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1 平 成 22 年 度 高 等 学 校 授 業 力 向 上 研 修 実 践 記 録 人 間 の 感 覚 と 対 数 - 数 学 Ⅱ 対 数 関 数 の 指 導 を 通 して- 県 立 十 日 町 高 等 学 校 山 田 勉 Ⅰ 指 導 構 想 本 単 元 における 研 究 テーマ に 迫 るための 視 点 対 数 に 入 ると 高 校 の 授 業 では 主 に 計 算 を 中 心 にして 教 授 することになる しかし 化 学 で 扱 う ph であったり 地 震 の 規 模 を 表 すマグニチュードであったり われわれの 生 活 の 中 に 対 数 が 使 われていることは 多 い その 中 でも 人 間 の 感 覚 そのものが 対 数 的 に 判 断 されていることを 実 験 から 導 き 出 して 対 数 が 単 なる 計 算 に 終 わらないというこ とを 理 解 させる Ⅱ 学 習 指 導 案 1 単 元 名 ( 題 材 名 ) 数 学 Ⅱ 対 数 関 数 指 数 関 数 ( 対 数 ) 2 対 象 クラス 2 年 7,8,9 組 25 名 ( 習 熟 度 別 展 開 の 発 展 クラス) 3 指 導 目 標 対 数 は 生 徒 にとってもいきなり 出 てきた 計 算 方 法 であり 計 算 はできるが 日 常 生 活 とはもっとも 遠 い 分 野 に 思 われがちである この 対 数 と 日 常 での 生 活 ま た 人 間 の 感 覚 が 密 接 に 関 わっていることを 学 ぶことがこの 時 間 の 目 標 である 4 指 導 と 評 価 の 計 画 ( 全 7 時 間 ) 1 対 数 の 性 質 1 時 間 2 対 数 の 計 算 2 時 間 3 対 数 方 程 式 対 数 不 等 式 2 時 間 4 常 用 対 数 の 利 用 2 時 間 5 本 時 の 計 画 (7/7 時 間 ) (1)ねらい 人 間 の 感 覚 が 対 数 的 な 判 断 によるものであることを 体 験 し 感 覚 を 値 で 表 現 する 方 法 を 考 え 計 算 する (2) 本 時 における 研 究 テーマ に 迫 るための 指 導 の 構 想 高 校 の 授 業 は 主 に 知 識 の 教 授 に 終 わってしまうが これでは 体 験 的 な 活 動 ができ ないので 実 験 を 中 心 に 授 業 を 進 めていく

2 (3) 展 開 評 価 の 観 点 : 関 心 意 欲 態 度, 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方, 表 現 処 理, 知 識 理 解 ねらい 指 導 内 容 学 習 活 動 留 意 点 及 び 評 価 導 入 (5 分 ) 展 開 (45 分 ) 対 数 と 人 間 の 感 覚 とは 密 接 な 関 係 があるので 本 時 はそれを 調 べてみることを 告 げる 人 間 の 感 覚 を 数 値 化 してみよう 班 ごとに 次 のような 実 験 をする ( 今 回 の 実 際 の 授 業 では 代 表 生 徒 一 人 に 前 に 出 て きてもらって 実 験 した ) 人 間 の 感 覚 というも のが 実 は 対 数 で 表 せ ることを 実 験 を 通 じ て 発 見 させる ( ) 実 験 手 にひらに1gのおもりをのせ(これを 刺 激 値 とする) そこに 少 しずつおもりを 載 せていき 変 化 を 感 じたら 合 図 をしてもらう この 変 化 を 感 じた おもさを 次 の 感 覚 段 階 への しきい 値 ということ にする その 後 手 のひらに2gのおもりを 載 せたら このしきい 値 はどうなるか? ここで 例 えば 1gのときのしきい 値 が 1gであるとき(ここは 実 際 の 値 で 説 明 する) 人 間 の 感 覚 が 常 に 一 定 のものであれば( 絶 対 的 なも のであれば) 2gの 刺 激 値 に 対 しても 1 gで 変 化 を 感 じるはずである と 説 明 を 加 える 3gにしたら どうなるか 例 えば 刺 激 値 が 1gのとき しき い 値 が1gになっ た 場 合 刺 激 値 を 2gにしても し きい 値 は1gなの か それとも 変 わるの か ( ) 次 の 重 さへの 変 化 を 感 じ 取 る 感 覚 は 何 g 増 えたかではなく 比 に 依 存 しているのか と 考 えられる ( ) 結 果 をもとに 表 を 作 る ( 例 ) 刺 激 (g) しきい 値 本 当 はもっと 多 くの 結 果 から 実 証 する ( ) ( 実 際 の 授 業 での 実 験 値 ) 刺 激 しきい 値 ここから 感 覚 を 数 式 化 することを 考 えてみる いきなり 連 続 的 な 感 覚 量 を 求 めるのは 難 しいので 感 覚 量 を 離 散 的 な 値 として 考 え 感 覚 段 階 の 変 わり 目 を 考 える 上 の 例 では しきい 値 ( 次 の 段 階 として 認 められる 重 さとの 差 )は 刺 激 の1%( 実 験 値 では7%)で あることが 想 像 できる 仮 にこれが 正 しいとして 考 える 1gの 刺 激 を 感 覚 段 階 1としてスター トする しきい 値 は 次 の 段 階 として 認 められる 重 さとの 差 だったので 次 の 感 覚 ( 感 覚 段 階 2)と してとらえられるのはそのときのしきい 値 を 加 えた 11gである 刺 激 を 感 覚 量 をS とすると とSには どんな 関 係 があるの かを 考 える ( )

3 その 値 に 対 して しきい 値 が 相 対 的 に 計 算 される ので 現 在 の 刺 激 値 に 対 して 計 算 されたしきい 値 を 足 すと 次 の 段 階 が 導 き 出 される そのように 考 えると 次 の 対 応 が 得 られる 刺 激 (g) しきい 値 感 覚 量 感 覚 というものは 本 来 連 続 的 なものであるから 上 の 表 から 連 続 的 にとらえられるように 数 式 化 をす ることを 考 える 刺 激 を 感 覚 量 をSとすると S S 1 ここからSを 求 めるには 対 数 を 使 えばよい S log. 1 ( ) ここから 感 覚 量 Sを 求 めるにはどうする か 考 える ( ) 人 間 の 感 覚 は 対 数 に 変 換 されていること を 知 る これは 現 在 ウェーバーフェヒナーの 法 則 とし て 知 られる 関 係 式 であることを 告 げる 他 にも 身 近 な 例 で 計 算 をしてみる ( ) まとめ(5 分 ) 他 にも 音 の 単 位 である db(デシベル)やマグニチ ュードや 1 年 のときに 習 った ph も 対 数 であるこ とを 説 明 する 次 の 時 間 の 最 初 に 対 数 を 使 って それらの 計 算 をすることを 連 絡 して 終 了 身 の 回 りには 対 数 で 表 されるものが 多 い ことに 気 付 く 2 時 間 目 関 心 意 欲 態 度, 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方, 表 現 処 理, 知 識 理 解 ねらい 指 導 内 容 学 習 活 動 留 意 点 及 び 評 価 導 入 (5 分 ) 前 回 感 覚 量 というものを 対 数 で 表 してみた が 実 際 に 生 活 に 関 わっているもので 対 数 で 計 算 されている 例 を 見 てみる そして 計 算 練 習 をしてみることを 告 げる どういうものがある か 知 る よく 音 の 大 きさの 単 位 として db(デシベル)という 単 位 を 聞 くが これも 対 数 で 計 算 される (W/m 2 )という 音 のエネルギーを 基 準 にして, (W/m 2 )という 音 のエネルギーの 相 対 的 な db は 次 のように 計 算 される 音 の 大 きさが 対 数 で 計 算 されている ことを 知 る ( ) 通 常 の db を 計 算 したい 場 合 は 人 間 が 聞 くことので きる 最 小 可 聴 値 を db とし この 音 のエネルギーを とおく 音 の 大 きさP(dB)は P 1 log 1

4 ここで 問 を 出 す ( 問 1) 3dB あがると 音 のエネルギーはもとの 何 倍 になるか ただし log とする 式 が 作 れるかどう かを 見 る ( ) (ヒント)dB の 音 のエネルギーを 3dB の 音 の エネルギーを とすると どうなるか 3 1 log 1 から log.3 log1 2 1 もし わからなけ ればヒントを 出 し て 様 子 を 見 る ( ) よって 2 から 2 となり よく 掃 除 機 の 宣 伝 で 3dB 違 うような 宣 伝 文 句 があるが その 違 いは 音 のエネルギーは 2 倍 変 わ ることがわかる ( 問 2) 57dB の 音 を 出 す 機 械 がある 1dB のときの 音 のエネルギーを 57dB の ときの 音 のエネルギーを とするとき は の 何 倍 か ただし log とする 数 値 から 得 られる 印 象 と 実 際 のエネ ルギーの 違 いを 理 解 する 2この 機 械 を 2 台 使 ったときの 音 は 何 db になるか ( 解 答 ) log 1 から log ここで 1 log 5 log1 1 log より とわかるから.7 計 算 の 処 理 の 仕 方 を 考 える ( ) で 止 めず に 対 数 を 使 うと くらいであ ることも 計 算 で 出 せ ることを 教 える ( ) よって 約 5 万 倍

5 5 5 2 P 1log1 ( ) 6 P 1log1 1 6 よって 6dB 57dB の 音 源 が2つになっても 音 の 大 きさは 単 純 に 2 倍 にはならないこ とがわかる 対 数 によって 計 算 することで 感 覚 的 にはわかってい ることでも 数 値 によって 確 かめら れることを 知 る ( ) ( 問 3) 他 にも 地 震 の 規 模 を 表 すマグニチュ ードも 地 震 を 起 こすエネルギーを( 単 位 はJ(ジュール))とし マグニチュー ドをMとすると log M と 表 される この 式 によると マグニチュードが 1あがると そのエネルギーは 何 倍 になる だろうか ただし log とする (ヒント)マグニチュードが1あがると は 1.5 あがる log 1 ( 解 答 )もとのエネルギーを あがったあとの エネルギーを とすると log ここで だから log より だから 1.5 計 算 の 仕 方 ( ) 32 つまり 32 となる マグニチュードが1しかあがらなくても 地 震 のエネルギーは32 倍 になっている まとめ 対 数 は 大 きな 値 を 小 さく 表 現 できるので いいところもあるが 勘 違 いする 場 面 も あるということを 伝 える 対 数 を 使 うメリッ トと それによっ て 生 まれやすい 誤 解 を 理 解 したか

6 Ⅲ 授 業 の 実 際 実 験 から 理 論 式 を 出 すということで 普 段 の 知 識 の 教 授 のような 授 業 とは 違 った 授 業 だった しかし 生 徒 は 飽 きることなく 最 後 まで 集 中 を 切 らさずに 取 り 組 んでい た 理 論 を 導 き 出 すところでは 教 員 側 が 一 方 的 に 進 める 場 面 が 多 く 生 徒 の 参 加 する 部 分 がなかったので 実 験 だけはグループ 学 習 にして 多 くの 生 徒 が 体 験 できるよう にするべきであった 実 際 の 授 業 では 代 表 者 を 一 人 選 ん で 実 験 をしたが 実 験 データはほぼこ ちらの 意 図 したものになり 計 画 通 り に 授 業 を 進 めることができた この 授 業 内 容 は この 実 験 データがすべてで あるので こちらの 意 図 に 合 わない 結 果 になったときの 進 め 方 も 考 える 必 要 もある 実 際 の 授 業 風 景 Ⅳ 実 践 の 考 察 とまとめ この 授 業 は 実 験 のデータによるところが 大 きいのだが 研 究 授 業 での 実 験 で は 理 想 通 りの 流 れになった 研 究 授 業 では 1 人 だけ 前 に 出 して 実 験 を 行 っ たが 体 験 してもらうことで 対 数 的 な 判 断 を 実 感 できるので 班 を 作 っ て 何 人 かでデータを 作 ってみることもできたのではないかと 思 う この 実 験 では おもりとして 上 皿 天 秤 で 使 う 分 銅 を 利 用 したが ひとつひ とつが 小 さく 目 をつぶって 手 のひらに 載 せても 載 せた 感 覚 がわかってしま う 恐 れもあった そこで 分 銅 ではなくて 封 筒 など 平 らなものに 砂 などをつ めて 基 準 となるおもりを 作 り 重 ねて 載 せていけるようなものを 用 意 しておく といいと 思 う 実 験 の 際 注 意 する 点 としては 載 せるときは 少 しずつ 載 せていくのではな くて 加 算 したおもりは 載 せるたびごとにすべて 取 り 除 き 一 度 に 加 えていか ないといけない 例 えば 1gの 刺 激 値 に 対 して 1g 載 せたあと 2g にしたければ 1gのおもりを 取 り 除 き 2gとして 改 めて 載 せないと 刺 激 値 11gに 対 して 1gを 載 せたことになってしまい 意 図 した 結 果 とは 違 うものを 調 べることになってしまう 作 業 の 方 は 黒 板 をノートにうつすことが 主 な 活 動 になってしまったので ワークシート( )を 用 意 しておく 方 が 時 間 を 有 効 に 使 える 教 科 書 にはない 対 数 の 使 い 方 が 体 験 できたので 生 徒 にはいい 刺 激 になった ようである V 参 考 文 献 人 間 の 五 感 は 対 数 に 変 換 されている ( ワークシートは 最 後 に 参 考 として 載 せておくが 下 線 部 は 授 業 の 中 で 生 徒 に 書 いてもらう 部 分 である

7 人 間 の 感 覚 量 を 式 で 表 してみよう! ~ 対 数 と 人 の 感 覚 の 関 係 ~ 本 日 の 目 的 今 日 は 次 のような 実 験 をして 人 間 の 感 覚 を 式 で 表 す 方 法 を 考 える 実 験 考 えてみよう 刺 激 値 としきい 値 の 関 係 はどうなっただろうか もとからあった 刺 激 値 に 対 して 相 対 的 にしきい 値 が 決 まってくる など 重 さを 感 じた 感 覚 に 段 階 をつけるとする しきい 値 は 次 の 重 さを 感 じる 境 目 だったので 次 の 段 階 の 重 さとして 認 識 されるのは 目 隠 しをして 手 のひらにある 重 さのおもりを 載 せる そこに 少 しずつおもりを 載 せ 重 さを 増 やしていく 目 隠 しをしている 人 は 最 初 から 載 っているおもりより 重 くなった と 感 じたら は い と 言 う 今 の 刺 激 値 + しきい 値 ( 刺 激 値 より 相 対 的 に 計 算 ) ( 注 )おもりを 増 やすときは 前 に 加 えたおもりをすべて 取 り 除 き 新 しく 加 えるおもりは 一 緒 に 載 せるようにすること 例 えば 1g 載 せて 反 応 がなくて 次 にもう1g 加 えて2gにして 載 せたい 場 合 は 先 に 載 せ た1gを 取 り 除 き 1g 加 えて 2g 一 緒 に 載 せる つまり 常 に 基 準 の 重 さ に 対 して +αとなる 形 でおもりを 増 やすようにする このとき 刺 激 値 としきい 値 を 次 のように 定 義 する で 計 算 されると 考 える 最 初 の 刺 激 を 1gとして 表 を 埋 めてみよう 感 覚 段 階 刺 激 値 (g) 1 しきい 値 + ( ) +( ) +( ) +( ) +( ) 刺 激 値 最 初 に 載 せるおもりの 重 さ しきい 値 重 くなった と 感 じたときに 加 えたおもりの 重 さ 上 の 表 をもとに 式 を 作 ってみる (1) 刺 激 値 を 感 覚 段 階 を S とすると と S にはどのような 関 係 が 成 り 立 つだろうか 実 験 をしてみよう 実 験 をした 結 果 を 下 の 表 にまとめてみよう 単 位 (g) 刺 激 値 (2) (1)の 関 係 式 から 感 覚 段 階 S を で 表 してみよう しきい 値