６

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きよたつかたいわ
7 years ago
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1 6. 構造を持つ合祖過程 6. 地理的構造を持つ集団における遺伝子系図生物集団は全集団が一つの任意交配集団と見なされることは稀であり地理的な隔たりが交配のチャンスについて制限を与えその生物種の遺伝的多様性や進化に大きな影響を与える遺伝的変異が少なく生物種としては比較的若いと考えられる人類集団においても様々な地理的変異が見られるここではこのような地理的構造を考慮に入れた遺伝子系図のモデルを紹介する有限個の小集団に分割された生物集団を仮定しよう各分集団をなどで表し... を全分集団の集合とするで分集団の総数を表しここではは有限集合 < とする分集団の遺伝子の個数を一定とする親個体は独立に分集団間を移住し移住先の分集団ごとに配偶子の遺伝子プールを作るその後各分集団で独立に Wgh-h モデルを含む可換モデルに従ってそれぞれの分集団のの個体遺伝子からなる次世代の集団を作る繁殖と移住で世代と考えることにする世代個体当たり分集団からへの移住率移住確率をただしおよびのときただしとするまた行列 Q を Q とするこのとき時間を逆に見て分集団にいる個体が世代前にから移住してきた確率をとすると次の補助定理を得る補助定理 6. δ O ただし M は後ろ向き移住率行列と呼ばれ次式で与えられる 6. 証明分集団間を上で定義した移住率 Q で毎世代動く個体の時刻の位置をとす

としては比較的若いと考えられる人類集団においても様々な地理的変異が見られるここではこのような地理的構造を考慮に入れた遺伝子系図のモデルを紹介する有限個の小集団に分割された生物集団を仮定しよう各分集団をなどで表し.

2 る世代を Δ と見なす時間スケールを取ると全集団からランダムに選んだある個体の世代当たりの移動より Δ Δ Δ Δ Δ 全集団からランダムに選んだ個体なのでただしよってのとき O 同様にのとき O 以上より6.が成り立つが成り立つので Δ のときの行列 M は分集団の集合上に連続時間マルコフ連鎖を生成する推移確率をとするとコルモゴロフ方程式が成り立つ推移確率行列をとすると M で表わされるこのマルコフ連鎖は既約と仮定する次に複数の個体遺伝子の移住について考えてみよう複数の個体の位置を多重指数で表わすは着目している複数の個体の中で分集団に位置する個体の数を表わす従っては個体数であるこのような多重指数

が成り立つが成り立つので Δ のときの行列 M は分集団の集合上に連続時間マルコフ連鎖を生成する推移確率をとするとコルモゴロフ方程式が成り立つ推

3 全体の集合を I < とする各個体は行列 Q と前に定義した移住率に従って毎世代独立に分集団間を移住すると仮定する現在の配置がであるとき世代前の配置がる確率を Δ とする複数の個体が世代で異なる分集団へ移住する確率はO のオーダーの無限小となるよって Δ O Δ Δ Δ O Δ O Δ のときのとき 6. その他ここで Δ I は δ で定義される単位ベクトルとするの連続時間近似を行うと個体の時刻での配置をとすると移住による推であ移確率は次のコルモゴロフ後ろ向き方程式を満たす γ γ 集団の様々な所から遺伝子をサンプルしこれらの遺伝子の祖先あるいは系図を考察するそこで分集団から個の遺伝子をサンプルしその全体をベクトルで表すはサンプル遺伝子の総数であるこのサンプル遺伝子の祖先をたどりその遺伝子系図を表現するマルコフ過程を求めるを[] 世代遡った祖先集団におけるサンプルの祖先遺伝子の空間配置とするすなわちは分集団.に見出されるサンプルの祖先遺伝子の数であるは[] 世代前のの祖先遺伝子の総数であるこのときの連続時間近似を行うと次のコルモゴロフ後退方程式で表現される遺伝子の系図を表すマルコフ過程を得る定理 6. γ γ を初期状態から γ への推移確率

その他ここで Δ I は δ で定義される単位ベクトルとするの連続時間近似を行うと個体の時刻での配置をとすると移住による推であ移確率は次のコルモゴロフ後ろ向き方程式を満たす γ γ 集団の様々な所から遺伝子をサンプルしこれらの遺伝子の祖先あるいは系図を考

4 とするこのとき次の方程式が成り立つoohaa99 γ γ γ δ γ I 6.3 ohw ここで M は後ろ向き移住率 I とする I 明らかにであり6.3により I 上に保存的なマルコフ過程が定義されるこれが移住と合祖を含む地理的構造を持つ遺伝子の系図過程であるこの遺伝子系図過程をと書くことにする連続時間マルコフ連鎖の性質より状態での滞在時間を τ とすると τ はパラメーターの指数分布に従う ] 6. τ > [ ] [ この滞在時間の後状態からへのジャンプが確率で起こる方程式 6.6.3は時間を遡って見た時各個体の移住の独立性と各分集団内での繁殖の独立性より世代内で後ろ向きの移住と合祖が同時に起こる確率複数の分集団で同時に合祖が起こる確率は O のオーダーの無限小ということから導かれるこの様な生物集団が幾つかの分集団に分割されたモデルは飛び石モデルg o olと呼ばれ古くから研究されている例えば ua&w96 W&ua965Malco awy976b Mauyaa97abc 等 agyla97ac 等を参照されたい 6.6.3で定義される地理的構造を持つ合祖過程 ucu oalc Molは任意サイズのサンプル遺伝子の系図という視点から飛び石モデルの自然な拡張と考えられるただし 6.3 式の成立は厳密に証明されているわけではないなぜなら後ろ向きの移住 3

] 6. τ > [ ] [ この滞在時間の後状態からへのジャンプが確率で起こる方程式 6.6.3は時間を遡って見た時各個体の移住の独立性と各分集団内での繁殖の独立性より世代内で後ろ向きの移住と合祖が同時に起こる確率複数の分集団で同時に

5 によって世代前の個体の配置を考えるとき各分集団の個体数はそれぞれの定まった個体数に戻っていなければならない従って今注目しているサンプル遺伝子の後ろ向きの移住は独立ではないしかし世代あたり個体以上が移住する確率はO のオーダーの無限小となり複数の個体の移住が無視できるということより6.が導かれると考えられるただし厳密な証明を与えているわけではないまた数学的には無限個の分集団を含むモデルに拡張することもできる保存的な移住という条件の下で Hbo997 はここで述べたモデルとは少し異なるモデルで6.3 式を厳密に導いているここで保存的移住とは移住の前後で個体数の変化がないという意味でが成り立つときに言うを可算無限集合としよう系図過程は次の飛び石モデルg o olを表現する無限次元拡散過程の双対過程として現れる二つの中立な対立遺伝子 A a を考えアレル A の分集団での頻度をそして分集団のサイズパラメーターをとし次の方程式で表現される無限次元拡散過程を考える X Y X Y X Y 6.5 遺伝子頻度 X の有限個の頻度の単項式を X で定義するただし < とするこのとき [ X ] とすると半群の性質より I X 6.6 ここで I は6.3で定義される定数であるから生成されるマルコフ連鎖は遺伝子の系図過程なので [ X ] [ X ] と表現される左辺は初期 X 条件 X X の下での遺伝子頻度の拡散過程 X のモーメントであり右辺は初期頻度 Xのモーメントの指数として現れる遺伝子系図過程に関する期待値であるこの等式は左辺すなわち時刻のサンプルが全てアレル A である確率は右辺すなわち時間を遡った祖先集団においてその祖先が全てアレル A である確率に等しいことを表現しているこの関係は双対性と呼ばれ遺伝子頻度 X と遺伝子系図は双対な確率過程であると言うこの双対性を利用して遺伝子系図過程の解析から拡散過程 X の種々の性質を導くことができる特に拡散過程の定常分布およびエルゴート性については hga98abで研究された X

3 式を厳密に導いているここで保存的移住とは移住の前後で個体数の変化がないという意味でが成り立つときに言うを可算無限集合としよう系図過程は次の飛び石モデルg o olを表現する無限次元拡散過程の双対過程として現れる二つの中立な対立遺

6 6. 合祖時間分布と分離サイトの数の分布 ga の合祖過程の場合と同様にサンプル遺伝子が共通なつの祖先に到達するまでの待ち時間をとする定理 6.3. Ψ [ ] ただしをの母関数とする Ψ はの分布のラプラス変換であるこのとき Ψ は次式を満たす I Ψ Ψ 境界条件は全てのに対して Ψ 6.7 証明状態での滞在時間 τ とジャンプ確率を用いて Ψ [ ] [ τ τ ] [ [ τ τ τ ] ] [ τ [ τ ] ] 強マルコフ性付録 H 参照 [ τ [ τ τ ] ] [ τ ] I τ Ψ Ψ のときより6.7 並びに境界条件を得る 6.7を一般に解くことは困難であるが集団構造が単純でサンプル数が小さな場合については具体的に Ψ を求めることができるその例を紹介しよう < 例 >: 次元トーラス状格子モデル分集団が次元のトーラス状の格子空間上に配置され各分集団のサイズパラメーターが等しく空間的に一様な移住率を持つ場合を考えようすなわち個の分集団からなる全てのについてとするに対してそれらの和と差をを法として ± ± o で定義する移住率は空間的に一様でからへの移住率は差のみに依存すると仮定するすなわちと書くことにするこのとき個サンプル遺伝子に対する母関数 Ψ を求めるサンプルした分集団を 5

7 証明状態での滞在時間 τ とジャンプ確率を用いて Ψ [ ] [ τ τ ] [ [ τ τ τ ] ] [ τ [ τ ] ] 強マルコフ性付録 H 参照 [ τ [ τ τ ] ] [ τ ] I τ Ψ Ψ のときより6.7 並びに境界条件を得る 6.

7 とするとかつ空間的一様性より Ψ Ψ は差にしか依存しない従って Ψ Ψ Ψ Ψ と書くことにする 6.7より次式が成り立つ Ψ Ψ Ψ δ この方程式については Wlo-Hbo998により解かれているここでは次の様な Ψ の母関数を導入することにより容易に解くことができることを紹介しようoohaa6 π 次元ベクトル Θ θ... θ を各成分が θ... の値を取るものとするこのように定義されるパラメーター Θ の集合を Ω とする母関数を H Θ Ψ [ Θ ] Θ θ で定義する各 Ψ は逆変換により Ψ H Θ [ Θ ] で与えられる 6.7より次式を得る ΘΩ M Θ M Θ H Θ Ψ H Θ 6.8 ここで M Θ [ Θ ] これより逆変換により Ψ H Ψ Θ M Θ M Θ 6.9 Θ Ψ H Θ Θ M Θ M Θ この式より Ψ を求め上記の結果を利用すると次の表現式を得る Ψ Θ 平均分散は [ Θ ] M Θ M Θ Θ M Θ M Θ 6. [ V [ ] ] Γ Γ Γ Γ Γ [ Θ ] ここで Γ [ Θ ] Γ Θ M Θ M Θ Θ M Θ M Θ 簡単な島モデルで上の結果を見てみよう個の分集団が次元円周上に配置され 6

.. の値を取るものとするこのように定義されるパラメーター Θ の集合を Ω とする母関数を H Θ Ψ [ Θ ] Θ θ で定義する各 Ψ は逆変換により Ψ H Θ [ Θ ] で与えられる 6.7より次式を得る ΘΩ M Θ M Θ H Θ Ψ H Θ 6.

8 移住率は等しくまた集団サイズは簡単のためとす π るこのとき M Θ δ Θ ただし Θ.. Ψ 6. 8 の解を 8 A A とすると Ψ のとき Ψ B B のときの合祖時間の分布密度をそれぞれ A A B B とするとラプラス逆変換により次の結果を得るただし A A および B B である第 3 章で導入した DA 塩基配列を比較したときこれらの間に見出される分離サイトの数について考察するをサンプルの中に存在する分離サイトの数とする無限サイトモデルの下ではこの数は系図上に起こった突然変異の総数に等しい合祖時間の場合と同様に分離サイトの数の母関数 h を h [ ] ただしで定義すると次の定理が成り立つ定理 6. h [ ] I は次式を満たすoohaa997 h h 境界条件 h 6. I 証明状態での滞在時間を τ とする τ から生成されるσ l を τ とすると強マルコフ性付録 H 参照を用いて 7

配列を比較したときこれらの間に見出される分離サイトの数について考察するをサンプルの中に存在する分離サイトの数とする無限サイトモデルの下ではこの数は系図上に起こった突然変異の総数に

9 [ ] [ [ ] [ [ ] h サンプルの系図過程で最初に τ τ ジャンプする時刻までに生じる突然変異の数を X とすると τ X τ のとき X は系図の本の枝に独立に生じる突然変異の数なので平均のポアソン分布に従うまた τ はパラメーターの指数分布に従うこれより h τ X X τ X [ [ ] [ [ ] [ h τ ] τ h X [ ] τ / X [ ]! よって h h 整理すると6.を得る 6.3 大きな移住率および小さな移住率における遺伝子系図モデル前節で求めた方程式を一般に解くことは困難であるそこで移住が非常に強い場合と弱い場合について考えてみよう移住の強さを表すパラメーターを用いて後ろ向き移住率行列を M とする方程式 6.7は次式の様になる 6.3 Ψ Ψ Ψ Ψ 境界条件 Ψ を後ろ向き移住率 M によって生成される独立な個の粒子のランダムウオークを表現するマルコフ連鎖とするすなわちは次の生成作用素によって生成される 8

3 大きな移住率および小さな移住率における遺伝子系図モデル前節で求めた方程式を一般に解くことは困難であるそこで移住が非常に強い場合と弱い場合について考えてみよう移住の強さを表すパラメーター

10 のときのときその他移住率 M に従って動く独立な個の粒子のマルコフ連鎖はと表現されることを注意しておこう強移住率極限 og-gao l 移住の強さを表すパラメーターが無限に大きくなった極限を強移住率極限と呼ぶことにすると次の定理を得る定理 6.5 l Ψ ここで l h ら生成される上のマルコフ連鎖の定常分布で証明 6. であるは M かを満たすまず Ψ について証明するとしようこのとき6.3は次のように書ける Ψ Ψ h ただし h Ψ ここでこの方程式の解はファインマンカッツの公式付録 I 参照を使って次のように表現される h Ψ ここで [ ] はマルコフ連鎖に関する期待値を意味する一般のに対する式 6.3は Ψ Ψ h と表 9

5 l Ψ ここで l h ら生成される上のマルコフ連鎖の定常分布で証明 6. であるは M かを満たすまず Ψ について証明するとしようこのとき6.

11 されその解はと表現される Ψ h マルコフ連鎖に関する大数の法則より l l I u u ここで I I!! ただしは M から生成される上のマルコフ連鎖の定常分布でありを満たす従って I はマルコフ連鎖の定常分布であるより I!!!!! はを満たす全ての I に関する和を意味する以上の準備の上でまずのとき l Ψ が初期条件に依存しないことを示すとする全てのについてに注意すると Ψ h その他のとき δ

12 h Ψ δ l は定常分布 I に従う確率変数でありこれより δ 故に Ψ / / l すなわち極限 l I Ψ はに依存しないそこでこの極限をより単に l Ψ Ψ で表すことにする 3 の場合についてはファインマンカッツの公式において Ψ h h Ψ より上式が Ψ に関する漸化式になっていることが分かるよって数学的帰納法によって証明が完了する分離サイトの数の母関数の強移住率極限 og-gao lについても同様の議論により証明されるoohaa997 証明終わり ] [ h は強移住率極限の下での有効個体数であるが定理 6.5でのの定義式は加重を付けたの調和平均と見ることができる調和平均より相加平均が大であることより / が成り立つ地理的構造を持つ場合は移住率が無限に大きくなった任意交配集団であっても有効個体数は全集団の実個体数に比べて小さいことを意味する

様の議論により証明されるoohaa997 証明終わり ] [ h は強移住率極限の下での有効個体数であるが定理 6.

13 強移住率極限ではないが移住率がかなり大きいとき強移住率極限からの摂動という考え方で移住率が大きいときの oalcc の近似分布を求めることができる全集団は有効個体数が強移住率極限のときの有効個体数を移住率で修正したを有効個体数とするほとんど任意交配集団に近い集団と見なすことができる oohaa 簡単な例を紹介しよう < 例 > 次元トーラスモデル:.... もし移住の強度が非常に大きなとき近似的に次式が成り立つ Ψ ここで M M M Θ M Θ かつ M Θ Θ. θ 平均分散は [ ] Va[ ] となるこの中で特に簡単なつのモデルを紹介すると個の分集団から成る島モデル移住率を : この時全移住率個の分集団から成る環状飛び石モデル移住率を ± o この時 8 全移住率弱移住率極限 Wa-gao l 移住率が逆に非常に弱い場合を考えるこの場合異なる分集団から取り出した遺伝子の合祖時間は移住率が小さくなるにつれ増加する従ってとすると合祖時間分布の通常の極限は存在しないそこで移住の強度でスケーリングしたの分布を考えるのラプラス変換を Φ [ ] とすると次式が成り立つ

θ 平均分散は [ ] Va[ ] となるこの中で特に簡単なつのモデルを紹介すると個の分集団から成る島モデル移住率を : この時全移住率個の分集団から成る環状飛び石モデル移住率を ± o この時 8 全移住率弱移住率極限 Wa-gao l 移住率が逆

14 6.5 Φ Φ Φ Ψ 境界条件 : 全てのについて Φ 定理 6.6 Φ の弱移住極限を Φ lφ I. とすると次の様な関係を満たす ⅰ ただしならば Φ. ⅱ... ただしかつのときならば Φ Φ.... ⅲ I I o all とする I ならば次の式を満たす Φ Φ oohaa これらの三つの関係式を用いて Φ I を解くことができる < 例 > 分集団からなる島モデル Φ ただし ga の oalc モデルの場合と同型の母関数となるこれより移住率強度が非常に小さいとき Ψ の近似解として Ψ となる 5 個の分集団から成る環状飛び石モデル 3 5 とするこのとき Φ Φ Φ となる 6.7 3

... ⅲ I I o all とする I ならば次の式を満たす Φ Φ oohaa これらの三つの関係式を用いて Φ I を解くことができる < 例 > 分集団

15 6. 分離サイト数からの合祖時間の推定任意交配集団における DA 塩基配列中の分離サイトの数と合祖時間の関係を 3. 節で述べたがこの方法を地理的構造を持つ集団に拡張してみようサンプルに対して合祖時間と分離サイトの同時母関数を ] [ G : で定義する第 3. 節と同じく無限サイトモデルを仮定し突然変異は全系図長 L τ. の系図上に平均 L のポアソン分布に従って起こるものとするこれより 6.8 ] [ ]! [ ]]... [ [ τ τ τ L L G. σ を状態からの最初のジャンプ時刻とするとマルコフ時間 σ は指数分布 σ に従うので強マルコフ性付録 H 参照を使って G G. これより I G G. 6.9 移住率行列を M として強移住率極限 ς および弱移住率極限 ς を考えよう強移住率極限 G l wh. この結果は定理 3.5の任意交配集団における母関数と一致する弱移住率極限. ς でスケーリングしたの母関数を次式で定義する ] [ 6.

節と同じく無限サイトモデルを仮定し突然変異は全系図長 L τ. の系図上に平均 L のポアソン分布に従って起こるものとするこれより 6.8 ] [ ]! [ ]]... [ [ τ τ τ L L G.

16 強マルコフ性により次式が成り立つ I 6. 弱移住率極限をとすると l ⅰ ただしならば. ⅱ ただし... かつのときならば.... ⅲ I ならば log. これらの方程式より順次弱移住率極限を求めることができる例 : 個の分集団からなる島モデル log ただし... ここで η log と置くと ] [ l ξ ξ. のとき ξ の同時分布密度は δ ただし δ は Dac のデルタ関数の条件付分布は δ となる 3 のとき ] [ χ ただし χ 5

17 [ ] よりの条件付分布は < 例 > 次元トーラス状格子空間のモデルサンプル数の場合島モデルとサークル状の飛び石モデルでサンプル数がの場合の結果を紹介する. 個の分集団から成る島モデルIla ol π.. θ.. および M θ δ θ. δ G ただし G G G G G G A B. ただし A 8 8 B 8 8 そして 8 8 これより 8. A A Gaa Gaa A A およびただしサンプルのとき A A A B A A 6. サンプルのときとするサークル状飛び石モデル... θ G M θ M θ M θ M θ θ θ 6

. および M θ δ θ. δ G ただし G G G G G G A B. ただし A 8 8 B 8 8 そして 8 8 これより 8.

18 ここで o.. π θ および co θ θ M. G co co π π π ここで分集団の数無限に大きくすると π π θ θ θ θ θ co co l G 8 8 ただし. 7

Box-Jenkinsの方法

Box-Jenkinsの方法 Box-Jeks の方法自己回帰 AR 任意の時系列を過程 ARと呼ぶで表すこれが AR または AR m m m 個の過去の値に依存する時これを次数の自己回帰ここでは時間の経過に対して不変な分布を持つ系列相関のない撹乱誤差項である期待値一定の分散 σ