Taro-１２／１３　学力向上授業研

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1 第 1 学年 1 組 数学科学習指導案 平成 23 年 12 月 13 日 ( 火 ) 第 5 校時 活動場所 数学 B 教室 1 年 1 組 31 名 指導者 教諭 1 題材名比例と反比例 2 題材について (1) 題材観小学校学習指導要領解説算数編 (1999) では, 数量関係の領域における関数の考えに関する内容として, 以下のことを挙げている 4 年伴って変わる二つの数量について, それらの関係を表したり調べたりすることができるようにする ア簡単な場合について, 対応させる数量を考えたり, 値の組を表などに表したりして関係を調べること イ変化の様子を折れ線グラフに表したり, それから変化の特徴をよみとったりすること 5 年簡単な式で表されている関係について, 二つの数量の対応や変わり方に着目するなど, 数量の関係の見方や調べ方についての理解を深める 6 年伴って変わる二つの数量について, それらの関係を考察する能力を伸ばす ア比例の意味について理解すること また, 簡単な場合について, 表やグラフを用いてその特徴を調べること 小学校での学習を基に, 中学校の関数領域における学習においては, いろいろな事象の中から伴って変わる二つの数量を見つけ出し, 表, グラフ, 式などに表して, その変化や対応のようすを調べること, さらに, それを活用することが重要な内容となる 特に, 第 1 学年で扱う 比例と反比例 は, その基礎となるものである 伴って変わる二つの数量をどのように見つけるとよいのか, 変化や対応のようすをどのように調べるとよいのかについて学習する 小学校算数での学習との違いは, 変域が負の数を含む有理数まで拡張されること, グラフを座標平面上にかくこと, 関数を表すのに文字式が使われることであるので, 特にこれらの点は丁寧に扱っていく また, 中学校学習指導要領解説数学編 (1999) にはこの単元で指導するべきこととして, 比例, 反比例の見方や考え方を活用できること が挙げられている 従来の形式的になりがちな数量関係の指導を改善し, できるだけ具体的な事象を取り上げ, 生徒の主体的な活動によって実際に確かめるなどの工夫を施していく 第 2 学年では, 一次関数を学習することにより, 伴って変わる二つの数量の関係をより広い視野で考察したり表現したりするようになり, さらに, 第 3 学年では, 二次関数を学習し, 変化と対応の特徴を調べる能力をより一層伸ばしていく - 1 -

2 (2) 生徒観本学級は全体的に元気がよく, 学校生活の何事に対しても活発に取り組んでいる 数学に対しても意欲的である 挙手 発言は男子が中心であるが, 女子は全体的にコツコツと努力をする姿勢をもっていて, 自分の考えや学んだことをまとめる能力が非常に高い生徒も数名いる 反比例の学習は一通り終わっている 学んだことを適用することで, 反比例についての理解を一層深めることはもちろん, 生徒が数学と日常生活との関連を意識することができるように配慮し, 日頃何気なくやっていることや使っているものも数学で学んだことを通して考えることができるという経験をさせたいと考えている (3) 指導観本時は 比例と反比例 の単元の章末問題の2 時間目である 現在の中学校数学の課題の一つとして, 生徒に数学のよさである 活用と有用性 を実感させることがおろそかになっている現状があると考える そこで, 生徒が 数学と日常とのつながり を実感できる授業を行いたいと考えた 私が重視したことは, 次の2 点である 1 点目は, 課題の必然性 という点である 生徒に課題を解きたいという気持ちが起こらなければ次には進まない ここで重要になってくるのは 課題の必然性 ということになるのであろう この課題を解きたいなあと思い, 夢中で取り組ませるには, 生徒の思考の源である課題意識を高めることが必要不可欠となる 2 点目は, 発問の工夫 という点である まず授業では, なぜこの課題を考えるのか, そして, これからどういうことを考えればいいのかという, 生徒の目的意識が明確になることが大切である そのためには, 教師の発問によって生徒の課題意識を高めることが大切であり, そのためには生徒に必然性をもたせる発問の工夫が必要であると考える 以上の点を踏まえ, 今回の授業では視力検査に用いられるランドルト環を題材とした まず, 現実感を感じさせるという観点から, 視力検査表という生徒にとって身近な学習素材を取り上げることを考えた 1992 年に学校保健法施行規則が一部改訂され, 学校における健康診断はスクリーニング ( 集団の中から健康上疑いがあり, 精密検査を要する者ないし発病者を選び出す医学的ふるい分け ) であり, 最終診断ではないという考えから, 学校における視力検査表は従来 (0.1~1.0,1.2,1.5,2.0) のものから,A( 教室での勉強に支障なし :1.0 以上 ),B( 教室での勉強に不便なことがある :0.7~0.9),C( 教室での勉強に不便なことが多い :0.3~0.6),D( 教室での勉強に不便あり :0.2 以下 ) と簡素化された したがって, 現在はA~Dの4 段階でしか測定されない そのため, なぜ視力を正確に測定しないのかという疑問を抱いている生徒もいるだろうし, 自分の視力をきちんと測定したいと思っている生徒も多くいるに違いない そこに 課題の必然性 があると考える そこでまず, なぜ現在の視力検査ではA~Dの4 段階で大まかにしか測定しないのかということを説明し, 生徒の視力検査に関する意識を高め, 間の視力がわかるためにはどうしたらよいか という発問につなげていきたい 今回の授業では, 間の視力がわかるようにしよう という課題を設定した 間の視力がわかるためにはどうしたらよいか という発問に対する生徒からの反応として 距離を変える ことと ランドルト - 2 -

3 環の大きさを変えてつくる ことが予想される 視力と距離は比例であり, 視力とランドルト環の大きさは反比例である 今回の授業では ランドルト環の大きさを変えてつくる を取り上げることとする ランドルト環をつくるためには, まずデータが必要であろう 生徒からすれば, 黒板にはってある視力検査表のランドルト環の大きさを測りたいと思うのが自然である そこで, ランドルト環の大きさを測ってごらん という発問をし, 視力検査表という日常的に目にしているものの構造を捉えるための考えさせる時間をとる その結果, 視力とランドルト環の大きさが反比例になっているんだと発見した時の生徒の喜び, 驚きは大きいだろうし, そのきまりを使って, 間の視力のランドルト環をつくれた時, 楽しさと充実感を味わえるのではないかと考える ただし, ランドルト環の大きさを調べる観点である外の直径, 内の直径, 切れ目の長さ 幅の三つがすべて視力と反比例なので, 視力とランドルト環の大きさが反比例であることがいえることは押さえたい また, 今回の授業で視力とランドルト環の大きさに着目したもう一つの理由は, 与えられたデータから分からないデータを求めるという数学を使うよさを生徒に感じて欲しいと考えたからである 指導案検討の段階で, 視力と距離の関係に着目したのも事実である しかし, 比例関係になっているものの, その関係を導く作業の中では誤差も多く, その結果, 数学的にごまかすことにもなるのではないかと考えた あるものや手持ちのデータをきちんと調べて全体のきまりを見つけようとする態度を養うことを本時の目標の一つとしたい ランドルト環の大きさを調べる観点は, 外の直径, 内の直径, 切れ目の長さ 幅の三つである 大きさを調べた結果を発表してもらう際には, どこを測ったのか, それはなぜかという発問をし, まず一つの観点に着目して調べ通すことが大事であるので, そういう生徒を褒めてあげ, 全体の場で紹介したい また, 次時にランドルト環をつくる際, 間の視力のランドルト環だけでなく, 例えば視力がAと判定された生徒が視力 1.2や1.5のランドルト環をつくろうと言った場合は認めてあげようと考えている 文部科学省 (2010) が実施した平成 22 年度全国学力 学習状況調査では, 数学の勉強は大切だと思いますか という質問に対して 当てはまる または どちらかといえば, 当てはまる と答えた生徒を合わせると79.4%, また 数学の授業で学習したことは, 将来, 社会に出たときに役に立つと思いますか という質問に対しては67.6% であった しかし 数学の勉強は好きですか という質問に対しては54.0%, そして 数学の授業で学習したことを普段の生活の中で活用できないか考えますか という質問に対しては37.0% という結果であった 私にとっては, とても興味深いデータであった 反比例という既習の数学的内容を使って, 視力検査表という日常的に目にしているものの構造を捉える, すなわち活用することができ, また, 数学を使えば提示された視力検査表だけから間の視力を測るランドルト環をつくることができるという有用性を感じることができる 考えることによって, 数学のよさである活用, 有用性を感じてもらいたいということが今回の課題を設定した理由である 3 研究主題とのかかわり 学習意欲の向上と, 基礎 基本の確実な定着及び 思考力 判断力 表現力を高める学習指導の工夫改善 (1) 教科の重点課題 数学を活用する力をつける授業の創造 (2) 捉え 基礎 基本の確実な定着 ( 知識 理解 表現 処理 ) - 3 -

4 数量や図形などに関する基礎的な概念や原理 法則についての理解 数学的な表現や処理の仕方の習得 思考力 判断力 表現力を高める ( 見方 考え方 ) 事象を数理的に考察し表現する能力を高める 学習意欲の向上 ( 関心 意欲 態度 ) 数学的活動の楽しさや数学のよさを実感し, それらを活用して考えたり判断したりしようとする態度を育てる (3) 方策 知識 技能などを実生活の様々な場面で活用する力 日常的な事象を数学化すること 数学的にとらえること 情報を活用すること( 分類整理し, 選択し, 判断すること ) 数学的に解釈することや表現すること 様々な課題解決のための構想を立て実践し評価 改善する力 課題解決のための構想を立て実践すること 論理的に考察すること 結果を評価し改善すること( 振り返って考え, 改善したり, 発展させたりすること ) 4 目標及び内容具体的な事象の中から二つの数量を取り出し, それらの変化や対応を調べることを通して, 比例, 反比例の関係について理解を深めるとともに, 関数関係を見いだし, 表現し, 考察する能力を培う (1) 関数関係の意味を理解すること (2) 比例, 反比例の意味を理解すること (3) 座標の意味を理解する (4) 比例, 反比例を表, 式, グラフなどで表し, それらの特徴を理解すること (5) 比例, 反比例を用いて, 具体的な事象をとらえ, 説明すること 5 指導計画 (17 時間 ) (1) 関数関係 2 時間 (5) 反比例の式 2 時間 (2) 比例の式 3 時間 (6) 反比例のグラフ 2 時間 (3) 座標 1 時間 (7) 比例, 反比例の利用 1 時間 (4) 比例のグラフ 2 時間 (8) 章末問題 3 時間 ( 本時 2/3) (9) 課題学習 1 時間 6 指導と評価の計画 (17 時間 ) 学習の動機づけとなる導入の問題 ( 観察 操作 実験など数学的活動を促す導入 ) 基礎的 基本的な内容で, 特に力を入れて指導すべきもの 内容の理解を確実にするため, 一通りは指導すべきもの 評価規準において, おおむね満足を示している 教育に関する3つの達成目標に関する問題 - 4 -

5 内容時関心 意欲 態度見方 考え方表現 処理知識 理解手立て 習得 活用 関数関係の意味 1 いろいろな事 事象の中から, 伴って変わる 関数の意味を 表やグラ 象の中から, 伴って変わる 数量関係を, 説明すること フの書き 伴って変わる 数量の関係を 表とグラフに ができる 方を確認 数量を見つけ 見いだすこと 表すことがで する ようとしたり, ができる きる 積極的に表やグラフを使って変化のようすを調べようとする 2 いろいろな事 事象の中から, 伴って変わる 関数の意味を 表やグラ 象の中から, 伴って変わる 数量の関係を, 理解している フの書き 伴って変わる 数量を見いだ 表に表したり, 方を確認 数量を見つけ すことができ グラフに表し する ようとしたり, る たりすること 表やグラフを ができる 使って変化のようすを調べようとする 具体的な事象の中にある2つの 3 線香を燃やす 2つの数量関 比例の関係を 変数, 定数, 時間と燃 数量の関係に関心をもち, 比例 実験で, 火を 係に着目し, 手際よく式に 比例, 比例定 えた長さ の関係を見いだす つけてからの 変化や対応か 表したり, 変 数, 変域の意 の関係を 式から変数や定数の意味を理解 時間と燃えた ら的確に比例 数 xの変域を 味を理解して 表に書か し, 比例の関係を知ること 長さの関係か の関係を見い 不等号を使っ いる せる 比例定数の意味と比例の性質 ら, 比例の関 だすことがで て正しく表す 与えられた条件から比例の式を 係を見つけ, きる ことができる 決めること 変数と変域の意味を理解し, 変 式に表そうと する 域を不等号を使って表すこと 4 線香を燃やす 2つの数量関 比例の関係を 具体的数 毎分 5cmの割合で水槽に水を入 実験で, 火を 係に着目し, 式に表したり, 字で考え れるとき,x 分後の水の深さを つけてからの 変化や対応か 変数 xの変域 させる ycmとするときの比例式は,y 時間と燃えた らの比例の関 を不等号を使 =5xと表すことができる 長さの関係か 係を見いだす って表すこと ら, 比例の関 ことができる ができる 係を見つけよ うとする - 5 -

6 座標の意味を理解し, 5 自ら進んで, 平面上の点の 座標平面に表 x 軸,y 軸, 数直線の 点を座標平面上に表 座標平面に表 位置を表すた された点の位 座標軸, 原点, 表し方を すこと された点の座 めに, 負の数 置を読み取っ 座標,x 座標, 確認す 座標を用いて, 平面標を読み取っまで拡張したたり, 与えら y 座標などのる 上の点が一意的に表 たり, 点を座 座標を考え, れた点を座標 意味を理解し されること 標平面上に表 座標を用いて 平面に簡潔 ている したりしよう 平面上の点が 明瞭に表した とする 一意的に表さ りすることが れている見方 できる ができる 6 座標平面に表 平面上の点の 座標平面に表 座標のと された点の座 位置を表すた された点の位 り方を確 標を読み取っ めに, 負の数 置を読み取っ 認する たり, 点を座 まで拡張した たり, 与えら 標平面に表し 座標を用いる れた点を座標 たりしようと ことができる 平面に表した する りすることが できる 比例のグラフの意味 7 x の変域を負 比例のグラフ 比例のグラフ 比例のグラフ 表を使っ と書き方の数にまで広の特徴やグラを正確かつ能のかき方やグて, 点の 比例のグラフの特徴げた比例のグフをかく方法率的にかいたラフの特徴をとり方を ラフを明瞭に を見いだすこ り, グラフか 十分に理解し 確認す かこうとした とができる ら比例の式を ている る り, かいたグ ラフを基にし て, その特徴 正しく求めた りすることが できる を調べたりしようとする 8 xの変域を負 比例のグラフ 比例のグラフ 比例のグラフ 原点の他 の数にまで広 の特徴を見い をかいたり, のかき方やグ に1 点を げた比例のグ だすことがで グラフから比 ラフの特徴を とればよ ラフをかこう きる 例の式を求め 理解している いことに としたり, そ たりすること 気づかせ の特徴を調べ ができる る たりしようと する - 6 -

7 具体的な事象の中に 9 面積一定の長 2 つの数量関 反比例の関係 反比例 比例 具体的数 ある二つの数量の関方形の縦と横係に着目し, を手際よく式定数の意味を字を使っ 係に関心をもち, 反の長さの関係変化や対応かに表すことが理解している て考えさ 比例の関係を見いだ から, 反比例 ら的確に反比 できる せる す の関係を見つ 例の関係を見 反比例の関係を式にけ, 式に表そいだすことが 表すことうとする できる 比例定数の意味と反 10 面積一定の長 2 つの数量関 反比例の関係 表を使っ 比例の性質方形の縦と横係に着目し, を式に表すこて考えさ 与えられた条件からの長さの関係変化や対応かとができる せる 反比例の式を決める から, 反比例 ら反比例の関 こと の関係を見つ 係を見いだす けようとする ことができる 反比例のグラフの意 11 反比例のグラ 比例のグラフ 反比例のグラ 反比例のグラ 表を使っ 味と書き方フを明瞭にかの特徴と対比フを正確かつフの特徴や双て点をと 反比例のグラフの特こうとしたり, して, 反比例能率的にかい曲線についてらせる 徴 かいたグラフ のグラフの特 たり, グラフ 十分に理解し を基にして, 徴を見いだす から反比例の ている その特徴を調 ことができる 式を正しく求 べようとする めたりするこ とができる 12 反比例のグラ 反比例のグラ 反比例のグラ 反比例のグラ 曲線であ フをかこうと フの特徴を見 フをかいたり, フの特徴や双 ることを したり, その いだすことが グラフから反 曲線について 十分理解 特徴を調べよ できる 比例の式を求 理解している させる うとする めたりするこ とができる 比例や反比例が実生 13 コピー用紙の 身のまわりの 身のまわりの 比例 反比例 具体的数 活と深くかかわって枚数や体育館事象から, 比事象を, 比例, が事象のどの字で考え いることに気付き, の椅子並べ等例や反比例の反比例の表, ような場面でさせる 身のまわりの問題解の身のまわり関係を見つけ式, グラフを用いられてい 決に当たって, 比例のことがらを, たり, 身のま用いて正しくるかを十分に や反比例の見方や考 比例や反比例 わりの事象を, 表現したり, 理解している え方を活用すること の考え方を積 比例, 反比例 正確かつ能率 極的に利用し の見方や考え 的に処理した て解決しよう 方を通して考 りすることが とする え, 問題の解 できる 決に利用して いくことがで

8 きる コピー用紙の 身のまわりの 身のまわりの 比例, 反比例 枚数や体育館 事象を, 比例, 事象を, 比例, が事象のどの の椅子並べ等 反比例の見方 反比例の表, ような場面で の身のまわり や考え方を通 式, グラフを 用いられてい のことがらを, して考え, 問 用いて表現し るかを理解し 比例や反比例 題の解決に利 たり, 処理し ている の考え方を利 用していくこ たりすること 用して解決し とができる ができる ようとする 基本のたしかめ 14 問題に意 既習内容 既習内容 既習内容 既習事 章末問題 欲的に取 を活用し が活用で を理解し 項を確 数学展望台 16 り組み, ようとし きる ている 認させ ランドルト環 仲間にも ている る 本時 教え合いながら学習をしようとする 課題学習 17 問題に意 身のまわりの 身のまわりの 比例, 反比例 既習事 欲的に取 事象から, 比 事象を, 比例, が事象のどの 項を確 り組み, 例や反比例の 反比例の表, ような場面で 認させ 仲間にも 関係を見つけ 式, グラフを 用いられてい る 教え合い たり, 身のま 用いて正しく るかを十分に ながら学 わりの事象を 表現したり, 理解している 習をしよ 比例, 反比例 正確かつ能率 うとす の見方や考え 的に処理した る 方を通して考 りすることが え, 問題の解 できる 決に利用していくことができる 身のまわりの 身のまわりの 比例, 反比例 事象を, 比例, 事象を, 比例, が事象のどの 反比例の見方 反比例の表, ような場面で や考え方を通 式, グラフを 用いられてい して考え, 問 用いて表現し るかを理解し 題の解決に利 たり, 処理し ている 用していくこ とができる たりすること ができる

9 7 本時の学習指導 (1) 目標ア提示された視力検査表を自ら進んで観察 測定し, きちんと調べて全体のきまりを見つけようとする ( 関心 意欲 態度 ) イこれまでに学んだ反比例の知識 考え方を基にして, 日常生活でみられる様々な事象を考察することができる ( 数学的な見方や考え方 ) ウ視力とランドルト環の大きさとの関係に着目して, 表や式を使って自分の考えを表現できる ( 表現 処理 ) エ反比例の関係を利用して, 与えられたデータからわからないデータを求められることで, 数学を使うよさ ( 有用性 ) を感じることができる ( 知識 理解 ) (2) 学習過程 学習活動と予想される反応 指導上の留意点 数学的活動 評価 指導 これは何でしょうか 場面が把握できる ( 関心 意欲 態度 )( 表情 ) アルファベットの C パックマン 視力検査 ランドルト環を提示し, なぜ現在の視力検査ではA~Dの4 段階で大まかにしか測定しないのかということを説明する ( 黒板に視力検査表をはる ) 生徒からどうして視力検査は4 段階になったのですかという質問が出なかった場合は教師側から説明する また, 視力検査の仕組みも丁寧に説明し, 生徒の課題意識を高める 視力検査表にあるランドルト環は4 種類しかないことにふれ, 発問を通して自然な形で課題を提示する 視力が0.1,0.3,0.7,1.0の人しかいないことになるよね 視力検査表にあるランドルト環は4 種類しかないよね 間はどうなっているんだろうね? - 9 -

10 1 課題を把握し, 見通しを立てる 課題間の視力がわかるようにしよう 1 視力と距離 いつも視力検査の時に立っている位 間の視力がわかるようにしたいんだ置 (5m) から離れていったり, 近けど, どうすればいいかな? づいていったりすると, 間の視力が 視力とランドルト環の大きさ にわかることになるんじゃないか ついて考えるが, 視力と距離 に 2 視力とランドルト環の大きさ着目した考えを否定するような発言 ランドルト環の大きさを少しずつ変はしないようにする えてつくればいいんじゃないか 2 きまりを見つける 黒板にはってある視力検査表のランドルト環の大きさを測りたい ランドルト環の大きさを測り, つくるための基となるデータが欲しい 何かきまりが見つかるのではないだろうか 発問を通して, ランドルト環の大きさを測ることによって何がわかるのかを理解させ, 何のために測るのかという気持ちが生徒に起こるようにする 間の視力のランドルト環をつくるためには, まずどうしたらいいかな? どうして, そう考えたの? ランドルト環の大きさを測ることによって何がわかってくるの? ランドルト環が4つ並んでいるけれ 0.1 ど, あるきまりに従って並んでいる 0.2 かもしれないね 間がわかるという 0.3 ことは, 整理すると表の空欄の部分 0.4 がわかればいいということになるよ 0.5 ね 表の の部分は測ればわかると 0.6 ころだよね そこからきまりが見つ 0.7 かれば, 空欄の部分をうめることが 0.8 できるよね どんなきまりがあるか 0.9 測って調べてみよう

11 4 種類のランドルト環が描かれたプ 提示された視力検査表リントを配布し, どんなきまりがあを自ら進んで観察 測るか測って調べさせる 定し, きちんと調べて 机間指導において, まず,1つの観全体のきまりを見つけ点に着目して測っている生徒を全体られる の前で取り上げ, 褒めることによっ ( 見方 考え方 )( ワークシート ) て, 手の着かない生徒に対する手立てとする 3 発表し, きまりを確認し, 表を完成する 外の直径, 内の直径, 切れ目の長さ 生のデータを扱う困難さをともなうと幅について, 実測した長さを発表場面なので, 教師も知らないというする 前提で活動をつくっていく まずは外の直径から取り上げ,0.7, その他の部分についても, 生のデー 1.0のランドルト環については数値タを丁寧に扱っていき, みんなで決にばらつきが出ると考えられるので, めた実測値を確認させる だいたい数値がそろっている0.1, 0.3のランドルト環の大きさを基準として認め, きまりがあるとするといくつになるかを確認する 測ってきまりが見つかったみたいだから, 表の空欄をうめてみよう ( 表の空欄に入る数値を発表させる ) 視力が3 倍,7 倍 になると, それぞれ1/3 倍,1/7 倍 になっているからです 視力と大きさをかけると積が同じに 中学校では式の形式で定義すること きまりを使って, 他の視力のランドルト環の大きさを求めることができる なっているからです を重視したいので, 積が同じである ( 表現 処理 )( ワークシート ) ( 例 : 視力 外の直径 ( mm )=7.5) という発言を大切にする 他の3つの部分に関しても同じことが言えそうだ 反比例の関係になっているみたいだ これで間の視力のランドルト環がつ 間の視力なので, 例えば0.5のランくれそうだ ドルト環をつくるためには, 反比例であるということをどのように使えばいいですか? 反比例の特徴を振り返 らせる

12 次時に定規とコンパスを用いて, 実 際にランドルト環をつくることを伝 える 4 本時の学習を振り返る 日常生活には, 反比例を利用して考 反比例がどのような場 えることができるものがあることを 面で用いられているか 確認させる を理解している 学習感想を書かせる ( 知識 理解 )( 観察 ) 8 備考男子 15 名女子 16 名計 31 名 参考資料 ランドルト環静止視力を測定する方法として日本において最も広く用いられているものが C のマークのランドルト環である ランドルトというのは人の名前で, フランスのランドルトさんという人が考えた検査方法である 5m 離れた位置から直径が7.5mm, 隙間が直径の5 分の1, つまり1.5mmの環が見えたら視力を1.0とすることが1909 年の国際眼科学会で決められた また5mに対しての1.5mmの幅がつくる角度 ( 視角という ) がちょうど1 分, つまり1/60 度となっている ランドルト環の大きさ 視力 外の直径 内の直径 切れ目の長さ 幅 ( 単位 : mm )