割り算と小数

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みひなあくや
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1 割り算と小数統計基礎の補足資料 2018 年 5 月 14 日金沢学院大学経営情報学部藤本祥二

2 よくある間違い 1 2 = 0.2 間違い 1 5 = = 0.5 正解 > 分の 1 の方が大きい 5 = 0.2

3 四則演算四則演算 (four arithmetic operations) 足し算 ( 加算,addition) 足し算の答えを和 (summation) という引き算 ( 減算,subtraction) 引き算の答えを差 (difference) という掛け算 ( 乗算,multiplication) 掛け算の答えを積 (product) という割り算 ( 除算,division) 割り算の答えを商 (quotient) という割り算の余りを剰余 (remainder) という割り算だけちょっと複雑世の中には割り切れない問題の方が多い

4 割り切れない割り算 a b の計算で割り切れない場合でも答えが解けたということにして次の式の右辺 a b = a b で表現したものが分数である表現された形式の数としての性質を色々調べることで分数の四則演算のルールを定めることができた分数には大きさが把握し難いという欠点がある割り算の割り切れない部分は 1 より小さな量として表すことができる 1 より小さな量は分数でも小数でも表現できる小数を使えば小さな量でも子供のころから扱い慣れてる 10 進法のイメージで把握できる現在の教育制度は歴史の流れとは逆かなり早い段階で小数の計算を叩き込まれる

5 小さな数の扱いの歴史紀元前 20 世紀頃のバビロニア 60 進法小数に近い概念紀元前 17 世紀頃古代エジプトリンドパピルス分子が1で分母が全て違う単位分数を使う風習 2 5 = , 2 13 = 紀元前 6 世紀頃の古代ギリシャ比の概念 ( 分母分子を区別しない分数, に近い概念 ) 2:3 = 4:6 = 2a:3a a:b = c:d 内項の積 ad = bc 外項の積分数よりシンプルで使い勝手が良い時もあるので今でもよく使われる紀元前 2 世紀頃の古代ローマの分数分母が全て 12 に対応する分数 1/2 を表す記号 S,1/12 を表す記号 1/60 の分 (first minute minute) 1/60 2 の秒 (second minute second) 60 進法は 10 進法の九九に当たるものが無茶苦茶多くて大変 2/5 や 2/13 を使わず右辺の単位分数の和を使う昔は 60 進法分, 秒分数で小さな数を扱ってた

6 紀元前 1 世紀頃の中国, 前漢, 九章算術第一章方田に分数計算三分之二, 四分之三, 等の表記 5 世紀頃のインド分子を上に, 分母を下に書く分数の表記法 7 世紀頃のインドゼロの発見,10 進位取り記数法の発明 9 世紀頃アラビア知恵の館 (830 年バグダッドに創設 ) 古代ギリシャやインドなどの大量の文献をアラビア語に翻訳インドの 10 進位取り記数法や分数の表記法が伝わる 13 世紀頃のイタリアイタリアのフィボナッチ算盤の書 1202 年 10 進位取り法がアラビアを通じてヨーロッパに広まるインドの形式の分数に横棒を入れたものが広まる 2 3

7 小数の発明 16 世紀頃, 小数の発明フランドル ( 現ベルギー ) のステヴィンの著書 10 分の年 ( は 1901➀7➁8➂ と表記されてた ) どんなに小さな数でも 10 進位取り記数法で表現可能 17 世紀頃, 現在の小数点の表記スコットランドのネイピアの著書対数表 1614 年現在の表記の小数点が初めて使われる = 小数を使って様々な数表が書かれた対数表や三角関数表などが作られ多くの人の計算の助けになった航海士が使っていた天測航法 ( 船の位置を知るための計算 ) 10 進法による単位の統一につながる参考 : 第 6 回ジョンネイピア小数点誕生物語フラマン語 : De Thiende 英語訳 : The Tenth 数表は現代でいうとコンピュータのようなもの小数や対数の発明が科学革命の礎 1610 年星界の報告ガリレオ 1687 年プリンキピアニュートン

8 小数の表記英語圏 ( イギリス, アメリカ, カナダ, オーストラリア ) やアジア諸国 ( 日本, 中国, インド ) 小数点にピリオド. を, 整数部の 3 桁区切りにカンマ, を使うひゃくにじゅうさんまんよんせんごひゃくろくじゅうななてんはちきゅう各言語による大数の命数法 ( 地域 ) 4 桁区切り ( 漢字圏 ) 1,234, ドイツ, フランス, イタリア, スペイン語圏小数点にカンマ, を,3 桁区切りにピリオド. を使う ,89 スイス等の一部のドイツ語圏 2 桁区切り ( インド付近 ) 3 桁区切り ( アラブヨーロッパ ) 日本でも明治初期こちらを採用してた時期があった小数点にピリオド.,3 桁区切りにアポストロフィを使う北欧, 東欧, ロシア小数点にカンマ, を,3 桁区切りはスペース ( 空白 ) を使う ,89 現在は様々な表記が混在してる ( 国際統一規格があるが全然浸透していない )

9 割り算の商と余り

10 割り算 ( 別名 : 除算 ) について 12 3 =? 12から3は何回引けるか ( 取り除けるか )? 丁度 4 回取り除けるを = 4 3 と書く 3 1 回商回もしくは両辺 3で割って = 回 3 商と書く 3 4 回 0 掛け算は何回足すか? 割り算は何回引けるか?

11 余りのある割り算について 14 3 =? 14 から 3 は何回除ける? 4 回取り除けて 2 残るを 14 = と書く商もしくは両辺 3 で割った次の形式で書く 14 3 = 商整数部分余り余り 3 1 より小さい真小数部分回 2 回 3 回 4 回小学校で習った 14 3 = 4 あまり = 4 2 という書き方はしない方がよい. = 記号の左右の値は等しくなければならない

12 余りのある割り算一般に a b という問題で分数を使わずに整数の範囲内で答えるということはaを次のように書き直すことに対応する a, b, q, r Z,( 全て整数 ) a = q b + r, 0 r < b 両辺を b で割った分数式も重要 a 前ページの例で 14 a 3 b 4 q 2 r に置き換えただけ b = q + r b, 0 r b < 1 qを商 (quotient) と呼ぶ rを剰余 (remainder) と呼ぶ ( 余りのこと ) 剰余 rは0 以上でbを超えない整数 ( 余りがb 以上の場合は更にbを取り除くことができる ) で割り切れた場合は0になる

13 割り算の筆算割り算を効率よく行うために掛け算を利用 =? 345 = = = = = = = = から 12 は 28 回除けて 9 余る 340 から 12 を除く = 120 ( もうちょと ) = 240 ( いい感じ ) = 360 ( でかすぎ ) 20 回除くと 100 余る 340 = から 12 を除く 7 12 = 84 ( もうちょっと ) 8 12 = 96 ( いい感じ ) 9 12 = 108 ( でかすぎ ) 8 回除けて 9 余る 105 =

14 10 進法の小数

15 十の三乗指数について 10 3 = = = = = = = 1 10 = = 10 3 = 十のマイナス三乗 = 1 指数法則掛け算割り算足し算引き算 10 a 10 b = 10 a+b 2 a 2 b = 2 a+b c a c b = c a+b が使えて便利 100 = = = 指数法則から対数の概念が生まれた難しい掛け算が簡単な足し算でできるようになったので今でいうコンピュータの発明に匹敵する

16 指数法則 10 a 10 b = 10 a+b = = = 10 5 = = = = = = 1 = = 1 10 = 10 1 掛け算 ( 割り算 ) が足し算 ( 引き算 ) で計算できる

17 10 進法の小数 12.3 = = の位 1 の位 1 10 の位 = = の位 10 の位 1 の位 1 10 の位の位 10 2 の位 10 1 の位 10 0 の位 10 1 の位 10 2 の位小数第一位小数第二位

18 小数の足し算引き算足し算交換則結合則分配則を使う = = = = 小数点で桁を揃えた筆算

19 小数点の右移動 10 n 倍で小数点の位置がn 右に動く = = = = = 掛けると小数点が 3 桁右に動く

20 小数点の左移動 10 n 倍 (1/10 n 倍 ) で小数点の位置がn 左に動く = = = = = 掛ける (1/10 4 倍,10 4 で割る ) と小数点が 4 桁左に動く

21 小数同志の足し算引き算 ( 別解 ) 10 n を掛けて小数点をずらして計算 = = = = =

22 小数同志の掛け算と割り算掛け算割り算 10 n を掛けたり割ったりして小数点をずらす = = = = = = = = 約 100 約 10

23 割合とパーセント小さい量だと実感が湧かないのでパーセントが導入された. (100との比較の方が感覚が掴みやすい) パーセント (per cent) を日本語にすると百分率 ( 百当たり量 ) 英語でセント (cent) は 100 の意味パー (per) は 1 当たりの意味分母を 100 にした時の分子の量 = = = 10% = = = 0.5% 分母を1000にしたパーミル (per mill) を使うこともある倍分を使って分母を 100 にして分子の値を見る

24 分数と小数を互いに変換

25 小数 0.5 を分数に変換 0.5 = /10 の桁の値が 5 で他の桁の値は 0 = = を約分 = = = 1 2

26 1 分数 2 を小数に変換 10 で倍分交換則分数掛け算のルール 2 を約分 1/10 の桁の値が 5 で他の桁の値は = = = = = = の割り算の筆算で割り切れなくても 0 を落としてきて割り算の筆算を続行する操作に対応割り算の結果 10 = 5 2 が分かる

27 小数 0.75 を分数に変換 0.75 = = と計算してもよい 0.75 = = = = = = 3 4 1/10 の桁の値が 7 で 1/100 の桁の値が 5 で他の桁の値は 0 分母分子の素因数分解 25 を約分 0.75 = 3 4

28 3 分数 4 を小数に変換余りの 2 の部分を更に分解 3 4 = = = = = = = の変形が 30 4 の割り算に対応 20 = 5 4 の変形が 20 4 の割り算に対応商が順番に並ぶ = 5 10 ここで割り切れた

29 前ページの式を下から順番に見ていく 2 4 = 5 10 代入 3 4 = = = = 0.75

30 3 4 = 0.75 のイメージ 0 1/4 2/4 3/ = = /10 7/ = = の目盛で測って余った部分をの目盛で測る 0 1/20 1/10 5/100

31 0.375 を分数に変換 = = = = 分母分子を素因数分解 125 を約分 = = 3 8

32 3 分数 8 を小数に変換余りの6を更に分解余りの4を更に分解 3 8 = = = = = = = = = = = = = の変形が 30 8 の割り算に対応 60 = の変形が 60 8 の割り算に対応 40 = 5 8 の変形が 40 8 の割り算に対応商が順番に並ぶ

33 前ページの式を下から順番に見ていく 4 8 = = = = 代入代入 3 8 = = = = 0.375

34 1 3 を小数に変換同じ余りのくり返し = = = = = = = = = 0. 3ሶ 1 3 = = = = の最後の式を左式の赤字の部分に代入同じような操作を無限に繰り返すことができる循環小数

35 同じパターンの繰り返し余りは 0,1,2,3,4,5,6 のどれかである. 0 ならそこで割り切れて計算終了 ( 有限小数 ) 0 でなくてもどこかで必ず同じ余りが出てきてその後は同じパターンの繰り返しになる ( 循環小数 ) 同じパターンの繰り返し 1 7 を小数に変換 1 7 = = = = = = = = = = = = = = = = = = 同じパターンの繰り返し

36 前ページの式を下から順に見ていく 5 7 = = = = = = = = = = = = = = = = =

37 前ページの最後の式 1 7 = /7 自身を次々と代入していく = = = = 同じような操作を無限に繰り返すことができる

38 循環小数同じパターン ( 循環節 ) が無限に続く 1 7 = = ሶ 7ሶ 循環節をで表す小数点以下の部分が無限に限りなく続く小数のことを無限小数と呼ぶ小数点以下の部分が無限に続かずに有限の桁で終わる小数のことを有限小数と呼ぶ無限小数の一種で同じパターンの繰り返しが続く小数のことを循環小数と呼ぶ有理数は必ず有限小数か循環小数のどちらか ( 有理数は循環しない無限小数にはならない )

39 循環小数と分数有限小数や循環小数は有理数である循環小数の例 ሶ 56 ሶ 7 = a = と置く a = a = 上の式の両辺から下の式の両辺引くと右辺の循環節の無限の繰り返しが消える a = 両辺 99900で割ってaを求めると分数になる a = どのような循環小数でも必ず分数の形に直せる

40 0. ሶ ሶ 7 を分数に変換数 aを ሶ 7ሶ と置く a = ሶ 7 ሶ = 掛けて小数点をずらしたものから引くことで循環節を取り除くことができる a = a = 両辺引く a = 両辺で割ってaを求める a = = = 1 7 素因数分解して約分した

41 分数が有限小数になる条件既約分数 ( それ以上約分できない分数 ) の分母が素因数分解で 2 i 5 j, (i, j = 0,1,2, ) の形になれば, その分数は有限小数になる例 ) = = = = = 既約分数の分母に2,5 以外の素因数が1つでも入っていると有限小数にはならない例 ) = = = = 足りない 2 や 5 を補って分母を 10 n の形にできる 3 が邪魔で 2 や 5 を補っても分母を 10 n の形にできない 10 進法の分母にしたい 10 n の素因数が 2 と 5 のみで構成されてることがポイントで分子の値は何でも話は同じ

42 10 進法の小数のまとめ 10 を素因数分解すると 10 = 2 5 既約分数 a/b について b の素因数が 2,5 のみの時 b = 2 i 5 j,( i, j は i 0, j 0 の整数で i + j 1) 分数 a/b は有限小数 b の素因数に 2,5 以外の素因数も含まれるとき b = 2 i 5 j B, ( i, j は i 0, j 0 の整数 ) (B は 2,5 以外の素数の積 ) 分数 a/b は循環小数分母 b の素因数に 2,5 以外の素数が 1 つでも混じってると循環小数になる

43 無限小数の注意点

44 丸め誤差について無限小数を扱うときはどうしても有限の桁で四捨五入するなどの操作で近似を行う必要があるそのためどうしても打切り誤差 ( 丸め誤差 ) というものがある電卓での計算には丸め誤差があり例えば = = 1 どの桁で打ち切るかで精度が変わるのような順番を変えた計算が成り立たないことがある次の 2 通りの電卓のボタン操作を比較してみよう = = 表示精度よりも高い内部精度を持つ電卓だと, どちらも同じ結果に表示される. 高級な電卓の中には分数で値を保持してるものもある.

45 2 進法の注意電卓やコンピュータでは内部の数値表現に2 進法を用いている ( 別スライド小数に関する更なる補足参照 ) そのため10 進法での画面の表示以外にも誤差の原因がある例えば10 進法で0.1を入力するとコンピュータの内部では2 進法に変換した次の循環小数 ሶ 1 ሶ = を途中で打ち切って内部メモリに数値を保持してる精度が悪い計算方法だと 10 進法の0.1を2 進法に変換 ( 丸め誤差が生じる ) 10 回足す ( 丸め誤差が10 回分たまる ) 10 進法に戻して表示丸め誤差がたまり1になるべき答えがになってしまうことがある倍精度実数のdoubleではなく単精度実数のfloatでプログラミング

46 電卓やコンピュータの注意割り算や小数を扱ったら必ず丸め誤差があると考え下の方の桁の数値は信用しないこと割り算や小数の計算を上手く避けるか割り算や小数を使う計算順序をなるべく後にすること問題の答えをどれくらいの精度で答えるかという有効桁を設定すること途中の計算では有効桁より 2,3 桁以上多く打込み計算する答えを出す際には有効桁以下を四捨五入した数値のみを採用する

47 小数まとめ小数は小学校の早い段階で叩き込まれるので簡単そうに思えるが歴史的には比較的新しい概念無限が絡んでくると難しくなる分数では正確に扱えた値でも小数で表現すると無限循環小数になってしまう場合があるどの分母の分数が無限循環小数になるかは何進法を使うかで変わる 10 進小数の良い所は数字の大きさが感覚的にすぐに分かる所 ( 小学校の早い段階で習って慣れている為 ) 数値の精度にさえ気を付ければ小数は非常に有用正確な扱いが難しい無理数 ( 分数では表せない数 ) に関しても小数を使えば設定内の精度で扱うことができる ( 無理数に関してはや π などを後期にやる予定 ) 小数の発明が今の科学の基礎を築いたと考えられ人類の文明のレベルを大きく引き上げたと思われる

48 練習問題

49 同じパターンの繰り返しを小数に変換同じパターンの繰り返し = = = = = = = = = = = 同じパターンの繰り返し

50 前ページの式を下から順に見ていく = = = = = = = は循環節 3 の循環小数 5 37 = /37 自身を次々と代入していく = = = = = = = ሶ 13 ሶ 5 = 2. ሶ 13 ሶ 5

51 2. ሶ 13 ሶ 5 を分数に変換数 aを2. 13 ሶ 5ሶ と置く a = ሶ 5 ሶ = 掛けて小数点をずらしたものから引くことで循環節を取り除くことができる 1000a = a = 両辺引く a = a = 2133 両辺 999で割ってaを求める a = = = 素因数分解して約分した

52 余談

53 1 を小数に変換 1 = = = = = = = = = 0. ሶ 1 = の右辺を赤字の部分に代入同じような操作を無限に繰り返すことができる 9 循環小数

54 0. ሶ 9 を分数に変換数 aを0. 9ሶ と置く a = 0. 9 ሶ = 掛けて小数点をずらしたものから引くことで循環節を取り除くことができる 10a = a = 両辺引く 10 1 a = 9 9a = 9 両辺 9で割ってaを求める a = 9 9 = 1 無限に続く循環小数を使うと 1 = 0. 9ሶ と表現できる. 1 = 1. 0ሶ とも表現できる.

分数と有理数

分数と有理数統計基礎の補足資料 08 年 5 月 7 日金沢学院大学経営情報学部藤本祥二アニメでの場面キャッチコピー私はワタシと旅にでる画像元 : おもひでぽろぽろ [DVD] 99 年のジブリ作品主人公の岡島タエ子のセリフ分数の割り算がすんなり出来た人はその後の人生もすんなりいくらしいのよ小学校時代の回想タエ子分数を分数で割るってどういうこと? タエ子 3 分ののリンゴを