STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 図形と計量 三角形の面積 三角形の面積 の面積を S とすると, S in in in 解説 から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in より, S H in H
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in( 80 ) in より, S H in H 同様にして, S in, S in も成り立つ よって, S in 三角形の面積 ヘロンの公式 in in 辺の長さが,, である三角形の面積 S は S ( )( )( ) ただし, 導き方 S S in in ここで, in o より, in o また, において, 余弦定理より, o よって, in ( )
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) { } ( ) { } ( )( )( )( ) ゆえに, ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) S in したがって, とおけば, ( )( )( ) S と表せる 三角形の内接円と面積 I I I より, ( ) S E F I
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 88 () より, 平行四辺形 の面積は の面積の 倍である よって, 平行四辺形 の面積を S とすると, S in 0 () 0 より, の面積は in in( 80 ) in よって, 平行四辺形 の面積は
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 89 () の面積 inð の面積 in in inð in ( 80 ) in よって, 四角形 の面積は
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp () の面積 inð の面積 in in 0 in0 ( 80 0 ) inð in Ð 0 o Ð ここで, において, 余弦定理より, 9 0 0 o0 o( 80 0 ) ( o 0 ) よって, において, 余弦定理より, o Ð 9 ゆえに, inð 0 o Ð 0 よって, 四角形 の面積は ( in Ð > 0, in Ð o Ð )
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 補足 の面積をヘロンの公式を使って求めると,,, より, 8 ヘロンの公式 辺の長さが,, である三角形の面積 S は ( )( )( ) S ただし, 0
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 90 () () において, 余弦定理より, oð o Ð 0 o Ð において, 余弦定理より, 9 o Ð o Ð oð ここで, 四角形 は円に内接しているから, o Ð o 80 ( Ð) o Ð よって, o Ð,より, 0 o Ð o Ð これをに代入すると, \ の面積 in Ð または o ヘロンの公式より, Ð \ o Ð 8
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 9 の面積 o in Ð Ð またはヘロンの公式より, よって, 四角形 の面積は
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 9 () において, 余弦定理より, 9 o0 0 o 80 0 o 0 oð ( 0 ) これより, において, 余弦定理より, 9 9 9 oð o 80 o 0 よって, 0 ( Ð) すなわち ( )( ) 0 ゆえに, > 0 より, 四角形 の面積は の面積と の面積の和と等しいから, 求める面積は inð inð in0 in 0 in( 80 0 ) in 0 in 0 0
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STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp () において, 余弦定理より, o Ð oð o Ð において, 余弦定理より, 8 9 o Ð oð o ( 80 Ð) よって, o Ð 9 o Ð これより, Ð また, Ð 80 Ð \ o Ð 四角形 の面積は の面積と の面積の和と等しいから, 求める面積は o o
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 9 内接する正 n 角形の面積正 n 角形は, 外接円の中心 O と頂点を結ぶことにより, 合同な n 個の二等辺三角形に分割できる よって, その つの二等辺三角形を O とすると, 0 0 ÐO, O O の頂角はより, O の面積は n n ゆえに, 求める面積は n 0 in n n 0 in n 0 in n O 0 n
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 外接する正 n 角形の面積 正 n 角形は, 内接の中心 O と頂点を結ぶことにより, 0 頂角がの n 個の合同な二等辺三角形に分割できる n そこで, その つの二等辺三角形を O, O から辺 に下ろした垂線の足を H とすると, OH より,H は辺 と内接円の接点だから, OH また, 二等辺三角形の性質より, H \ H ÐOH ÐO よって, O の面積は OH 0 80 n n 80 OH H OH H OH OH tn n ゆえに, 求める面積は n 80 tn n 80 tn n O 80 n H
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 9 () の面積を S とすると, ( ) ( ) S また, 0 0 o in S よって, \ 補足ヘロンの公式から S を求めると, S
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp () の面積を S とすると, S ( ) ( 8) o 9 8 ( ) また, S in 8 8 in 0 よって, \
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 9 () () () () S in 8 in 0 0 0 余弦定理より, o S 8 o 0 89 80 9 0 ( ) ( 8 ) () より, S 0 だから, 0 0 \ 正弦定理より, R in \ R in in 0
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 9 であるから, x とおくと, 0in 0 0 x in 0 x in 0 より, 0 0 x x 両辺を 倍し, 整理すると, 0 x \x ゆえに, 0 0 0 x 8
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 9 O の面積 O Oin O の面積 O O in O O in O の面積 O O in O の面積 O O in O O in よって, 四角形 の面積は O Oin O O in O O in O O in in ( O O O O O O O O) { O( O O) O( O O) } ( O O)( O O) O 9
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 9 () () 98 () () () 正弦定理より, in in in \ in in in S { 80 ( ) } in in ( ) in in in ( ) in in in ( ) in 底面を O とすると, 底面積 高さ O よって, V は 辺の長さが の正三角形であるから, S in 0 V S OH, V, S より, V OH S 0
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 99 H は ÐH 90 の直角二等辺三角形だから, H よって, 正方形 の面積は H したがって, 正四角錐の体積をV とすると, V PH H PH H これと, ÐHP 90 の直角三角形 PH において, H in q, PH oq より, V oq in q in q oq P q H
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 00 () 正三角形 の面積 9 in 0 から正三角形 に下ろした垂線の足を H とすると, H, H, H は斜 辺の長さが等しく H を共有する直角三角形だから, 合同である よって, H H H これより,H は正三角形 の外接円の中心,H は外接円の半径ということになり, 正弦定理より, in 0 H \ H in 0 よって, H において, 三平方の定理より, H H 9 9 ゆえに,,より, 正四面体 の体積 9 これと, 正四面体 の体積 V より, V 9 H M 補足 :H は の重心でもある H が外心であるということは,H は各辺の垂直二等分線の交点である 二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は, 頂点を通るから, 頂点から底辺に引いた中線でもある したがって, 正三角形の場合, 垂直二等分線の交点すなわち外心と中線の交点すなわち重心が一致する ということは,H は の重心でもある すると, 上図において, M \ H M
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp () 9 を四面体 O の底面にとると, 底面積は, 高さは内接球の半径 だから, V 9 また,() より, V 9 よって, 9 \ これより, 球の表面積 p p, 球の体積 p p 8 解説 : 正四面体 の体積 四面体 O の体積 の導き方 導き方 E E O E H 内接球と各面との接点を H, E, E, E とすると, OH, OE は内接球の中心 O から各面に下ろした垂線かつ内接球の半径だから,, OE, OE それぞれ O を頂点としたときの四面体 OE, O, O, O の高さは内接球の半径と等しい よって, つの四面体はいずれも底面が合同で高さが等しい ゆえに, 正四面体 の体積 四面体 O の体積 が成り立つ
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 導き方 O H E M O E M O H ME HM と直線 E において, メネラウスの定理より, OH M E H,E はそれぞれ, の重心だから,H:HM E:EM : よって, H M O ~より, \O:OH : OH ゆえに,H:OH : すなわち H OH したがって, 底面を とすると, ME E 正四面体 の高さは四面体 O の高さの 倍だから, 正四面体 の体積 四面体 O の体積 H
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 0 () 球の半径を とし, 立体を底面と平行に球の中心を通るように切断すると, その断面は, 辺の長さが,, である三角形に半径 の円が内接している図になる の面積を S とすると, ( ) S 9 o in Ð Ð S, より, 9 \ ゆえに, 球の表面積 p p, 球の体積 p p I
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 補足 () () S をヘロンの公式から求めると, S 表面積 側面積 底面積 ( ) S 8 体積 底面積 高さ S 8 球の表面積 : 三角柱の表面積 p : () 8 p : 球の体積 : 三角柱の体積 p :8 補足 球の表面積 p, 8 p : 球の表面積 : 三角柱の表面積 三角柱の表面積 側面積 底面積 ( ) ( ) ( ) よって, 球の表面積 : 三角柱の表面積 p : ( ) 球の体積 p 三角柱の体積 底面積 高さ ( ) ( ) よって, 球の体積 : 三角柱の体積 p : ( ) ゆえに, 球の体積 : 三角柱の体積 球の表面積 : 三角柱の表面積
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 0 O // P // 三平方の定理より, O ( ) よって, OP
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 直円錐の側面を母線 O から切り開いてできる扇形を O' とすると, 弧 ' の長さは, 直円錐の底面の円周の長さと等しいから, p 8p x x 一方, 扇形の中心角の大きさを x とすると, 弧 ' の長さは p p 0 0 x よって, p 8p より, x 0 0 したがって, 側面図は下図のようになる ゆえに, OP において, 余弦定理より, P o0 8 P 0 0 O 8
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 9 0 () () 9 ヘロンの公式 辺の長さが,, である三角形の面積 S は ( )( )( ) S ただし, 導き方 S S in in ここで, o in より, o in また, において, 余弦定理より, o
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 0 よって, ( ) in ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) { } ( ) { } ( )( )( )( ) ゆえに, ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) S in したがって, とおけば, ( )( )( ) S と表せる