(2) 訳 : 妥当な論証の前提は真でなければならない 解説 これは F です (1) で解説したとおり 妥当な論証であっても前提や結論のそれ自体の真偽とは関係なく論じられるものです 全てが真でなければならないことはありません よってこの文章は不適当です (3) 訳 : 仮に 命題 (P C) が恒

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1 英語 A( ドレイトン ) 過去問から対策レジュメ とりあえず 自分以外のシケタイみなさんががんばってくれているので 自分も何かやらねば ってことで ドレイトンがやっているであろう論理学の解説でもしてみます 授業には行ってない回や寝ている回があるので 完全なお答えはできません ( 不真面目でごめんなさい ) わからないことがあれば 自分宛てに質問 ( 直接 or メール ) を気軽にどうぞ とりあえず ドレイトンの試験 ( 過去問 2008) をもとにして ドレイトンの論理学の解 説でもしてみます SECTION1 これは 例年 TFTTTFFTFT( 一応 暗記が得意な人は覚えて損はないです ) となっているそうですが 今年の試験はそうなるとは限りません とりあえず 解説してみます 日本語訳 ( というより日本語 ) は自分にとって一番苦手なので てきと~な感じです (1) 訳 : 矛盾した結論を伴う論証は妥当である 解説 これは T ですね 一般的に 論証が妥当であるか そうではないかは形式上だけの問題です 難しいですが 論証の 妥当性 (validity) は前提や結論のそれ自体の真偽とは関係なく論じられるものです とりあえず 形式的にいくつかの前提から結論が導き出せたら 矛盾した結論であっても妥当です ( ちょっと難しいですが 数学的に言えば 論証が健全であるのと妥当であるのは別物ということです ) わかりやすく 例を挙げるならば あいつはアメリカ人である あいつは京大生だ ゆえに 京大生の中にはアメリカ人がいる さて この論証は 一見正しいように見えます しかし あいつが本当は 日本人であった場合はどうでしょう? すると結論も矛盾しますよね しかし 論証としては成り立っています よってこの文章は適当です ( しかし個人的には TF のどっちもありが答えとしてふさわしい気もします )

2 (2) 訳 : 妥当な論証の前提は真でなければならない 解説 これは F です (1) で解説したとおり 妥当な論証であっても前提や結論のそれ自体の真偽とは関係なく論じられるものです 全てが真でなければならないことはありません よってこの文章は不適当です (3) 訳 : 仮に 命題 (P C) が恒真式でありかつ前提 P はいつも真ならば 結論 C は恒 真式である 解説 とりあえず 新しいワード恒真式 (tautology) がでてきたので 説明です 恒真式とは 真理値が常に真であるような関係式のことです ( 言葉を噛み砕いてうまく説明できません ) とりあえず どんな変数 ( 前提 ) があっても その命題が真になるようなやつです 高校でやった恒等式とよく似てます 難しいですね さて今回の問題では P C が恒真式でかつ前提が真ということは以下の真理値表 (Truth table) より ( 真理値表がわからない場合は 実際に定義なのでそうなると思って割り切っ て覚える方が早いです ) P C P C t t t t f f f t t f f t ですが 命題 (P C) が恒真式 ( この表現に違和感がある方は数学センスあるかも 命題 が常に真なんてことは本当はあってはならないんですね ) なので 結論真というのは 正しいです よってこの文章は適当である (4) 訳 : 前提が真である妥当な論証の結論は真でなければならない 解説 (1) の所では実は説明が複雑になるな ~ と思ってあえていれませんでしたが 妥当な論

3 証というのは前提が真である時 結論が常に真である論証のことです (1) のところであげた例をみてください 確かにあいつがアメリカ人というのが正しくて かつ京大生というのが正しければ 結論は正しいですよね 妥当な論証というのは本来 このような感じの論証をいいます ただ前提が全て真であるという条件が本来はありえないので 形式上のものでいいです (5) 訳 : 次の論証 R R/ S は妥当である 解説 これも T です 難しいですが 前提 P と結論 C の関係は (P C) であります なぜならば 命題というものは 仮に前提 P というのが正しいと認めうるならば 結論は C である というふうに構成されているからです また いくつかの前提 P1 P2 はすべて で結べます よって 今回の場合 (R R) S と書き換えることができます (R R) の部分は 日常的な感覚からも論理的にもとうぜん偽です ( このような式を恒偽式といいますが 授業ではたぶん扱っていません ) いま (3) の解説のところで 使った真理値表を見れば (P C) の形で前提が偽であれば 結論は何であろうと命題は真です ( ここがなぜそうなるのかをじっくり知りたい人は ブルーバックス お話 数学基礎論 などがちょっとお勧めです 自分は上手くは説明できません 定義だと思って割り切るのがやっぱ早いと思います ) よって 妥当的な論証かどうかを見るには前提が真であるとき 必ず結論が真であるときですから この論証は妥当です ちなみに恒真式でもあります (6) 前提 (P1~Pk/ C) である意味木が閉じていれば (P1 P2 Pk) C は 常に真である 解説 もちろん これは不適当です 意味木というのは最後の大問で詳しく解説しますが とりあえず 意味木が閉じていれば (P C) が常に真です (P C) が常に真ではありません 逆に常に偽です よって不適当 (7) あの馬鹿野郎! 馬鹿げてる! 馬鹿者が! などのような表現は論証である 解説 常識的にも当たり前ですが 論証ではありません 感情が入ったり 主観が多いに入るも のは論証とは全くいえません あの子はかわいい も主観なので論証にはなりえません

4 ( ただし かわいさを測る機械というものがあれば別ですが 主観的な印象がはいる のは NG ですね ) (8) 訳 : 二値原理によれば すべての文章は真か偽かのどちらかで 真でも偽でも両方 であるとか 真でも偽でもどちらでもないとかは決しておこりえない 解説 とりあえず 新しいワード 二値原理 がでてきたので 説明しときます てか訳そのものが定義だったりしますが 二値原理とは ある命題があれば その命題は真か偽かのどちらかに限る ということです まぁ 命題が主観的なものを排除したものである以上 客観的に正しいか正しくないかを測れるものであるから 当然っちゃ当然なんですけどね てことで ここは定義なんで 適当ってことで (9) 訳 : すべての石 ( 岩?) は硬い と どんな石 ( 岩 ) も硬くない という 2 つの文 章は矛盾している 解説 典型的? ひっかけ問題です ALL~ と NOT ALL~ ( 部分否定 ) が矛盾しているのであって 全肯定 全否定のあいだには 矛盾しているというより 両者が反対の関係ではないです よって日常感覚とは結構ずれるけど 不適当 ( これも部分否定と全否定にこだわりすぎているような気がしますけどね ) (10) 訳 : ( ( A B) C) (( A B)Ⅴ C) は恒真式である 解説 真理値表で確認します 恒真式とは 常に真の式のことですね で2つの式がつながれているのなら つながれている2つの式の両方の真偽が一致すれば 間違いなく恒真式です とりあえず 真理値表を書いてみます 真理値表は記しておいたので 次のページを眺めてください ふたつの式の真偽が見事に一致し 与式 ( 与えられた式の論証 ) が常に真になりました よって恒真式だから 適当で T を選びます 実際に真理値表を書かなくても 数学的に解決することもできます 普通に真理値表を書いた方が正確に解けるのでお勧めはしませんが ; とりあえず同値な関 係式を真理値表の下に示しておきます なお 意味木のショートカットに結構役立つもの

5 ばかりですね A B C A B ( A B ) A B (A B) 与式 C Ⅴ C t t t t f f f t t t f t t f t t t f t f t t t t t f f f t t t t f t t t f f f t f t f t t f t t f f t t f f f t f f f t t f t t 同値な関係式 ( 左辺 右辺は 右辺と左辺が同値 同じものであるということ ) A B AⅤB( 補元律 これは真理値表に基づいての解釈であり定義でもありますが 意味木の時に使えなければならないので是非覚えてください ) A B B A( 交換律 ) AⅤB BⅤA( 交換律 入れ替えてもいいってことです ) A (BⅤC) (A B)Ⅴ(B C)( 分配律 ) AⅤ(B C) (AⅤB) (BⅤC)( 分配律 四則計算の分配法則が使えるみたいな感じです 使うなら 記号の向きに注意しましょう ) A (B C) (A B) C( 結合律 ) AⅤ(BⅤC) (AⅤB)ⅤC( 結合律 意味木の時にドレイトンが反則ですが いきなり使ってました ) AⅤ(A B) A( 絶対律 ) A (AⅤB) A( 絶対律 これを意味木で使うのはさすがにやばいかも ) (A B) AⅤ B( ド モルガンの法則 ) (AⅤB) A B( ド モルガンの法則 意味木では頻繁に使用されています ) 論理積 論理和 A B ( AⅤ B) 論理和 論理積 AⅤB ( A B) ふたつともド モルガンの法則に否定をまじえただけです このような公式? を使って すぐに同値であることを見抜いてもいいですが 何度も言う ようにお勧めは絶対にしません

6 SECTION2 SECTION1が完全に内容の話でメインだったけど TFTTTFFTFT かもしれないし みんな満点かもしれない さらに 配点が20 点で少ないです しかし この SECTION2を満点にすれば 優の条件である 80 点を獲得できます ここさえコツ? をつかめれば 実際は余裕な気がします ( 奴隷豚 変換ミスドレイトンは阿辻以上の神かも ) まず SECTION2 の (1) から 解説 解説というよりは コツみたいなものを? たぶんここはみんな取れるような気がします 間違わないように気をつけて 丁寧にやりましょう ひとつの単文(SV がある式 ) でひとつの記号というより素式というのですが A B C D などのひとつの文字で素式 ( この時 ドレイトンは文の中のどれかの単語の頭文字を記号にしていた ) を作る if~なら を AND 系 (BUT なども含む ) なら を OR 系 (EITHER~OR とかなども含む ) はⅤを使って 素式をつなげた文章を作る If and only if の場合は iff つまり を使って 作ってください まぁ あとは形式どおりな気がします これはたぶんみんなできるだろうと思います (2) の意味木 最後の授業に出た方は たぶん理解している人もたくさんいると思います 意味木 (Semantic tree) ってなんだ? 論証が正しいかどうかの充足可能を調べる TREE 形式のもの です まぁ 定義は自分で作ったんで全く重要ではありません 書き方 書けるようにすること が重要です

7 ルール 1 前提と結論の否定をすべて でつなげたものを命題とする ルール2 とりあえず A B ならば A と B を TREE 状に縦につなぐ AⅤB ならば A と B を横に並べて TREE 状につなぐ A B ならば A と B を横に並べて TREE 状につなぐ が基本です ルール 3 できるだけスリムにする 横並びものは両方検討しないと駄目なので 縦並びのものや 1 通りしか解釈しないでいいもので決定すればいいです 恒真式ならば TREE が閉じたものに そうでないものなら反例で閉じないものになります 実際に試験問題でやってみよう この証明は 意味木でないで 真理値表で証明しなさいと出るかもしれません その場合 は地道に真理値表を書いて やればいいし ( 背理法で ) やるやり方もありました そっち で出るかもしれません とりあえず どのやり方でも証明できるようになりましょう ではみなさまの健闘をお祈りいたします J4 シケタイの フリーライダー より