Microsoft PowerPoint - フーリエ変換.ppt

Transcription

1 平成 9 年度物理数学補習第 7 回 フーリエ変換 冨田知志 7 年 4 月 7 日 金. フーリエ級数 フーリエ変換とは何か. フーリエ級数を求めてみる 3. フーリエ積分 フーリエ変換をしてみる 4. 物理例

2 . この時間のスタンスとルールと目標 冨田フーリエ スタンス : 数学は道具自分に対して使う 他人に対して使う数学的な厳密性を多少犠牲にしてでも フーリエ級数 フーリエ変換の直観的な理解を目指す私の問題 現実的な問題 ルール :. 数式を怖がらない出てくるのはせいぜい三角関数 指数関数 程度. 自分の手を動かすことを厭わない 目標 : cos のフーリエ変換ができるようになる

3 . フーリエ級数 フーリエ変換とは何か? 冨田フーリエ 3. フーリエ級数 フーリエ変換とは? フーリエ級数 : 周期関数を三角関数の級数として表す フーリエ変換 フーリエ積分 周期関数でない より一般的な関数へのフーリエ級数の拡張 時間領域から周波数領域へ関数の時間領域での性質が 周波数領域でどう表現されるか? 物理学 化学 工学の分野で幅広く活用

4 冨田フーリエ 4. フーリエ級数 フーリエ変換が使われる例 熱伝導 変調と検波 : AM ラジオ 信号波 搬送波 レンズによる像形成 : フラウンホーファー回折 結像原理結晶構造の解析 : 結晶構造因子 X 線回折 電子線回折フーリエ分光法 : FT-IR, FT-NMR 線形応答理論 : 複素アドミッタンス クラマース-クローニッヒ関係式高速フーリエ変換 FFT: サンプリング 離散フーリエ変換 信号処理

5 .3 直観的なフーリエ級数の理解 冨田フーリエ 5 以下の連立方程式を解いてみる b c b c b c 8 4..b.c.c より.b に代入し. に代入し b c c b 以上より 5, b, c

6 冨田フーリエ 6.3 直観的なフーリエ級数の理解 4 8 c b c b c b. 以下の連立方程式を解いてみる少し視点を変えて 方程式を次のように書き替えるそしてと定義すると 連立方程式. は bgchf と書ける.b.c 4 8 c b 4 8 F h g

7 冨田フーリエ 7 これは g h F をそれぞれ一種のデジタルな関数と考えてやれば b c という係数を用いることで F という関数が g h という三つの関数で展開されたと考えることができる F g - h そして展開した時の係数 b c が 連立方程式の解に対応する この F をどのように換えても 連立方程式の解は求まるので 任意の 関数 F は それに対応する係数 b c を用いて g h により展開可能級数展開の直観的イメージ

8 冨田フーリエ 8.4 続 直観的なフーリエ級数の理解 4 8 c b c b c b. 以下の連立方程式に対してと定義し 連立方程式. を bgchf と書いたうえで F と g h を既知のものとして b c を求めることができないか? 残念ながらこのままではできない なんで?? g h の性質が原因.b.c 4 8 F h g

9 冨田フーリエ 9 少し発展させ 関数の個数を四つにし それぞれ以下とする 区間が四つになったことで それぞれの関数のグラフが対称な形になった 矩形関数

10 冨田フーリエ これを先ほどと同じように連立方程式に書き直せば やはり F が何であっても 解くことができる つまり F というように 任意のデジタル関数 F が矩形関数,,3,4 によって展開可能となる 四個の矩形関数を用いたので F で表現される数値は 4 つ更に今度の矩形関数 はという関係を満たす 直交関係 このような関係が満たされた場合は 連立方程式が解ける 例えば を求めたい場合 F に をかけて 積分すればよい d j j の場合 F F F

11 冨田フーリエ 3 4 例 : 先ほどの を用いた場合 例えば が, 3, 3 5, 4 という組み合わせで考えてみる このとき F は右の通り これに かけて つまりベクトルとして内積を取って 3 5 F F F ときちんと 3 が出てきた

12 冨田フーリエ 矩形関数をどんどん細かくすれば すなわち振動数の大きな矩形関数を考えれば F で表現できる数値 の個数はどんどん大きくなる 最終的には F はアナログ関数に近づくはず 矩形関数の変わりに三角関数を用いても 似たような話は成立三角関数の方がより性質が良い これがまさにフーリエ級数 の考え方 大事なのは 直交関係

13 . フーリエ級数を求めてみる 冨田フーリエ 3. 周期関数 : 関数 が 全ての に対して T. となるような正の定数 T を持つ場合 この関数を周期的であるという を周期関数 T を周期 周期関数のグラフは 長さ T の任意の区間のグラフの繰り返し例 : 三角関数

14 冨田フーリエ 4. フーリエ級数 既知の関数 は周期 を持つとする 目的 : 周期 をもつ関数の集まり, cos, s, cos, s, を使って を表してみる 例 : が の周期を持つとして, cos, s, cos, s, を使って を表す

15 冨田フーリエ 5 結論を言ってしまうと 関数 はと表せる 展開できる これがフーリエ級数 そして 既知の から未知の係数,b を求めればよい どうすれば から b が求まるか?? s cos s cos s cos b b b.

16 冨田フーリエ 6 そのための準備として 三角関数 s/, cos/ とそれらの積 それぞれの - から までの積分を確認しておく m が正の整数 または ならば m m cos d m,,3, m s d m,,, m, が正の整数ならば m s cos d m m cos cos d m m m s s d m つまり三角関数の積分は直交関係を持つ

17 冨田フーリエ 7 まず を求めるために. の両辺に cosm/m,,, をかけて について - から まで積分する s cos b s cos cos cos cos cos d m b d m m d m.8 m の時.8 の右辺は第一項だけ残り その値 m,, の時 右辺第一項は.3 より {} の内は.5.6 より最初の積分が m の時だけ残り 後は

18 冨田フーリエ 8 以上 まとめると m cos d m m,,, よって cos d,,,.9

19 冨田フーリエ 9 次に b を求めるために 同様に 6.3 の両辺に今度は sm/m,,, をかけて について - から まで積分する s cos b s s cos s s s d m b d m m d m. 右辺の第一項は.4 より任意の m に対して {} の内は.5.7 より 番目の積分が m の時だけが でない

20 冨田フーリエ 以上 まとめると b m については m s d bm m,, よって b s d,,. 以上の計算では. の右辺の級数が に一様に収束するとして 和と積分の順序を入れ替えた

21 .9 cos d,,, 冨田フーリエ. b s d,, によって定義された,b をフーリエ係数 もしくはスペクトル と呼び これらの係数を代入して得られる級数 cos b s を に対するフーリエ級数と呼ぶ. に対するフーリエ級数が収束し その和が であるならば その級数を のフーリエ級数といい 以下のように書く cos b s.3

22 例題 以下の式に示す周期 の関数をフーリエ級数で表せ 冨田フーリエ < < < < - - 周期 すなわち として 公式.9. を用いる d d d [ ]

23 冨田フーリエ 3 例題 < < < < 以下の式に示す周期 の関数をフーリエ級数で表せ - - s s cos cos cos d d d

24 冨田フーリエ 4 例題 < < < < 以下の式に示す周期 の関数をフーリエ級数で表せ - - { },,3, cos cos cos s s s d d d b

25 例題 以下の式に示す周期 の関数をフーリエ級数で表せ 冨田フーリエ 5 < < < < - - 従って のフーリエ級数は.3 より 次式のようになる 4 s s 3 s 5 s

26 例題 冨田フーリエ 6 < < < < - - Mhmc での計算例 4 s s 3 s 5 s

27 .3 フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数 偶関数と奇関数 - ならば は偶関数 -- ならば は奇関数 : 例 cos : 例 s 冨田フーリエ 7 周期 を持つ偶関数 のフーリエ級数は cosの項だけが残り フーリエ余弦級数 cos d,,, 周期 を持つ奇関数 のフーリエ級数は sの項だけが残り フーリエ正弦級数 b b s cos s d,,.4.5

28 冨田フーリエ 8 3. フーリエ積分 フーリエ変換をしてみる 3. フーリエ積分とは フーリエ級数 : 周期 を持つ関数 を 三角関数の無限級数で表した 展開した では 周期的でない関数 無限に続かない関数 例えば光や音など に対してはどうすれば? 周期的でない 周期 のとき フーリエ級数はフーリエ積分になる

29 冨田フーリエ 9 3. フーリエ積分 周期 を持つ周期関数 が フーリエ級数により表されている 即ち.9.. より cos b s 3. b ucos us u du u du 3. ただし 3. では積分変数 u とした

30 冨田フーリエ 3 3. を 3. に代入する 新しい記号を導入 これらを使って 3.3 は以下のようになる s s cos cos du u u du u u du u 3.4 Δ, 3.3 Δ s s cos cos udu u udu u du u 3.5

31 冨田フーリエ 3 ここで の極限を考える 周期を としたので lm は周期関数ではなくなる 非周期関数 は絶対積分可能 すなわち d は存在する と仮定する ただしこれは自明ではない 3.5 の右辺第一項は では である 残りの無限級数は で となる Δ cos cos u udu s us udu 3.6

32 さらに では は連続変数とみなせる Δ であることを考慮し 和を積分に変える 3.6 と 3.7 から cos ucosudud s すなわち lm Δ A B ΔF これを のフーリエ積分表示と言う df 3.7 [ A cos B s] ucosudu usudu 冨田フーリエ 3 u sudud d 3.8

33 冨田フーリエ は三角関数の加法定理より d du ucos u 3.9 と書ける 3.9 をフーリエ積分公式という 以上のフーリエ積分 3.9 の導出法は形式的なものであり 数学的に厳密なものではない 厳密にはフーリエ積分 3.9 の収束性を調べ 3.6 を経由する手続きが正当であることを示す必要がある

34 冨田フーリエ フーリエ変換フーリエ積分公式 3.9 は と書き直せる 3. はフーリエ積分公式の複素表示 これより ならば 3. { } u u u u u du d u du d u du d u u du d cos 3. du u F u 3. d F フーリエ変換フーリエ逆変換 cosθ θ -θ / を使う

35 冨田フーリエ 35 例えば 電子波の平面波などを扱う場合 変数 u, が変位 であるので 振動数 に対応する波数 k/λ を用いて F k k d フーリエ変換 3.3 k F k dk フーリエ逆変換 3.4 このとき Fk は のフーリエ変換 は Fk のフーリエ逆変換という 孫引き注意 積分の前の係数は その積が / であるように分ければよい

36 冨田フーリエ 36 例題 左図で与えられる関数 矩形パルス のフーリエ変換 Fk を求めよ - b b < > 3. より, b での計算結果 F k k d b k d.5 b b k k b k k k b s k sθ θ - -θ / を使う k /

37 例えば 音や光の振動を扱う場合 変数 u, が時間であるので u, と変数の名前を変えて また 物理学では慣習的に 指数の符号を逆にして 冨田フーリエ 37 F d フーリエ変換 3.5 F d フーリエ逆変換 3.6 このとき F は のフーリエ変換 は F のフーリエ逆変換という 孫引き注意 積分の前の係数は その積が / であるように分ければよい 以降 最終目標へ向け この定義を用い 使用する変数は とする

38 3.4 特殊な関数のフーリエ変換 冨田フーリエ で仮定したように 関数 のフーリエ変換が存在するための十分条件は が絶対積分可能ということ 即ち d < なのだが 例えば s, cos はこの条件を満たしていない このような関数のフーリエ変換は どのようにすればよいか? そのための準備として 3.5 ディラックのデルタ関数 δ 3.6 たたみこみの定理 たたみこみ積分 に寄り道する

39 冨田フーリエ ディラックのデルタ関数 δ- 物理学で 瞬間に働く撃力や 大きさを無視した点電荷を表すために δ- が用いられる δ- は 以下のような性質 特異性 を持つ. の点を除き. では非常に大きく 3. を含む区間で積分すると δ δ d 3.7 デルタ関数 δ-

40 冨田フーリエ [ ] [ ] ' ' d d d β β β θ θ δ β β α β α β α ディラックのデルタ関数は 以下に示すヘビサイドの階段関数の形式的な導関数とみなせるすると部分積分を使って 任意の 性質の良い 関数 に対し α<<β として > < θ 3.8 階段関数 θ- 積分区間に注意これをデルタ関数 δ の定義と考える δ θ

41 冨田フーリエ たたみこみの定理 たたみこみ積分 F d 3.5 F d いま のフーリエ変換を F のフーリエ変換を F とする 3.6 ここで と のたたみこみ covoluo というものを τ dτ * τ 3. で定義する これのフーリエ変換を考えてみる

42 冨田フーリエ 4 [ ] * τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ F F F d d d d d d d d つまり * のフーリエ変換は F F であると判る すなわち たたみこみのフーリエ変換は フーリエ変換の積これをたたみこみの定理と言う 積分の順序を交換した

43 冨田フーリエ デルタ関数 δ と関数 のたたみこみ * δ τ δ τ δ τ dτ τ dτ 3. デルタ関数は偶関数 δ-δ デルタ関数の定義 3.9 で α- β と考えて これより デルタ関数 δ と関数 のたたみこみは そのものに等しい

44 例題 3 冨田フーリエ 44 たたみこみの定理を用いて デルタ関数 δ のフーリエ変換を求めよ 3.5 より F d F δ とする まず たたみこみの定理より *δ のフーリエ変換は フーリエ変換の積 F F となる d また 3. より * δ これより *δ のフーリエ変換は F になる 以上より F F F δ F d 3. デルタ関数のフーリエ変換は

45 冨田フーリエ デルタ関数のフーリエ変換の絶対値は の意味 フーリエ級数の係数列及び フーリエ変換後の関数をスペクトルと呼ぶ デルタ関数 δ の フーリエ変換 Fk F [δ] 逆に言うと あらゆる波数 k のフーリエ成分を同じ割合で含んでいる関数 Fk のフーリエ逆変換が デルタ関数 δ F - [] δ である

46 冨田フーリエ 続 特殊な関数のフーリエ変換フーリエ変換の定義の式 3.6 に 逆変換の式 3.7 を代入する ただし 積分変数は に変換する また 積分の順序は形式的に交換できるとする 3.9 式のデルタ関数の定義で として以上の二つを比較し デルタ関数が偶関数であることを用いると d d d d d F d δ { } δ δ d d

47 δ { } d 3.3 冨田フーリエ をフーリエ逆変換の定義式 3.6 と比較する 3.6 F d F は 3.3 の {} の中に対応し δ- のフーリエ変換 : F すなわち任意の に対して δ d 3.4

48 冨田フーリエ F 例題 4 これまでの結果を用いて cos のフーリエ変換を求めよ [ ] [ ] [ ] [ ] cos δ δ δ δ d d d d d d F オイラーの公式を用いた 3.4 で - とし - とした

49 4. 物理例 フラウンホーファー回折 u P S 4. は O, A λr y y,y R 開口面 r P y 観測面 光源も観測点も無限遠 入射波も回折波も平面波スクリーン上の観測点 P,y における回折波の振幅 u P s 冨田フーリエ 49 Ap kr ddy 4. λr 開口の形を現す開口関数は, y 開口 Sの内側 4. A y kr ddy R, p λ [, yp k R y y ]ddy 開口 Sの外側 ホイヘンスの原理 4.3 この式は開口面に垂直な平面波が入射したときに起こる回折波の振幅分布を与える

50 冨田フーリエ 5 y y R r 4.4 開口面の一点から観測点 P までの距離 R は - や y-y に比べて十分大きいので以下のように近似できる [ ] [ ] 3 8 y y R y y R R r 4.5 ここで R の条件として y r R >> λ 4.6 とすると [ ] [ ] y R yy R R yy R y y R R y y R R r を 4.3 に代入し ddy yy R k y y R k kr R A y u P p, p p, λ 4.8 物体が cm 四方 波長 5m で R>>5km

51 ここで ν ν y y / λr / λr 4.9 冨田フーリエ 5 と置くと 4.8 より P での振幅強度は u ν, ν A, y p[ ν yν ]ddy P y y 4. が得られる ただし A k A p kr p y λr R はまさにフーリエ変換そのものであるフーリエ変換そのものが光の強度分布として直接観測される数学的な抽象的概念ではなく フーリエ変換そのものが一つの物理的意味を持つ

52 大きさが D D y の矩形開口のフラウンホーファー回折を考える 4. より観測面での回折の振幅は u P, y D / Dy A D / D A D D y / y / p kd s R kd R k R yy kdy s y R kdy y R D l R ddy 4. D y O y D S R 開口面 r P y 冨田フーリエ 5 D l R 観測面 矩形開口のフラウンホーファー回折 振幅分布 矩形開口のフラウンホーファー回折 強度分布

53 4. 物理例 結晶構造解析 X 線の電子による散乱を考える X 線の入射波を平面波とする r r r u A p k 4.3 冨田フーリエ 53 原点からrの位置にある多数の電子群 静的な電荷の雲 による散乱 r ϕ θ r r r r us A p kr ρ p b d 4.4 R r r r ρ δ j : 電荷密度分布 4.5 j X 線の散乱の角度分布 r r r r r r r r 系の構造因子 F b ρ p b dr b k k 4.6 系全体周期的な結晶構造の場合 bが逆格子点の一つhに一致したときのx 線の散乱強度 r F h r r F h N N N F h : 結晶構造因子 4.7 r r r r ρ Fc h p h 4.8 r v c c h 3 c 結晶構造因子 F c h は 結晶の周期的な電子密度分布 ρ r のフーリエ係数に比例 X 線回折から F c h を測定し それから ρ r を決めれば 結晶構造が求まる

54 4.3 物理例 3 AM 変調 冨田フーリエ 54 例えば AM ラジオ浜村淳の声 信号波 様々な周波数含む を遠くに送りたい 周波数一定 MBS なら 79kHz の高周波 搬送波 cos c を信号波によって変調 modulo したものである cos c を送信 振幅変調 mplud modulo, AM 搬送波 cos c のフーリエ変換 F c F c cos [ δ δ ] c c d c 物理現象のフーリエ解析 65p より

55 冨田フーリエ より 積のフーリエ変換はフーリエ変換のたたみこみなので cos c のフーリエ変換は AM 信号が送られてきたら 検波 dco,dmodulo すれば 元の信号 を分離することが出来る 各家庭で浜村淳の声が聞こえる [ ] [ ] [ ] * * c c c c c c c F F d F F F F δ δ δ δ 前頁図右下参照

56 参考文献 冨田フーリエ 56 フーリエ変換について. 岩波物理入門コース 物理のための数学和田三樹 岩波. 物理現象のフーリエ解析小出昭一郎 東大出版会 3. 岩波講座応用数学 Fourr-plc 解析木村英紀 岩波 4. 物理数学の直観的方法長沼伸一郎 通商産業研究社 5. 光とフーリエ変換谷田貝豊彦 朝倉 物理数学全般について 6. 数学 - 物理を学び楽しむために - 田崎清明暫定版 学習院物理学科 WEB より PDF 入手可能 は ぜひ入手し 第 章だけでも良いので読んでみることをお勧めする 本講義資料 hp://mswbs.s.jp/abs/opcs/om/jp/lc_j.hm

57 フーリエ変換公式集 フーリエ級数 cos d,,,.9 b s d,,. cos b s.3 フーリエ余弦級数 cos cos d,,,.4 フーリエ正弦級数 b b s s d,,.5 フーリエ積分表示 A B [ A cos B s] ucosudu usudu d 3.8 フーリエ変換 F d 3.5 フーリエ逆変換 F d 3.6 デルタ関数 β α δ d 3.9 たたみこみ積分 * τ τ dτ 3.