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1 H8 年度有限要素法 1 構造強度設計 1. 塑性崩壊 1.3 疲労設計 ( 一部修正版 ) H8-1/6 早川 (R : 夏学期の復習部分 )

2 1. 塑性崩壊とその評価法 ( 極限解析 ) R 塑性崩壊 : 構造物として使用に耐えないほどの過度の塑性変形 全断面降伏 前提 : 弾完全塑性材モデル E ひずみ硬化ありひずみ硬化なし : 降伏強さ E : ヤング率 ε 図 1.3 弾完全塑性材モデルの応力 - ひずみ曲線

3 1.1. 軸力と曲げを受けるはりの塑性崩壊 1 軸力を受けるはり ( 膜降伏 ) R t 弾性 e 全断面降伏 ( 崩壊 ) c = bt 曲げを受けるはり ( 塑性関節 ヒンジ ) < Me M y M py M c = bt /4 弾性初期降伏部分降伏全断面降伏 ( 崩壊 )

4 3 軸力と曲げを受けるはり ( 塑性関節 ヒンジ ) 断面 図心 中立軸 < - - M e 弾性 M y 初期降伏 M py 部分降伏 M c 全断面降伏 ( 崩壊 ) 軸力およびモーメントのつり合い 崩壊限界条件式 b y 3 = 1- m y (1-4) = m bt 6M,b= bt 設計用に変形 + m y b = m y m y (1 ー 4 )

5 b *= b /y (B) (C) b* =(3 /)[1-( m* ) ] (C) m *= m / 図 1-9 崩壊限界の無次元応力表示 (A) (B) - (C) - (A) (1-5) ( m* =) 式 (1-5) ( m* =1)

6 < 練習問題 > (P.149) 図 1 に示す自由端 A に軸力 と水平力 P が負荷される片持ちはり構造について ; 水平力 P =4 が負荷される場合について 軸力の崩壊限界荷重 c は? L A t P はり ( 長方形断面 ) 寸法 : 厚さ t =mm 巾 b=9mm 長さ L =5mm 材料 : 降伏強さ =5MPa ( 弾完全塑性材 ) B 図 1

7 < 練習問題 の解答 > M= b (bt /6) M=P L 崩壊限界 ( 応力表示 ) b * =6M/(bt )= 6P L/(bt ) =( )/( 9 5 ) = 4/3 崩壊条件式 (1-5) から ( m * ) =1-( /3) b * m * =1/3 = 1-( /3) (4/3)= 1/9 m * = m / = c /(bt ) から c = m * (bt ) =( 1/3) (9 5 ) = 15 = 15 k b * =b/y b * =(3/)[1-( m * ) ] m * = m /

8 <FEM 課題 : 軸対称構造の強度評価 > ( 外面 ) (1) 円筒胴一般部の塑性崩壊強度 軸力を受けるはりの膜降伏に対応 ( 内面 ) ( 膜 ) 崩壊条件 ( 多軸応力場 ) : 膜応力成分から得られる Mises 応力を適用する Mises 応力 = 許容限界 : P m / 1.5

9 () ナックル部の塑性崩壊強度 ( 膜 + 曲げ ) 膜曲げ (+) ( 外面 ) 曲げ + 軸力を受けるはりの塑性崩壊 ( 崩壊形式 :3 つの塑性関節円から成る ) ( 内面 ) 崩壊条件 ( 多軸応力場 ) : 膜応力と ( 膜 + 曲げ ) 応力の組合せの形で与えられる条件式を それぞれの Mises 応力の組合せとして適用する m+ y b = m y m y 許容限界 : P m +P b

10 M M E ε 前提 : 弾完全塑性材 全断面降伏 1 棒 ( 引張 ) - 塑性関節 棒 ( 曲げ ) 3 つの塑性関節円 内圧 P 塑性崩壊モード 3 圧力容器の皿形鏡部

11 (B) B C - B A A (C) - (A) 崩壊限界と設計許容限界

12 1.3 S 線図による疲労設計 R 1.3. 疲労強度評価の基礎 ( 応力変動 ) 応力集中部 変動荷重 応力振幅 a = r / max 最大応力 max r = max - min 応力範囲 m =( max + min )/ 平均応力 a = max m = m = 両振 両振 min (a) 応力変動の名称 最小応力 max a = max / m = max / 片振 (b) 両振と片振 図 1-11 応力変動の名称

13 1.3.4 疲労強度への平均応力の影響同じ大きさの応力振幅でも 応力振幅 5 a 平均応力 (>) が大きいほど疲労寿命は短い 1 5 時間強度 a 1 5 時間修正強度 a 15 ( 例 ) 応力振幅平均応力 疲労限度 1 w 修正疲労限度 w 5 グッドマン線図 1 5 時間等強度線図 拡張したグッドマン線図 m 1 平均応力 m 3 引張強さ 4 u 5 修正グッドマン線図 応力振幅 S (MPa) 両振 ( 平均応力なし ) 平均応力あり 1 5 繰返し回数 疲労限度 w w (S 線図上でみた平均応力の影響 )

14 ( 参考 ) 平均応力の修正 ( シフト ) max m m 最大応力 max = a + m > の変動の場合 弾完全塑性体を 仮定すると を超えて存在できないので弾塑性境界線上または縦軸上にシフト ( m m ) する Y A A( 弾性計算応力値 ) ε max m Y B m = ε a B B m のシフト A A( m, a ) C=C m m 弾塑性境界線 m - ε T 図 (1) max >, a < - ε T 図 (1) max >, a max = a + m > で (1) a < のとき ; m = - a 式 (1) (1) a のとき ; m = 式 (1) 図 (3) m のシフト

15 ( 平均応力の考慮 1) 両振 S 線図を使用する場合 a ( 等価応力振幅 eq を計算して寿命評価 ) eq = A A( m, a ) 等価応力振幅 eq の決定 : 図 (4) から次式により計算 eq = a /(1- m / u ) 式 () 寿命線 m m u m 図 (4) 等価応力振幅 eq の決定 a eq f 破断寿命の計算手順 1 応力サイクル ( m, a ) を求める 平均応力 m を修正 ( m ) し A ( m, a ) を求める図 (4) 3 等価応力振幅 eq を決定式 () 5 両振 S- 線図により eq に対する破断繰返し回数 を決定図 (5) 図 (5) 両振 S- 線図

16 ( 平均応力の考慮 ) 平均応力の影響を考慮した疲労線図を使用する場合 ( 応力振幅だけを適用して寿命評価 ) a a 弾塑性境界線 : m + a = a ( 両振 S 線図 ) Y M 寿命線 M o ~M の平均均応力の効果は M( ) で代表させる 平均応力を考慮 M u m a 応力サイクル ( m, a ) = ( u - )/( u - ) ( 平均応力を考慮した S 線図 ) 平均応力の最大効果を考慮した応力振幅 の決定 a f

17 < 参考 > 両振 ( 実線 ) Y 平均応力考慮 ( 破線 ) 疲労線図の例 ( 両振 ( 実線 ) および平均応力考慮 ( 破線 ))

18 1.3.5 累積疲労損傷 ~ マイナー則 圧力 P 1 起動 停止 総繰返し回数 n 1 回 3 4 時間 + 圧力 ΔP 総繰返し回数 n 回 3 4 時間 (a) 運転サイクル (1) (b) 運転サイクル () 図 1- 圧力容器運転サイクル ( 例 ) 応力 1 5 Δ 1 n 1 回 3 4 時間 + 応力 Δ n =(n -n 1 ) 回 4 時間 (a) 評価サイクル Ⅰ (b) 評価サイクル Ⅱ 図 1-3 評価サイクル ( 例 )

19 一般的なマイナー則の表示 : a eq1 eq サイクル Ⅰ サイクル Ⅱ 1 評価サイクル k の損傷率 : n k / k 累積疲労損傷率 ( 線形 ) : 各サイクルの損傷率の線形和 n D= 1 1 n + n + + k k = k i=1 n i i 疲労破損 : D=1 ( マイナー則 )

20 1.3.7 疲労寿命設計 運転条件の把握運転サイクルの設定 評価サイクルパターンの設定 ( a, m, n)i 否 ( max < ) 平均応力修正の要否要 ( max ) 平均応力の修正 ( m m )i max = m + a m = - a 評価サイクルの決定 ( a, m, n)i 等価応力振幅の決定 ( eq )i eq = a /(1- m / u ) 評価サイクル i に対する損傷率 (ni/i) の計算 設計 S- 線図 ( 両振 ) の適用許容繰返回数 i の決定 疲労寿命設計の概略手順 強度評価 : マイナ - 則 D=Σ(ni/i)<1

21 < 練習問題 : 疲労寿命設計 > (P.16) 図 1 に示す圧力容器の ノズル取付部内面コーナ について 下記の評価条件に対して図 4 の設計 S 線図により疲労強度を評価せよ ( 累積損傷率 D を求めて評価 ) 対称軸 対称軸 球かく部 (a) 外観図 円筒部 評価部位 内圧 P (b) ノズル取付部内面コーナ ( 軸対称断面 FEM モデル ) 図 1 ノズル付き球形鏡 ( ふた部 ) 圧力 (MPa) 5 P ΔP 起動 3 ΔP=.16P 5 4 運転サイクル () 15 回 運転サイクル (1) 3 回 図 運転条件 停止 6 時間 評価条件 : 荷重は内圧とし 運転条件は図 による 材料 : 低合金鋼 ( 降伏強さ =3MPa 引張強さ u =5MPa) コーナーの最大応力 max (= θ )=5MPa (P=5MPa に対する応力値 ) 評価法 : 図 の運転条件に示すように 運転サイクル (1) および () の つのパターンが重畳する場合 この運転条件から図 3 の (a) および (b) に示す つの評価 ( 応力 ) サイクル Ⅰ および Ⅱ の組合せ として評価する

22 応力 (MPa) Δ 1 (a) 評価サイクル Ⅰ (n 1 =3 回 ) 5 6 時間 + 応力 (MPa) 1 Δ 図 3 評価 ( 応力 ) サイクル 3 4 Δ =5 ΔP/P 5 (b) 評価サイクル Ⅱ (n =15-3 =1 回 ) 6 時間 1 1 図 4 設計 S 曲線 ( 両振 ) 応力振幅 S MPa 繰返し回数

23 ( 解答 ) 評価サイクル Ⅰ: max =Δ 1 =5+Δ /=54MPa> したがって 平均応力 m の修正が必要 a = m =54/=7MPa 修正平均応力 m = - a =3-7=5MPa つぎに 等価応力振幅 eq を求める eq1 = a /(1- m / u )=7/(1-5/5)=3MPa 図 4 の S- 線図から 破断繰返し回数 回 n 1 =3 1 3 回したがって 損傷率 n 1 / 1 =.6 応力 (MPa) 5 3 Δ 1 5 max =54 =3 m =7 Y M1 B1 ( 弾性計算応力値 ) B1 1 (n 1 =3 回 ) 6 時間 m =5 C1 M1 ε (a) 評価サイクル Ⅰ - ε T

24 ( 解答 ) 評価サイクル Ⅱ: max =Δ 1 =54MPa> したがって 平均応力 m の修正が必要 m =5MPa, a =4MPa 修正平均応力 m =3-4=8MPa つぎに 等価応力振幅 eq を求める eq =4/(1-8/5)=1/11 91MPa 図 4 の S- 線図から 回 n =1 1 3 回したがって 損傷率 n / =. ( 線形累積損傷則 ) D=Σn/ =.6+.=.6<1. OK! 応力 (MPa) Δ 3 4 Δ =5 ΔP/P 5 max =54 m =5 =3 m =8 Y B ( 弾性計算応力値 ) M B M 1 (n =15-3 =1 回 ) (b) 評価サイクル Ⅱ 6 時間 - ε