び その 番 号 を 書 きなさい D A E O B [ 証 明 ] ADEと FBCにおいて まず 線 分 DEは ADCの 二 等 分 線 であるから ( a ) また 平 行 線 の 同 位 角 は 等 しいから ( b ) より ADE= GCF さらに (あ) から A 群 ( c ) B 群. 四 角 形 ABFCは 円 Oに 内 接 している. 平 行 線 の 錯 角 は 等 しい. 直 線 CGは 円 Oの 接 線 である. 組 の 辺 の 比 が 等 しい 5. 組 の 辺 の 比 が 等 しく その 間 の 角 が 等 しい 6. 組 角 がそれぞれ 等 しい より ADE= FBC 5 次 に (い) から DAE= BFC 6 5 6より (う) から ADE FBC. ABC = ACD. ADE = CDE. AED = FCB. BAC = CFG 5. CDE = GCF 6. GCF = FBC (イ) ABC=8, AB=ACのとき CGFの 大 きさを 求 めなさい

50 解 答 問 (ア) (イ) (ウ) (エ) a b (オ) (カ) (キ) x x - 6 問 配 点 (ア)~(エ) 各 点 計 点 (オ)~(キ) 各 点 問 (ア) (イ) (ウ) ( x + )( x ± 9 - ) x = x > - 0 (エ) x + 5 問 (ウ)は- < (オ) x も 可 とする 計 6 点 各 点 計 0 点 問 (ア) (イ) (ウ) ABE : ACD a = m = -, n = = 9 : 各 点 計 6 点 問 (ア) (イ) 8 各 点 計 6 点 問 5 問 (ア)は に 点 を 与 える 問 (イ)は に 点 を 与 える 6 6 (ア) (イ) 5 各 点 計 6 点 問 6 枚 cm (ア) (イ) 6 各 点 計 6 点 7 5 cm 8 cm 問 7 問 6(ア)は 5 に 点 を 与 える (ア) (イ) 7 各 点 計 6 点 ( a) ( b) (あ) ( c) (い) (う) CGF= 問 7(ア)は( a)と( b)がともに 正 答 で 点 (あ)と( c)がともに 正 答 で 点 (い)と(う)がともに 正 答 で 点 を 与 える 計 50 点 採 点 上 の 注 意. 中 間 点 は 問 (ア) (イ) 問 6(ア) 問 7(ア) 以 外 には 設 けないこと. 正 の 数 については +の 符 号 をつけても 可 とする. 多 項 式 の 項 の 順 序 積 の 順 序 はlれかわっても 可 とする. 有 限 小 数 で 表 される 分 数 は 小 数 で 表 しても 可 とする 循 環 小 数 になるものを 有 限 小 数 で 表 したり を 用 いて 表 したものは 不 可 とする 仮 分 数 は 帯 分 数 で 表 しても 可 とする 5. 問 (ア) (イ) 以 外 は 分 数 で 約 分 していないものは 不 可 とする 6. 問 6(ア) 以 外 は 根 号 の 中 を 最 も 小 さい 整 数 にしていないもの 分 母 を 有 理 化 していないものは 不 可 とする

51 ( 放 物 運 動 ) < 冬 期 講 習 物 理 > [Ⅰ] 問 ビルの 高 さを h, ある 速 さ( 初 速 )を とおく v 0 y 0 B A,Bにおいて 等 加 速 度 運 動 の 公 式 より O A v 0 (- v 0 ) A: -h= v 0 t - gt v=0 B: -h=-v 0 t - gt g(- g), 式 より hを 消 去 すると v 0 t - gt =-v 0 t - gt ( + )- ( + )( - )=0 v0 t t g t t t t ( t + t ) v 0 - g ( t - t ) =0 t=t t=t -h g( t - t ) 地 面 t +t 0 より, v 0 = 図 問 Aが 最 高 点 では 速 度 が 0 になっているので, 最 高 点 に 達 する 時 刻 を v 0 t -t 0=v 0 - gt 0 t 0 = 式 より, v を 消 去 すると = g 0 t 0 問 最 高 点 の y座 標 を H とおくと 0 -v 0 =(- g) H より, H= g g( t - t ) これに 式 より, v 0 を 消 去 すると 最 高 点 の y座 標 は H= 8 v 0 t 0 とおくと, 問 式 ( 式 でもよい), 式 より, -h= v 0 g( t - t ) gt t t - gt = - 問 5 Aが 再 び 原 点 を 通 過 するときの 速 さは を 消 去 すると 地 面 の y座 標 は であり, これはBが 原 点 から 投 げ 下 ろされた 速 さに 等 しい したがって, Aが 再 び 原 点 を 通 過 してからの 時 間 とAの y座 標 の 関 係 は, Bが 投 げ 下 ろされてからの 時 間 とBの y座 標 の 関 係 と 同 じである また, Aが 再 び 原 点 を 通 過 する 時 刻 は, Aが 最 高 点 に 達 する 時 刻 の 倍 ( )であるから, Aのグラフは, Bのグラフ ( t<0の t 0 破 線 部 分 も 含 む)を t軸 の 正 方 向 に t 0 だけ 平 行 移 動 したもの である 一 方, Bのグラフより, に 相 当 する 時 間 は t軸 の5 目 盛 り 分 の t 0 時 間 であることがわかる 以 上 のことから, グラフは 図 (a) のようになる v 0 B y A t t t -t 0 0 t 0 破 線 はBの 運 動 を 表 すグラフを 延 長 した ものである 図 (a)

52 ( 小 球 の 運 動 ) 問. 力 学 的 エネルギー 保 存 則 より, mv = (cosθ-cos60 ) mgr v= gr(cosθ-) O 60 r θ rcos60 問. 円 運 動 の 運 動 方 程 式 より v m =N-mgcosθ r vを 代 入 すると gr(cosθ-) N= m r = mg(cosθ-) +mgcosθ 問. 点 Cは θ=0 の 点 であるから, 問 の 結 果 に θ=0 を 代 入 して = v C gr F h g rcosθ v C X ' D E X 図 h C N v v a= r B θ mg mgcosθ A 問. C D の 時 間 を t とすると h= gt したがって, t= 問 5 ローレンツ 力 は 運 動 の 方 向 に 垂 直 に 作 用 するから, ローレンツ 力 がする 仕 事 は 0である したがって, ローレンツ 力 によって 速 さは 変 化 しないので, Bにおける 速 さは 問 の に 等 しい v (a) 図 のように, 磁 界 の 向 きが 紙 面 の 裏 から 表 の 場 合, ローレンツ 力 は 円 の 中 心 の 向 きになるから, h g XD=v C t= hr O 60 r rcos60 θ g rcosθ A 円 運 動 の 運 動 方 程 式 より = + - cosθ m r v N qvb mg vを 代 入 して, Nについて 解 くと, N= mg(cosθ-)- qb gr(cosθ-) (b) 磁 界 の 向 きが 紙 面 の 表 から 裏 の 場 合, ローレンツ 力 は 円 の 中 心 と 反 対 の 向 きになるから, v 円 運 動 の 運 動 方 程 式 より m =N-qvB-mgcosθ r B N a v ローレンツ 力 qvb θ mgcosθ mg 図 ローレンツ 力 が 働 いても 垂 直 抗 力 が 減 少 し, 向 心 力 は 変 化 しないことがわかる N= mg(cosθ-)+ qb gr(cosθ-) 問 6 点 Cでの 小 球 の 速 さ v 0 は 問 で 求 めた v C に 等 しいから v 0 =v C = gr 問 7 図 のようにCで 水 平 投 射 されたとき, 小 球 にはたらく ローレンツ 力 が 鉛 直 下 向 きの 成 分 をもてば Dより 手 前 のEに 落 ちる フレミング 左 手 の 法 則 より, 磁 場 の 向 きは 紙 面 の 表 から 裏 の 向 きで ある 答 え () D B E v 0 ローレンツ 力 図 問 8 図 のように, 磁 場 の 向 きが 紙 面 の 裏 から 表 であれば, ローレンツ 力 と 重 力 がつり 合 い 直 進 するので B q ローレンツ 力 qv 0 B v 0 = = qv 0 B mg B m q g r mg 図

53 ( 物 体 を 乗 せた 台 車 とばねの 衝 突 ) 運 エネ: ( M+ m) V V () 求 めるばねの 縮 みを x 0 とすると, B 力 学 的 エネルギー 保 存 則 より A M+m ( M + m ) V = = 机 kx 0 x 0 V k C バネ () Aが 板 C(バネ)と 接 触 している 間 のAとBの 運 動 方 程 式 は k ( M+ m) a=- kx a=- x M + m したがって, Aがばねと 接 触 している 間 は, k x=0 を 中 心 として, 角 振 動 数 ω= M+m の 単 振 動 をする 自 然 長 の 位 置 にもどると 離 れ, 等 速 直 線 運 動 になる BはAに 固 定 机 O x 弾 性 エネ: B kx0 C A O x 0 x 補 足 単 振 動 のグラフは 三 角 関 数 であるが, 最 大 値, 最 小 値,0 になるポイントを 探 してグラフを 描 けばよい 式 にするときは, このグラフを 元 に 立 式 する dx x=asin(ω t+φ), v= = A ωcos(ω t +φ), a =- A ω sin(ω t+φ) などを 用 いる 必 要 はない dt x v a x 0 V O T 時 間 O -V 時 間 O 時 間 T t<0, < t では 等 速 運 動 だから, 一 次 関 数 となる 傾 きは 速 度 Vであるが, 正 確 には 書 き にくいのでなめらかにつなげて 描 けばよい T t<0, < t では 等 速 運 動 だから 速 度 一 定 となる x 単 振 動 しているとき, a=-ω の 関 係 があるので, x のグラフを 反 転 せたグラフになる () 慣 性 力 は,Aの 加 速 度 と 反 対 向 きにはたらき,- ma である 慣 性 力 ma B mk したがって, 慣 性 力 は F=-ma= x となる M + m A AとBの 加 速 度 の 大 きさが 最 大 になるのは,バネの 縮 みの 最 大 値 x= x 0 のときだから, Bにはたらく 慣 性 力 の 大 きさの 最 大 値 は F = mk mk M+m k x0 = V = mv M+m M + m k M+m () ポイント 滑 り 始 めるとき, 最 大 静 止 摩 擦 力 がはたらいている ばねの 縮 みが y になったときのAとBの 加 速 度 を a' とすると, k 運 動 方 程 式 は ( M+ m) a' =- ky a' =- y M + m このとき, Bにはたらく 静 止 摩 擦 力 が 最 大 摩 擦 力 になっているから, AとBの 間 の 静 止 摩 擦 力 をμとすると, A 上 から 見 たBにはたらく 力 のつり 合 いより, ky m a' =μ mg μ= ( M + m ) g 最 大 静 止 摩 擦 力 μmg 机 a' a 慣 性 力 B m a' A ky C ky O y x 5

54 ( 回 転 板 上 の 振 り 子 ) 円 筒 中 心 軸 問 重 力 と 遠 心 力 の 合 力 (みかけの 重 力 )と 円 筒 面 から 受 ける 抗 力 が 円 筒 mr つり 合 うから tanθ= ω Rω = mg g a 小 物 体 別 解 水 平, 鉛 直 方 向 のつり 合 いより, mrω =Nsinθ, mg=ncosθ sinθ mrω ω Nを 消 去 すると, tanθ= = = cosθ mg g R 図 問 図 -のように, 見 かけの 重 力 加 速 度 を g' とすると, 三 平 方 の 定 理 より, 円 筒 = ( ) +( ω ) = +( ω ) mg' mg mr g' g R ω 問 の 式 で と 置 き 換 えればよいから T 0 g g' θ T=π a g' 回 転 台 R g g T = T 0 = T g' 0 g +( Rω ) 図 問 問 の 結 果 を 近 似 する g T=T 0 g +( Rω ) R = + ω T 0 = T (+tan θ) g 0 - 円 筒 - tan T 0 θ 遠 心 力 θ N a mrω 0.5 題 意 より T が T より 0.5% 小 さいから, = - となる θ 0 T T 00 0 図 - mg この 式 に を 代 入 すると, tan T θ=0.005 tanθ= 0 見 かけの 重 力 mg' したがって, 遠 心 力 の 大 きさは mrω =mgtanθ= mg 0 ω 問 5 遠 心 力 mrω を 見 かけの 重 力 と 考 える 円 筒 このときの 見 かけの 重 力 加 速 度 を g'' とすると, mg'' = mrω g'' =Rω 回 転 台 φ (a) 力 学 的 エネルギー 保 存 則 より, mv = mg''a = = ω v g''a Ra 図 (b) 初 速 度 が v 0 = v のとき, はじめて 円 運 動 になったことから, φ=πで 円 筒 内 面 からの 抗 力 が 0 になる この 位 置 での 小 物 体 の 速 さを v とおくと 力 学 的 エネルギー 保 存 則 より, mv = mv + mg'' a g'' mg'' 円 筒 φ v 円 運 動 の 運 動 方 程 式 より, v m a = mg'' 式 より v を 消 去 すると v = 5g''a = ω 5Ra v 図 - 6

55 5 ( 極 板 間 にはたらく 力 ) () コンデンサーに 蓄 える 電 荷 は 微 小 電 荷 Δq を 運 ぶのに 導 体 q= Cv [C] +q 必 要 な 仕 事 量 は ΔW =vδq () 微 小 電 荷 Δq を 導 体 から 導 体 まで v[v] Δq Δq 運 ぶのに 必 要 な 仕 事 は q 導 体 ΔW = vδq= [J] C Δq 図 - 図 () 図 -のように, v-qグラフの 面 積 が 仕 事 に 相 当 するから 仕 事 の 総 和 は 三 角 形 の 面 積 になる したがって, Q Q W= QV= Q = [J] C C 補 足 電 荷 を 運 ぶのに 要 した 仕 事 が, コンデンサーに 静 電 エネルギーとして 蓄 えられる S () 極 板 間 隔 が Δx だけ 減 少 したので, 電 気 容 量 は C=ε 0, d S C+ΔC =ε 0 と 表 される d - Δx 電 圧 v Q V= C ( q+ Δq)/ C q/ C Δqは 微 小 だから 電 圧 v は 変 化 しない 0 Δq Q q 図 - 外 力 f 面 積 が 仕 事 ΔW Δq v Q したがって, コンデンサーの 静 電 エネルギーの 変 化 は Δx 移 動 F d Q Q Q d-δx d Q Δx ΔW= - = - = Q ( C + ΔC ) C ε 0S ε 0S ε 0 S 電 荷 は Q で 保 存 される 電 界 による 力 F がする 仕 事 FΔx により, 静 電 エネルギーは 失 われるので FΔx=- ΔW となる よって, 極 板 間 引 力 は 極 板 間 引 力 Fは 仕 事 とエネルギー の 関 係 を 用 いて 求 める ΔW Q F=- = [N] Δx ε 0S 補 足 極 板 間 引 力 は F= QE となることは 覚 えておいた 方 がよい ガウスの 法 則 で 証 明 できる Q Q V F= QE= Q = = d Cd ε 0 S Δx 移 動 外 力 f Q' F Q' d 電 荷 q V (5) 仕 事 とエネルギーの 関 係 より, 静 電 エネルギーの 変 化 ΔW は 電 源 から 供 給 されるエネルギー ΔW e から 電 界 による 力 した 仕 事 FΔx を 引 けばよいから ΔW=ΔW e - FΔx FΔx=ΔW e - ΔW [J] (6) 静 電 エネルギーの 変 化 は ΔW= ( C + ΔC ) V - CV = ΔC V [J] 電 源 が 接 続 されている ので, 電 圧 は で 一 定 V (7) ポイント 電 源 の 負 極 から 正 極 に 向 けて 移 動 した 電 荷 を ΔQ とおくと, 電 源 がした 仕 事 ( 電 源 から 供 給 されるエネルギー)は ΔW e = ΔQ Vである ΔQ は コンデンサーの 電 荷 の 変 化 量 に 等 しいから ΔQ=( C+ ΔC) V-CV= ΔCV ΔW e = ΔQ V= ΔC V ΔW に 等 しい (8) 電 気 容 量 の 変 化 は ε0 S ε ΔC= - d-δx d 0 S ε = d 0 S - - Δx/ d ε 0 S d Δx + d - = ε0 SΔx d 7

56 人 口 密 度 = 人 口 面 積 < 表 機 能 > 世 帯 当 り 人 数 = 人 口 世 帯 数 北 海 道 県 名 人 口 世 帯 数 面 積 人 口 密 度 世 帯 当 り 人 数 北 海 道 合 計 複 数 の 表 で 使 う 式 を 関 数 として 定 義 しておくと 表 の 中 で 計 算 可 能 縦 方 向 の 余 白 つき 漢 字 フォントも 使 える 表 は 画 面 上 どこにでも 配 置 できる 東 北 県 名 人 口 世 帯 数 面 積 人 口 密 度 世 帯 当 り 人 数 青 森 岩 手 宮 城 秋 田 山 形 福 島 集 計 操 作 は 合 計 ワンタッチ 表 の 名 前 で 修 飾 し 表 の 外 でも 参 照 できる 縦 方 向 の 余 白 なし a 東 北. 青 森 ={79, 585, 965,.9,.68} 東 北. 人 口 ={79, 07, 865, , 689, 0906, 9566} numerical_table 5 log a a n aó x d x a e å a n= õ p p p p p 表 の 中 には 数 式 も 記 述 でき 計 算 できる 表 の 名 前 を 使 って 表 の 値 を 参 照 する 6 å numerical_table =.657 k= 6,k 項 目 米 0,000 パ ン,000 主 食 麺,000 そ の 他 0 合 計,000 野 菜 果 物 7,000 肉 魚 0,000 乳 製 品,000 副 食 卵,000 そ の 他 5,000 合 計 8,000 菓 子 類,000 酒 5,000 嗜 好 品 飲 料,000 そ の 他 0,000 合 計 8,000 外 食 7,000 合 計 87,000 表 の 中 に 表 を 挿 入 でき 表 の 名 前 で 参 照 可 能 野 菜 果 物 7,000 肉 魚 0,000 乳 製 品,000 卵,000 そ の 他 5,000 合 計 8,000 食 費. 合 計 = 嗜 好 品. 合 計 + 副 食. 合 計 + 主 食. 合 計 + 食 費. 外 食 8

57 < 表 を 使 った 数 式 作 成 > 変 数 に 範 囲 があるときの 次 関 数 の 最 大 最 小 次 関 数 f( x)= ax + bx+ c ( a 0) の 区 間 α x β における 最 大 最 小 は y= f( x) のグラフの 対 称 軸 x= p の 位 置 によって 場 合 分 けして 求 められる まず ax + bx+ c の 平 方 完 成 a( x- p) + q を 求 める a( x- p) + q= ax - apx+ ap + q ax + bx+ c と 係 数 を 比 較 して b -ac p=-, q =- a a b b=-ap c= ap + q 次 関 数 の 最 大 最 小 を 表 にまとめると 三 角 比 したがって したがって b p=- a - q= c- ap b ac b = c-a - = a a b p を - で 置 き 換 えて 代 数 計 算 a α+β α+β p α α p p β β p α>0 最 大 値 f (β) f(α) 最 小 値 f(α) f( p)= q f(β) α<0 最 大 値 f(α) f( p)= q f(β) 最 小 値 f(β) f(α) q q sinq cosq tanq p p p p p p p p

58 カルキングのプログラミング 機 能 ( 入 門 編 ) Sheet 表 データを 操 作 するスクリプトの 例 ()プログラム 例 表 Sheetの 全 体 で 値 が0 以 上 のものを 合 計 する a=0 ( for K = to 5 step ) ( for L = to step ) b=sheetl,k a=a+b b³ 0 a=986 ()プログラム 例 表 Sheetの 第 x 列 中 で 値 が0 以 上 のものを 合 計 する 関 数 TableSum( x ) a=0 ( for k = to 5 step ) b=sheet x,k a=a+b b³ 0 return a ()プログラム 例 ( 他 の 表 への 出 力 ) 表 Sheetの 各 行 の 合 計 をSheetにセットする Sheet ( for k = to 5 step ) Sheet = Sheet,k å L= L,k TableSum()=7 TableSum()=8 TableSum()= ()プログラム 例 ( 他 の 表 への 出 力 ) 表 Sheetの 各 行 の 合 計 の 二 乗 をSheetにセットする Sheet 5 ( for k = to 5 step ) 77 Sheet = Sheet 569,k å L,k L=

59 <フーリエ 展 開 > 0 a f( x) = + å ( a cosnx + b sinnx) n= a = n f( t) cos( kt) dt π ó π õ-π n n カルキングスクリプトの 計 算 例 b = n f( t) sin( kt) dt π ó π õ-π 実 行 例 FourierExpansion( f,x,n ) var a,b,c,s,s c= f(t) dt π ó π õ-π s= Æ c <0 s=" c " ( for k = to n step ) a= π ó f( t) cos( kt) dt π õ-π b= π ó f( t) sin( kt) dt π õ-π s=" x " k= s=" k x " s=s+" a cos s " a<0 s=s+"+ a cos s " a>0 s=s+" b sin s " b<0 s=s+"+ b sin s " b>0 return s f(x)=x -6 関 数 定 義 特 徴 簡 素 な 変 数 宣 言 スクリプト(プログラム)の 中 で 自 然 な 数 式 が 書 ける 文 字 列 操 作 もできる FourierExpansion( f,"x",0 )=+.0000sinx-.0000sinx sinx sin x+0.006sin5x-0.97sin6x sin7x-0.56sin8x+0.60sin9x-0.0 9sin0x 展 開 された 部 分 を 使 って 関 数 グラフ 作 成 F(x)=+.0000sinx-.0000sinx sinx sinx sin5x-0.97sin6x sin7x-0.56sin8x +0.60sin9x-0.09sin0x

60 カルキングに ExcelとCADを 貼 り 付 けた 例 文 書 と 数 式 はカルキングで 作 成 図 はCAD. 表 はExcel で 作 成 し貼 り 付 け (a) 荷 重 計 算 数 値 は 適 当 にいれています カルキングにCADのデ-タを 貼 り 付 けた 例 M G 0. 8 M M S. 67 M S. 665 M B CADの 図 を 貼 り 付 け スラブ 荷 重 0.06 ( ) 0000=8 (kg) 大 梁 荷 重 =0 小 梁 荷 重 0.0 ( ) 0000=0 総 荷 重 W=8+0+0=985 PH= = (kg) (kg) (kg) (kg) カルキング で 作 成 カルキングにExcelのデ-タ-を 貼 り 付 けた 例 上 記 のCAD 図 との 関 連 性 はありません 荷 重 計 算 (cm 当 り) 数 値 は 適 当 にいれています 固 定 荷 重 : W = = (kg/m) 仮 設 荷 重 : W = 80 = 80 ( ) 衝 撃 荷 重 : W = ( W + W ) 0.0 = 00 ( ) 作 業 荷 重 : W = 80 ( ) 荷 重 合 計 : ΣW = W + W + W + W = 78 ( ) 単 位 荷 重 : (cm 当 り) w 0 = (kg/cm) Excelで 作 成 した 表 を 貼 り 付 け 5

61 Excelとの 連 携 Excel のデータをカルキングに 取 り 込 み 計 算 した 結 果 を Excel でグラフに してカルキングに 貼 り 付 ける 県 名 人 口 世 帯 数 面 積 茨 城 栃 木 群 馬 埼 玉 千 葉 東 京 神 奈 川 合 計 データの 取 り 込 み Excelのデータをコピーする Excelのデータ 表 の 貼 り 付 け を 行 い データを 取 り 込 む 関 東 県 名 人 口 世 帯 数 面 積 茨 城 栃 木 群 馬 埼 玉 千 葉 東 京 神 奈 川 合 計 貼 り 付 けたカルキングの 表.データを 使 って 計 算 する 計 算 する 式 を 関 数 定 義 する 人 口 密 度 = 計 算 するための 列 を 右 上 の 表 に 追 加 する 人 口 面 積 県 名 人 口 世 帯 数 面 積 人 口 密 度 世 帯 当 り 人 数 茨 城 栃 木 群 馬 埼 玉 千 葉 東 京 神 奈 川 世 帯 当 り 人 数 = 人 口 世 帯 数 計 算 に 使 う 人 口 世 帯 数 面 積 のセルを 選 んで 列 の 名 前 - 登 録 を 行 う 人 口 密 度 の 列 世 帯 当 り 人 数 の 列 をそれぞれ 選 んで 実 行 - 計 算 する 県 名 人 口 世 帯 数 面 積 人 口 密 度 世 帯 当 り 人 数 茨 城 栃 木 群 馬 埼 玉 千 葉 東 京 神 奈 川 計 算 結 果 をExcelでグラフにする 県 名 の 列 と 人 口 密 度 の 列 をそれぞれコピーしてExcelに 貼 り 付 ける グラフにする 県 名 人 口 密 度 茨 城 87. 栃 木. 群 馬 5.6 埼 玉 89. 千 葉 05. 東 京 60. 神 奈 川 75. Excelのデータ 人 口 密 度 茨 城 栃 木 群 馬 埼 玉 千 葉 東 京 神 奈 川 Excelで 作 成 したグラフ 人 口 密 度 5

62 数 量 計 算 書 名 称 計 算 式 数 量 単 位 摘 要 掘 削 (0.5+0.) m 埋 め 戻 し 9.9-(0.5+0.) m 残 土 処 理 m 基 面 整 正 m 基 礎 砕 石 m (c-50) モルタル m (:) 空 コンクリート m -8-0 計 算 式 の 欄 で 計 算 結 果 を 出 すこともできます 数 値 を 変 更 して 再 計 算 もできます 名 称 計 算 式 数 量 単 位 摘 要 掘 削 (0.5+0.) = m 埋 め 戻 し9.9-(0.5+0.) = m 残 土 処 理 =.0.0 m 基 面 整 正 0.6 0= m 基 礎 砕 石 = m (c-50) モルタル = m (:) 空 コンクリート = m

63 計 算 書 建 設 関 係 資 料 柱 型 枠 の 計 算 荷 重 計 算 せき 板 ( 縦 端 太 間 隔 ) 縦 端 太 ( 横 端 太 間 隔 ) [ 設 計 条 件 ] 横 端 太 (フォームタイ 間 隔 ) フォームタイ 縦 端 太 間 隔 : 8cm 横 端 太 間 隔 : 50cm フォームタイ 間 隔 : 0cm [ 使 用 材 料 ] せき 板 : 合 板 ( 厚 さmm) 縦 端 太 : 単 管 φ8.6. 横 端 太 : 単 管 φ8.6.( 本 ) 5 フォームタイ: 丸 セパ W ( 分 5 厘 ) 6 [ 設 計 方 針 ] せき 板 縦 端 太 横 端 太 の 応 力 計 算 は 単 純 梁 と 仮 定 する 型 枠 用 合 板 は 縦 使 いとして 計 画 する ( 許 容 曲 げ 応 力 度 f b =0kg/cm ヤング 率 E= 0 kg/cm ) 許 容 たわみ 量 は 0.cm 以 下 とする コンクリートは 普 通 コンクリートを 使 用 する [ 最 大 側 圧 の 計 算 ] コンクリートの 打 ち 込 み 速 さ:5m/h コンクリートの 打 ち 込 み 高 さ:.9m コンクリートの 単 位 容 積 重 量 :.t/m コンクリートの 最 大 側 圧 :P P = 側 圧 (5,.9, 柱,0,.)= 6.6 t/m 側 圧 を 求 める 式 はライブラリに 定 義 してある 55 P = P =6.6 =0.6 0 t/m kg/cm

64 せき 板 の 検 討 せき 板 の 仕 様 型 枠 用 合 板 厚 さ: t =. cm 断 面 二 次 モーメント b = cm 断 面 係 数 Z = b t 6 許 容 曲 げ 応 力 度 : f b = 0 kg/cm b t I = =. 6 = cm cm. cm cm =0. cm =0. cm ヤング 率 : E = 0 kg/cm a. 荷 重 計 算 せき 板 に 作 用 する 単 位 幅 cm 当 りの 荷 重 : ω = P =0.6 =0.6 0 cm kg/cm cm kg/cm b. 最 大 曲 げモーメントM に 対 する 検 討 max l (せき 板 の 設 計 スパン: 縦 端 太 間 隔 ) = 8 l cm M = max ω 8 l = kg/cm 8 cm =5.5 kg cm 曲 げ 応 力 度 σ の 計 算 b M max σ b = Z = kg cm cm =06. kg/cm σ f b b = kg/cm kg/cm =0.89 <.0 OK c. 最 大 たわみδ に 対 する 検 討 max δ ( 中 央 部 のたわみ:0.cm 以 下 にする) max 5ω l δ max= 8EI kg/cm 8cm = kg/cm cm =0.99 cm 0. OK cm 56

65 建 設 計 算 の 例. 一 般 事 項 ) 工 事 名 : ) 工 事 場 所 : ) 設 計 方 針 < 建 設 > 本 計 算 は 建 築 基 準 法 同 試 行 法 令 及 び 関 連 告 示 と 労 働 安 全 衛 生 法 同 施 行 令 同 規 則 日 本 建 築 学 会 計 算 基 準 に 従 って 行 う ) 使 用 材 の 許 容 応 力 度 Z(cm ) l(cm)e(kg/cm )fb(kg/cm ) 60 角 鋼 管 角 鋼 管 タ フ ル 角 ばた 角 鋼 管 GT パイプサポート 00 建 枠 500 簡 易 枠 500 G6サポート 5500 スラブ 荷 重 固 定 荷 重 梁 荷 重 00kg/m 0.5=60kg/m 固 定 荷 重 00kg/m.6=80kg/m 作 業 荷 重 50kg/m 作 業 荷 重 50kg/m 仮 設 荷 重 50kg/m 仮 設 荷 重 50kg/m 衝 撃 荷 重 0% 60kg/m 0.=7kg/m 衝 撃 荷 重 0% 80kg/m 0.=768kg/m 60kg/m +50kg/m +50kg/m +7kg/m =6kg/m W=80kg/m +50kg/m +50kg/m +768kg/m =808kg/m. 梁 下 支 保 工 について せき 板 の 検 討 l=5cm W l 808kg/m (5cm) M max= = =.55kg 8 8 M max δ b= z.55kg = =56.8kg/cm 0.cm < fb OK 合 板 の 断 面 性 能 z=0.cm I=0.cm E=7 0 kg/cm fb=0kg/cm たわみの 検 討 5 W l 5 808kg/m (5cm) δ max= = kg/cm 0.cm =0.0878cm 8 E I < 0.cm OK 57

66 圧 入 抵 抗 力 (p)を 求 める Σp=(pf+p )-W-Wf ha ) 周 面 摩 擦 力 (pf) pf=af 0 A=.0x-6.0 < 土 木 > (お 断 り) 計 算 で 使 われている 数 値 は テスト 用 に 適 当 に 与 えたもので 現 実 に 即 しているわけではありません pf: 周 面 摩 擦 力 (t) p : 刃 先 部 の 貫 入 抵 抗 力 (t/m ha ) W: 刃 先 部 の 貫 入 抵 抗 力 (t/m ) Wf: 浮 力 pf: 周 面 摩 擦 力 (t) A:ケーソン 周 面 積 (m ) f : 単 位 面 積 当 りの 摩 擦 抵 抗 (t/m 0 ) 粘 性 土 の 場 合 f =0.06x+0.5 x: 地 表 よりの 深 さ 0 地 表 よりの 深 さ(x)が 以 下 の 時 のpfを 求 める x={.00,.00,.00, 5.00, 5.55}.00m( 据 え 付 け 時 ).00m.00m 5.00m 5.55m( 掘 削 完 了 時 ) pf=max(a f 0 ) x A f A f pf ) 刃 先 部 の 貫 入 抵 抗 力 (p ) ha p =K C N +K r B N /+r D N ha 0 0 q p : 刃 先 抵 抗 力 (t/m ha ) K 0,K: 支 持 力 低 減 係 数 C: 土 の 粘 着 力 (t/m ) D : 刃 先 の 根 入 れ 深 さ(m) r,r : 刃 先 より 上 下 の 土 の 単 位 重 量 (t/m ) B: 刃 先 の 土 と 接 触 する 幅 ( 壁 厚 )(m) N,N,N : 支 持 力 係 数 0 q K 0=.5 K=.9 N 0=0.9 N = N q= C=5t/m D =5m r =t/m r =t/m B=5m p =K C N +K r B N /+r D N ha 0 0 q =.5 5t/m t/m 5m /+t/m 5m =95.8t/m ) 躯 体 重 量 (w) 躯 体 ブロックの 重 量 コの 字 型 ブロック 5.0t =0t ) 浮 力 (wf) wf=rω Vw 地 下 水 位.0m 側 壁 ブロック 大 rω=t/m Vw=9.005m wf=rω Vw=t/m 9.005m =9.005t 5) 所 要 圧 入 力 所 要 圧 入 力 は 抵 抗 力 の 最 大 値 を 用 いる 小 合 計 5.5t =0.5t.65t =.5t w=0t+0.5t+.5t=55t wf: 浮 力 (t) rω: 水 の 単 位 重 量 (t/m ) Vw: 浮 力 の 影 響 を 受 ける 躯 体 体 積 (m ) Σp=(pf+p )-w+wf=(8.855t+95.8t)-55t+9.005t=78.06t ha 58

67 < 測 量 > 座 標 の 逆 計 算 測 量 したデータを 表 にセットして 点 間 距 離 や 方 位 角 をまとめて 求 められます 条 件 のついた 式 でも 求 められます また データを 変 更 したときにワンタッチで 対 応 する 値 が 求 められます 座 標 の 逆 計 算 Δx=X -X Δy=Y -Y - Δy β=tan Δx 測 線 方 位 角 δ= 点 間 距 離 β Δx>0 Δy>0 80 -β Δx<0 Δy>0 80 +β Δx<0 Δy<0 60 -β Δx>0 Δy<0 0 Δx>0 Δy=0 90 Δx=0 Δy>0 80 Δx<0 Δy=0 70 Δx=0 Δy<0 L= Δx + Δy これらを 関 数 定 義 しておきます. 測 量 したデータを 表 にセットし X,Y,X,Y のセルを 選 んで 列 の 名 前 - 登 録 を します X Y X Y 関 数 名 を 順 次 入 力 し 必 要 ならそのセルを 選 択 して 計 算 結 果 のプロパティを 設 定 して ( 結 果 を 度 分 秒 で 表 示 する 桁 数 を 指 定 する 等 ) 計 算 していきます X Y X Y Δx Δy β δ L デ ー タ の 値 を 変 え て 計 算 し な お す こ と が で き ま す. 表 を 選 択 して プロパティで ファイルを 開 くときに 再 実 行 される 式 にチェックを いれます データを 変 更 し 表 を 選 択 して 実 行 - 再 実 行 します X Y X Y Δx Δy β δ L

68 ( 通 り A 軸 にて 検 討 ) < 柱 継 手 ( 溶 接 )の 検 討 > 柱 作 図 もカルキングで 作 成 溶 接 位 置 高 さ B.L 基 礎 底 版 上 部 スカーラップ r=5 ) 一 次 設 計 時 の 検 討 柱 H 材 種 SS00 Z=8 cm 断 面 欠 損 による 断 面 性 能 A = Bf tf+tw hw= =.8 b(h -h ).0 ( ) Z = 8 - = 8 - =7.6 6h cm cm フレーム 設 計 応 力 ( 応 力 図 より 地 震 時 応 力 より 積 雪 時 の 方 が 大 きい)について 検 討 する (00) 長 期 応 力 ( 積 雪 時 応 力 ) N 7 (9) Q -6 (-) 溶 接 位 置 反 曲 点 高 さ 長 期 積 雪 H L= 5700= H S= 5700= () 短 期 + H D= 5700= 継 手 部 の 応 力 長 期 積 雪 (67 + ) M = ( ) =. knm L Q L = 6.0 kn Nc = 7.0 kn 5.7 (00 + ) M = Q S =.0 S ( ) = 7.0 knm kn Nc s = 9.0 kn 5.7 ( ) 積 雪 時 M = ( ) = 7.0 knm Q D = = 58.0kN Nc D = =0.0 kn D 5.7 断 面 の 検 討 M = =5. D = Z 7 ( 検 討 する 応 力 が 最 大 応 力 に 対 してかなり 小 さいので 積 雪 時 の 曲 げに 対 する 検 討 のみを 行 う ) knm Q D = = 58.0 kn Nc D = = 0.0 kn A =.8 f c= 5. Lf b= Sf b= 5.0 M Ssb = D Z = 7 0 = 67.0 Ssb f = 67.0 = <.0 OK 十 分 に 安 全 である S b 60

69 型 枠 設 計 用 コンクリートの 側 圧 (t/m ) 打 ち 込 み 速 さ(m/h) 0 0< 0 0< 高 さ (m).5.5<.0.0.0<.0.0 柱.5 重 量 +0.6 重 量 ( 高 さ-.5) 重 量 +0.8 重 量 ( 高 さ-.0) 壁 長 さ m 重 量 高 さ.5 重 量 +0. 重 量 ( 高 さ-.5) 重 量 高 さ.0 重 量 +0. 重 量 ( 高 さ-.0) 重 量 高 さ 長 さ>m.5 重 量.0 重 量 高 さ:まだ 固 まらないコンクリートのヘッド(m)( 側 圧 を 求 める 位 置 から 上 のコンクリート 打 ち 込 みの 高 さ) 重 量 :まだ 固 まらないコンクリートの 単 位 容 積 重 量 (t/m ) 表 から 判 断 する 側 圧 を 条 件 式 で 計 算 する 柱 = 壁 = ( 代 入 定 義 ) 重 量 高 さ 側 圧 ( 速 さ, 高 さ, 部 位, 長 さ, 重 量 )= 重 量 高 さ.5 重 量 +0.6 重 量 ( 高 さ-.5 ) 部 位 = 柱 m.5 重 量 +0. 重 量 ( 高 さ-.5 ) 部 位 柱 長 さ m m m.5 重 量 部 位 柱 長 さ> m.0 重 量 +0.8 重 量 ( 高 さ-.0 ) 部 位 = 柱 m.0 重 量 +0. 重 量 ( 高 さ-.0 ) 部 位 柱 長 さ m m m.0 重 量 部 位 柱 長 さ> m 重 量 高 さ m m m m 高 さ.5.5 < 高 さ.0 m 高 さ.0.0 < 高 さ.0 m m m m m 速 さ 0 0 < 速 さ 0 m/h 0 < 速 さ m/h m/h m/h 側 圧 (5,.9, 壁,.,. )=. =.60 m/h m m t/m m t/m t/m 側 圧 (5,.9, 柱,0,. )= =6.6 m/h m m t/m m t/m t/m m m t/m 側 圧 (5,.9, 壁,.9,. )= =5. m/h m m t/m m t/m t/m m m t/m 6

70 < 地 区 開 発 J 街 区 工 事 > 作 図 数 式 すべてカルキングで 作 成. 仕 様 P max =8kg/m :φ8.5 柱 ( 座 屈 防 止 吊 りボルト) イ:FB-0 0 チェック(Fig-でチェック) ' P =8[ kg/m ] L=850[ cm] ' S= L 85[ mm] 850[ cm] = 85[ mm] =5.708[ m ],85 ' ' P=P S=8[ kg/m ] 5.708[ m ] =95.[ kg],700mm,85 b=0[ mm] h=0[ mm] bh 0[ mm] (0[ mm] ) I x= = =056[ cm ] 8,500mm Fig.-,85 Ix 0 Z x= h = 056[ cm ] 0[ mm] =5.7[ cm ] 0 I y=.7[ cm ] Z =6.[ cm ] y P P P P Iy i= A = A B Fig.- RA RB RA=RB=P A=bh=0[ mm] 0[ mm] =9[ cm ].7[ cm ] 9[ cm ] =.55[ cm] L/ L/ L/ L=850cm Q 95.[ kg] Q=P τc= A = 9[ cm ] PL 95.[ kg] 850[ cm] M max= = =0.[ kg/cm ] =6956[ kg cm] σ max L P =σc= Z x = 95.[ kg] 5.7[ cm ] 850[ cm] =76.[ kg/cm ] 複 合 σ= σ max+τc = 76.[ kg/cm ] + 0.[ kg/cm ] =76.5[ kg/cm ] f=00[ kg/cm ] σ/f=76.5[ kg/cm ] /00[ kg/cm ] =0.9 < OK 6

71 計 算 書 作 成 例 この 計 算 書 は 入 力 項 目 を 変 更 し,すべての 式 を 再 実 行 することで 自 動 的 に 項 目 の 変 更 を 反 映 した 新 しい 計 算 書 を 作 成 することができます 定 数 表 Sheetk トラフ 角 側 角 入 力 項 目 の 値 を 設 定 して 下 さい. 輸 送 量 灰 = 輸 送 量, セメント= 輸 送 量, 水 = 輸 送 量, Sheetw ベルト 巾 w 輸 送 量 灰 000[kg] セメント 00[kg] 水 60[kg] 合 計 560[kg].コンベヤ 仕 様 輸 送 物 : 灰 固 化 造 粒 物 トラフ 角 =コンベヤ 仕 様, 側 角 =コンベヤ 仕 様, ベルト 巾 =コンベヤ 仕 様, V=コンベヤ 仕 様, 機 長 =コンベヤ 仕 様,5 BD=コンベヤ 仕 様,6 H=コンベヤ 仕 様,7 電 動 機 =コンベヤ 仕 様,8 η=コンベヤ 仕 様,9 f=コンベヤ 仕 様,0 L =コンベヤ 仕 様 0, P=コンベヤ 仕 様, 運 搬 物 の 積 載 断 面 積 計 算 の 定 数 コンベヤ 仕 様 トラフ 角 0 側 角 0 ベルト 巾 :mm 00[mm] ベルト 速 度 :m/min 6 機 長 :m 0.[m] BD 0.9 揚 程 :m 0 電 動 機 :KW.50 機 械 効 率 0.80 アイドラーの 回 転 摩 擦 係 数 0.0 修 正 機 長 :m 66 スカート 抵 抗 :kg 5 K=0.58 輸 送 物 以 外 の 運 動 部 分 重 量 w=90 表 より 抜 き 出 した 値 の 出 力 6

72 . 連 続 運 転 時 のベルト 速 度 A = K (BD ベルト 巾 -0.05[m]) =0.58 (0.9 00[mm]-0.05[m]) =0.6[m ] V= A Q m.5600[m /h] = =0.6 [m/min] 0.6 [m ] 置 き 換 え 計 算 機 能 で 項 目 の 値 を 数 値 に 置 き 換 えて 表 示 します 理 論 輸 送 量 Q m=.56[m /h] ( 積 載 断 面 積 ). 間 欠 運 転 時 のベルト 速 度 計 算 結 果 の 表 示 桁 数 は 式 ごとに 設 定 できます ここは 小 数 点 以 下 桁 滞 留 時 間 =5[min] の 時 必 要 ベルト 速 度 V = 機 長 / 滞 留 時 間 =0.[m]/5[min]=0.[m/min] 項 目 の 名 前 は 英 字 だけでなく 漢 字 やギリシャ 文 字 もOK 間 欠 運 転 時 のベルト 速 度 sec/min ( 秒 動 いて 秒 休 む) ' V =V 60/=0.[m/min] 60/=6[m/min] ベルトコンベヤ 動 力 計 算 無 負 荷 動 力 L+L P = 0.06 f w v = = 水 平 荷 動 力 L+L P = f Q = = 垂 直 荷 動 力 Q H.56 0 P = = = スカート 抵 抗 動 力 P = P v L = = P = P+P+P+P = =0.0 t 電 動 機 出 力 KW P = η P m t 0.0 = = <.50KW 判 定 =OK 判 定 結 果 (OK or NG)を 自 動 出 力 できます 6

73 < 隕 石 衝 突 によるエネルギー> カルキングを 使 った 計 算 シュミレーション( 単 位 計 算 ) 計 算 の 簡 素 化 のための 仮 定 隕 石 を 球 形 ( 半 径 r)とみなす 運 動 エネルギーはすべて 熱 に 転 化 される 使 われる 公 式 ( 関 数 定 義 ) ý Õ E= mv π m= r ρ 8 6 蒸 発 熱 =0 0 (00+50) 運 動 エネルギーの 公 式 隕 石 の 質 量 億 トンの 水 を0 度 から 蒸 発 させる 熱 量 隕 石 密 度 [ t/m ] 速 度 0[ km/s] 計 算 単 位 半 径 衝 突 熱 量 水 の 蒸 発 量 琵 琶 湖 何 杯 分 [ m] [ cal] [ 億 トン] 75[ 億 トン] ケース ケース ケース シミュレーション( 隕 石, 計 算 ) 計 算 で 使 用 したカルキングプログラム シミュレーション( 隕 石 パラメータ,Table ) 隕 石 パラメータ ρ=, v = 隕 石 パラメータ, ( for i = to 5 step ) r=table [ m],i 0.89E Table,i= [ cal] Table,i Table,i= 蒸 発 熱 Table,i Table 5,i= 75 6 E= mv 関 数 名 :シミュレーション 8 6 蒸 発 熱 =0 0 (00+50) 65

74 材 料 力 学 < 断 面 次 モーメント> 定 義 軸 に 関 する 断 面 次 モーメント( 慣 性 モーメント): J = ó x y d A >0 = ó x d A>0 õa õa J y x 作 図 機 能 で 作 成 y r O 断 面 相 乗 モーメント: 断 面 次 極 モーメント: J = ó d 0 A xy xy A J = ó d = + >0 õa P r A J õa x J y y da x 平 行 な 軸 への 断 面 モーメントの 換 算 x O シュタイナーの 法 則 J x = J xs + b A J y = J ys + a A x s b S c J xy = J xsys + aba J po = J ps + c A A 断 面 モーメントの 中 では 重 心 軸 に 関 する モーメントが 最 小 である S: 重 心 y s a y 軸 を 回 転 した 場 合 の 断 面 モーメント J x + J y J x -J y Jx _ = + cosϕ- J sinϕ xy y x _ y _ x _ x x ϕ O J x + J y J x -J y Jy _ = - cosϕ+ J sinϕ xy da J x -J y Jx = sinϕ+ J cosϕ y xy A 主 軸 ξ ηの 位 置 J xy tanϕ 0= J y- J x この 軸 に 対 して 軸 まわりの 断 面 モーメントは 極 値 をとり 断 面 相 乗 モーメントは 消 失 する y y _ 主 断 面 モーメント( 極 値 ): J x + J y J x -J y Jx= + cosϕ - sinϕ 0 J xy 0 x ϕ 0 S A J x + J y J x -J y Jh = - cosϕ + sinϕ 0 J xy 0 x 両 軸 まわりの 断 面 モーメントの 和 は 座 標 系 の 回 転 に 対 して 不 変 である ある 断 面 の 対 称 軸 は 常 に 主 軸 である 逆 に 主 軸 はかならずしも 対 称 軸 であるとは 限 らない + = + = + J x J y J x _ J y _ J x J h 技 術 評 論 社 工 学 技 術 の 公 式 より 抜 粋 y h 66

75 <インピーダンス> [ 例 ] 図 の 回 路 のインピーダンスは 60サイクルでいくらか R C L [ 解 答 ] ここで 周 波 数 をfで 示 すと R=00[Ω] C= 0[μF] L=0.[H] f=60[hz] 角 周 波 数 をωとすると ω=πf 回 路 の 複 素 インピーダンスは _ Z=( i )[ Ω] _ Z =7.88[ Ω] とする _ Z=R+ + iωl i ωc 複 素 数 でも 単 位 計 算 OK! 絶 対 値 をとって 結 果 を 出 力 上 の 図 の 作 成 方 法 抵 抗 コンデンサ コイルの 部 品 をそれぞれ コピーして 貼 り 付 けます これらの 部 品 は 大 きさや 位 置 を 自 由 に 変 えられるので 適 当 な 大 きさにして 配 置 します 作 図 モードに 切 り 換 えて 点 や 線 を 補 います [ 例 ] 上 の 回 路 において インピーダンスを 最 小 にする 周 波 数 はいくらか [ 解 答 ] インピーダンスは 次 式 であたえられる R + ωl- ωc これは ωl= ωc () のとき, 最 小 となる 式 ()を 満 たすωをω ω 0= 0とすれば 平 方 根 の 式 でも 単 位 付 き 計 算 OK LC ω0 求 める 周 波 数 は =.5[Hz] π [ 例 ] 右 図 の 回 路 におけるインピーダンスは 60サイクルでいくらか R L ここで R=00[Ω] C= 0[μF] L=0.[H] とする C [ 解 答 ] 周 波 数 をfで 示 すと f=60[hz] 角 周 波 数 をωとすると ω=πf 回 路 の 複 素 インピーダンスは 次 式 で 与 えられる _ Z=( i)[ Ω] _ Z =0.80[ Ω] _ Z= + R+ iωl iωc () 67

76 プリント 基 板 におけるインピータンス 計 算 インピータンス 計 算 式 は 何 種 類 かあります インピータンス 測 定 や 断 面 の 測 定 等 のデーターをお 持 ちの 方 は 計 算 結 果 と 比 較 を 行 い 精 度 の 良 い 式 を 選 択 するのも 良 いでしょう このファイルでは マイクロストリップ ストリップについての 計 算 式 計 算 例 をご 紹 介 します コプレーナ エッジカップリング 等 その 他 減 衰 率 等 を 基 礎 から 説 明 しています 基 礎 を 理 解 すれば 計 算 式 がないものでも 基 礎 より 計 算 式 を 導 き 出 す 事 も 可 能 です マ イ ク ロ ス ト リ ッ プ ラ イ ン 目 標 インピータンス 50 Ω Z0=Sheet, 単 位 は mm 導 体 間 距 離 ( 誘 電 体 の 厚 さ) 0. 銅 箔 の 幅 0.5 銅 箔 の 厚 さ 0.05 mm mm mm 比 誘 電 率.7 h=sheet, W=Sheet, t=sheet, ε =Sheet r, 比 誘 電 率 は 真 空 の 誘 電 率 とした 誘 電 体 の 比 率 です - [ F/m] を マイクロストリップラインのインピータンス 計 算 の 関 数 microstrip( x ) h=sheet t=sheet ε =Sheet ε r+ εr- ε w= + ΔW= π t ln Wo=x+ΔW Z a h c=0 ln + Wo Z = c Z ε return Z,, r, a c w c t h 0h + x + e x π +. t 8h + Wo - εr h Wo マイクロストリップのインピータンス Z =microstrip(w) cd Z = [ Ω] cd t h x h +π [ Ω] 基 板 設 計 上 は 厚 み 方 向 は 基 板 材 料 や 目 標 とする 基 板 厚 さ メッキの 回 数 で 決 まりますので 銅 箔 の 幅 でインピータンスを 合 わせます 目 標 とするインピータンス 値 も 入 力 して 目 標 値 の 値 を 得 るための 銅 箔 の 幅 を 算 出 する 事 をやってみました 実 効 比 誘 電 率 真 空 中 のインピ-ダンス 計 算 式 は 実 用 マイクロ 波 技 術 講 座 理 論 と 実 際 第 巻 に 掲 載 されている 物 を 使 用 しています 著 者 工 学 博 士 小 西 良 弘 ケイラボ 出 版 作 成 者 有 限 会 社 テクノ-ル 山 本 健 治 W t h 68

77 < 回 路 計 算 の 例 > R=00[ Ω] R=50[ Ω] f=60[ Hz] ω=πf L=0.[ H] L=0.[ H] V =5[ V] V =[ V] M=0.5[ H] C= 0[ μf] C= 5[ μf] C =0[ mf] iwl +R + - M I iw iwc = I -iw M iwl +R + iw C 置 き 換 え 計 算 して 数 値 計 算 すると - + iwc -iw C V -iw C iwc V iwl +R + iw C -iw M -iw M iwl +R + iw C - + iwc -iw C -iw C iwc = - - i 76.99s 0.H+00 W+ - i 76.99s 0.5H - i 76.99s 0 m F i 76.99s 0.5H i 76.99s 0.H+50 W+ - i 76.99s 5 m F - i 76.99s 0mF - i 76.99s 0mF - - i 76.99s 0mF - i 76.99s 0mF - ( i) S ( i)s = ( i) S ( i)s 結 果 の 単 位 をΩ に 指 定 した 場 合 ( 単 位 として (ムーオ)を 定 義 して 使 うこともできます ) iwl +R + iw C -iw M -iw M iwl +R + iw C = + iwc -iw C -iw C iwc ( i)[ W - ] ( i)[ W - ] ( i)[ W - ] ( i)[ W - ] < 複 素 数 の 積 分 例 > g(x,y, x, h)= e -pi(xx+0yh) ó õ0 h( x, h)= ó -x g(x,y, x, h)dy dx õ0 h(,)= i - ローカル 変 数 一 覧 表 表 示 機 能 name attribute value C variable 0μF C variable 0μF C variable 5μF L variable 0.H L variable 0.H M variable 0.5H R variable 00Ω R variable 50Ω V variable 5V V variable V f variable 60Hz p variable.6 w variable 76.99Hz 69

78 対 称 行 列 のとき A= < 固 有 値 を 求 める> 固 有 値 を 求 める 関 数 eigen {s,v}=eigen(a) 多 重 代 入 で 固 有 値 が s に 固 有 ベクトルが V に 代 入 される 求 まった 固 有 値 s={ , 6.80, , 6.80, 5.57, , -5.57, -6.80, , -6.80} 求 まった 固 有 ベクトル V= 非 対 称 行 列 のとき C= {s,v}=eigen(c) 求 まった 固 有 値 s={ , , } V=Æ 固 有 ベクトル V には が 代 入 されています 70

79 台 形 ねじ 側 (エレベータ 側 ) モータ 側 8L075-A L075-A ( 三 ッ 星 ) ( 三 ッ 星 ) PCD=5.57 PCD=.5 <エレベータ 駆 動 部 設 計 計 算 > + + リード 7 mm レバーシブルモ-タ(オリエンタル) 60Hz 時 定 格 回 転 数 550 rpm Z 軸 方 向 負 荷 RK5GN-C 起 動 トルク 00 gf cm 定 格 トルク 600 gf cm エレベータ 0 kgf 出 力 5W 電 圧 00V カセット( 実 ) 8 kgf ギヤヘッド(/5) 合 計 8 kgf GN5K ギヤヘッド 許 容 トルク 7 rpm 9 kgf cm ブレーキリバースパック SBR50 ねじの 効 率 ( 回 転 運 動 を 直 線 運 動 に 変 換 )η t ねじの 進 み 角 α リード p mm 有 効 径 d mm ' ' 摩 擦 角 λ 摩 擦 係 数 μ ( 鋼 とポリアセタール 0.5) - 7 α=tan π.5 = rad ' μ =0.5 ' - ' - λ = tan μ = tan 0. 5= 0.89 rad tanα tan η t = ' = tan(α+λ ) tan ( ) = 0.97 ねじの 逆 効 率 ( 直 線 運 動 を 回 転 運 動 に 変 換 )η t ' ' ' tan(α-λ ) tan ( ) η t= tanα = tan = 符 号 がマイナスにつき この 運 動 は 不 可 能 である ねじは 自 立 する ブレーキ 不 要 発 生 推 力 W kgf とねじ 軸 トルク T kgf m (=F d ) W p 0=π η T W=8[ kgf] p=7[ mm] η=0.9 W p T= π η = 0.9 = kgf m = 0.86kgf cm リバーシブルモータのブレーキ 機 構 利 用 RK5GNの 場 合 保 持 トルク 50 gf cm ベルト 張 力 0.86[ kgf cm] F=.785[ cm] =.98 kgf モータ 側 出 力 軸 所 要 トルク( 減 速 機 出 力 軸 ) T =. 98. = 8.8 kgf cm m 9 安 全 率 s = 8.8 =.7 7

80 バイポーラトランジスタ 動 作 点 設 定 および 安 定 化 : U S -U 0 - R I 0 R BE = C E 0 ( K+) I B C 0 UBE=0.6V 0 U S -U CE R C = - 0 I C <トランジスタ> 0 I C B= 0 IB (シリコンに 対 して) K =~ 0 R E R R R E ( R + R ) B I 0 C R E + R = 0 KI C 0 U BE B 概 算 値 R E» 0.R C 技 術 評 論 社 工 学 技 術 の 公 式 より 抜 粋 R R R C R E 作 図 機 能 +U S 0V 増 幅 回 路 におけるトランジスタの 動 作 特 性 値 f G i i U 0 ~ U r トランジスタ 端 子 網 r U f L カルキングの 表 機 能 と 作 図 機 能 で 作 成 トランジスタ 基 本 回 路 エミッタ 接 地 回 路 ベース 接 地 回 路 コレクタ 接 地 回 路 動 作 特 性 値 i i u u u u i i i i u u u 入 力 抵 抗 r = βr β( + ) i e r e r e r L u β 出 力 抵 抗 r = i g ce g ce r e r G + β u r 電 圧 増 幅 率 r = - Sr + i L Sr L L re + r L u β 電 流 増 幅 率 r = β = =β+ i a r +β f T 遮 断 周 波 数 = f a = f β f T f r f β f β 0 7

81 < 交 流 ( 単 相 )> 電 流 および( 場 合 によっては 位 相 のずれた) 電 圧 の 瞬 時 値 [ 実 数 および 複 素 表 現 ]: i= sinwt i^ u= sin( wt +ϕ) u^ i= i^ e jwt j(wt+ϕ) u= u^ e ϕ= p p Dt w = pf = T T 任 意 の 波 形 の 交 流 の 実 効 値 平 均 値 ( 整 流 値 ) および 波 形 率 : 一 般 U= T ó õ0 T u dt u = T ó u dt T õ0 F= U u 正 弦 波 電 圧 に 対 して u^ U= =0.707 u^ u = = 0.67 p u^ u^ F= p =. 自 己 誘 導 による 電 流 と 電 圧 の 瞬 時 値 : 一 般 正 弦 波 電 圧 に 対 して di u L = L L dt u L = wli^ coswt 複 素 表 現 : u L =jwli^ e jwt =jwli L 容 量 における 電 流 および 電 圧 の 瞬 時 値 : 一 般 = t u ó C ic dt C õ0 正 弦 波 電 流 に 対 して 複 素 表 現 : u C =- coswt wc i^ u = i^ e jwt C = j wc j wc i C 交 流 回 路 の 複 素 抵 抗 (インピーダンス): u Z= = R +j X = Z jϕ e i U Z= = R + X X tanϕ= I R 交 流 回 路 の 複 素 コンダクタンス(アドミッタンス): i Y= = = +j = e u Z G B Y jϕ Y I B = = G + B tanϕ= U G 7

82 線 間 電 圧 と 相 電 圧 との 関 係 ( 対 称 系 ) < 相 交 流 > i R R U RS = U ST = U TR = U R = U S = U T UTR U T U T R 対 称 負 荷 の 場 合 の 複 素 全 皮 相 電 力 および 中 性 点 電 流 PS= P W+j P b= P S 相 = P W 相 +j P b 相 U ST i T U S U RS i l = i R + i S + i T =0 i i S λ S 相 対 称 負 荷 の 場 合 の 個 の 負 荷 で 消 費 される 有 効 電 力 Pw= U R I Rcosϕ= U RS I R cosϕ u U R U S U T ϕ 中 性 点 に 近 接 不 可 能 で ' P w =U RS I R cos(ϕ-0 ) を 直 接 測 れない 場 合 t 星 形 結 線 / 角 結 線 変 換 の 場 合 の 消 費 有 効 電 力 の 変 化 ( 負 荷 はつの 同 じインピーダンス) U P R l = cosϕ Z P D U RS = cosϕ= Z 相 機 の 回 転 磁 界 の 回 転 速 度 ( 同 時 に 同 期 機 の 回 転 速 度 ): f n = p 非 同 期 相 電 動 機 のすべり: n s= - n n 非 同 期 相 電 動 機 の 消 費 電 力 および 出 力 : P l Z= Ze jϕ : 電 源 周 波 数 W f p: 固 定 子 の 極 対 数 n: 電 動 機 軸 の 回 転 速 度 : 回 転 磁 界 の 回 転 速 度 n P =pn M P m = pnm=(- s) P U V W U V 星 形 およびブリッジ( 全 波 ) 整 流 の 場 合 の 相 電 圧 の 整 流 出 力 電 圧 値 + + U a u a = u^ =0.87 u p = =0.955u u a p u^ u a - U a u a - u^ : 相 電 圧 の 波 高 値 t t 7

83 図 のようなブリッジ 回 路 で 抵 抗 R, R およびコンデンサCの 値 は 既 知 であるとき コイルLの 値 を 求 めよ 平 衡 のときはBDには 電 流 は 流 れない * <ブリッジ 回 路 > R L ABCの 複 素 インピーダンスZ は * Z =R + i ωl C R * ADCの 複 素 インピーダンスZ は D * Z =R + ωc i A I I B G ~ C * 交 流 電 圧 をE, ABCを 流 れる 電 流 を * I, ADCを 流 れる 電 流 をIとすると * * * * * I =E /Z I =E /Z またAB 間 とAD 間 は 同 じ 電 圧 であるから * * C R * * IR =I iω それゆえ = R + i ωl i ωc R + i ωc R ( i ωc)(r + )=R + ωl i ωc i iωcrr +R =R + i ωl ゆえにLは 次 のように 与 えられる L=CR R パーツの 描 画 資 料 ( 上 記 資 料 の 舞 台 裏 の 説 明 ) 関 数 グラフと 作 図 機 能 の 組 み 合 せで 作 成 抵 抗 コンデンサ コイル 等 の 回 路 部 品 は 以 下 のように 作 成 できる 抵 抗 は データのグラフ 化 機 能 を 利 用 する Res 左 の 表 をグラフ 化 すると 右 のような 図 ができる この 図 は 自 由 に 拡 大 縮 小 ができ コピー 移 動 等 も 簡 単 作 図 部 品 斜 めの 抵 抗 部 品 の 作 り 方 ここでは0 回 転 した 抵 抗 部 品 を 作 る カルキングの 繰 り 返 し 計 算 機 能 で 求 める r=..0 Res = Res cos(0 ) - Res sin(0 ),r,r,r Res = Res sin(0 ) + Res cos(0 ),r,r,r Res 作 図 部 品 75

84 同 様 にコンデンサ 部 品 を 作 る Con ここでも データのグラフ 化 機 能 を 活 用 する 左 の 表 で 下 のコンデンサ 部 品 ができる Con 回 転 させる r=..8 Con = ( Con +Con ),r,r,r Con = (-Con + Con ),r,r,r 作 図 部 品 表 に 空 白 行 を 挿 入 して データを 切 断 する コイルは 関 数 グラフで 作 成 する x(t)= y(t)= t+sin(t-π) t.5π t+t/ t.5π< t 5.5π 6cos(t-π) t.5π 0.5π< t 5.5π -0 回 転 させる u(t) = x(t)cos(-0 ) - y(t)sin(-0 ) v(t) = x(t)sin(-0 ) + y(t)cos(-0 ) 作 図 部 品 < 単 純 な 歯 車 とその 描 画 関 数 > f(t,n)= 0 mod( nt, )=0 π nt 8 mod(, ) 0 π f(t,n)は 補 助 関 数 0 枚 歯 x(t)=f(t,0)sin(t) y(t)=f(t,0)cos(t) 作 図 部 品 0 枚 歯 x(t)=f(t,0)sin(t) y(t)=f(t,0)cos(t) 芯 の 円 x(t)=.5sin(t) y(t)=.5cos(t) 作 図 部 品 76

85 演 算 増 幅 器 <アナログ 集 積 回 路 > 工 学 技 術 の 公 式 より 抜 粋 技 術 評 論 社 動 作 中 の 演 算 増 幅 器 の 入 力 における 等 価 誤 差 電 圧 : U e = U De + U Ce 入 力 における 誤 差 電 圧 : R ib 理 想 特 性 のオペアンプ R + U De U IO + R ia - R ib I ia R ib IB + I IO - + 入 力 における 同 相 誤 差 : U IC R = ia UCe U e 等 価 誤 差 電 圧 演 算 増 幅 器 を 用 いた 標 準 回 路 kcmr 定 電 圧 源 両 極 性 電 流 源 R R R R U Ref + R R U O I L I Ref R 5 RL R U Ref U O = U R Ref + R = R U O -U Ref R = R R = R + R 5 のとき = IRef I L U Ref R ヒステリシスのあるコンバレータ - 高 入 力 抵 抗 差 動 増 幅 器 - U I + + R U I U R R O R - R R R A U Ref R R - U O しきい 値 電 圧 R R U Is = U Ref + R + R U I + R ヒステリシス H= U Omax R + R ( R R および R R に 対 し) R U o =( U I - U I ) + RA 77

86 R 積 分 器 全 波 整 流 器 - u O = u I R R C R R R - R R u I D + u O D - u I - u O =- óu ( ) + RC õ I t dt U CO + + u O 加 算 器 ( 反 転 ) 減 算 器 R R R R R - - R U I U I U I + + U O U O U I R U - U O = R + U I I R R = R U ( - ) O U R I U I 増 幅 器 基 本 回 路 非 反 転 増 幅 器 反 転 増 幅 器 回 路 R - R a u + U I U O + U O U I R R - a u + U O + U O 直 流 電 圧 増 幅 率 U A O R U un = =+ A O R = = UI R ui UI R 交 流 電 圧 増 幅 率 a a un = A u a un a = a u + A ui A u ui un a u + A ui 入 力 インピーダンス z In» z IC z Ii» R 出 力 インピーダンス A un z On» z O a u A ui z Oi» z O a u 出 力 誤 差 U I U Oen A un U IO + k CMR U Oei A ui U IO + R ( I IB +0.5 I IO ) + R ( I IB +0.5 I IO ) 78

87 次 側 を 次 側 に 換 算 した 完 全 な 等 価 回 路 < 変 圧 器 > ' R X σ X σ R ' N _I ' U U ' I = X h R Fe _I ' U ' = U N N I N N R ' = R N 5 およその 大 きさの 比 : R : X s : X h : R Fe = : 0: 0 : 0 主 方 程 式 ( 損 失 および 磁 化 なしの 場 合 ): U : U = N : N I : I = N : N 簡 略 化 した 等 価 回 路 および 回 路 計 算 のためのベクトル 図 _I R k X k U X U U R U X U ' U U ' U R ' R k = R + R ' X k = X s + X s U R = R k I U X = X k I φ _I 任 意 負 荷 の 場 合 の 電 圧 変 化 : = ( U - DU) 百 分 率 インピーダンス 電 圧 : U u k = N N R k + X k UN I N 00% DU= U X sinφ+ U R cosφ u k = % ~% 定 格 電 圧 のときの 接 続 短 絡 電 流 : 00% I kn = I N uk I I つの 並 列 変 圧 器 ⅠおよびⅡの 負 荷 配 分 比 : I : = u kⅡ : u kⅠ N Ⅰ I N Ⅱ 短 絡 後 の 最 大 電 流 尖 頭 値 : I S.8 I kn 79

88 <オプトエレクトロニクス 発 光 ダイオード> さまざまなLEDの 特 性 ( 概 略 値 ) 発 光 ダイオードの 駆 動 法 材 料 発 光 色 ピーク 発 光 波 長 λu [ V] U [ V] GaAs 赤 外 90nm. 0 GaAsP 赤 650nm.6 6 GaAsP 橙 60nm.0 0 GaAsP 黄 590nm.0 50 GaP 緑 560nm.0 50 DF DBr 7a 7b U CC U CC 7c R V I D R V U CC ID I D R V R V U CC -U DF = I D R V U CC -U DF -U OL = I D LEDの 電 流 はゲートの 内 部 回 路 によって 決 定 される [ 例 題 ] 電 流 増 幅 率 β=50, コレクタ_ベース 間 容 量 pf, 遷 移 周 波 数 0MHz の フォトトランジスタに 5kΩの 負 荷 抵 抗 が 接 続 されている 出 力 信 号 の 立 上 がりおよび 立 下 り 時 間 を 求 めよ 解 b=50 b t r = t f = +(. bc ) ft cb R V = 50 0MHz +(. 50 pf 5k ) =8.ms W C cb =pf =0MHz f T =5kW R V [ 例 題 ] 右 の 回 路 において GaAsP_LED( 赤 )を I D = 0mA, u eff = V の 交 流 で 駆 動 するには R いくらの 直 列 抵 抗 が 必 要 か? V 解 u=v u u-u DF V-.6V RV = = =50 W ID 0mA I D =0mA I UDF=.6V D ( 半 波 なので 係 数 を 用 いる) すべて カルキング で 作 成 80

89 < 部 品 検 査 成 績 表 の 作 成 > (/ 角 文 字 が 可 能 上 下 左 右 混 在 可 能 ) 部 品 検 査 成 績 表 ( ) 課 / 部 品 名 称 部 番 材 質 納 入 者 検 査 日 試 料 数 判 定 測 定 単 位 :mm ABCDEF 5 AZ9D-T シンプレックス 納 入 日 及 び 納 入 ロット 数 8 月 9 日 5 台 H6-06-( 火 ) 検 査 位 置 検 査 項 目 備 考 φ φ X Y φ X Y φ φ φ 長 担 当 MEMO & PLAN / 角 文 字 の 上 下 左 右 の 間 隔 調 整 は 微 調 整 機 能 でできます 8

90 工 程 表 工 事 名 イツボ 川 特 定 保 水 池 事 業 工 事 住 所 工 事 番 号 - 号 請 負 者 工 事 場 所 生 駒 郡 斑 鳩 町 大 字 法 隆 寺 地 内 氏 名 工 程 種 別 数 量 準 備 工 池 底 掘 削 50m 立 抗 築 造 工 箇 所 薬 液 注 入 工 5.5kl 推 進 工 6m 構 造 物 取 壊 工 50m 堤 体 土 工 式 取 水 施 設 築 造 式 張 ブロック 工 98m 仮 設 進 入 路 工 式 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 0 月 月 監 督 員 の 確 認 印 8

91 < 燃 焼 後 のガス 量 と 組 成 > 気 体 燃 料 の 組 成 名 前 % 水 素 50 一 酸 化 炭 素 9 メタン 6 エチレン 酸 素 0. 窒 素 8 二 酸 化 炭 素.5 水 蒸 気 0. この 表 の 組 成 の 気 体 燃 料 m を 燃 焼 させたときの 理 論 酸 素 量 理 論 空 気 量 供 給 した 燃 焼 用 空 気 量 燃 焼 ガス 量 と 組 成 を 求 める 空 気 過 剰 率 λ=. とする 燃 焼 の 化 学 式 は N H + O H O CO+ O CO CH +O CO +HO CH +O CO +HO 理 論 酸 素 量 = 水 素 + 一 酸 化 炭 素 + メタン+ エチレン- 酸 素 = 0.5 [ m ] [ m ] + 0.6[ m ] + 0.0[ m ] -0.00[ m ] =0.9[ m ] 空 気 中 の 酸 素 は%とすると 理 論 空 気 量 = 理 論 酸 素 量 = [ m ] =.8 [ m ] 供 給 した 燃 焼 用 空 気 量 = 理 論 空 気 量 λ=.8[ m ].=6.7[ m ] 湿 り 燃 焼 ガス 量 = 供 給 した 燃 焼 用 空 気 量 +[ m ] - 理 論 酸 素 量 + メタン+ エチレン =6.7[ m ] +[ m ] -0.9[ m ] + 0.6[ m ] + 0.0[ m ] =6.9[ m ] 乾 き 燃 焼 ガス 量 = 供 給 した 燃 焼 用 空 気 量 +[ m ] - 理 論 酸 素 量 +エチレン- 水 素 =6.7[ m ] +[ m ] -0.9[ m ] +0.0[ m ] -0.5[ m ] =5.8[ m ] 燃 焼 生 成 水 蒸 気 量 = 湿 り 燃 焼 ガス 量 - 乾 き 燃 焼 ガス 量 =6.9[ m ] -5.8[ m ] =.[ m ] 燃 焼 ガスの 組 成 を 求 めていく 次 の 表 にいれる 燃 焼 ガスの 組 成 名 前 % O 5. CO 6.6 N 7. HO 5.9 O の 割 合 計 00 燃 焼 後 の 酸 素 の 量 = 理 論 空 気 量 (λ-) 0.=.8[ m ] (.-) 0.=0.7[ m ] 燃 焼 ガスの 組 成,= 燃 焼 後 の 酸 素 の 量 / 湿 り 燃 焼 ガス 量 00=0.7[ m ] /6.9[ m ] 00=5. 8

92 COの 割 合 燃 焼 後 の 二 酸 化 炭 素 の 量 = 一 酸 化 炭 素 +メタン+ エチレン+ 二 酸 化 炭 素 =0.09[ m ] +0.6[ m ] + 0.0[ m ] +0.05[ m ] =0.55[ m ] 燃 焼 ガスの 組 成 = 燃 焼 後 の 二 酸 化 炭 素 の 量 / 湿 り 燃 焼 ガス 量 00, =0.55[ m ] /6.9[ m ] 00=6.6 N の 割 合 燃 焼 後 の 窒 素 の 量 = 供 給 した 燃 焼 用 空 気 量 [ m ] =6.7[ m ] [ m ] =.999[ m ] 燃 焼 ガスの 組 成,= 燃 焼 後 の 窒 素 の 量 / 湿 り 燃 焼 ガス 量 00=.999[ m ] /6.9[ m ] 00=7. HOの 割 合 燃 焼 後 の 水 蒸 気 の 量 = 水 素 + メタン+ エチレン+ 水 蒸 気 =0.5[ m ] + 0.6[ m ] + 0.0[ m ] +0.00[ m ] =.0[ m ] 燃 焼 ガスの 組 成 = 燃 焼 後 の 水 蒸 気 の 量 / 湿 り 燃 焼 ガス 量 00,5 =.0[ m ] /6.9[ m ] 00=5.9 理 論 燃 焼 温 度 を 求 める 燃 料 温 度 00 余 熱 空 気 温 度 00 空 気 温 度 0 のとき 空 気 過 剰 率.0~.5に 対 する 理 論 燃 焼 温 度 を 求 める 燃 料 の 低 発 熱 量 = 水 素 の 低 発 熱 量 水 素 + 一 酸 化 炭 素 の 低 発 熱 量 一 酸 化 炭 素 +メタンの 低 発 熱 量 メタン +エチレンの 低 発 熱 量 エチレン =0800[ kj/m ] 0.5[ m ] +700[ kj/m ] 0.09[ m ] +5900[ kj/m ] 0.6[ m ] [ kj/m ] 0.0[ m ] =87[ kj] 燃 料 の 熱 量 =(.9[ kj/m K] 水 素 +.0[ kj/m K] 一 酸 化 炭 素 +.65[ kj/m K] メタン +.05[ kj/m K] エチレン+.9[ kj/m K] 酸 素 +.06[ kj/m K] 窒 素 +.75[ kj/m K] 二 酸 化 炭 素 +.99[ kj/m K] 水 蒸 気 ) 00[ ] =5.0[ kj] 供 給 された 空 気 の 熱 量 (λ) = 理 論 空 気 量 λ (0..56[ kj/m K] [ kj/m K] ) 00[ ] t のときの 燃 焼 後 のガスの 熱 量 比 熱 (t,) 燃 焼 後 の 酸 素 の 量 + 比 熱 (t,) 燃 焼 後 の 窒 素 の 量 + 比 熱 (t,) 燃 焼 後 の 二 酸 化 炭 素 の 量 + 比 熱 (t,) 燃 焼 後 の 水 蒸 気 の 量 燃 焼 後 のガスの 熱 量 (λ,t) = 比 熱 (t,) 理 論 空 気 量 (λ-) 0.+ 比 熱 (t,) 理 論 空 気 量 λ [ m ] + 比 熱 (t,) 0.55[ m ] + 比 熱 (t,).0[ m ] t_new(λ,t)= 燃 料 の 低 発 熱 量 + 燃 料 の 熱 量 + 供 給 された 空 気 の 熱 量 (λ) -7.5 燃 焼 後 のガスの 熱 量 (λ,t) 8

93 平 均 定 圧 比 熱 ガスの 種 類 温 度 O N CO HO H CO CH CH 比 熱 (x,y) xi= x/00 CpDown= 平 均 定 圧 比 熱 CpUp= 平 均 定 圧 比 熱 y+,xi+ y+,xi+ return (CpDown+(CpUp-CpDown)(x/00-xi))[ kj/m ] 理 論 燃 焼 温 度 =0..6 空 気 過 剰 率 =0..6 カルキングのデ-タ-グラフで 作 成 ( for k = to 6 step ) λ=+0.(k-) 空 気 過 剰 率 =λ k t=000 ( for j = to 00 step ) t=t_new(λ,t) break t-t <0. t=t 理 論 燃 焼 温 度 =t k 理 論 燃 焼 温 度 ={ 6,, 09, 9, 80, 750} グラフを 描 く { 空 気 過 剰 率, 理 論 燃 焼 温 度 }

94 機 械 式 無 段 伝 動 装 置 接 線 力 を 摩 擦 結 合 で 伝 達 する 装 置 の 場 合 は 摩 擦 力 を 完 全 に 利 用 することと = 一 定 であることを 前 提 とする F u n P P その 他 に = 一 定 および = すなわちη=であることが 前 提 となる 無 段 変 速 ベルト 伝 動 装 置 伝 達 要 素 として 平 ベルト Vベルトチェーンあるいは 摩 擦 車 が 使 われる r n n r = q l n n l e 出 力 側 回 転 速 度 : 接 線 力 : a = l-e n = n e F u M (- ) e k 出 力 トルク: n M = F u l k n + n 変 速 範 囲 : Vベルトの 場 合 個 の 変 速 ブーリ :まで k =tan 個 の 変 速 ブーリ :0まで k = a チェーンの 場 合 :6から:0 可 変 速 ベルト 伝 動 装 置 の 見 取 り 図 無 段 変 速 摩 擦 車 伝 動 装 置 摩 擦 車 伝 動 装 置 e q n = n r k n r M r = r q a F u = = 一 定 ek k = r n M = F u r = 一 定 k=sin a k =sina n = r r a 摩 擦 車 伝 動 装 置 r n n ek r = q n q F u = M / r = 一 定 n M = F u r = F u r n 86

95 87 < 工 作 機 械 駆 動 用 主 クラッチ> 条 件 : n =9000rpm M L =0N m i=.8 J =0.0kg m v =m/s - 高 速 作 動 z h =00h J =0.5kg m m=800kg ( 工 具 送 り 台 ) 選 択 : 多 板 クラッチ 回 転 角 速 度 : ω 0= n - =50s 被 動 側 の 質 量 慣 性 モーメント: すべり 時 間 : = 摩 擦 仕 事 : M S =50N m m =0. J J 等 価 = J + + i m t r Wv - ω J 等 価 0 MS M L = ( - ) MS M L =5mm d a i d =80mm n i M J v ω =0.0kg m + 0.5kg m m/s +800kg s 0.kg m 50s = 50N m-0n m - =0.7s J 等 価 ω0 M - S 0.kg m 50s 50N m = =65N m ( 50N m-0n m) - M S =0.kg m J M L 主 駆 動 軸 m 工 具 送 り 台 摩 擦 仕 事 率 : - P v = W v z h =65N m 00h =6W 摩 擦 面 面 積 : A B π d a - = d i. (5mm) -(80mm) = 6W 摩 擦 面 の 数 : z= = AB q 許 容 7.cm 0.W/cm P v =6.7 クラッチ 板 の 数 : z L = z +=6.7+=7.7 z=even( z) 摩 擦 面 圧 力 : =7.cm q 許 容 =0.W/cm r m = d + = a d i (5mm+80mm)=5.5cm M S = μ = 50N m p =6.8N/cm AB z r m 7.cm cm xより 大 きい 最 小 の 偶 数 を 返 す 関 数 Even( x ) var a,b,c a= x b=divmod(a,) c=a b =0 c=a+ return c

96 <はずみ 車 つき6 気 筒 エンジン> m = m = m = m = m 5 = m 6 = m L 固 有 振 動 数 を 求 める 計 算 l 65 l 5 l l l M 最 初 の 仮 定 : ω e=data, 初 期 データ 残 差 計 算 ( ω ) a = ω..6 =0 a 6 =.0cm 配 列 を 定 義 c l K 等 価 m a 0 だけは 別 扱 いする ( for k = 5 to step - ) m 6 m 5 m m m m ωe-ωelim 6 n= =78 最 大 繰 り 返 し 数 a k = a k+ -c å a n 0.s - n=k+ a 6 データ a 5 a a a a Data m 7.0kg M 5.5kg l 等 価 7cm L 5cm r 8cm G N/cm J p 0cm ω e - システム 定 数 : 065.8s GJ p K = r = l = 59cm K a 0 m=data, M=Data, l 等 価 =Data, L=Data, r=data,5 G=Data,6 J p =Data,7 初 期 データ= N/cm m = N (0.08m) 質 量 - 等 価 系 : l= l 等 価 + L= 0.7m+0.5m=0.59m 残 差 Rが 負 から 正 になったら 終 了 ( for k = to n step ) ω 残 差 計 算 ( ω ) e の 値 にしたがって e a break R/N 0 k を 求 め 残 差 Rを 求 める 関 数 - ω =ω -0.s e e 求 める 値 がω にセットされている e 値 の 確 認 - ω e=065.8s R=68N c L = ω Lm K a 0 = a -c L å 6 R=ω å an m+ a 0 M return n= 6 an a={ 0.089cm, cm, 0.708cm, cm, 0.980cm, cm} a 0 = cm n= ω = elim K l 6 m+ M = 6mM N 6 7.0kg+5.5kg =08s 0.59m 6 7.0kg 5.5kg - 88

97 <ディーゼルサイクルのP-V 線 図 を 描 く> 動 作 液 体 の 比 熱 比 k=. R= 空 気 のデータ,ガス 定 数 ガス 定 数 = C = 空 気 のデータ p, 定 圧 比 熱 定 圧 比 熱 = C = 空 気 のデータ v, 定 積 比 熱 定 積 比 熱 = 空 気 のデータ ガス 定 数 定 圧 比 熱 定 積 比 熱 0.87[ kj/kgk].0050[ kj/kgk] 0.77[ kj/kgk] V = 気 体 のデータ, 状 態 の 体 積 状 態 の 体 積 = 気 体 のデータ P = 気 体 のデータ, 状 態 の 圧 力 状 態 の 圧 力 = T = 気 体 のデータ, 状 態 の 温 度 状 態 の 温 度 = V = 気 体 のデータ, 状 態 の 体 積 状 態 の 体 積 = Q = 気 体 のデータ, 状 態 からの 加 熱 量 状 態 からの 加 熱 量 =5 状 態 の 体 積 800[ cm ] 状 態 の 圧 力 0.[ MPa] 状 態 の 温 度 00[ K] 状 態 の 体 積 5[ cm ] 状 態 からの 加 熱 量 [ kj] このときのディーゼルサイクルのP-V 線 図 を 求 める PV 0.[ MPa] 800[ cm ] M= = RT = [ kg] [ kj K kg ] 00[ K] k- T V k- =T V T =T V V k- 800[ cm ] =00[ K] 5 [ cm ].- =65[ K] k k P V =P V P =P V V k 800[ cm ] =0.[ MPa] 5 [ cm ]. =5.6[ MPa] Q =MC (T -T ) p Q [ kj] T = +T = MC p [ kg].005[ kj K kg ] +65[ K] =555[ K] V V = T T V = T T 555[ K] V = 5 [ cm ] =97[ cm ] 65 [ K] P =P V =V k k P V =P V P =P V V k 97[ cm ] =5.6[ MPa] 800 [ cm ]. =0.79[ MPa] k- T V k- =T V T =T V V k- 97[ cm ] =555[ K] 800 [ cm ].- =69[ K] 89

98 成 績 計 算 ( 成 績 表,0) < 成 績 管 理 > これを 実 行 すると0 人 の 平 均 点 を 求 め 偏 差 値 順 位 を 表 にセットしていきます また table_specにしたがって 度 数 分 布 表 を 作 成 します 実 行 前 実 行 後 左 の 表 作 成 実 行 プログラム 成 績 表 番 号 合 計 点 偏 差 値 順 位 成 績 表 番 号 合 計 点 偏 差 値 順 位 成 績 計 算 (Sheet,n) var a,b,c,d b =0..n ( for k = to n step ) b =Sheet k,k+ a=message_dialog(" 成 績 計 算 "," 平 均 点 を 求 めます",) stop a= _ 平 均 点 =b a=message_dialog(" 成 績 計 算 "," 偏 差 値 をセットします",) stop a= c=stdevp(b) ( for k = to n step ) bk- 平 均 点 Sheet,k+= 0+50 c a=message_dialog(" 成 績 計 算 "," 順 位 をセットします",) stop a= d=sort(b) ( for k = to n step ) ( for j = to n step ) Sheet =n+-j b =d,k+ k j a=message_dialog(" 成 績 計 算 "," 度 数 分 布 を 作 成 します",) stop a= 度 数 分 布 表 作 成 (b,n) 度 数 分 布 合 計 点 6~50 0 ~5 6~0 ~5 6~0 ~5 6~0 5 ~5 06~0 0~05 96~00 9~95 86~90 8~85 計 0 度 数 分 布 の 表 作 成 実 行 プログラム 度 数 分 布 表 作 成 (x,n) var a,c,p,s,t,u command_interface_table(table_spec) 度 数 分 布 = " 合 計 点 ", 度 数 分 布 = " 計 ",6 度 数 分 布,6= x t=50 s=6 ( for k = to step ) u= s +"~"+ t 度 数 分 布,k+= u s=s-5 t=t-5 p=table_row( 度 数 分 布 ) ( for k = to p- step ) 度 数 分 布 =0,k ( for k = to n step ) c= (x k -80)/5 度 数 分 布 = 度 数 分 布 +,p-c,p-c table_spec table_interface 引 数 備 考 function create 新 規 作 成 表 の 名 称 度 数 分 布 行 数 6 列 数 作 成 位 置 (X) 0 スクリーン 座 標 作 成 位 置 (Y) 800 スクリーン 座 標 テキスト 配 置 (X) 左 (0): 中 央 (): 右 () テキスト 配 置 (Y) 上 (0): 中 央 (): 下 () フレームID 55 作 成 された 表 のID a=message_dialog(" 成 績 計 算 "," 度 数 分 布 表 を 作 成 しました",0) 90

99 常 態 分 布 図 < 品 質 管 理 > Sheet X X X X X5 X6 X7 X8 X9 X0 MeanSigma Y Y mean 左 側 にかかれた 計 算 式 と 次 のページの 計 算 式 を 実 行 すると 右 のような 計 算 結 果 になります MeanSigma 実 行 前 再 実 行 後 N=0 N=0 MIN(A)= MIN(A)=.5 MAX(A)= MAX(A)=.6 R=MAX(A)-MIN(A)= R=MAX(A)-MIN(A)=.9 K=7 K=7 H=R/K= 組 別 下 限 上 限 f(pcs) u uf 0X 0X 0X 0X 05X 06X 07X 08X 09X TOTAL H=R/K=0. 組 別 下 限 上 限 f(pcs) u uf 0X.5.6 0X X X X X X..6 08X 09X TOTAL 0 0X 0X 0X 0X 05X 06X 07X f f 0X **** 0X *** 0X **** 0X ***** 05X *** 06X 07X * 規 格 下 限 SL= SL= 平 均 c=sheet DataIndexC+,+DataIndexR =.79 c=sheet =.79 DataIndexC+,+DataIndexR 標 準 差 s=sheet DataIndexC+,+DataIndexR =0.7 s=sheet =0.7 c-sl.79- Cpk= = = s 0.7 f(x)= p s e -(x-c) s DataIndexC+,+DataIndexR c-sl.79- Cpk= = =0.66 s 0.7 f(x)= p s e -(x-c) s

100 < 品 質 管 理 > DataIndexC=table_column(Sheet)- table_row(sheet)=8 DataIndexC=0 A..0=0 ( for k = to 0 step ) A =Sheet k k+, ( for k = to 0 step ) A =Sheet k k+-0, カルキングで 作 成 した 常 態 分 布 図 のプログラム DataIndexR= table_column(sheet)= DataIndexR= A={.95,.6,.8,.,.8,.57,.5,.0,.5,.7,.7,.,.6,.5,.0,,.7,.99,.7,.7} ( for k = to +DataIndexR- step ) Sheet = DataIndexC+,k Sheet = DataIndexC+,k DataIndexC å i= Sheet = DataIndexC+,+DataIndexR Sheet = DataIndexC+,+DataIndexR Sheet DataIndexC DataIndexC å i= DataIndexR å i= DataIndexR å i= +i,k Calculation of Mean (Sheet -Sheet ) DataIndexC- Sheet DataIndexR Sheet +i,k DataIndexR DataIndexC+,+i- DataIndexC+,+i- ( for k = to 7 step ) for making 上 限 and 下 限 data Sheet =.5+(k-)H Sheet,+k,+k =.5+kH DataIndexC+,k Mean of Mean Mean of Sigma x =0 x =0 x =0 x =0 x 5=0 x 6=0 x 7=0 ( for k = to 0 step ) x =x + A Sheet k, x =x + Sheet <A Sheet, k, x =x + Sheet <A Sheet, k, x =x + Sheet <A Sheet, k,5 x =x + Sheet <A Sheet 5 5,5 k,6 x =x + Sheet <A Sheet 6 6,6 k,7 x =x + Sheet <A Sheet 7 7,7 k,8 Sheet Sheet =x Sheet =x Sheet =x Sheet =x Sheet =x Sheet =x Sheet =x Set f,,,,5,6 5,7 6,8 7 = x *"*" Draw Histgram, Sheet,= x *"*" Sheet,= x *"*" Sheet,5= x *"*" Sheet,6= x 5*"*" Sheet,7= x 6*"*" Sheet,8= x 7*"*" Sheet =x +x +x +x +x +x +x, Count each areas Calculation of Sigma 9

101 < 散 布 図 > カルキングの 乱 数 データの 散 らばり 具 合 を Dデータグラフの 散 布 図 で 表 示 します これにより 数 値 データでは 分 りにくい データの 散 らばりが 明 瞭 に 分 かります 以 下 の 代 入 定 義 を 実 行 して ください ひ と つ づ つ x=random(00) y=random(00) { x,y} この 式 を 選 択 して 実 行 - D-グラフ - データ 型 - x,y 軸 でデータ 型 のスタイルを 散 布 図 にします 具 体 的 データを 以 下 に 表 示 します 計 算 実 行 で 以 下 のようになります { x,y} = この 位 置 をマウスクリックし shiftキー+ でデータ 部 を 選 択 して 散 布 図 を 描 くこともできます ({ x,y} = { { , , 0.7, 0.879, , , 0.05, 0.79, , 0.798, , , 0.887, 0.695, 0.707, , 0.578, , , 0.657, 0.878, , 0.7, , , 0.876, 0.7, , 0.560, 0.577, , , , , 0., , , , 0.977, , 0.997, , , , , , , , , 0.598, , 0.679, 0.7, , , 0.67, 0.855, , 0.059, 0.805, 0.688, , , , , 0.06, , , 0.600, , 0.987, , 0.558, 0.769, , , , 0.897, , , , 0.8, , , , 0.750, 0.658, 0.807, 0.67, , 0.566, , , 0.08, 0.08, , , 0.68, , 0.896, , , , , 0.678, 0.606, 0.98, , , , 0.577, , 0.686, 0.89, } } ) 9

102 < 光 学 レンズ> レンズの 結 像 方 程 式 - + = a a ' f ' 結 像 方 程 式 のニュートンの 形 式 a: 物 体 までの 距 離 z _ z ' =- f ' a ' : 像 までの 距 離 f ' : 焦 点 距 離 結 像 倍 率 b ' y ' a ' = = 奥 行 き 倍 率 a ' a ' = = b ' y a a y: 物 体 の 大 きさ z _ : 焦 点 F _ からの 物 体 の 距 離 y ' : 像 の 大 きさ z ' : 焦 点 F からの 物 体 の 距 離 凸 レンズによる 像 ( f ' >0; f _ <0) 物 体 の 位 置 像 の 位 置 像 の 倍 率 像 の 種 類 a=- a ' = f ' β ' =0 縮 小 実 像 -f ' f ' - 等 倍 倒 立 拡 大 f ' -f ' - - 拡 大 虚 像 等 倍 正 立 y F _ F ' z _ f _ f ' z ' a a ' y ' 凹 レンズによる 像 ( f ' <0; f _ >0) y F ' F _ y ' f ' 物 体 の 位 置 像 の 位 置 像 の 倍 率 像 の 種 類 a=- a ' = f ' β ' =0 縮 小 虚 像 等 倍 正 立 z ' a z _ a ' f _ レンズの 屈 折 力 : D= =- f ' f _ 薄 いレンズの 屈 折 力 : D=( n-) 距 離 dを 置 いた 枚 の 薄 いレンズの 合 成 焦 点 距 離 および 屈 折 力 : 例 題 f ' - r r f ' ' f = ' f + ' f - d - D: 屈 折 力 (m =dpt) n:ガラスの 屈 折 率 r, r :レンズの 曲 率 半 径 d:レンズ 中 央 間 の 距 離 D= D + D -dd D 問 焦 点 距 離 f ' =0.m の 凸 レンズで レンズの 前 a=-0.5m のところにある y=5cm の 物 体 の 像 を 結 ばせる a) 像 のレンズからの 距 離 a ' はいくらか b) 像 の 大 きさはいくらか 解 a) f ' a=-0.5m (-0.5)m 0.m =0.m a ' af ' = = =0.m レンズの 後 方 a + f ' (-0.5)m+0.m b) y=5cm y ' = a ' 像 は 倒 立 で 大 きさは0cm y a = = 0.m y ' a ' y 5cm=-0cm a (-0.5)m 問 曲 率 半 径 が0cmと0cm の 両 凸 面 レンズがある ガラスの 屈 折 率 n=.6 とすると レンズの 屈 折 率 と 焦 点 距 離 はいくらか 解 =0cm r D=( n-) r =-0cm n=.6 - =(.6-) - - =5m r r 0cm (-0)cm 問 問 の 両 凸 面 レンズに 焦 点 距 離 f ' =-5cm の 凹 面 レンズを 組 み 合 わせた その 組 み 合 わせレンズは 凸 レンズか 凹 レンズか また 焦 点 距 離 はいくらか 解 - D =5m f ' =-5cm D = = =-6.67m (-5)cm f ' - f ' = = 5m =0.m D D= D + D =5m +(-6.67) m =-.67m 組 み 合 わせレンズは 凹 レンズとして 働 く = f ' = =-0.60m D (-.67)m - ( 技 術 評 論 社 ) 工 学 技 術 の 公 式 より 9

103 スネルの 屈 折 の 法 則 < 光 の 屈 折 > sin a c α: 入 射 角 c : 媒 質 中 の 光 速 = = n c sinb c (>c ) β: 屈 折 角 c : 媒 質 中 の 光 速 α 媒 質 つの 物 質 間 の 相 対 的 な 屈 折 率 は 絶 対 屈 折 率 の 比 である 媒 質 δ c β n n = 0 n = n0 n 全 反 射 の 臨 界 角 c 0 n 0 : 真 空 に 対 する 媒 質 の 屈 折 率 = c c 0 n 0 : 真 空 に 対 する 媒 質 の 屈 折 率 = c n sin = n a g = n = c = n n c α g α α L n 平 行 平 面 板 を 通 過 する 際 の 光 路 の 平 行 移 動 量 dsin( - ) = a b D = d sin a - cosb cosa n -sin a d: 板 厚 n:ガラスの 屈 折 率 d α β β < 光 の 反 射 > α Δ 平 面 による 反 射 面 鏡 による 像 の 数 ( 対 象 物 も 含 める) a= a ' n= p a L α α ' L L S α S 角 度 δをなす 枚 の 鏡 による 反 射 β L g=p-( a+ b)=d ε γ β L S α α δ S 95

104 区 間 推 定 < 統 計 > 正 規 母 集 団 における 母 平 均 の 区 間 推 定 ( 母 分 散 既 知 ) _ 設 問 標 本 数 n = 5 標 本 の 平 均 x = 8.9 母 分 散 v = 0.5 このとき 信 頼 係 数 α = 0.95 として 母 平 均 m の 信 頼 区 間 を 推 定 せよ 計 算 v +α p w = norminv n を 定 めると 区 間 推 定 は [x - w, x + w] =[8.56, 8.60] 8.56 参 考 : 平 均 値 と 下 限 上 限 のつの 値 をまとめて 右 のような 表 記 も 可 能 要 点 標 本 の 平 均 値 を 表 す 変 量 を X とすると その 分 散 V は 主 因 子 法 次 式 により 変 数 Z を 定 めると Z は N(0, ) に 従 う P(-z Z z) = α となる z を 求 める P(Z z) = P(Z 0) + P(0 Z z) = + α 区 間 (-z Z z)に 式 ()を 適 用 すると 式 ()に 式 ()を 代 入 すると それゆえ p V = n v Z = p z = norminv X - m V +α () () X - z V m X + z V () vp vp X - z m X + z n n 信 頼 区 間 は X にその 実 現 値 である x の 値 を 代 入 して 求 められる 相 関 行 列 R= 回 目 acalc= 準 備 n= V=0 回 目 i=..n a i= acalc= a R =R a=create_matrix(a) 係 数 ベクトルを 計 算 するスクリプト acalc a R =a i,i w=eigen(r, V) V =-V V <0 a = w V return a i a n i, i, å h= i i, h, 回 目 収 斂 acalc= acalc=

105 97 <svdデ-タ 解 析 > 右 の 表 は 種 々の 色 サンプルの 分 光 反 射 率 のデータです 第 行 目 は00nmから700nmまでの0nmごとの 波 長 の 値 第 列 目 は 色 サンプルの 番 号 です それらサンプルの 分 光 反 射 率 の 値 を000 倍 した 値 が データとして 記 入 されています このデータに 対 して 特 異 値 分 解 を 行 ってみましょう Step データ 行 列 の 準 備 表 の 名 前 はDataとしています データ 格 納 用 の 行 列 を 準 備 します m=table_row(data)- n=table_column(data)- A=0 m 行 n 列 の 零 行 列 を 代 入 定 義 m,n 表 データを 行 列 に 格 納 します 備 考 ( for i = to m step ) ( for j = to n step ) A i,j=data j+,i+/000 多 変 量 データに 対 する 特 異 値 分 解 Data 表 の 名 前 のDataについては 第 添 字 は 列 第 添 字 は 行 を 参 照 することに 注 意 してください Dataの 第 行 目 と 第 列 目 は 項 目 名 になっているので それぞれ 添 字 変 数 にを 加 えて それらをスキップしています Step 特 異 値 分 解 の 計 算 データ 行 列 の 特 異 値 分 解 を 行 います { w,u,v} =svd(a) wに 特 異 値,Uに 右 行 列,Vに 左 行 列 が 格 納 されます これによって 行 列 Aは 次 のように 特 異 値 分 解 されました A=UWV T ここでWはw, w,..., w を 要 素 とする 対 角 行 列 です n 成 分 で 書 くと n p,q å r= A = w U V r p,r q,r この 式 の 展 開 において w の 小 さい 項 を 無 視 することによって データ 近 似 を 検 討 します r 総 和 が00になるよう 基 準 化 した 相 対 特 異 値 f を 計 算 します

106 特 異 値 の 相 対 値 の 計 算 累 積 相 対 特 異 値 gの 計 算 n tr= å w r= k r g= å f k N r r= w f= 00 tr 右 の 表 は 特 異 値 の 値 (e)と 相 対 特 異 値 (f)と 累 積 相 対 特 異 値 寄 与 率 (g)を 示 しています 右 表 を 参 照 し までとって 近 似 します A p,q= å Sp,rVq,r ここで S =e U r=..n p,r r p,r r w f g これらの 形 式 から Vは 主 成 分 分 析 の 主 成 分 ベクトル,Sは 主 成 分 得 点 に 対 応 しています 右 行 列 Vの 縦 ベクトル Vの 最 初 のつの 縦 ベクトルを 表 示 します V *,= V *,= V *,= 結 果 を 主 成 分 との 結 果 を 比 較 してみましょう このため 適 当 に-を 掛 けて 主 成 分 ベクトルと 符 号 を 合 わせます V j,=-vj, V j,=-vj, V j,=-vj, このデータではベクトルの 要 素 番 号 は 波 長 に 対 応 していました そこで 各 番 号 に 対 応 する 波 長 を 設 定 します n λ= R (00+0(k-)) k= 下 の 表 は 各 波 長 に 対 するVのつの 縦 ベクトルの 値 を 示 しています グラフはそれらの 図 示 です λ V V V *, *, *, 右 のグラフは 同 じデータの 主 成 分 分 析 に 対 する 固 有 ベクトルです 主 成 分 ベクトルと 特 異 値 分 解 ベクトル が 類 似 な 形 状 であることが 興 味 深 く 思 えます Vの 第 縦 ベクトル Vの 第 縦 ベクトル Vの 第 縦 ベクトル 第 固 有 ベクトル 第 固 有 ベクトル 第 固 有 ベクトル 98

107 < 統 計 > 回 帰 分 析 ( 最 小 乗 多 項 式 近 似 ) 次 のデータに 対 して 次 の 最 小 乗 多 項 式 P( x)= a + a x+ a x + a x. x, yを 代 入 定 義 する ( x, y それぞれの 列 を 選 択 して 代 入 定 義 するか 行 目 を 選 択 して 列 の 名 前 として 登 録 する ). 表 のデータを 表 の 外 で 参 照 する 際 には 表 名 (シート 名 )が 必 要 なので 変 数 ( 配 列 )に 置 き 換 える x=sheet. x y=sheet. y 代 入 定 義 する. 正 規 方 程 式 を 作 る n= x n n n å xi å xi i= i= n n n å xi å xi å xi i= i= i= n n n xi xi xi å i= n å xi i= å i= n å xi i= 代 入 定 義 する( は 要 素 の 数 を 返 す 演 算 ) å i= n 5 å xi i= n xi å i= n xi å i= n 5 xi å i= n 6 å xi i= a a a a = n å yi i= n xi y i i= n xi y i i= n xi y i i= å ( ) å ( ) å ( ) を 求 める Sheet x y 正 規 方 程 式 を 解 く a a a a = n n n å xi å xi i= i= n n n å xi å xi å xi i= i= i= n n n xi xi xi å i= n å xi i= å i= n å xi i= å i= n 5 å xi i= n xi å i= n xi å i= n 5 xi å i= n 6 å xi i= - n å yi i= n xi y i i= n xi y i i= n xi y i i= å ( ) å ( ) å ( ) = 求 める 式 は P( x)= x x x グラフにすると データの 範 囲 に 拡 大 すると { Sheet. x, Sheet. y }を データグラフにすると

108 () 正 準 相 関 分 析 とは < 正 準 相 関 分 析 ( 統 計 )> q 個 の 変 量 (x, x,..., x )があるとき この 内 のr 個 の 変 量 の 組 (x, x,..., x )と q-r 個 の 変 量 の 組 (x, x,..., x ) q r r+ r+ q との 関 係 を 知 りたい 場 合 これらの 各 組 の 変 量 の 線 形 結 合 y = ax + ax arxr z = bx r+ + bx r bq-rxq を 考 え yとzの 間 の 相 関 係 数 r y,z を 最 大 にするように 係 数 a, a,..., a r ; b, b,..., b q-r を 推 定 するのが 正 準 相 関 分 析 である これによって 第 の 組 と 第 の 組 の 関 係 の 程 度 を 知 ろうとするものである ここで r q-rとする () 係 数 の 求 め 方 q 個 の 変 量 (x, x,..., x )がN 個 の 標 本 について 測 定 されているとする q それらの 測 定 値 から 標 本 の 分 散 共 分 散 行 列 Σを 求 める q q 行 列 であるΣの 小 行 列 を 考 える Σ= Σ Σ Σ Σ s = q - r として Σ はr r, Σ はr s, Σ はs r,σ はs s 行 列 である - - T = Σ Σ Σ Σ としたとき 固 有 方 程 式 Ta =λa の 固 有 値 の 最 大 値 が 求 める 相 関 係 数 の 自 乗 に 対 応 する 係 数 ベクトル () 計 算 例 a a a= a r b b b= と は より 求 める b s Ta = λa T a Σ a = 右 の 表 はある 集 団 の 身 長 座 高 体 重 胸 囲 のデータに 対 する 分 散 共 分 散 行 列 である 身 長 座 高 を 第 組 の 変 量 体 重 胸 囲 を 第 組 の 変 量 として 第 組 と 第 組 の 正 準 相 関 係 数 を 求 める Σ = T=Σ Σ Σ Σ よって T= と b = Σ - Σ a λ x x x x 身 長 x 座 高 x 体 重 x 胸 囲 x 小 行 列 Σ = Σ = Σ = Σ = Tは 非 対 称 行 列 であるので 固 有 値 は 行 列 式 を 解 いて 求 める det(t-λe)=0 ただし E= 0 0 区 間 指 定 法 より λ = λ = 大 きい 方 の 値 をλに 定 めると 正 準 相 関 係 数 は λ =0.667 次 に 係 数 ベクトルaを 計 算 する A=T-λE として Au=0 の 解 を 求 める 今 の 場 合 次 元 であるので 手 計 算 で 求 めることもできるが ここでは 一 般 的 な 方 法 を 用 いる 線 形 方 程 式 の 解 法 に 特 異 値 分 解 を 利 用 する U=0 V=0 w=svd(a,u,v) u=v u= *, 符 号 をかえて u=-u a= u b= Σ - 従 って T a= Σ a 従 って u Σ u λ 以 上 の 計 算 より 正 準 変 量 は y = a x +a x = x x z = b x +b x = 0.96x -0.x b= 正 準 相 関 係 数 は

109 < 経 常 収 支 分 析 > 経 常 収 入 = 売 上 高 -( 売 上 債 権 の 当 期 の 回 転 期 間 + 収 益 関 係 経 過 勘 定 の 当 期 の 回 転 期 間 ) + 売 上 債 権 期 首 金 額 + 収 益 関 係 経 過 勘 定 期 首 金 額 + 営 業 外 収 益 経 常 支 出 = 売 上 高 変 動 比 率 +( 運 転 資 金 の 当 期 の 回 転 期 間 - 売 上 債 権 の 当 期 の 回 転 期 間 - 収 益 関 係 経 過 勘 定 の 当 期 の 回 転 期 間 ) +( 固 定 費 + 営 業 外 収 益 )+ 負 債 性 引 当 金 目 的 使 用 額 - 非 資 金 費 用 -( 運 転 資 金 期 首 金 額 - 売 上 債 権 期 首 金 額 - 収 益 関 係 経 過 勘 定 期 首 金 額 ) 経 常 収 支 差 = 売 上 高 (- 変 動 比 率 )- 運 転 資 金 の 当 期 の 回 転 期 間 -( 固 定 費 + 負 債 性 引 当 金 目 的 使 用 額 - 非 資 金 費 用 )+ 運 転 資 金 期 首 金 額 収 支 分 岐 点 = 固 定 費 + 負 債 性 引 当 金 目 的 使 用 額 - 非 資 金 費 用 - 運 転 資 金 期 首 金 額 - 変 動 比 率 - 運 転 資 金 の 当 期 の 回 転 期 間 費 用 = 売 上 高 変 動 比 率 + 固 定 費 経 常 利 益 = 売 上 高 (- 変 動 比 率 )- 固 定 費 固 定 費 損 益 分 岐 点 = - 変 動 比 率 売 上 高 =,00 負 債 性 引 当 金 目 的 使 用 額 =0 売 上 債 権 の 当 期 の 回 転 期 間 =.8 変 動 比 率 =0.6 売 上 債 権 期 首 金 額 =00 収 益 関 係 経 過 勘 定 の 当 期 の 回 転 期 間 =0. 固 定 費 =8 収 益 関 係 経 過 勘 定 期 首 金 額 =0 運 転 資 金 の 当 期 の 回 転 期 間 =.5 営 業 外 収 益 =0 運 転 資 金 期 首 金 額 =00 非 資 金 費 用 =70 経 常 収 入 =,00 -(.8+0.) =,0 経 常 支 出 =, ( ) +( 8+0) ( ) =,05 経 常 収 支 差 =,00 (-0.6)-.5 -( ) +00=86 収 支 分 岐 点 = = 費 用 =, =,0 経 常 利 益 =,00 (-0.6)-8=96 8 損 益 分 岐 点 = =

110 A 社 の 経 常 収 支 表 項 目 97/ 98/ 99/ 00/ 0/ 経 常 収 支 比 率 P(%) P-00 (%) マイナス 値 累 積 加 算 非 該 当 非 該 当 非 該 当 非 該 当 非 該 当 売 上 債 権 ( 月 ) 回 転 買 入 債 務 ( 月 ) 期 間 営 業 債 権 債 務 差 ( 月 ) 棚 卸 資 産 ( 月 ) B 社 の 経 常 収 支 表 項 目 97/ 98/ 99/ 00/ 0/ 経 常 収 支 比 率 P(%) P-00 (%) /6 -.9 マイナス 値 累 積 加 算 売 上 債 権 ( 月 ) 回 転 買 入 債 務 ( 月 ) 期 間 営 業 債 権 債 務 差 ( 月 ) 棚 卸 資 産 ( 月 ) A 社 とB 社 の 経 常 収 支 比 率 とB 社 のマイナス 値 累 積 加 算 のグラフ グラフの 作 り 方 グラフにしたい 部 分 を 抜 き 出 します A 社 の 経 常 収 支 比 率 B 社 の 経 常 収 支 比 率 経 常 収 支 比 率 Sheet % 0 グラフ 描 画 のため スクリプトを 使 って 行 と 列 を 転 置 します Sheet ( for k = to 5 step ) Sheet =Sheet,k k, 80 Sheet マ イ ナ -50 ス 値 累 -0 積 加 算 -0 B 社 のマイナス 値 累 積 加 算 Sheet ( for k = to 5 step ) Sheet =Sheet,k k, -0 Sheet Sheet 年.8 6. ( for k = to 5 step ) Sheet6 =-Sheet5,k k, 0

111 概 要 <Excelへのリンク 機 能 > 関 東 地 区 の 気 象 データ か 月 分 の 仮 想 気 象 データが マイドキュメント のサブフォルダにExcelファイルとしてあります これをカルキングに 自 動 で 取 り 込 み 処 理 をする 過 程 を 示 します この 例 でカルキングのエクセルリンク 機 能 の 有 効 さが 示 されます さらに 定 型 業 務 パターンをカルキングで 実 現 する 典 型 的 な 例 を 示 します 重 要 な 点 は 操 作 をわかりやすくするためのインターフェース 表 の 利 用 です ExcelLinkのような 複 雑 な 情 報 を 表 の 形 にまとめ これを 再 利 用 します インターフェース 表 は 単 なる 表 ではなく 実 行 される 資 格 を 持 った 表 です このため 実 行 メニューに インターフェース 表 が 用 意 されています ステップ Excelファイルからカルキングの 表 への 取 り 込 み ()Excelインタフェース 表 ファイルから テンプレートをコピー して 取 り 込 みます ここでは 標 準 仕 様 のstyleをコピーしま した 列 目 の 白 色 セル 部 分 には 必 要 な 情 報 をセットします 第 列 目 の 備 考 欄 は 自 由 に 記 述 可 能 です また この 欄 は 削 除 することも 可 能 です folder="c:\documents and Settings\akiyoshi\My Documents\excel\" file=folder+" 関 東 9 月.xls" フルパス 名 の 定 義 () 受 け 皿 となるカルキングの 表 ( 関 東 9 月 )をすべて 空 白 にして 準 備 しておきます (マニュアル 操 作 でも 自 動 でも 可 能 ) ()インターフェース 表 の 実 行 ( 通 りあります) (a) 手 動 操 作 右 の サンプル の 表 を 選 択 して 実 行 メニュー の インターフェース 表 をマウスクリック (b)プログラム 操 作 command_interface_table(サンプル) ここでサンプルは 参 照 されるインターフェース 表 の 名 前 です この 操 作 ではExcelの 起 動 Excelデータの 読 み 取 り カルキングの 表 へのセット Excelの 終 了 がすべて 自 動 で 行 われています サンプル excel_interface parameter 備 考 function style 関 数 名 sheet name "Sheet" アルファベット excel top cell "A" 先 頭 セル 番 地 excel last cell "E8" 最 終 セル 番 地 full path name file Excelファイル 名 calking table 関 東 9 月 受 け 皿 テーブル 名 calking top cell (,) 先 頭 セル 番 地 calking last cell (5,8) 最 終 セル 番 地 サンプルで 使 用 するインターフェース 表 関 東 9 月 地 域 気 圧 (hpa) 気 温 ( ) 湿 度 (%) 降 水 量 (mm) A 地 点 B 地 点 C 地 点 D 地 点 E 地 点 F 地 点 G 地 点 インターフェース 表 の 実 行 により 受 け 皿 の 表 に データがセットされた 結 果 関 東 9 月 地 域 気 圧 (hpa) 気 温 ( ) 湿 度 (%) 降 水 量 (mm) A 地 点 B 地 点 C 地 点 D 地 点 E 地 点 F 地 点 G 地 点

112 ステップ 加 工 データ 表 の 作 成 作 成 する 表 の 情 報 を 右 のtable_spec 表 に セットします r= 抽 出 表 作 成 (" 気 温 データ",9,,7,50,700 ) r=create_table(table_spec) この 式 の 実 行 で 下 の 気 温 データの 表 が 空 白 状 態 で 作 成 されます table_spec テーブル 仕 様 デフォルト 表 の 名 称 気 温 データ 行 数 列 数 7 作 成 位 置 (X) 50 作 成 位 置 (Y) 700 右 の 抽 出 表 作 成 関 数 で データがセットされます 抽 出 表 作 成 (name, m,row,col,x,y) 該 当 月 =9 文 字 変 数 =" 関 東 "+ 該 当 月 +" 月 " 気 象 データ 表 =search_name( 文 字 変 数 ) table_spec = name table_spec =row table_spec =col table_spec =x table_spec =y return,,,,5,6 気 温 データ A 地 点 B 地 点 C 地 点 D 地 点 E 地 点 F 地 点 G 地 点 気 象 項 目 = 関 東 9 月 表 の 列 目 r=データ 書 き 込 み( 気 象 項 目, 気 象 データ 表 ) データ 書 き 込 み(item, M ) ( for k = to 7 step ) p= M,k+ 気 温 データ = p k, 気 温 データ =M この 式 の 実 行 で 上 の 気 温 データ 表 に 関 東 9 月 表 から 必 要 なデータが 抽 出 されます k, item,k+ ステップ 加 工 された 表 をExcelの 次 元 棒 グラフで 描 画 する 右 のインターフェース 表 に 必 要 なデータをセットします functionのdefaultとは 標 準 仕 様 のことで Excel 起 動 グラフ 化 などの 一 連 の 作 業 が 定 義 済 みの 関 数 名 のこと です full path nameは 作 成 されたExcelのブックを 保 存 する ファイル 名 です graphの 値 は ExcelのVBAで 定 義 されているものを 使 用 します カルキンググラフライブラリで 定 義 されています excel_interface parameter 備 考 function default 関 数 名 sheet name " 気 温 " アルファベット excel top cell "A" "A" excel last cell "G" 設 定 不 要 full path name file 保 存 ファイル 名 calking table 気 温 データ カルキングテーブル 名 calking top cell (,) 例, calking last cell (7,) 例, graph xldcolumn グラフ 種 別 気 温 file=folder+" 気 温 9 月.xls" excel_interface インタフェース function end 関 数 名 sheet name " 気 温 "アルファベット Excel 終 了 のためのインタフェース 表 A 地 点 B 地 点 C 地 点 D 地 点 E 地 点 F 地 点 G 地 点 Excelで 作 成 された 表 を 貼 り 付 けたものです 0

113 ステップ 気 圧 気 温 湿 度 降 水 量 の 平 均 値 分 散 標 準 偏 差 を 求 める 関 東 9 月 統 計 処 理 気 圧 気 温 湿 度 降 水 量 平 均 分 散 標 準 偏 差 カルキングでの 平 均 分 散 標 準 偏 差 関 数 は 配 列 を パラメータとします 従 って 下 記 スクリプトでは それぞれ 配 列 に 対 しての 代 入 を 含 みます excel_interface parameter 備 考 function default 関 数 名 sheet name " 気 温 " アルファベット excel top cell "A" "A" excel last cell "E" 設 定 不 要 full path name file 保 存 ファイル 名 calking table 関 東 9 月 平 均 地 表 カルキングテーブル 名 calking top cell (,) 例, calking last cell (5,) 例, graph xldcolumn グラフ 種 別 a={ 0,0,0,0,0,0,0} ( for k = to 5 step ) ( for m = to 7 step ) a = 関 東 9 月 m k,m+ 関 東 9 月 統 計 処 理 =average(a) k, ( for k = to 5 step ) ( for m = to 7 step ) a = 関 東 9 月 m k,m+ 関 東 9 月 統 計 処 理 =var(a) k, ( for k = to 5 step ) ( for m = to 7 step ) a = 関 東 9 月 m k,m+ 関 東 9 月 統 計 処 理 =stdevp(a) k, 関 東 9 月 統 計 処 理 データの Excelを 使 ったグラフ 描 画 は ステップと 同 様 です 00 気 温 平 均 分 散 標 準 偏 差 気 圧 気 温 湿 度 降 水 量 今 回 の 例 はカルキングをExcelのVBA 的 に 利 用 した 例 です VBAとは 全 く 操 作 イメージが 異 なりますが 遙 かに 直 感 的 です またスクリプト 中 でExcelリンクコマンドを 使 用 できるので 多 様 な 用 途 に 対 応 できます 05

114 <HTML 変 換 例 > カルキング 上 の 全 ての 文 章 数 式 グラフ 表 等 を HTMLファイルに 変 換 する 機 能 です ひと 目 見 ただけでは カルキングの 画 面 かブラウザの 画 面 かわからないほどの 高 水 準 の 変 換 を 実 現 しています 実 際 に 変 換 例 をご 覧 ください これだけ 複 雑 なファイルを 完 全 に 変 換 しています グラフは 変 換 時 に PNGファイルとして 自 動 的 に 保 存 されます カルキング 画 面 インターネット エクスプローラ 画 面 06

115 線 形 計 画 法 例 題 と 説 明 プロフェッショナル 版 限 定 機 能 7x+5y+zの 最 大 値 を 求 める ただし 制 約 条 件 式 ( ),( ),( ) を 満 たし x,y,zはかならず0 以 上 であること 代 数 形 式 max(7x+5y+z)= 目 的 関 数 5x+y+z 0 ( ) 制 約 条 件 式 x+y+6z 0 ( ) 制 約 条 件 式 これらの 制 約 条 件 式 の 他 に x+6y+z 0 ( ) 制 約 条 件 式 暗 黙 に x 0,y 0,z 0 が 仮 定 されています 最 大 値 の 他 に 最 小 値 も 求 められます 制 約 条 件 式 は 通 常 または ですが カルキングでは=の 付 いた 制 約 条 件 式 も 含 めます 線 形 計 画 法 に 限 り 不 等 号 式 および に 関 しては < または > で 代 用 できます 解 き 方 目 的 関 数 を 含 めて 選 択 します max(7x+5y+z)= 5x+y+z 0 x+y+6z 0 x+6y+z 0 実 行 - 方 程 式 関 連 - 線 形 計 画 法 で 線 形 計 画 法 ダイアログ 画 面 が 表 示 されます ( 線 形 計 画 法 ダイアログ 画 面 で 分 数 モードを チェックすると 分 数 解 も 得 られます ) OKボタンをクリックすると 目 的 関 数 の=の 右 に 次 のような 結 果 が 表 示 されます 最 大 値 xの 値 yの 値 zの 値 max(7x+5y+z)={ , { , , 0} } 表 形 式 表 形 式 では 必 ず 標 準 形 の 係 数 を 表 にセットする 必 要 があります sample max case objective function 7 5 = constraint 5 < 0 constraint 6 < 0 constraint 6 < 0 解 き 方 この 表 は 入 力 - 表 / 行 列 - 線 形 計 画 法 の 諸 元 表 で 作 成 します 線 形 計 画 法 では 最 大 ( 最 小 ) 値 の 他 に 各 変 数 の 値 も 同 時 に 求 めます ( 諸 元 表 作 成 の 時 に 最 小 値 を 求 める に チェックして 表 を 作 成 すると 最 小 ケースが 求 められます ) 表 を 選 択 します 実 行 - 方 程 式 関 連 - 線 形 計 画 法 で 線 形 計 画 法 ダイアログ 画 面 が 表 示 されます ここからは 代 数 形 式 と 同 じ 解 き 方 になります ここでは 分 数 解 を 求 めてみました 最 大 値 を 与 えるx,y,zの 値 0 0 max case objective function 7 5 = 7 constraint 5 < 0 constraint 6 < 0 constraint 6 < 0 最 大 値 07

116 < 次 元 高 速 フーリエ 変 換 (FFT)> プロフェッショナル 版 限 定 機 能 の 巾 乗 個 の 波 形 実 測 データをもとに 次 元 周 波 数 分 析 を 行 います f={, , , , , , , , , , , , , , , , -8, , ,.65655, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 8, , , , , , , , , , , , , , , } このデータをカルキングの データグラフで 表 示 すると 右 のようになります この6 個 のデータを 高 速 フーリエ 変 換 します 計 算 誤 差 で 見 づらくなるので 小 数 点 下 6 桁 までの 表 示 としました 下 記 の fft がシステム 関 数 でツールバーから 入 力 します x=fft( f) 逆 高 速 フーリエ 変 換 高 速 フーリエ 変 換 代 入 定 義 次 にxの 値 を 表 示 してみましょう ( 表 示 精 度 小 数 点 以 下 桁 ) x={0, 0, 0, i, 0, , 0, 0, 0, 0, 0, i, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, i, 0, 0, 0, 0, 0, , 0, i, 0, 0} このxに 対 して 逆 高 速 フーリエ 変 換 を 行 います ここでも 見 やすいように 小 数 点 以 下 6 桁 表 示 しています これは 確 かに 元 のデータです - fft (x)={ , , , 0.809, , , ,.70968,.555, -. 50, , , , 9.75, , -.857, , , 0.56,.6 5, , , , , , 0.5, , , -.957, ,.7096,.87969, , , , , 6.697, 6.790, , , -.555,.50, ,.65590, , -9.75, ,.857, , , -0.56, -.65, , 6.950, , , , -0.5, , ,.957, 0.076, , } 08

117 < 多 項 式 展 開 無 限 級 数 展 開 フーリエ 級 数 展 開 部 分 分 数 分 解 > 多 項 式 展 開 拡 張 数 学 関 数 には 多 項 式 に 展 開 する 関 数 があります 関 数 を 入 力 して 実 行 - 各 種 の 展 開 - 多 項 式 展 開 で 表 示 されます polynomial_expand( H ( ) ) x エルミート 多 項 式 関 数 =096x -568 x x x x x a 7 x polynomial_expand L ( ) 拡 張 ラゲール 多 項 式 関 数 プロフェッショナル 版 限 定 機 能 =- x 7 + ( a +7) x 6 - ( a +7) ( a +6) x 5 + ( a +7) ( a +6) ( a +5) x ( a +7) ( a +6) ( a +5) ( a +) x + ( a +7) ( a +6) ( a +5) ( a +) ( a +) x 0 - ( a +7) ( a +6) ( a +5) ( a +) ( a +) ( a +) x + ( a+7) ( a+6) ( a+5) ( a+) ( a+) ( a+) ( a+) polynomial_expand( L ( ) ) = t ラゲール 多 項 式 関 数 t 0 - t 9 + t 8 - t 7 + t 6 - t 5 + t -0 t + t -0 t polynomial_expand( T ( ) ) 5 x 第 種 チェビシェフ 多 項 式 関 数 =68x 5-60 x +960x x x x x -5x polynomial_expand( U ( ) ) s 第 種 チェビシェフ 多 項 式 関 数 =68s -58 s +6758s 0-0 s 8 +0s 6-06 s +s - 無 限 級 数 展 開 プロフェッショナル 版 限 定 機 能 数 学 関 数 の 計 算 式 をマクローリン 展 開 ( x = 0 におけるテイラー 展 開 )します 式 を 入 力 して 実 行 - 各 種 の 展 開 - 無 限 級 数 展 開 で 表 示 されます 操 作 方 法 ) sinx+ e x = と 入 力 します ) 実 行 - 各 種 の 展 開 - 多 項 式 展 開 を 選 びます ) 展 開 する 最 高 次 数 の 入 力 になりますので と 入 力 し OK をクリックします ) 関 数 の 代 数 計 算 の 形 で 表 示 されます e x taylor_expand( sinx+,) =+x+ x + x + x + x + x + x + x 展 開 する 変 数 は デフォルトは x ですが 他 の 変 数 について 展 開 したいときは プロパティの 式 の 属 性 の 代 数 表 現 の 注 目 文 字 で 指 定 します taylor_expand( cost,) =- t + t - t + t - t (tを 注 目 文 字 に 指 定 ) 09

118 フーリエ 級 数 展 開 プロフェッショナル 版 限 定 機 能 次 のフーリエ 展 開 の 公 式 にもとづいて 計 算 します a 0 f( x) = + å ( a cosnx + b sinnx) n n a = π ó n f( t) cos( kt) dt n= π õ-π x をフーリエ 展 開 する 場 合 は 次 のように 式 を 作 成 します 分 数 係 数 の 展 開 の 場 合 はプロパティで 分 数 モードの 設 定 が 必 要 です x = b = ó n π π õ-π f( t) sin( kt) dt 実 行 - 各 種 の 展 開 - フーリエ 級 数 展 開 でダイアログが 表 示 されますので 展 開 項 数 を 指 定 して OKボタンで 結 果 が 表 示 されます fourier_expand( x,5) = π -cosx+cos( x) - cos( x) + cos( x) - cos( 5x) 9 5 fourier_expand( x,0) 注 ) 分 数 形 式 はカルキングで 不 定 積 分 可 能 な 場 合 のみ =.899-cosx+cos( x) -0.cos( x) -.00 sin( x) +0.5cos( x) -0.6cos( 5x) +0.cos( 6x) cos( 7x) cos( 8x) cos( 9x) cos( 0x) 注 ) 係 数 の 桁 数 はプロパティで 指 定 します 結 果 の 式 を 使 ってグラフも 描 けます y=.899-cosx+cos( x) -0.cos( x) sin( x) +0.5cos( x) -0.6cos( 5x) +0.cos( 6x) cos( 7x) cos( 8x) cos( 9x) cos( 0x) 部 分 分 数 分 解 プロフェッショナル 版 限 定 機 能 式 を 入 力 して 実 行 - 各 種 の 分 解 - 部 分 分 数 分 解 で 表 示 されます partial_fract_decompose s (-s ) - = + + 6s 8( s-) 6( s-) + 8( s+) + 6( s+) partial_fract_decompose -a s-ab-as +b +bs abs+as +b +bs +bs+s -a b = + b+s as+b+s ラプラス 変 換 で 微 分 方 程 式 を 解 くとき 等 には小 数 モ ー ドを 利 用 します partial_fract_decompose partial_fract_decompose s +s = + s s s +s s +5s -s +8s -s +s s s = s s s s+.6 s s

119 Laplace 変 換 入 門 ラプラス 変 換 ラプラス 逆 変 換 の 使 用 例 連 立 線 形 常 微 分 方 程 式 の 非 数 値 解 をラプラス 変 換 ラプラス 逆 変 換 を 使 って 求 めます y'(t)+y(t)=e -t y(0)= yを 仮 想 関 数 として 定 義 します 微 分 方 程 式 をラプラス 変 換 します L{y'(t)}+ L{y(t)}= L e -t () d L{y'(t)}= L{y(t)} dt y(t)=æ プロフェッショナル 版 限 定 機 能 未 知 数 の 関 数 を 仮 想 関 数 定 義 します ラプラス 変 換 と 微 分 の 可 換 性 を 使 います L{y(t)}= L{y(t)} L e -t = s+ 定 数 をくくりだします ラプラス 変 換 を 実 行 します ( 代 数 計 算 を 実 行 します) 以 上 により 方 程 式 ()は d dt L{y(t)}+ L{y(t)}= s+ () ラプラス 変 換 の 微 分 機 能 により d dt L{y(t)}=s L{y(t)}-y(0) ラプラス 変 換 の 微 分 ( 代 数 計 算 を 実 行 ) また y(0)= より 方 程 式 ()は 次 のようになります s L{y(t)}-+ L{y(t)}= s+ ここでカルキングの 代 数 方 程 式 の 記 号 解 の 機 能 を 利 用 します 未 知 数 は L{ y(t)} なので カルキングの 置 換 機 能 を 使 ってXに 置 き 換 えます 方 程 式 は sx-+x= s+ 置 換 表 L{y(t)} X この 方 程 式 を 未 知 数 Xで 記 号 解 を 指 定 して 解 きます ( 実 行 - 方 程 式 - 一 元 多 項 式 ) s+ X = ( 方 程 式 の 記 号 解 ) s +s+ この 式 の 右 辺 に 対 して 部 分 分 数 分 解 を 行 います s+ partial_fract_decompose s +s+ 従 って L{y(t)}= + s+ s+ L - { L{y(t)}}= L - + s+ s+ L - + = e -t + e -t s+ s+ = + s+ s+ この 式 に 対 して 逆 ラプラス 変 換 を 行 います 従 って y(t)= L - + s+ s+ 逆 ラプラス 変 換 の 実 行 ( 代 数 計 算 ) 得 られた 最 終 解 y(t)= e -t + e -t

120 < 楕 円 積 分 の 応 用 > ベルヌーイのレムニスケートの 周 の 長 さを 求 める プロフェッショナル 版 限 定 機 能 極 座 標 r =cos q () x-y 座 標 系 ( x +y ) =x -y この 式 の 陰 関 数 グラフが 右 のグラフになります ベルヌーイのレムニスケートの 周 長 ó d dr +( rd q) = ó q +r dr () õ õ dr r =cosq θ を r の 関 数 とみなし 両 辺 を θ で 微 分 する このために d r=-sinq q dr θ( r) =Æ 両 辺 を 二 乗 して 共 通 式 を 削 除 すると 関 数 定 義 () 式 の 両 辺 を 二 乗 すると r =cos q したがって r =-sin q sin =-r r =sin d qr q したがって r d q r = dr dr sin q q () 式 は 次 のように 変 形 できる ó õ dq +r dr= ó r + dr õ sin q dr= ó r + -r õ dr よって ó õ dq r +r dr= ó + dr= ó dr õ -r レムニスケートの 周 長 L= ó õ -r õ dr -r dr 第 一 種 楕 円 関 数 の 定 義 は したがって ó K( k) = ô õ0 L=K( i) = ( -t ) ( -k t ) dt

121 < 行 列 構 成 演 算 子 (M 演 算 子 )> プロフェッショナル 版 限 定 機 能 カルキング 独 自 の 便 利 な 記 号 です ツールバーに 含 まれる M 演 算 子 です 関 数 の 引 数 を 示 す 括 弧 は 不 要 です 以 下 の 例 題 の 括 弧 はすべて 行 列 の 括 弧 です ネストされた 行 列 の 展 開 行 列 の 要 素 が 行 列 のケース M = 要 素 にスカラー 値 が 混 在 したケース M = M 5 6 = 5 6 行 列 の 行 方 向 連 結 行 列 の 列 方 向 連 結 M = 行 方 向 連 結 は & 演 算 子 でも 可 能 です M = & = 配 列 から 行 列 への 変 換 M{{,},{,}}= M{{,,,}}=( ) M{{},{},{},{}}= 対 角 行 列 の 生 成 M{,,,}=

122 < 行 列 の 直 和 直 積 と 直 和 分 解 > 直 和 計 算 ( ) = 直 積 (クロネッカーテンソル 積 ) 計 算 = 直 和 分 解 プロフェッショナル 版 限 定 機 能 matrix_decompose M= = 7 0 Å Å( 7) 5 matrix_decompose( M) = 7 0 Å Å(7) 5 直 和 分 解 の 結 果 を 次 の 計 算 に 使 いたいときは 配 列 で 結 果 を 返 します matrix_decompose_a( M)= 7, 0 5, ( 7)

123 LU 分 解 と 連 立 次 方 程 式 プロフェッショナル 版 限 定 機 能 LU 分 解 を 利 用 して 連 立 次 方 程 式 を 解 きます (ここで 取 り 上 げる 例 題 は 小 規 模 な 連 立 次 方 程 式 ですので 実 際 は 方 程 式 メニューで 解 くのが 適 切 です LU 分 解 法 が 必 要 になるのは 大 規 模 な 連 立 次 方 程 式 の 時 ですが 説 明 のため 簡 単 な 例 を 使 いました ) A= B= 方 程 式 Ax=B を 解 く {p,l,u}=lu( A) 代 入 定 義 この 代 入 で 求 まったそれぞれの 値 を 以 下 に 表 示 します p={{, }, {5, 6}} L= Lはこのように 正 規 化 された 下 三 角 行 列 になっています 表 示 精 度 は6 桁 U= 表 示 精 度 は6 桁 Uはこのように 上 三 角 行 列 になっています pがφでないため Bの 要 素 を 交 換 する 必 要 があります C=matrix_row_change(B,,) 代 入 定 義 C=matrix_row_change(C,5,6) 代 入 定 義 これによりBの 行 を 交 換 したCは 右 のようになります C=

124 従 って 解 くべき 方 程 式 は 以 下 のようになります LUx=C xを 求 めるための 以 下 のような 効 率 的 手 順 が 知 られています () この 方 程 式 はLが 正 規 化 された 下 三 角 行 列 のため 特 別 な 関 数 で 求 めることができます Ly=C D=nltm_equation(L,C) 代 入 定 義 nltm_equation 関 数 は 正 規 下 三 角 行 列 の 方 程 式 専 用 の 関 数 です D= 注 釈 - y=l C の 計 算 式 で 簡 単 に 求 めることができますが この 方 法 は 次 元 の 乗 のオーダーでの 計 算 になります () 以 下 の 方 程 式 の 解 が 求 める 解 となります Ux=D utm_equation( U,D) = 注 釈 - x=u D の 計 算 式 で 簡 単 に 求 める ことができますが この 方 法 は 次 元 の 乗 のオーダーでの 計 算 になります utm_equation 関 数 は 上 三 角 行 列 の 方 程 式 専 用 の 関 数 です これが 解 になります () 解 の 検 証 A 確 かに 誤 差 の 範 囲 で 元 の 方 程 式 を 満 たしています = 計 算 6

125 <QR 分 解 と 連 立 次 方 程 式 > プロフェッショナル 版 限 定 機 能 QR 分 解 を 利 用 して 行 列 形 式 の 連 立 次 方 程 式 の 解 法 を 説 明 します 方 程 式 の 形 は 以 下 のようなものです この 方 法 は 近 似 解 しか 求 まりません 注 : 正 則 行 列 の 方 程 式 を 解 くためだけであれば LU 分 解 法 が 高 速 です A= B= 方 程 式 Ax=B 解 法 の 説 明 {Q,R}=QR( A) 代 入 定 義 求 まったQ,Rで 元 の 方 程 式 を 表 せば 以 下 のようになる QRx=B 従 って Rx=Q - B 他 方 Qは 直 交 行 列 であるので - T Q =Q したがって C=Q T B 以 下 の 解 が 元 の 方 程 式 の 解 である Rx=C 代 入 定 義 C= 計 算 ここでRは 上 三 角 行 列 であるためこの 方 程 式 の 解 xはシステム 関 数 utm_equationで 求 まる x=utm_equation( R,C) x= 代 入 定 義 計 算 検 算 Ax - B= ここで 参 考 のためにQ,Rの 値 を6 桁 精 度 で 表 示 しておきます Q= R=

126 <Jordan 標 準 形 の 実 行 例 > プロフェッショナル 版 限 定 機 能 例 A= {eg,p}=jordan( A) 代 入 定 義 代 入 定 義 (Jordanの 関 数 名 はツールバーから 入 力 します ) この 代 入 定 義 で eg,pの 二 つの 変 数 に 値 が 代 入 されます P= 計 算 egには 固 有 値 が 求 まっています eg={,,, } 計 算 P= 以 下 のようにJordan 標 準 形 が 求 まりました - P AP= 計 算 行 列 の 次 元 数 が 大 きくないときはプロパティを 分 数 モードに 設 定 することで 厳 密 解 を 求 めることができます 例 A= 代 入 定 義 A= {eg,p}=jordan( A) 代 入 定 義 { eg,p} =Jordan( A) - P AP= 計 算 - P AP= 表 示 精 度 6 桁 で 計 算 代 入 定 義 ( 分 数 モード) 代 入 定 義 ( 分 数 モード) 計 算 P= 計 算 ( 分 数 モード) 8

127 ベクトル 解 析 機 能 カルキングは 直 交 座 標 系 極 座 標 系 円 柱 座 標 系 を 扱 います 基 底 単 位 ベクトル 基 底 単 位 ベクトルにはいくつかの 表 現 方 法 があります カルキングでは ベクトル 解 析 ツールバーでこれらを 使 い 分 けることができます 例 次 元 次 元 直 交 座 標 系 5 i + j -k 5 e + e -e この 表 記 は 次 元 次 元 のみに 制 限 されます 例 多 次 元 直 交 座 標 系 極 座 標 系 円 柱 座 標 系 5 e + e - e +7e -e 5 e, e 5 等 は ベクトル 解 析 ツールバーのe k を 利 用 します e r +0.5 e q +0.e f これらのeはすべてベクトル 解 析 ツールバーのe c を 利 用 します e r +0.5 e f +0.e q これらのeはすべてベクトル 解 析 ツールバーの を 利 用 します ベクトル 解 析 で 使 われる 変 数 名 の 入 力 方 法 CTRL+SMPLX martini 文 字 盤 クリック この 方 法 は ノーマル 書 体 で 数 式 を 作 成 中 に 太 文 字 を 入 力 しても 書 体 モードが 変 化 しません スカラー 変 数 ベクトル 変 数 が 混 在 したときの 計 算 例 次 元 空 間 の 点 (5,,)を 通 る 球 の 体 積 を 求 めよ ただし 球 の 中 心 は 原 点 にあるとする r =( 5,,) 代 入 定 義 r= r 代 入 定 義 半 径 を 求 める πr =6.667 計 算 球 の 体 積 を 求 める e c ベクトル 計 算 の 答 の 表 示 の 変 更 方 法 = 記 号 の 直 後 に 特 徴 を 表 す 記 号 を 記 入 して 計 算 します r =( 5,,) r= i 代 入 定 義 r=5 i+ j+k 計 算 単 位 ベクトルの i を=の 直 後 に 記 入 して 計 算 を 実 行 すると 次 の 様 になる r= e 単 位 ベクトルの e を=の 直 後 に 記 入 して 計 算 を 実 行 すると 次 の 様 になる r=5 e + e +e 計 算 r=5 i+ j+k 代 入 定 義 r =(?) r =(5,, ) 可 変 カッコを=の 直 後 に 記 入 して 計 算 を 実 行 すると 次 の 様 になる 計 算 9