実験力学

Size: px

Start display at page:

Download "実験力学"

えのみうら
5 years ago
Views:

394 abc ddef abc ddef 樹脂の非弾性構成式を考慮した Cruciform 試験法によるガラス繊維 / 樹脂界面の界面強度評価小柳潤 * **, 荻原慎二 Glass Fiber/Matrix Interfacial Strength Evaluated by Cruciform Specimen Method Considering Inelastic

1 394 abc ddef abc ddef 樹脂の非弾性構成式を考慮した Cruciform 試験法によるガラス繊維 / 樹脂界面の界面強度評価小柳潤 * **, 荻原慎二 Glass Fiber/Matrix Interfacial Strength Evaluated by Cruciform Specimen Method Considering Inelastic Constitutive Equation of the Matrix Jun KOYANAGI and Shinji OGIHARA This study aims obtaining a precise strength of a glass fiber/ epoxy resin interface by taking inelastic constitutive equation which might be very important factor to be considered. A cruciform specimen method is one of the reasonable tests to investigate interfacial strength. Varying the cruciform (arm's) angles, the interfacial failure criterion under combined stress-state can be obtained. However, when the interfacial strength is beyond the matrix yield stress, inelastic stress analysis must be done in order to obtain the interfacial strength precisely. In this study, the inelastic analysis is performed and the effect on experimentally-obtained results is discussed. Key words: Polymer Matrix Composites, Interfacial Strength, Cruciform Specimen Method, Inelastic Constitutive Equation, Micromechanical Testing. 1. 緒言近年, 比強度比剛性に優れる高分子複合材料 (Polymer matrix composites:pmc) は様々な分野にて適用範囲が拡大しつつある. 新しい繊維やマトリクス, 界面処理方法が次々と開発され,PMC の強度も改善されてきている. 近年キーポイントとして挙げられている問題は, 界面強度が強固すぎると複合材料の機械的特性を下げ得るという事実である 1). 繊維直交方向の PMC の強度を決定するのは, マトリクスと界面の強度の弱い方とされている )~3). したがって, 界面はマトリクス強度と同等以上であることが必要条件である. 一方, 繊維方向の強度は界面強度とマトリクス強度にも支配され, 界面強度が相対的に弱い範囲では, 複合材料強度は界面強度とともに上昇するが, 界面強度が相対的に強い範囲では, 界面強度の上昇は複合材料強度の減尐を導く 1). これらのことから, 界面強度はマトリクス強度と同等であることが最適であると示唆されている. したがって,PMC の界面強度を正確に評価することは重要である. これまでに, 様々な界面強度評価方法が研究されている原稿受付平成年 6 月 3 日 * 正会員宇宙航空研究開発機構宇宙科学研究本部 ( 神奈川県相模原市由野台 3-1-1) ** 正会員東京理科大学理工学部 ( 千葉県野田市山崎 641) 1 4)~11). 従来は界面のせん断強度を求めるマイクロメカニカルテストについて, 多く研究されていたが 4),5), 近年は界面の引張強度についての研究も広まりつつある 6)~11). 中で 8)~11) も Cruciform 試験片を用いた界面の引張強度評価方法については, 応力特異場を避けた位置での界面破壊を議論できるため, その有効性が証明されている. 小柳ら 1) や Ogihara ら 11) は Cruciform 試験片の繊維埋め込み部の角度を変化させることによって, 様々な引張 - せん断の混合応力状態での界面破壊を調査し, 包括的な界面破壊クライテリオンを議論した. これによって, 従来の不確かなはく離先端のせん断応力を議論してせん断強度を評価する手法に対して, 信頼性の高い界面強度評価手法が確立された. ただし, 弾性解析が成り立つ範囲のみに, この手法は適用可能であり, 相対的に高応力が作用する場合は新たに非弾性を考慮した解析が必要となる. すなわち, 界面強度が樹脂の降伏応力よりも大きい場合は, 界面強度を正確に評価できないことが現状の課題である. 本研究では, 高分子材料の非弾性構成式を考慮した Cruciform 試験によるガラス繊維 / マトリクス界面の混合応力条件下での界面強度を調査した.Cruciform 試験の概要と結果について述べ, 新しく高分子材料の非弾性構成式を考慮した解析結果を報告し, 並びに前報 11) での弾性解析の結果と比較検討をおこなう

abcdeff e 395 395. Cruciform 試験.1 試験片ガラス繊維 ( 直径 17m) とエポキシ樹脂 ( エピコート 88 ( ジャパンエポキシレジン製 ) が主剤, TETA (Triethylenetetramine)( 昭和化学製 ) が硬化剤 ) を用いた. 厚さ.5mm のテフロンの板を試験片形状に切り抜き, それ二枚を重ねて型とした.

2 abcdeff e Cruciform 試験.1 試験片ガラス繊維 ( 直径 17m) とエポキシ樹脂 ( エピコート 88 ( ジャパンエポキシレジン製 ) が主剤, TETA (Triethylenetetramine)( 昭和化学製 ) が硬化剤 ) を用いた. 厚さ.5mm のテフロンの板を試験片形状に切り抜き, それ二枚を重ねて型とした. その間にガラス繊維 ( 直径 17m) を挟み, ガラス繊維のたわみを防ぐために 1mN の張力をかけた状態で型に固定したあと, エポキシを流し込み, 常温にて 1 週間で硬化させた. 試験片の形状と寸法は Fig. 1 に示す. 本研究では図のように, 試験片長手方向と繊維埋め込み方向がなす角を用い, 左から Cruciform-9, -67.5,-45,-35,-.5 と表記する..3 試験結果 Fig. 3 に界面はく離の発生と進展の一例の写真を示す.Fig. 3 において,(a) は Cruciform-9,(b) は Cruciform-67.5 を示す. 写真に示すように明確な界面はく離が確認できた. それぞれの試験片において, ある応力にて長さ 1mm 程度の界面はく離が突発的に発生し, その後は繊維に沿ってはく離が徐々に進展した. 本研究ではこの突発的にはく離が発生した時の試験片の応力をはく離発生応力とし, 界面強度を評価する際にはこの数値について議論する. Table 1 に各試験片の界面はく離発生時の試験片応力の平均値を示す.Cruciform 試験片の腕の角度が小さくなるとともに, はく離発生時の試験片応力は大きくなった. Cruciform-.5 においては, 界面はく離が生じる前に試験片が破断した. Fiber Cruciform Fig. 1 Specimen geometries and dimensions. 試験方法引張試験を光学顕微鏡のステージに取り付けた小型負荷装置を用いて行った. 実験装置の全体図を Fig. に示す. 引張速度は.5mm/min とし, 界面はく離発生のその場観察を行った. はく離の観察を容易にするために図のように本ファイバー光源を用い, 繊維方向に対して垂直方向, 斜め上方から光を当てた. (a) Cruciform-9 Fiber Light Optical Microscope Amplifier PC Specimen Small Loading Machine Fig. Schematic of experimental setup. MPa (b) Cruciform-67.5 Fig. 3 Debonding initiation and progress in (a) cruciform-9 and (b) cruciform-67.5 specimens

3 Stress MPa Stress MPa Stress MPa Stress MPa 396 abcdef Table 1 Debonding stress for all cruciform specimens Specimen type Debonding stress [MPa] Cruciform Cruciform Cruciform Cruiform Cruciform-.5 N/A (Specimen Failure) 3. 樹脂の非弾性構成式高分子材料は非弾性の応力 -ひずみ関係を有する. したがって, 特に相対的に強固な界面の強度を評価する場合, 樹脂の非線形性を考慮しなければ正しい解は得られない. 本研究では後に述べる FEM の高分子材料の材料特性に非弾性構成式を入力するため, 本章にて応力 -ひずみ関係の構成式を決定する. 非弾性応力ひずみ関係には様々なモデル化が存在するが, 本研究では, 一般的な高分子材料の応力 -ひずみ関係を良く記述できる下記の Ramberg-Osgood モデル (1) に基づいた変形抵抗モデルを用いる. ij ij E ij e a E n1 E は初期弾性率 ( 応力が十分小さい時の弾性率 ), 下付きの e は相当応力,ij はそれぞれの成分を示し,a と n は Ramberg-Osgood 定数, は降伏応力である. この式に従うと, 括弧の中が小さい場合右辺第項が無視できるほど小さくなり, 結果的にほぼ弾性と見なせる. 作用する応力が降伏応力を超えると右辺第項の値が大きくなり, このように Eq. 1 は塑性変形を擬似的に記述できるべき乗則を用いたモデルである. 本研究ではマトリクス樹脂の短冊試験片を用いて単軸引張試験を行い, フィッティングにより Eq. 1 の各定数を決定する. (1) Fig. 4 に本研究で用いたマトリクス樹脂の単軸引張試験結果と, 下記に述べる方法で決定した各定数を用いて近似した応力ひずみ関係を示す. 試験片の成型条件は前章に述べた Cruciform 試験片のそれと同様である. 結果から, 多尐の個体差はあるが試験片応力が 3MPa を超えると応力 - ひずみ関係の非線形性が顕著に表れる. 6 (a) Specimen No. 5 MPa, n=4, a=.1 3MPa, n=4, a=.1 1 4MPa, n=4, a= (b) 4 3 Specimen No. 5 3MPa, n=3, a=.1 1 3MPa, n=4, a=.1 3MPa, n=5, a= (c) Specimen No. 1 No. No. 3 No. 4 No. 5 Approximation Specimen No. 5 3MPa, n=4, a=. 3MPa, n=4, a=.1 3MPa, n=4, a= Fig. 4 Experimental and approximated Stress-strain relationships for neat resin Fig. 5 Comparison of analytical stress-strain curves in case of various values of (a) (b) n and (c) a

abcdeff e 397 397 Fig. 5 に各定数を変化させた場合の応力ひずみ関係を示す.Fig. 5 の (a), (b), (c) はそれぞれ, を変数としたとき, n を変数としたとき,a を変数としたときを示す. 参考のため, 各図には Fig. 4 の実験結果の中で応力ひずみの非線形性が典型的に現れていると見なせるであろう試験片 No.5 の結果を併記する.Eq.

注記すべきことは, 本フィッティングにおいては変数が多いため, 別の値の組み合わせでも近い応力ひずみ関係を記述できる可能性があるが, 本研究では,Eq. 1 が実験の応力ひずみ線図と交差しないこと, 実験結果より 3MPa 近辺から非線形が顕著になっていること,5 本の実験の平均的な応力ひずみ線図を描くことを条件としてこれらの変数を決定した.

6 に Cruciform-67.5 のメッシュの様子例を示す. 繊維の直径が 17m と非常に小さいた (b) Table Material properties used in the analysis Young s modulus [GPa] Poisson s ratio Glass fiber 7. Epoxy 4.8.4 め, メッシュを切る作業には注意が必要である.

4 abcdeff e Fig. 5 に各定数を変化させた場合の応力ひずみ関係を示す.Fig. 5 の (a), (b), (c) はそれぞれ, を変数としたとき, n を変数としたとき,a を変数としたときを示す. 参考のため, 各図には Fig. 4 の実験結果の中で応力ひずみの非線形性が典型的に現れていると見なせるであろう試験片 No.5 の結果を併記する.Eq. 1 を用いた理論曲線と比較することで, 各定数を決定した. 初期弾性率は Fig. 4 の初期勾配の平均をとり 48MPa とした. その他の定数は有効数字 1 桁のみを考慮して検討した.Fig. 5 より, 本研究の範囲では降伏応力は 3MPa,a=.1,n=4 のとき用いた樹脂の応力ひずみ関係を記述できていると見なした. 注記すべきことは, 本フィッティングにおいては変数が多いため, 別の値の組み合わせでも近い応力ひずみ関係を記述できる可能性があるが, 本研究では,Eq. 1 が実験の応力ひずみ線図と交差しないこと, 実験結果より 3MPa 近辺から非線形が顕著になっていること,5 本の実験の平均的な応力ひずみ線図を描くことを条件としてこれらの変数を決定した. 以上の通り, 応力 -ひずみ関係の非線形性を Eq. 1 を用いてモデル化した. 4. 有限要素解析各試験片における界面付近の応力分布を計算するために, 非弾性有限要素解析を行った. 本研究では汎用ソフトの ABAQUS ver を用いた. 対称性を考慮して, Cruciform-9 には 1/8 モデル, その他の試験片形状には 1/ モデルを採用した.Fig. 6 に Cruciform-67.5 のメッシュの様子例を示す. 繊維の直径が 17m と非常に小さいた (b) Table Material properties used in the analysis Young s modulus [GPa] Poisson s ratio Glass fiber 7. Epoxy め, メッシュを切る作業には注意が必要である.17m の直径に対して, 丸いものを複数の直線で表現するため, 特に界面の応力を正確に求めるためには, できるだけ細かくメッシュを切る必要があるが, この寸法は試験片全体の寸法と比べると極めて小さい. つまり, 繊維近傍のメッシュの細かさを試験片全体に適用すると, 全エレメント数は莫大な数になり, コンピュータの計算限界を超えてしまう. したがって,Fig. 6 のように繊維近傍は十分細かくし, 繊維から離れるほどメッシュを粗くした. 繊維近傍は, 構造メッシュ (8 node-solid element) を用い, 繊維から遠い部分にはスイープメッシュ (4 node-solid element) を用いて, 全体の要素数を 1 万以内に抑えた. 両要素とも等方性である. 繊維のメッシュは, これ以上細かくしても同様の応力を得ることを確認しており, 十分に細かいと見なせる. Table に本解析に用いた材料定数を示す (11). 表におけるエポキシ樹脂のヤング率は初期の値であり, 引張負荷の増加とともに, 前節にて述べる非弾性構成式に従う. 解析では界面上の node も共有されており, 界面が完全に接着している状態に相当する. また, 樹脂の硬化にともなう収縮は, 前報と同様に本研究でも考慮していない. 境界条件は,Fig. 6 中の上部に引張負荷 ( 実験により得られた試験片応力 ) を与え, 試験片下部を y 方向に固定した.1/ モデルには,z 方向に対称条件を与えた. モデルに負荷を与えたときのはく離が発生する位置における界面応力を求めた. はく離の発生する位置は, 試験片の中央部分で, 引張負荷に最も近い場所であると前報 (11) にて明らかにされている. はく離の発生する位置は z 方向境界面上であるため,z 成分を含むせん断応力は無視して良い. 結果として, 本研究でははく離発生位置における界面の繊維垂直方向応力と一つの界面せん断応力が求められる. このため, 繊維には円筒座標系を設け, 半径方向引張応力と半径 - 軸方向のせん断応力を求めた. (a) (c) Fig. 6 Mesh for Cruciform-67.5 (a) whole model, (b) arm part and (c) magnified only fiber part 4 5. 結果と考察 Fig. 7 左図に例として Cruciform-67.5 の解析結果を試験片の中心で縦割りにした断面を示す. カラーは相当応力を示す. 左図の繊維付近を拡大したものを右図に示す. 前報 11) では右の拡大図の赤丸 ( 矢印 ) で示す部分が最も界面はく離が生じやすい場所であることを報告しているが, 本解

Stress ratio shear/normal stress Stress at critical point MPa 398 abcdefefab abcdef 析においても, 同様の場所がもっともはく離が発生しやすい位置, すなわち応力状態が最も厳しい界面上の点であることが確認した.

前報 11) の界面破壊に対する特性相当応力と本図の相当応力は若干異なるため, 本図のみからクリティカルポイントを確かめられるわけではないが, 本研究においては図に示すようにマトリクスの相当応力のプロットからもクリティカルポイントを予測できている. また, 本図において, 繊維の相当応力はカラーにて示していないが, マトリクスのそれより大きな値であった.

5 Stress ratio shear/normal stress Stress at critical point MPa 398 abcdefefab abcdef 析においても, 同様の場所がもっともはく離が発生しやすい位置, すなわち応力状態が最も厳しい界面上の点であることが確認した. この点 ( 試験片の中心で, 引張方向に最も近い界面上の点 ) をクリティカルポイントと呼ぶことにし, 以後の応力の値はすべてこのクリティカルポイントの値を議論する. 前報 11) の界面破壊に対する特性相当応力と本図の相当応力は若干異なるため, 本図のみからクリティカルポイントを確かめられるわけではないが, 本研究においては図に示すようにマトリクスの相当応力のプロットからもクリティカルポイントを予測できている. また, 本図において, 繊維の相当応力はカラーにて示していないが, マトリクスのそれより大きな値であった. これは繊維の軸方向に大きな応力成分が存在することに起因しているが, 本研究における考察に対して本質的に影響を及ぼすことはないので, このことついての議論はここでは割愛する. いては界面応力の大きさ自体は弾性解析とそれほど差がないが, 応力比は変化していることが Fig. 8,9 から考察できる. いずれにしても, 試験片応力がもっと大きくなった場合は, 弾性解析との格差が大きくなり, 非弾性解析の必要性が示されている Inelastic normal Inelastic shear Elastic normal Elastic shear Specimen stress MPa クリティカルポイント Fig. 8 Specimen stress vs. normal and shear stresses at critical point calculated by elastic and inelastic FEA for ruciform-67.5 Fig.7 An analytical result and definition of critical point Fig. 8 に Cruciform-67.5 におけるクリティカルポイント ( 界面上 ) の引張応力せん断応力と試験片応力の解析結果を示す. 図中の破線は弾性解析の結果を示す. 応力レベルが小さいとき ( 相当応力が本研究にて設定した非弾性構成式の降伏応力である 3MPa より小さいとき ) は, 弾性解析と非弾性解析の結果が一致し, 応力レベルがそれを超えると非弾性解析の応力の値が相対的に小さくなることが確認できる. また, 弾性解析と非弾性解析の解析結果の格差が試験片の応力の増加とともに拡大していくことも確認できた. せん断応力の減尐の方が顕著なのは, 相当応力を基準とした非弾性構成式を用いていることに起因する.Fig. 9 には, 各試験片の試験片応力とせん断 / 引張応力比の関係を示す.Cruciform-9 はせん断応力がないため, 応力比は常にゼロである. 図より, 各試験片において, 試験片応力の増加とともにせん断の応力比が小さくなることがわかる. このことは,Cruciform の角度が小さくなるにつれて顕著となった. 本試験では Table 1 に示すように, 試験片応力は ~3MPa 前後であるが, このレベルにお Specimen stress MPa Fig. 9 Shear/normal stress ratio as a function of specimen stress 次に, 各試験片における界面はく離発生時の試験片応力の平均値を境界条件として与えた上での, 界面の引張応力, せん断応力の結果と,Fig. 9 の応力比の変化を反映した各試験片の非弾性解析結果を Fig. 1 に示す.Fig. 1 には前報 11) の弾性解析の結果と実験結果, ならびに二つ理論曲線を併記する. これらの理論曲線は下記の二つの混合応力状態における界面破壊クライテリオンを仮定し, 純粋引張強度と純粋せん断強度を実験結果と比較して収束計算により決定した値を用いた理論線である. Cruciform-67.5 Cruciform-45 Cruciform

6 Shear stress t s MPa abcdeff e t n t s 1 () Yn Ys t n ts 1 (3) Yn Ys (< >: 負の数をとする t n : 界面引張応力,t s : 界面せん断応力 Y n : 純粋引張強度 Y s : 純粋せん断強度 ) Eq. は Quadratic クライテリオンと呼ばれ,Fig. 1 における範囲 ( 第一象限 ) では楕円の形をとるが, 引張応力が負の場合, つまり圧縮応力が作用する場合は純粋せん断強度で界面が破壊する, すなわち水平線を仮定している. 一方で Eq. 3 は Parabolic クライテリオンと呼ばれ, 引張応力の正負に関わらず破壊基準が放物線で表されており, 圧縮応力が作用する場合はせん断強度が上昇するというクライテリオンである.Fig. 1 の範囲においてはこれら両者のクライテリオンによる差異は小さく, どちらのクライテリオンが有効なのかはここでは議論しない. Fig. 1 において, 本実験の範囲では弾性解析と非弾性解析の結果の差がそれほど顕著ではないことが確認できる. せん断の成分 ( せん断応力比 ) が大きくなると, 弾性解析と非弾性解析の差が比較的大きくなる傾向があり,Fig. 9 の結果が反映されている. さらに, 純粋引張強度より純粋せん断強度の方が大きい 11) ことからも, せん断成分が大きくなると樹脂の非弾性変形が顕著になることがわかる. しかし本結果に限り, 非弾性を考慮した解析結果は弾性のも Inelastic analyses Inelastic Inelastic -45 Inelastic -35 Cruciform-9 Cruciform-67.5 Cruciform-45 Cruciform-35 Cruciform-.5(Failure) Elastic analyses Quadratic criterion Parabolic criterion Tensile stress t n MPa Fig. 1 Results of the inelastic analysis with conventional elastic analysis. 6 のと比較して, つの理論曲線に対して概ね接線方向に移動しているにすぎないため, これによって理論曲線の定数を決定するための収束計算 11) が大きく異なるとは考えられない. 前報 11) の計算が不完全であるという原因の一つとして, 樹脂の非線形性を考慮していないことが考えられたが, このことが前報の結果に大きく影響するわけではないということが結果的に確かめられた. 本結果は前報 11) の純粋界面せん断強度は純粋引張強度よりも大きいであろうという新しい発見を後押しする形となった. 以上のように本実験の範囲では非弾性構成式の必要性は低かったと言えるが, もっと強固な界面を対称として実験を行う場合には, 樹脂の非弾性構成式が顕著に界面応力に影響するようになると考えられるため, 非弾性構成式は解析に必ず考慮されるべきであると言える. 6. 結言ガラス繊維 / エポキシ樹脂界面の引張 - せん断混合応力状態における破壊条件を Cruciform 試験片と非弾性有限要素解析を用いて調査した. 樹脂の非弾性構成式として, Ramberg-Osgood モデルを用い, エポキシ単体の引張試験における応力 - ひずみ線図にフィッティングさせることで非弾性定数を決定し, これを有限要素解析に投入した. 結果として, 混合応力状態の場合, せん断成分の方が弾性解析結果からの逸脱が顕著であることが明らかとなり, 応力比もそれに伴って変化することが確かめられた. 本実験の範囲では, 弾性解析による結果と大きく異ならないことがわかったが, 今後強固な界面の破壊条件を調査するには非弾性構成式を考慮することは必要不可欠であると考えられる. 謝辞本研究の一部は倉田記念日立科学技術財団 (CFRP の長期精密設計 ), 並びに科学研究費若手研究 B(CFRP ミクロンオーダーの寸法制御とその長期信頼性 ) の援助により遂行された. ここに謝意を表す. 参考文献 1) Koyanagi, J, Kotani, M., Hatta, H., Kawada, H.: A comprehensive model for determining tensile strengths of various unidirectional composites, J. Comp. Mater., 43 (9), ) Ha, S.K., Jin, K.K., Huang, Y.: Micro-mechanics of failure (MMF) for continuous fiber reinforced composites, J. Comp. Mater., 4 (8), ) Koyanagi, J., Yoneyama, S., Eri, K., Shah, P.D.: Time dependency of carbon/epoxy interface strength, Compos. Struct., 9 (1), ) Cox, H.L.: The elasticity and strength of paper and other fibrous materials, British Journal of Applied Physics, 3 (195), ) Zhou, X.F., Nairn, J.A. and Wagner, H.D., Fiber-matrix adhesion

7 4 abcdef from the single-fiber composite test: nucleation of interfacial debonding, Compos. Part A, 3 (1999), ) Broutman, L.J.: Interface in Composites, ASTM STP, 45 (1969), ) Koyanagi, J., Shah, P.D., Kimura, S., Ha, S.K., Kawada, H.: Mixed-mode interfacial debonding simulation in single fiber composite under transverse load, J. Solid Mech. Mater. Eng. 3 (9), ) Ogihara, S., Sakamoto, Y., Koyanagi, J.: Evaluation of tensile strength in glass fiber/epoxy resin interface using the cruciform specimen method, Tran. Japan Soc. Mech. Eng. A, 75 (9), ) Ogihara, S., Sakamoto, Y., Koyanagi, J.: Evaluation of tensile strength in glass fiber/epoxy resin interface using the cruciform specimen method, J. Solid Mech. Mater. Eng. 3 (9), ) Koyanagi, J., Kato, H., Ogihara S.: Analyses for establishing failure criterion on fiber/matrix interface using cruciform specimen test, Material Systems, 7 (9), ) Ogihara, S., Koyanagi, J.: Investigation of combined stress-state failure-criterion for glass fiber/epoxy interface by cruciform specimen test, Compos. Sci. Technol., 7 (1), ) Ramberg, W., Osgood, W.R., Determination of stress-strain curves by three parameters. Technical note no.53, Notional Advisory Committee on Aeronautics (NACA),

Microsoft PowerPoint - elast.ppt [互換モード]

Microsoft PowerPoint - elast.ppt [互換モード] 弾性力学入門年夏学期中島研吾科学技術計算 Ⅰ(48-7) コンピュータ科学特別講義 Ⅰ(48-4) elast 弾性力学弾性力学の対象応力弾性力学の支配方程式 elast 3 弾性力学連続体力学 (Continuum Mechanics) 固体力学 (Solid Mechanics) の一部弾性体 (lastic Material) を対象弾性論 (Theor of lasticit)