定義より, クロス集計表 C ij から, 類似係数 s ij と関連係数 t ij が得られる. 定義 t ij = s ij = a + d [0,1] a + d (a + c) + (c + d) [0,1] ただし, a = c = d = 0 のときは, t ij = 1 とする. 3

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のぶあきあきます
5 years ago
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1 ファジイ理論を利用した高等学校数学教育の教材構造分析 Structure Aalysis of Istructio Items i High School Mathematics Educatio Applyig Fuzzy Theory 松崎佑己 1, 瀧澤武信 Yuki MATSUZAKI 1, Takeobu TAKIZAWA 1 早稲田大学大学院教育学研究科 1 Graduate School of Educatio, Waseda Uiversity 早稲田大学政治経済学術院 Faculty of Political Sciece ad Ecoomics, Waseda Uiversity Abstract: I this paper, the authors discuss structure aalysis of istructio items. We describe how to get the similarity structure graph, the partitio tree, the coectivity structure graph, the approximate structure graph, ad the cogitio structure graph after scorig the quizzes i the classroom. We also discuss the case study cocerig expoet ad logarithm i high school mathematics educatio. 1. はじめに高校数学教育で使用されている教科書は, それぞれの筆者が考える教授順序に従って記載されているが, 実際授業を行う際は, 教科書通りの順序で教えることが適切であるとは必ずしも言えない. 本研究では, 項目間の類似構造分析, 関連構造分析から得られる認知構造グラフから, より適した教授順序を分析し, 実際の授業に役立てる方法を提案する. 0 とする. 得点行列 X から, 各項目ごとの学習者の得点パターンを集計すると, P i,p j の項目間にクロス集計表 C ij が得られる. ( 図 ) る.. 分析方法教材構造分析は, 図 1 のような分析方法で行われる. 図クロス集計表 C ij クロス集計表 C ij の a, b, c, d は次のように定義され定義 1 a = x ki x kj 図 1 教材構造分析の分析方法教材項目から作られる教材構造グラフ I と, テスト実施により得られる認知構造グラフ Φ z から適切な教授順序を判断する. 人の学習者 {S k 1 k } に対して, m 項目のテスト {P i 1 i m} を行うことにより, テスト b = x ki (1 x kj ) c = (1 x ki )x kj d = (1 x ki )(1 x kj ) の得点行列 X = (x ki ) が得られる. ただし, S k が P i を正答した場合は, x ki = 1, 誤答した場合は x ki = 1

2 定義より, クロス集計表 C ij から, 類似係数 s ij と関連係数 t ij が得られる. 定義 t ij = s ij = a + d [0,1] a + d (a + c) + (c + d) [0,1] ただし, a = c = d = 0 のときは, t ij = 1 とする. 3. 事例研究教材構造分析の応用事例として, 指数対数に関して, 高校 1 年生 75 名を対象に実施したテストの結果に基づく分析について説明する. 指数のテスト問題は (1) () 9 5 (3 1 ) 3 (3) ( 1 ) 3 (4) y = x 1 ( グラフをかけ ) (5) y = ( 1 3 )x+1 ( グラフをかけ ) 次の定理を用いることにより, クロス集計表 C ij を考えなくても類似係数 s ij と関連係数 t ij が得られる. 定理 s ij = s ji = 1 ( x ki x kj ) [0,1] s ij t ij = + x kj [0,1] x ki である. (6) 4 x = 1 8 (7) 9 x + 3 x 1 = 0 (8) x+1 x 1 < 0 また, 対数のテスト問題は (1) log log () log 1 log (3) log log 3 log (4) log 4 8 (5) 3 log 3 5 また, 類似係数 s ij と関連係数 t ij から, 類似構造行列 ( グラフ ) S = (s ij ) と関連構造行列 ( グラフ ) T = (t ij ) が得られる. 類似構造行列 ( グラフ ) S をクラスター分析すると, 分割樹形図 P を得る. これにより, 各項目間の類似性がわかる. 関連構造行列 ( グラフ ) を近似三値分析すると, 近似三値グラフ T を得る. これにより, 各項目間の順序性がわかる. 最後に, 分割樹形図 P と近似三値グラフ T から, 類似構造グラフ Φ z (z = z 0 ) が得られる. である. (6) y = log (x 1) ( グラフをかけ ) (7) y = log1(x + 1) ( グラフをかけ ) 3 (8) x = 3 (9) log 3 (x + ) = log 3 (4 x) (10) log (x 3) + log (x 5) < 3 教材構造グラフ I を考える上で, 指数の問題については, (A) 指数の性質を利用する基本問題 (1,, 3, 6 が該当 ), (B) グラフ (4, 5 が該当 ), (C) 方程式, 不等式 (7, 8 が該当 ) で構成されている. 対数の問題については, (A) 底の変換 (4, 5, 8 が該当 ), (B) 対数の性質を利用する基本問題 (1,, 3 が該当 ), (C) グラフ (6, 7 が該当 ), (D) 方程式, 不等式 (9, 10 が該当 ) で構成されている. 以上より, 教材構造グラフ I は図 3, 図 4 のように考えられる. 13

ij を計算することにより, 指数については図 5, 対数については図 6 のような類似構造行列 S が得られる.

3 また, 類似構造行列 S をクラスター分析すると, 指数については図 7, 対数については図 8 のような分割樹形図 P が得られる. 図 3 指数の教材構造グラフ I 図 7 指数の分割樹形図 P 図 4 対数の教材構造グラフ I 指数, 対数のテスト結果から得た得点行列 X から, クロス集計表 C ij を計算することにより, 指数については図 5, 対数については図 6 のような類似構造行列 S が得られる. 図 5 指数の類似構造行列 S 図 8 対数の分割樹形図 P 得点行列 X から, クロス集計表 C ij を計算することにより, 指数については図 9, 対数については図 10 のような関連構造行列 T が得られる. 図 6 対数の類似構造行列 S 14

) が得られる. 分割樹形図 P と近似三値グラフ T より, 指数については図 13 のような認知構造グラフ Φ z (z = 0.

4 図 9 指数の関連構造行列 T 図 10 対数の関連構造行列 T 図 1 対数の近似三値グラフ T 関連構造行列 T を近似三値分析すると, 指数については図 11 のような近似三値グラフ T (p = 0.19, ε = 0.) が, 対数については図 1 のような近似三値グラフT (p = 0.18, ε = 0.) が得られる. 分割樹形図 P と近似三値グラフ T より, 指数については図 13 のような認知構造グラフ Φ z (z = 0.68), 対数については図 14 のような認知構造グラフ Φ z (z = 0.77) が得られる. 図 11 指数の近似三値グラフ T 図 13 指数の認知構造グラフ Φ z (z = 0.68) 15

5 造グラフで提唱した (A) (B) (C) (D) の流れが正しいことが確認できる. 図 14 対数の認知構造グラフΦ z (z = 0.77) 認知構造グラフ Φ z から, 指数の 8 項目, 対数の 10 項目について, 次のようなことがわかる. 1. 指数の 8 項目については 4 つのクラスター {1,, 3, 6}, {7, 8}, {4}, {5} に分類することができる.. 対数の 10 項目については 5 つのクラスター {1,, 3, 4}, {6, 7}, {9, 10}, {5}, {8} に分類することができる. 3. 指数について, 同じグラフの問題であるが, 項目 4 と項目 5 をつなぐ実線が存在しないことから, 項目 4 の底が 1 以上のときと, 項目 5 の底が 1 以下のときのグラフの問題は, 関係性が薄いという認識を持っていることがわかる. 4. 指数について, おおまかではあるがや 5 8 やという流れがあることから, 教材構造グラフで提唱した (A) (B) (C) の流れが正しいことが確認できる. 5. 対数について, 項目 5 への実線は多くあるが, 項目 5 から他の項目への実線が存在しないことから, 生徒にとっては基礎的な問題であるという認識ではなく, 応用的な問題であるという認識を持っていることがわかる. 6. 対数について, おおまかではあるがやという流れがあることから, 教材構 4. まとめ項目間の類似構造分析, 関連構造分析から得られる認知構造グラフにより適切な教授順序を分析し, 事例研究を行った. 現行の教科書通りに進めると, 指数については 6 1,,3 4,5 7,8 という順序になるが, 本手法による分析では多少違いはあったものの, 大部分は一致しているため, 本手法の妥当性が示された. 対数については 8,5 4 1,,3 6,7 9,10 という順序になる. こちらも, 指数同様, 多少違いがあったものの妥当性は示された. また, 指数と対数の認知構造グラフから, 指数についてはグラフの指導, 対数については導入部分の指導が適切でなかったことが今回の研究でわかった. 特に, 対数の項目 5 と項目 8 の問題については対数の定義そのものであり, 教科書ではセットで教えるよう記載がされている. しかし, 本研究の結果から, 生徒は項目 5 と項目 8 の問題を類似したものとして捉えていないことがわかった. 今後, 指数と対数を指導する際は, 以上の点に気を付けて指導をしていきたい. また, 指数と対数の単元だけではなく, 他の単元の事例研究も今後は行っていきたい. 参考文献 [1] 山下元, 須田宏 : ファジィ数学入門ソフトサイエンスの基礎と応用, 森北出版,1997 [] 山下元, 瀧澤武信, 他 : ファジィ理論基礎と応用, 共立出版,010 [3] 永島謙一 : ファジィ理論の教材構造分析への応用, 修士論文 ( 早稲田大学 ),010 連絡先 Yuki Matsuzaki 01, Urba-Stage, , Kamishakuji, Nerimaku, Tokyo , Japa 16

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AHPを用いた大相撲の新しい番付編成

AHPを用いた大相撲の新しい番付編成 5304050 2008/2/15 1 2008/2/15 2 42 2008/2/15 3 2008/2/15 4 195 2008/2/15 5 2008/2/15 6 i j ij >1 ij ij1/>1 i j i 1 ji 1/ j ij 2008/2/15 7 1 =2.01/=0.5 =1.51/=0.67 2008/2/15 8 1 2008/2/15 9 () u ) i i i

定義 より, クロス集計表 C ij から, 類似係数 s ij と関連係数 t ij が得られる. 定義 t ij = s ij = a + d [0,1] a + d (a + c) + (c + d) [0,1] ただし, a = c = d = 0 のときは, t ij = 1 とする. 3

定義より, クロス集計表 C ij から, 類似係数 s ij と関連係数 t ij が得られる. 定義 t ij = s ij = a + d [0,1] a + d (a + c) + (c + d) [0,1] ただし, a = c = d = 0 のときは, t ij = 1 とする. 3