Chapter 版 Maxima を用いた LC のインピーダンス測定について [ 目的 ] 電気通信大学先進理工学科の2 年次後期に実施される電気電子回路実験において L,C のインピーダンス測定を実施しているこの実験項目について無料ソフトの Maxima を用い

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ことこひきぎ
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1 Chapter 版 Maxima を用いた LC のインピーダンス測定について [ 目的 ] 電気通信大学先進理工学科の2 年次後期に実施される電気電子回路実験において L,C のインピーダンス測定を実施しているこの実験項目について無料ソフトの Maxima を用いることで理論解析と実験値の比較が可能であるまた近年のパソコンの性能の向上により Maxima の実行処理速度が大幅に改善された Maxima を用いて計算方法と計算結果を示すことで実験レポートの考察のヒントにして実験内容の理解を深めることが目的である [ 目次 ] 以下の 8 節から構成されています 2-1 コイルにおけるインピーダンスの大きさと周波数の関係 2-2 実験データとコイルにおけるインピーダンスと周波数の関係 2-3 コイルにおけるインピーダンスの位相と周波数の関係 2-4 実験データとコイルにおけるインピーダンスの位相と周波数の関係 2-5 コンデンサにおけるインピーダンスの大きさと周波数の関係 2-6 実験データとコンデンサにおけるインピーダンスの大きさと周波数の関係 2-7 コンデンサにおけるインピーダンスの位相と周波数の関係 2-8 実験データとコンデンサにおけるインピーダンスの位相と周波数の関係課題について課題解答例 1-A) コイルのインピーダンスの大きさにおける誤差の評価 1-B) コイルの位相計算に含まれる誤差の評価について

2 2-1 コイルにおけるインピーダンスの大きさと周波数の関係 [ 目的 ] 周波数依存性のグラフを表示する [ 結果 ] 変数をすべて消去する (%i1) kill(all); 直列抵抗 :r が存在するコイルのインピーダンスを z とする Fig.1 計算する回路図 (%i1) z:r+%i*w*l; 変数は正の値と仮定する (%i2) assume(r>0,l>0); Cabs 関数をもちいて大きさを計算する (%i3) absl:cabs(z); 内部抵抗 :r=0.1ohm インダクタンス :L=1mH を代入する (%i4) ev(absl,r:0.1,l:0.001); 角周波数 :w を周波数 :f に変換する (%i5) ratsubst(2*%pi*f,w,%o4);

3 周波数の関数としてインピーダンスを定義する (%i6) define(azl(f),%o5); 以上で周波数依存する関数が定義できたのでインピーダンスと周波数の関係のグラフを表示するグラフの軸を log-log で表示する (%i7) wxplot2d(azl(f),[f,100,50*10^3], [logx],[logy], [xlabel,"frq"], [ylabel,"azl"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Log-log グラフで表示すると直線状のグラフが確認できます Fig.2 計算結果のグラフ

4 2-2 実験データとコイルにおけるインピーダンスと周波数の関係 [ 目的 ] 理論値実験結果と LCR メータの値を比較する [ 結果 ] 変数を初期化する (%i1) kill(all); インピーダンスを定義する (%i1) z:r+%i*w*l; Fig.1 計算する回路図変数を正値と定義する (%i2) assume(r>0,l>0); 複素数の大きさを求める関数を使用 (%i3) absl:cabs(z); 値を代入 (%i4) ev(absl,r:0.1,l:0.001); 周波数に変換 (%i5) ratsubst(2*%pi*f,w,%o4);

5 周波数の関数を定義 (%i6) define(azl(f),%o5); 理論値を表示する (%i7) wxplot2d(azl(f),[f,100,50*10^3], [logx],[logy], [xlabel,"frq"], [ylabel,"azl"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.2 理論グラフ実験データをリスト型で入力する (%i8) datax:[500, 1000, 2000, 5000, 10000, 20000, 50000, ]; (%i9) datay :[ 3.28, 6.20, 12.04, 30.22, 60.12, , , ];

6 実験データを表示する (%i10) wxplot2d([discrete,datax,datay],[x,100,100*10^3], [logx],[logy],[style,points],[color,red],[gnuplot_preamble,"set grid"]); 理論値と実験値のグラフを表示する Fig.3 実験値グラフ (%i11) wxplot2d([azl(x),[discrete,datax,datay]], [x,100,100*10^3], [logx],[logy], [xlabel, "Frequency[Hz]"], [ylabel,"phase[deg.]"], [legend,false], [color,blue,red], [style,lines,points], [point_type,circule], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.4 理論と実験値グラフ

7 LCR メーター値をリスト型として入力する (%i12) datax1:[500, 1000, 2000, 5000, 10000, 20000, 50000, ]; (%i13) datay1 :[ , , , , , , , ]; 確認のためグラフで表示する (%i14) wxplot2d([discrete,datax1,datay1],[x,100,100*10^3], [logx],[logy],[style,points],[color,green],[gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.5 LCR 値のグラフ最後に実験データと理論値と LCR メーター値を同時に表示する (%i15) wxplot2d([azl(x),[discrete,datax,datay],[discrete,datax1,datay1]], [x,100,100*10^3], [logx],[logy], [xlabel, "Frequency[Hz]"], [ylabel,"phase[deg.]"], [legend,false], [color,blue,red,green], [style,lines,points,points], [point_type,circule], [gnuplot_preamble,"set grid"]);

8 Fig.6 理論 LCR 値実験値グラフ [Maxima ファイルの加工について ] 以上の結果は Maxima ver.5.23 を使用しましたこの version での日本語入力について Export で html 出力後に Word を用いて編集しています

9 2-3 コイルにおけるインピーダンスの位相と周波数の関係 [ 目的 ] 位相の周波数依存性グラフを表示する [ 結果 ] すべての変数を初期化する (%i1) kill(all); インピーダンス z を定義する (%i1) z:r+%i*w*l; Fig.1 計算する回路図変数を正の値と定義する (%i2) assume(r>0,l>0); 位相を計算する関数 carg 関数を用いる (%i3) thl:carg(z); 内部抵抗 :r=0.1ohm インダクタンス :L=1mH を代入する (%i4) ev(thl,r:0.1,l:0.001); 角周波数 :w を周波数 :f に変換する (%i5) ratsubst(2*%pi*f,w,%o4);

10 周波数 f の関数として位相を定義する (%i6) define(thetal(f),%o5); 以上までに関数の定義ができたので位相と周波数の関係のグラフを表示する (%i7) wxplot2d(thetal(f)*180/%pi,[f,100,50*10^3], [logx], [xlabel,"frq"], [ylabel,"azl"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.2 計算結果のグラフ低周波で純抵抗の性質に近似できるので位相がゼロに近くなる

11 2-4 実験データとコイルにおけるインピーダンスの位相と周波数の関係 [ 目的 ] 理論値実験結果と LCR メータの結果を比較する [ 結果 ] 変数の初期化 (%i1) kill(all); インピーダンスを定義 (%i1) z:r+%i*w*l; Fig.1 計算する回路図変数は正の値とする (%i2) assume(r>0,l>0); 複素数の位相を求める関数を使用する (%i3) thl:carg(z); 変数に値を代入する内部抵抗 :r=0.1ohm インダクタンス :L=1mH を代入する (%i4) ev(thl,r:1.0,l:0.001); 変数を周波数に変換 (%i5) ratsubst(2*%pi*f,w,%o4); 周波数の関数を定義する (%i6) define(thetal(f),%o5);

12 理論線を表示する (%i7) wxplot2d(thetal(f)*180/%pi,[f,100,50*10^3], [logx], [xlabel,"frq"], [ylabel,"azl"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); 実験データをリストで定義して入力する Data from ,sagara Fig.2 計算結果のグラフ (%i8) datax:[500, 1000, 2000, 5000, 10000, 20000, 50000, ]; (%i9) datay :[ 75.6, 82.8, 86.4,90.0, 86.4, 89.3, 93.6, 90.0];

13 実験値を表示する (%i10) wxplot2d([discrete,datax,datay],[x,100,100*10^3], [logx],[style,points],[color,red],[gnuplot_preamble,"set grid"]); 理論値と実験値を表示する Fig.3 実験値のグラフ (%i11) wxplot2d([thetal(x)*180/%pi,[discrete,datax,datay]], [x,100,100*10^3], [logx], [xlabel, "Frequency[Hz]"], [ylabel,"phase[deg.]"], [legend,false], [color,blue,red], [style,lines,points], [point_type,circule], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.4 理論値と実験値のグラフ

14 LCR メーターの測定結果をリスト型で入力する LCR-meter Data from ,sagara (%i12) datax1:[500, 1000, 2000, 5000, 10000, 20000, 50000, ]; (%i13) datay1 :[ , , ,87.767, , , , ]; 実験値理論値と LCR メーター値を同時に表示する (%i14) wxplot2d([thetal(x)*180/%pi,[discrete,datax,datay],[discrete,datax1,datay1]], [x,100,100*10^3], [logx], [xlabel, "Frequency[Hz]"], [ylabel,"phase[deg.]"], [legend,false], [color,blue,red,green], [style,lines,points,points], [point_type,circule], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.5 すべての結果のグラフ

15 2-5 コンデンサにおけるインピーダンスの大きさと周波数の関係 [ 目的 ] 周波数依存性のグラフを表示する [ 結果 ] 変数をすべて消去する (%i1) kill(all); 直列抵抗 :r が存在するコンデンサのインピーダンスを z とする (%i1) z:r+1/(%i*w*c); 変数は正の値と仮定する Fig.1 計算する回路図 (%i2) assume(r>0,c>0); Cabs 関数をもちいて大きさを計算する (%i3) absc:cabs(z); 内部抵抗 :r=0.01ohm キャパシタンス :C=1uF の値を代入する (%i4) ev(absc,r:0.01,c:0.1*10^-6); 角周波数 :w を周波数 :f に変換する (%i5) ratsubst(2*%pi*f,w,%o4);

16 周波数の関数としてインピーダンスを定義する (%i6) define(absc(f),%o5); 以上で周波数依存する関数が定義できたのでインピーダンスと周波数の関係のグラフを表示する (%i7) wxplot2d(absc(f),[f,100,50*10^3], [logx],[logy], [xlabel,"frq"], [ylabel,"azl"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.2 計算結果のグラフ周波数の増加によりインピーダンスが減少することが確認できる

17 2-6 実験データとコンデンサにおけるインピーダンスの大きさと周波数の関係 [ 目的 ] 理論値実験結果と LCR メータの値を比較する [ 結果 ] 変数を初期化する (%i15) kill(all); インピーダンスを定義する (%i1) z:r+1/(%i*w*c); 変数を正値と定義する (%i2) assume(r>0,c>0); Fig.1 計算する回路図複素数の大きさを求める関数を使用 (%i3) absc:cabs(z); 容量 C=0.1uF と等価抵抗 r=0.01ohm の値を代入 (%i4) ev(absc,r:0.01,c:0.1*10^-6); 周波数に変換 (%i5) ratsubst(2*%pi*f,w,%o4);

18 周波数の関数を定義 (%i6) define(absc(f),%o5); 理論値を表示する (%i7) wxplot2d(absc(f),[f,100,50*10^3], [logx],[logy], [xlabel,"frq"], [ylabel,"azl"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.2 理論グラフ実験データをリスト型で入力する (%i8) datax:[500, 1000, 2000, 5000, 10000, 20000, 50000, ]; (%i9) datay :[ , , , , , 79.44, 31.48, 15.85];

19 実験データを表示する (%i10) wxplot2d([discrete,datax,datay],[x,100,100*10^3], [logx],[logy],[style,points],[color,red],[gnuplot_preamble,"set grid"]); 理論値と実験値のグラフを表示する (%i11) wxplot2d([absc(x),[discrete,datax,datay]], [x,100,100*10^3], [logx],[logy], [xlabel, "Frequency[Hz]"], [ylabel," Z [ohm]"], [legend,false], [color,blue,red], [style,lines,points], [point_type,circule], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.3 実験値グラフ Fig.4 理論と実験値グラフ

20 LCR メーター値をリスト型として入力する (%i12) datax1:[500, 1000, 2000, 5000, 10000, 20000, 50000, ]; (%i13) datay1 :[ , , , , , , , ]; 最後に実験データと理論値と LCR メーター値を同時に表示する (%i14) wxplot2d([absc(x),[discrete,datax,datay],[discrete,datax1,datay1]], [x,100,100*10^3], [logx],[logy], [xlabel, "Frequency[Hz]"], [ylabel," Z [ohm]"], [legend,false], [color,blue,red,green], [style,lines,points,points], [point_type,circule], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.5 理論 LCR 値実験値グラフ

21 2-7 コンデンサにおけるインピーダンスの位相と周波数の関係 [ 目的 ] 周波数依存性のグラフを表示する [ 結果 ] すべての変数を初期化する (%i1) kill(all); インピーダンス z を定義する (%i1) z:r+1/(%i*w*c); Fig.1 計算する回路図変数を正の値と定義する (%i2) assume(r>0,c>0); 位相を計算する関数 carg 関数を用いる (%i3) thc:carg(z); 内部抵抗 :r=0.01ohm キャパシタンス :C=0.1uF の数値を代入する (%i4) ev(thc,r:0.01,c:0.1*10^-6); 角周波数 :w を周波数 :f に変換する (%i5) ratsubst(2*%pi*f,w,%o4);

22 周波数 f の関数として位相を定義する (%i6) define(thetac(f),%o5); 以上までに関数の定義ができたので位相と周波数の関係のグラフを表示する (%i7) wxplot2d(thetac(f)*180/%pi,[f,100,50*10^3], [logx], [xlabel,"frq"], [ylabel,"azl"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.2 計算結果のグラフ周波数の増加により純抵抗に近似できるのでゼロに近づくことがわかる

23 2-8 実験データとコンデンサにおけるインピーダンスの位相と周波数の関係 [ 目的 ] 理論値実験結果と LCR メータの値を比較する [ 結果 ] 変数を初期化する (%i15) kill(all); インピーダンスを定義する (%i1) z:r+1/(%i*w*c); 変数を正値と定義する (%i2) assume(r>0,c>0); Fig.1 計算する回路図複素数の大きさを求める関数を使用 (%i3) thc:carg(z); 容量 C=0.1uF, 直列抵抗 r=0.3 ohm の値を代入する (%i4) ev(thc,r:0.3,c:0.1*10^-6); 周波数に変換 (%i5) ratsubst(2*%pi*f,w,%o4);

24 周波数の関数を定義 (%i6) define(thetac(f),%o5); 理論値を表示する (%i7) wxplot2d(thetac(f)*180/%pi,[f,100,50*10^3], [logx], [xlabel,"frq"], [ylabel,"phase[deg.]"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); 実験データをリスト型で入力する Fig.2 理論グラフ (%i8) datax:[500,1000,2000,5000,10*10^3,20*10^3,50*10^3,100*10^3]; (%i9) datay:[-86.4,-82.8,-89.3,-86.4,-90,-89.3,-86.4,-86.4];

25 実験データを表示する (%i10) wxplot2d([discrete,datax,datay],[x,100,1*10^6], [logx],[style,points],[color,red],[gnuplot_preamble,"set grid"]); 理論値と実験値のグラフを表示する Fig.3 実験値グラフ (%i11) wxplot2d([thetac(x)*180/%pi,[discrete,datax,datay]], [x,100,1*10^6], [logx], [xlabel, "Frequency[Hz]"], [ylabel,"phase[deg.]"], [legend,false], [color,blue,red], [style,lines,points], [point_type,circule], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.4 理論と実験値グラフ

26 LCR メーター値をリスト型として入力する (%i12) datax1:[500,1000,2000,5000,10*10^3,20*10^3,50*10^3,100*10^3]; (%i13) datay1:[ , , , , , , , ]; 最後に実験データと理論値と LCR メーター値を同時に表示する (%i14) wxplot2d([thetac(x)*180/%pi,[discrete,datax,datay],[discrete,datax1,datay1]], [x,100,1*10^6], [logx], [xlabel, "Frequency[Hz]"], [ylabel,"phase[deg.]"], [legend,false], [color,blue,red,green], [style,lines,points,points], [point_type,circule], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.5 理論 LCR 値実験値グラフ

27 Chapter2 課題について理論との相違を考慮するために誤差の計算をする誤差の計算により理論値と一致するのかしないのか? の考察が可能になる 1) 誤差を評価せよ 1-A) コイルのインピーダンスの大きさにおける誤差の評価をせよ 1-B) コイルの位相計算に含まれる誤差の評価をせよ 1-C) コンデンサのインピーダンスの大きさにおける誤差の評価をせよ 1-D) コンデンサの位相計算に含まれる誤差の評価をせよ

28 課題解答例 1-A) コイルのインピーダンスの大きさにおける誤差の評価 [ 目的 ] 実験データに含まれる誤差について評価する [ 手順と結果 ] 変数の初期化する (%i1) kill(all); インピーダンスは以下の式で計算できる Impedance : Z=VA/VB *R 誤差は以下で計算できる The Error : f=f(x0,x1,x2,... xn) df^2=(df/dx0*delt(x0))^2+(df/dx1*delt(x1))^2...+(df/dxn*delt(xn))^2 インピーダンス :Z を定義する (%i1) Z:VA/VB*R; 各変数 VB,VA,R の微分項を計算する (%i2) dva:diff(z,va); (%i3) dvb:diff(z,vb); (%i4) dr:diff(z,r); 元の式で割ることで相対誤差の計算を考える (%i5) d1:dva/z;

29 (%i6) d2:dvb/z; (%i7) d3:dr/z; それぞれの誤差を deltava,deltavb,deltar とする相対誤差は次の式で計算できる (deltaz/z)^2 = (deltava/va)^2 + (deltavb/vb)^2+(deltar/r)^2 以下の様に相対誤差が定義できる (%i8) deltazz:(d1*deltava)^2+(d2*deltavb)^2+(d3*deltar)^2; 式の簡単化を実行する (%i9) expand(deltazz); それぞれの変数について相対誤差を仮定する VA は 1% 相対誤差として, deltava/va=0.01 VB は 1% 相対誤差として deltavb/vb=0.01 最後に R は 10% 相対誤差として, deltar/r=0.1 を代入する (%i10) dzz:ev(deltazz,deltavb:0.01*vb,deltava:0.01*va,deltar:0.1*r); 相対誤差を % で求める (%i11) dzzsq:sqrt(dzz)*100; 測定データを入力する周波数を datax に代入する (%i12) datax:[500, 1000, 2000, 5000, 10000, 20000, 50000, ]; 計算したインピーダンスを datay に代入する (%i13) datay :[ 3.28, 6.20, 12.04, 30.22, 60.12, , , ];

30 各値の誤差を計算する (%i14) dy:datay*sqrt(dzz); 別々のリストを [x1,y2], [xn,yn] データ形式に変換する Ref. [1] E. L. Woollett,"Maxima by Example Ch.1, Getting Started" (%i15) dataxy:map("[",datax,datay); x-y データをグラフ表示する Ref. [2] (%i16) wxplot2d([discrete,dataxy]); Fig.1 実験値のグラフ表示誤差を誤差棒で表示するために package の draw を読み込む (%i17) load(draw);

31 x-y データリスト形式に変換する (%i18) errdatay:map("[",datax,datay,dy); 実験値と誤差棒を同時に表示する (%i19) wxdraw2d( xrange=[200,200*10^3], yrange=[1,1*10^3], xlabel="f[hz]", ylabel=" Z ohm", logx=true, logy=true, grid =true, error_type =y, errors(errdatay), /* 2nd graph for point*/ color = red, point_size = 2, point_type = circle, points_joined = true, points(dataxy) ); Fig.2 実験値と誤差棒のグラフ表示

32 課題解答例 1-B) コイルの位相計算に含まれる誤差の評価について [ 目的 ] 位相に含まれる誤差を評価してグラフに表示する [ 手順と結果 ] 変数の初期化する (%i1) kill(all); 位相の計算式を示す Phase : phi=360*dt*f 多変数における誤差の計算を以下に示す The Error : f=f(x0,x1,x2,... xn) df^2=(df/dx0*delt(x0))^2+(df/dx1*delt(x1))^2...+(df/dxn*delt(xn))^2 式を定義する (%i1) phi:360*dt*f; 各変数の微分係数を計算する (%i2) ddt:diff(phi,dt); (%i3) df:diff(phi,f); 変数の誤差を元の式で割り相対値で表す (%i4) d1:ddt/phi; (%i5) d2:df/phi;

33 各変数の誤差を deltadt, deltaf とする相対誤差は以下で定義できる (deltaphi/phi)^2 = (deltadt/dt)^2 + (deltaf/f)^2 以上を定義する (%i6) deltaphi:(d1*deltadt)^2+(d2*deltaf)^2; 式の簡単化を実行する (%i7) expand(deltaphi); 値を代入する時間 dt を 10% error にして deltadt/dt=0.1 周波数 f が 1% error にして deltaf/f=0.01 とする (%i8) dphi:ev(deltaphi,deltadt:0.1*dt,deltaf:0.01*f); 相対誤差を % 表示で求める (%i9) dphisq:sqrt(dphi)*100; 次に測定データを定義するはじめに周波数を datax に代入する (%i10) datax:[500, 1000, 2000, 5000, 10000, 20000, 50000, ]; 計算値の位相を datay に代入する (%i11) datay :[ 75.6, 82.8, 86.4,90.0, 86.4, 89.3, 93.6, 90.0]; 位相の誤差を計算する (%i12) dy:datay*sqrt(dphi); 実験データを [x1,y1]. [xn,yn] 形式に変換する Ref.[1] E. L. Woollett,"Maxima by Example Ch.1, Getting Started" (%i13) dataxy:map("[",datax,datay);

実験データをグラフ表示する Ref. [2] http://riotorto.users.sourceforge.net/gnuplot/errors/index.html (%i14) wxplot2d([discrete,dataxy]); Fig.

34 実験データをグラフ表示する Ref. [2] (%i14) wxplot2d([discrete,dataxy]); Fig.1 実験データのグラフ表示誤差棒を表示するために package の draw を読み込む (%i15) load(draw); 計算した誤差を x-y 形式に変換する (%i16) errdatay:map("[",datax,datay,dy);

35 Phase[deg.] 実験測定値と誤差棒を同時する (%i17) wxdraw2d( xrange=[100,200*10^3], yrange=[50,100], xlabel="f[hz]", ylabel=" Z ohm", logx=true, grid =true, error_type =y, errors(errdatay), /* 2nd graph for point*/ color = red, point_size = 2, point_type = circle, points_joined = true, points(dataxy) ); Fig.2 実験データと誤差棒のグラフ表示

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