Explicit MPS Algorithm for Large-scale Free Surface Flow Analysis

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れんかにばし
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1 先駆的科学計算に関するフォーラム 014 大規模分散メモリ並列 MS 法の開発と市街地浸水津波解析開催日 014 年 8 月 5 日 ( 火 )-8 月 6 日 ( 水 ) 会場福岡市博多区リファレンス駅東ビル 5 階会議室 V- 室谷浩平 ( 東京大学 )

2 目次 MS 陽解法並列計算津波解析 MS 陽解法とMS 半陰解法の比較

3 目次 MS 陽解法並列計算津波解析 MS 陽解法とMS 半陰解法の比較 3

4 MS 陽解法 4

5 支配方程式 : ナビエスストークス方程式連続の式半陰解法陽解法非圧縮条件 d 0 dt 微圧縮性を仮定 c c ρ : 音速 : 密度運動方程式 dv dt 1 v g 5

6 MS 法初期化重力粘性による力の計算速度位置更新 flud Fst tme step wall 圧力計算圧力勾配による力の計算速度位置修正終了判定終了 6

7 MS 法初期化 Fst tme step wall 重力粘性による力の計算速度位置更新 flud v * v k t v k g 圧力計算圧力勾配による力の計算速度位置修正は速度終了判定終了 7

8 MS 法初期化 Fst tme step wall 重力粘性による力の計算速度位置更新 flud * k t v * 圧力計算圧力勾配による力の計算速度位置修正は速度終了判定終了 8

9 MS 法初期化重力粘性による力の計算速度位置更新 flud 陽解法 k1 半陰解法 n c * 1 k t n n 0 n 0 * n n 0 0 wall 圧力計算圧力勾配による力の計算速度位置修正色は圧力終了判定終了 9

10 MS 法初期化 Fst tme step wall 重力粘性による力の計算速度位置更新 flud t v' k1 圧力計算圧力勾配による力の計算速度位置修正は修正速度色は圧力終了判定終了 10

11 MS 法初期化 Fst tme step wall 重力粘性による力の計算速度位置更新 flud 1 v k 1 k v * * v' t v' 圧力計算圧力勾配による力の計算速度位置修正は修正速度色は圧力終了判定終了 11

12 MS 法初期化 Second tme step wall 重力粘性による力の計算速度位置更新 flud v * v k t v k g 圧力計算圧力勾配による力の計算速度位置修正は速度終了判定終了 1

13 MS 法初期化 Second tme step wall 重力粘性による力の計算速度位置更新 flud * k t v * 圧力計算圧力勾配による力の計算速度位置修正は速度終了判定終了 13

14 MS 法初期化重力粘性による力の計算速度位置更新 flud 陽解法 k1 半陰解法 n c * 1 k t n n 0 n 0 * n n 0 0 wall 圧力計算圧力勾配による力の計算速度位置修正色は圧力終了判定終了 14

15 MS 法初期化 Second tme step wall 重力粘性による力の計算速度位置更新 flud t v' k1 圧力計算圧力勾配による力の計算速度位置修正は修正速度色は圧力終了判定終了 15

16 MS 法初期化 Second tme step wall 重力粘性による力の計算速度位置更新 flud 1 v k 1 k v * * v' t v' 圧力計算圧力勾配による力の計算速度位置修正は修正速度色は圧力終了判定終了 16

17 目次 MS 陽解法並列計算津波解析 MS 陽解法とMS 半陰解法の比較 17

18 動的負荷分散 18

19 バケットベースの領域分割と通信方法粒子をバケットに格納 E 0 Halo E 1 exchange 領域分割 Halo exchange Halo exchange E E 3 19

20 動的負荷分散 9,136 粒子 4 ノード dt: 秒 sec sec Numbe of patcles 5,500 E0 E1 E E3 5,000 4,500 1 つの計算ノードの粒子数が 5,500 になったら領域再分割を行う. 4, Tme 0

21 高速化に関わる 3 つの開発項目 1 毎ステップ行う隣接間通信のための通信テーブルの作成 ( 並列性能単体性能 ) バケットベースの通信領域分割による動的負荷分散 ( 並列性能 ) ametis によって 5% 程度の負荷分散を実現 3 ノード内チューニング ( 単体性能 ) 粒子データの再配置 GU と MIC 向け最適化

22 東京大学 FX10 による 314,57,800 粒子のストロングスケーリング (1 ノード ~4800 ノード ) Wall-clock tme (s) Effcency T11 T n n Tme of l0x.0 Tme of l0x4.0 Effcency of l0x.0 Effcency of l0x The numbe of nodes Stong scalng of 314,57,800 patcles Stong scalng s defned as how the calculaton tme vaes wth the numbe of pocessos fo a fxed total poblem sze.

23 東京大学 FX10 による 5000 万粒子から 00 億粒子のウィークスケーリング (1 ノード ~4800 ノード ) Wall-clock tme (s) Effcency T 1 T n Tme of l0x.0 Tme of l0x4.0 Effcency of l0x.0 Effcency of l0x The numbe of nodes Weak scalng fom 50,331,648 patcles 0,13,659,00 patcles Weak scalng s defned as how the calculaton tme vaes accodng to the numbe of pocessng elements fo a fxed poblem sze pe pocessng element. 3

24 Calculaton Tme and Flops/eak n case of 4,194,304 patcles n a node e =.0 l 0 Tme (s) Effcency of flop/s (%) Total calculaton tme n 1 tme step 1 ノード 4800 ノード Tme (s) Effcency of flop/s (%) Vscosty tem nd ode polynomal appoxmaton Collson essue 1 st ode polynomal appoxmaton essue gadent tem Othe (communcaton, communcaton table and sotng)

25 Calculaton Tme and Flops/eak n case of 4,194,304 patcles n a node e = 4.0 l 0 Tme (s) Effcency of flop/s (%) Total calculaton tme n 1 tme step 1 ノード 4800 ノード Tme (s) Effcency of flop/s (%) Vscosty tem nd ode polynomal appoxmaton Collson essue 1 st ode polynomal appoxmaton essue gadent tem Othe (communcaton, communcaton table and sotng)

26 高速化に関わる 3 つの開発項目 1 毎ステップ行う隣接間通信のための通信テーブルの作成 ( 並列性能単体性能 ) バケットベースの通信領域分割による動的負荷分散 ( 並列性能 ) ametis によって 5% 程度の負荷分散を実現 3 ノード内チューニング ( 単体性能 ) 粒子データの再配置

27 粒子データの再配置 bucket[] bucket[3] Indect fst_patcle_n_bucket = {0, 4, -1, 1}; patcle_ndex = {, 3, -1, 5, -1, -1}; 0 bucket[0] 4 bucket[1] 粒子データの再配置 bucket[] 1 0 bucket[0] bucket[3] Dect 座標が近い粒子データはメモリ上の物理的に近い所に保存する. 4 counte = {0,, 3, 3, 6}; を新たに作成する. 3 5 粒子データの再配置後は bucket[0] に counte[0]~counte[1]-1 番の粒子が保存され bucket[1] に counte[1]~counte[]-1 番の粒子が保存され bucket[] に counte[]~counte[3]-1 番の粒子が保存され bucket[1] bucket[3] に counte[3]~counte[4]-1 番の粒子が保存される.

28 リンクリストと粒子データを再配置した場合の計算時間の違い ( 九大 CX400) 標準 MS( 計算量が少ない場合 ) 影響半径 :l 0 x.1 Wall-clock tme (s) ,016 粒子 Indect Assgnng patcles to buckets and eaangng patcle data Dect Total MS calculaton by eaangng patcle data afte assgnng patcles to buckets Assgnng patcles to buckets and makng a lnked lst Total MS calculaton by lnked lst Tme (s)

29 L1 キャッシュミス率 ( 東京大学 FX10) Radus of olynomal Tme (s) L1 Cache Mss Rate (%) nteacton doman: e Ode Indect Dect Indect Dect.1 l l l l l l l

30 CU,GU,MIC 向け最適化の結果粒子数 :13,651 影響半径 :l 0 x4.1 解析領域 :1.0x1.0x タイムステップの計算時間粒子番号は乱数でシャッフルするプロセッサ Intel Coe Tesla K0m 九大 CX400 Xeon h 310 名大 CX400 理論性能 (GFLOS) 手法計算時間 (s) 標準 MS ピーク性能比 (%) Speed up 計算時間 (s) 高次精度 MS ピーク性能比 (%) Indect Speed up Dect Indect Dect Indect Dect

31 目次 MS 陽解法並列計算津波解析 MS 陽解法とMS 半陰解法の比較 31

32 津波解析の目的 1. 津波が市街地を遡上する解析. 浮遊物がながれ浮遊物同士や地上構造物に衝突する解析 3. 水圧と浮遊物の衝突による地上構造物の応力解析 3

33 3 段階の津波解析第 1 の解析 : 震源で発生する波源から沿岸部までの津波伝播計算 ( 数十 ~ 数百キロ四方程度 ) 第 3 の解析 : 市街地に浮遊物が衝突しながら浮遊する市街地浸水解析 (500m 四方程度 ) 第の解析 : 沿岸部に押し寄せた津波が地上へ遡上する解析 ( 数 km~10km 四方程度 ) 33

34 浮遊物多数の浮遊物が漂流する解析を行う浮遊物は剛体としてモデル化する ( 将来は弾性体にする ) 剛体 - 流体の弱連成問題を解く 34

35 流体 - 剛体連成 [1] ( 弱連成 ) 1 全粒子を流体粒子として計算する. 剛体の並進量と回転量を求める. 3 移動前の剛体粒子に対して剛体の並進量と回転量を加える. 1 並進動量 ' g 1 N k 1 k ˆ RgdBody 回転量 ( 角運動量 ) L RgdBody k1 k k1 k1 m ˆ ˆ g t 3 並進回転 [1] S. Koshzuka, A. Nobe, Y. Oka, Numecal Analyss of Beakng Waves Usng the Movng atcle Sem-mplct Method, Int. 35 J. Nume. Meth. Fluds, 6, , 1998

36 流体 - 剛体連成の通信総和計算の部分だけ通信 ( 全体通信 ) が発生する. 移動後の重心並進量回転量の 3 つのベクトルを求める時に総和計算が行われる. 移動後の重心と並進量は同時に通信 ( 全体通信 ) できるが回転量は移動後の重心を用いて計算されるので回に分けて通信 ( 全体通信 ) が行われる. 例えば 100 個の剛体の場合 8(sze of double)x6x100 byte と 8(sze of double)x3x100 byte の回の通信 ( 全体通信 ) が行われる. 通信量 ( 全体通信量 ) は少ない. 1 1 k 1 k 並進動量 ' g ˆ 回転量 ( 角運動量 ) L RgdBody N RgdBody k1 k k1 k1 m ˆ ˆ g t 3 並進回転全体通信によって総和計算を行う新しい重心 1 k 1 k1 g ˆ N RgdBody 36

37 4 つの計算モデル Model Stage Aea Buldngs Floatng objects A Second 10.5km 10km Non Non B Second 4.5km 3km Non Non C Thd 400m 550m Modelng Two (Tanks) D Thd 660m 810m Modelng 431(Buldng) Model A Model B Model C Model D 37

38 Model A n nd stage: 石巻湾沿岸の広範囲津波遡上解析粒子直径 : m 解析領域 : 10.5km 10.0km 解析時間 : 000sec (33mn) dt : 0.01s (o Couant numbe 0.1) 東京大学 FX10 (Fujtsu Spac) 10 nodes (190 coes) MI + OpenM 最大粒子数 : 1.3 億計算時間 : 3 days 1 tme step (aveage):.4 sec 4.3km 38

39 MS 法と浅水長波方程式による差分法の計算結果の比較 Flow depth 0m Flow depth m 39

40 Model B n nd stage : 3 d ステージ解析のための流入境界条件を作成するための解析粒子直径 : 1m 解析領域 : 4.0km 3.5km 解析時間 : 800sec dt : Couant numbe=0.1 東京大学 FX10 (Fujtsu Spac) 144 nodes (104 coes) MI+OpenM 最大粒子数 :.6 億計算時間 : 1 weak 1 tme step (aveage): 5.5 sec Tme of doman decomposton (aveage) : 60 sec Bounday of Mode C & D n 3 d stage aea 40

41 階層の領域分割第 1 段階目の領域分割第段階目の領域分割 41

42 Model C n 3 d stage : つのタンクが市街地を漂流する解析粒子直径 : 0.m 解析領域 : 400m 550m 解析時間 : 00sec dt : Couant numbe=0.1 Two tanks ae eleased at 60 sec 九州大学 CX400 (Intel Xeon) 3 nodes (51 coes) MI+OpenM 最大粒子数 : 4.0 億計算時間 : 30 days 1 tme step (aveage): 8. sec Tme of doman decomposton : 6 sec 4

43 Model D n 3 d stage : 431 つの浮遊物が市街地を漂流する解析粒子直径 : 0.5m 解析領域 : 660m 810m 解析時間 : 400sec dt : Couant numbe=0.1 All buldngs ae eleased at 00 sec 九州大学 CX400 (Intel Xeon) 7 nodes (115 coes) MI+OpenM 最大粒子数 : 80 mllons 計算時間 : 40 hous 1 tme step (aveage): 0.78 sec Tme of doman decomposton (aveage): 4 sec 43

44 石巻市街地のメッシュモデルメッシュサイズ m 44

45 第 3 の解析 : 地上構造物に線形応力解析を行った市街地浸水解析名古屋大学 CX400 (Intel Xeon) 3 nodes (768 coes) MI+OpenM 流体解析 : 4000 万粒子 (0.5m) by 分散並列 MS 陽解法構造解析 : 100 万要素 (m) by ADVENTURE_Sold v1.1 連成方法 : 流体圧力を構造に渡す片方向連成計算時間 : 74 時間 45

46 目次 MS 陽解法並列計算津波解析 MS 陽解法とMS 半陰解法の比較 46

47 MS 陽解法 (E-MS 法 ) 初期化重力粘性による力の計算速度位置更新圧力計算圧力勾配による力の計算速度位置更新終了判定終了 Halo exchange Halo exchange Halo exchange u * * 1 u k u k t k t u n n c n0 t u' 1 k u * * * 0 k 1 u' t u' u g k 圧力を粒子数密度差から陽的に求める 0 c c n n 0 n n n 0 流体の密度 : 音速 [m/s] 位置 : 速度 : 圧力 : 動粘性係数 : 重力加速度 : 粒子の粒子数密度 d c d 粒子数密度の基準値 u v g

48 MS 半陰解法 (SI-MS 法 ) 初期化重力粘性による力の計算速度位置更新圧力計算圧力勾配による力の計算速度位置更新終了判定 Halo exchange aallel BCGStab Halo exchange u * u Halo exchange * 1 u k 1 k k t k t u u * 1 k * * t u' u' t u' u g t k n * k 1 n n 0 0 流体の密度 : 位置 : 速度 : 圧力 : 動粘性係数 : 重力加速度 : 圧力のポアソン方程式 u v g 終了

49 MS, SI-MS, LS-MS Method Explct MS (E-MS) Sem-Implct MS (SI-MS) Least Squae MS (LS-MS) ublshed yea 010 [1] 1996 [] 014 [3] To obtan pessue Gadent opeato Laplacan opeato essue state equaton (explct) Gadent model of ognal MS (not consstency) Laplacan model of ognal MS (not consstency) essue osson equaton (mplct) Fst-ode polynomal appoxmaton Second-ode polynomal appoxmaton essue oscllaton Hgh ( ) Low ( ) Vey low ( ) Accuacy Low ( ) Medum ( ) Hgh ( ) Calculaton tme Vey shot ( ) Long ( ) Long ( ) Requed Memoy Vey small ( ) Lage ( ) Lage ( ) [1] A. Shakbaena, Y. C. Jn: A Weakly Compessble MS Method fo Modelng of Open-bounday Fee-suface Flow, Int. J. Nume. Meth. Fluds, 63, pp , 010. [] S. Koshzuka. and Y. Oka: Movng-patcle sem-mplct method fo fagmentaton of ncompessble flud, Nuclea Scence and Engneeng, 13, pp , [3] T. Tama, S. Koshzuka: Least squaes movng patcle sem-mplct method, Computatonal atcle Mechancs, 49 DOI /s , July, 014.

50 To calculate pessue Explct MS k1 n c * n n 0 0 粒子数密度 n * * * w j j Sem-Implct MS & Least Squae MS k (1 ) t v * Mxed souce tem by Tanaka [1] 0 n 0 n 0 t n * Method Ognal Sem-Implct MS 1.0 Incompessble SH [] 1.0 ojecton SH [3] 0.0 α mass consevaton pessue oscllaton α = 1.0 Kept ( ) Hgh ( ) α = 0.0 Not kept ( ) Low ( ) α > 0.01 Almost kept ( ) Low ( ) α [1] M. Tanaka, T. Masunaga: Stablzaton and Smoothng of essue on MS Method by Quas-Compessblty, Tansactons of JSCES, ape Numbe , 8pages, 008. [] S. Shao & E. YM Lo: Incompessble SH method fo smulatng newtonan and non-newtonan flows wth a fee suface. Advances n Wate Resouces, Vol. 6, No. 7, pp , 003. [3] S. J. Cummns & M. Rudman: An SH pojecton method. Jounal of computatonal physcs, Vol. 15, No., pp , 1999.

51 Gadent & Laplacan opeatos j j j w d 0 j j j j j w n d 0 Explct MS 越塚による MS 勾配, ラプラシアン作用素 ( 工学的近似 ) j j j w d 0 j j j j j w n d 0 ˆ Sem-Implct MS 越塚による MS 勾配, ラプラシアン作用素 ( 工学的近似 ) : poston vecto ), ( y x

52 : poston vecto Gadent & Laplacan opeatos j j j j j j j j j j j j j j j j j s j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j s j s z y s z x s y x s z s y s x s z s y s x z y z x y x z z y y x x z y x w z y z x y x z z y y x x z y x z y z x y x z z y y x x z y x w 1 / / / T z y x,, z y x Least Squae MS テイラー展開に基づく最小乗近似を用いた高次精度微分作用素任意次数の多項式を基底にあつかえフリーメッシュ向けコンパクトスキームであることが特徴 ), ( y x s j x x x j s j y y y j s j z z z j

53 Hydostatc pessue (a) Explct MS (c) Sem-mplct MS (b) Explct MS smoothed essue smoothng (d) Least Squae MS

54 essue of flud patcles (a) Explct MS (c) Sem-mplct MS (b) Explct MS smoothed essue smoothng (d) Least Squae MS 54

55 Dambeak (sceen shots) (a) Explct MS (c) Sem-mplct MS (b) Explct MS smoothed essue smoothng (d) Least Squae MS 55

56 圧力の測定圧力の測定点 56

57 圧力の測定 57

58 essue essue (a) Explct MS (c) Sem-mplct MS essue essue smoothng essue (b) Explct MS smoothed (d) Least Squae MS 58

59 Consstency 青粒子 : 流体粒子 ( 評価粒子 ) 粒子配置規則配置不規則配置 : 規則配置に最大 l 0 x0.5の摂動を加える空間離散化スキーム 3 次元 Ognal MS Least Squae MS. l 0 : 0.0, 0.01, 0.005, 0.00 緑粒子 :Dchlet 粒子 ( 非評価粒子 ) 影響半径 : 3.1l 0 o 4.1l 0 領域外に 3 層の Dchlet 粒子を配置評価関数は 59

60 相対誤差 :Gadent & Laplacan 近似作用素規則粒子配置 Relatve eos 1.00E E E E-06 Relatve eos of Gadent fo egula aangement o (3.1) 1.00E-08 1st (3.1) nd (3.1) 1.00E-10 3d (3.1) damete of patcle 4th (4.1) Relatve eos of Gadent Damete Convegence ate o (3.1) 5.94E E E E st (3.1) 5.94E E E E nd (3.1) 8.15E-03.04E E E d (3.1) 1.E E E-08 1.E th (4.1) 3.86E-05.4E E E Relatve eos 1.00E E E E-06 Relatve eos of Laplacan fo egula aangement Relatve eos of Laplacan Damete Convegence ate o (3.1).35E E E-04.36E nd (3.1).86E E E-04.86E d (3.1).86E E E-04.86E th (4.1) 1.06E E E E E-08 o (3.1) nd (3.1) 1.00E-10 3d (3.1) 0.00 damete of patcle 4th (4.1)

61 相対誤差 :Gadent & Laplacan 近似作用素不規則粒子配置 Relatve eos 1.00E E E E-06 Relatve eos of Gadent fo egula aangement o (3.1) 1.00E-08 1st (3.1) nd (3.1) 1.00E-10 3d (3.1) damete of patcle 4th (4.1) Relatve eos of Gadent Damete Convegence ate o (3.1) 5.09E E E E st (3.1) 6.E-03.33E E E nd (3.1) 8.17E-03.05E E E d (3.1) 1.97E E E E th (4.1) 3.85E-05.41E E E Relatve eos 1.00E E E-04 Relatve eos of Laplacan fo egula aangement Relatve eos of Laplacan Damete Convegence ate o (3.1) 1.30E E E-01.45E nd (3.1).83E E-04.64E E d (3.1).87E E E-04.87E th (4.1) 1.08E E E E E E-08 o (3.1) nd (3.1) 1.00E-10 3d (3.1) 0.00 damete of patcle 4th (4.1)

62 Vefcaton model of osson equaton wth Neumann and Dchlet BCs 粒子配置不規則配置 : 規則配置に最大 l 0 x0.5の摂動を加える空間離散化スキーム Ognal MS Least Squae MS. Blue patcles : Flud patcles Geen patcles : Dchlet patcles Red patcles : Neumann patcles 影響半径 : 3.1l 0 osson equaton f f ( ) f f ( ) f n f ( ) n n on on D N 6

63 Total elatve eo Convegence of osson equaton 1.00E E E E E E+00 BCGStab toleance : 1e E E E-04 SI-MS 1.00E E-06 LS-MS(nd ode) 1.00E E E E-0 Damete of patcle Damete of patcle.00.e E E E E E E E E E-04 # of patcles (DOF) 64 6, , ,40,685,619 10,16,83 4,137,569 40,867,94 81,734,588 04,336,469 MS LSMS elatve eo 3.5E E E E E E E E E E+00 # of teatons elatve eo 1.19E E E E E E-05.19E E E E-06 # of teatons

64 Iteatons The numbe of teatons of osson equaton BCGStab toleance : 1e SI-MS 1 LS-MS(nd ode) 1.E+01 1.E+03 1.E+05 1.E+07 1.E+09 Numbe of patcles Damete of patcle.00.e E E E E E E E E E-04 # of patcles (DOF) 64 6, , ,40,685,619 10,16,83 4,137,569 40,867,94 81,734,588 04,336,469 MS LSMS elatve eo 3.5E E E E E E E E E E+00 # of teatons elatve eo 1.19E E E E E E-05.19E E E E-06 # of teatons

65 Effcency Effcency (Weak scalng) T 1 T n SI-MS LS-MS(nd ode) E-MS E-MS(nd ode) Numbe of nodes 1.E+00 1.E+01 1.E # of nodes Damete of patcle.81.e E E E E E-04 # of patcles (DOF) 851,40 10,16,83 4,137,569 40,867,94 81,734,588 04,336,469 SI-MS LS-MS (nd ode) E-MS E-MS (nd ode)

66 Total calculaton tme (s) 計算時間の比較 (Weak scalng) SI-MS LS-MS(nd ode) E-MS E-MS(nd ode) BCGStab toleance : 1e Numbe of nodes 1.E+00 1.E+01 1.E+0 # of nodes Damete of patcle.81.e E E E E E-04 # of patcles (DOF) 851,40 10,16,83 4,137,569 40,867,94 81,734,588 04,336,469 SI-MS LS-MS (nd ode) E-MS E-MS (nd ode)

67 Matx geneaton tme (s) Total CG tme (s) Total calculaton tme (s) 計算時間の比較 (Stong Scalng) , , x BCGStab toleance : 1e-10 40,867,94 patcles SI-MS 1 LS-MS(nd ode) E-MS 0.4 E-MS(nd ode) E E E E Numbe of nodes 0.1 x x SI-MS 1 LS-MS(nd ode) E E E E Numbe of nodes SI-MS LS-MS(nd ode) E E E E Numbe of nodes 67

68 Speed up Speed up (Stong Scalng) T 4 T n SI-MS LS-MS(nd ode) E-MS E-MS(nd ode) Theotcal value BCGStab toleance : 1e-10 40,867,94 patcles Numbe of nodes 1.E+00 1.E+01 1.E+0 1.E+03 68

69 Futue wok 物理モデル浮遊物の動弾性解析浮遊物の地上構造物への衝突解析水圧と衝突による地上構造の破壊解析高速計算ポアソン方程式の反復法の検討 GU&MIC 対応 69

70 Thank fo you attenton

A Precise Calculation Method of the Gradient Operator in Numerical Computation with the MPS Tsunakiyo IRIBE and Eizo NAKAZA A highly precise numerical

A Precise Calculation Method of the Gradient Operator in Numerical Computation with the MPS Tsunakiyo IRIBE and Eizo NAKAZA A highly precise numerical calculation method of the gradient as a differential