03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ () 式 + + a a a3 を満たす自然数の組 ( a, a, a3) で, a a a3とな るものをすべて求めよ () r を正の有理数とする 式 r + + a a a を満たす自然数の組 ( a, a, a3) で, 3 a a a3となるものは有限個しかないことを証明せよ ただし, そのよう な組が存在しない場合は 0 個とし, 有限個であるとみなす --
03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ () が- 3 を満たしながら変わるとき, si + cosの値の範囲を求めよ 4 4 () が - 3 を満たしながら変わるとき, si-si -cos の最大値と 4 4 最小値を求めよ --
03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 3 解答解説のページへ æ 5 ö æö - 実数, q と自然数 に対して, æ ö y 0 q とおく èç ø çè - ø ç çè ø () lim 0 かつ lim y 0 とする このとき と q が満たす条件を求めよ y () (, q ) ¹ ( 0, 0) とする 極限 lim を求めよ -3-
03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ a を定数とする 放物線 の方程式を求めよ またそのときの距離を求めよ y a- の接線のうち, 原点との距離が最小になるもの -4-
03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 5 解答解説のページへ 曲線 C : y e について以下の問いに答えよ () C 上の点 P(, e ) における接線 l および法線 の方程式を求めよ () > 0 とする C と l および y 軸で囲まれる図形の面積を S( ) とする また, C と および y 軸で囲まれる図形の面積を T( ) とする このとき極限 を求めよ lim T ( ) S ( ) -5-
03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 自然数の組 ( a, a, a3) に対して, 条件より, + + a a a3 ここで, a a a3より, > 0となり, から, a a a3 + + 3 a a a a よって, a 3 から, a,, 3 となる (i) a のとき より + a a3 0 となり, 不適である (ii) a のとき より a a 3 3 3 aa a + a, ( a-)( a3- ) 4 ここで, 0 a- a3-から, ( a-, a3- ) (, 4), (, ) となり, ( a, a 3) (3, 6), (4, 4) (iii) a 3 のとき より a + a 3 となり, 3 aa 3 3a + 3a3, 4aa 3 6a + 6a3, (a-3)(a3-3) 9 ここで, 3 a-3 a3-3から, (a-3, a3-3) (3, 3) となり, ( a, a 3) (3, 3) (i)~(iii) より, ( a, a, a 3) (, 3, 6), (, 4, 4), (3, 3, 3) () r を正の有理数とし, a a a3である自然数の組 ( a, a, a3) に対して, r + + a a a3 () と同様にすると, から, r 3 となり, a 3 3 a r すると, 3 r < ( r > 3) のとき, 3を満たす自然数 a は存在しない また, 3 (0 3) r < r のとき, 3を満たす自然数 a は有限個存在し, その つを a ( 3 ) とおくと, は + r - となる r a a3 さらに, r- sとおきかえると, 有理数 s に対して, + s 4 a a3 すると, s 0 のとき, 4を満たす自然数 a, a3は存在しない また, s > 0 のとき, と q を互いに素な自然数として, このとき, 4 は, q + と表せ, a a 3 qaa3 a + a3, qaa 3 qa + qa 3, q s とおく ( qa -)( qa - ) 3 --
すると, qa - と qa 3 - は 03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 の約数となり, 自然数 a, a3は存在しても有限 個である 以上より, を満たす自然数の組 ( a, a, a3) で, a a a3であるもの は有限個しかない [ 解説 ] () では, a を求めた後, a, a3を同時に求めるために, 因数分解をもとに約数 倍 数の関係を利用しました () も同じ方法で解答例を作りましたが, やや散漫な感じです そのため, () で a を絞り込んだ後も, 不等式で評価して a そして a 3 と順に求め, () も同じ方法にした方がスッキリしたかもしれません --
03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () - 3 のとき, t si + cos とおくと, t si( + ) 4 4 4 すると, 0 + から, 0 t である 4 () - 3 のとき, f ( ) si-si -cos とおくと, () から, 4 4 si si cos (si+ cos ) -(si + cos ) t - これより, f ( ) t -- t ( t- ) - (0 t ) となる 4 よって, f ( ) の最大値は- ( t ), 最小値は - 5 ( t ) である 4 5 [ 解説 ] 三角関数の最大 最小問題です () の誘導のために () の結論は容易に導けます -3-
03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 3 問題のページへ æ 5 ö - () A æ とおくと, 条件より ö æ ö A ç - 0 ç è y ø çèq ø となり, æö æ ö A ç è y ø çèq ø から, を çè ø 0 以上の整数として, 0, y0 q とする æ また, + ö A + æ ö æ ö æ ö AA A ç è y ø çèqø çèqø èç y ø より, + 5 + - + y, y + - より y 5 + + となり, に代入すると, 5 + + + -, 5 + + + + 0 3 3を変形すると, ( + + + - + + ) となり, - 5 + q から, + + ( + 0 )(- ) (- + q)( - ) ( q)( ) + - - 4 同様に3を変形し, + + + - ( + + ) から, + + ( + 0) ( - ) ( - + q )( - ) + ( -4 q) ( - ) 5 45より, 3 + + ( -4 q) ( - ) -( -q)( -) となり, + + ( -4 q) ( - ) - ( -q)( - ) 6 3 3 より, y - - - ( -4 q) ( - ) + ( -q)( - ) 7 3 3 以上より, 与えられた lim 0 かつ lim y 0 を, と q が満たす条件に言い 換えると, 67から q である () (i) q のとき 67より, + ( 4 ) 3 3 y すると, yとなり, (, q ) ¹ ( 0, 0) から, lim である - ( - ) (- ), y - ( -4 ) ( - ) ( - ) (ii) ¹ q のとき 67より, ( 4 )( y - - q - ) + ( -q)( -) ( 4 ) - - q - + ( -q)( -) + ( ) ( ) ( ) -( -4 q) - + ( -q) -( -4 q) - + 4( -q) -4-
03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 y すると, - q¹ 0 より, lim である 4 [ 解説 ] 与えられた条件式を漸化式として表し, それを解くという流れで記しています なお, 誘導はありませんが, 直接的に A を求めるという方法もあります ただ, 予備知識が必要ですが -5-
03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ 放物線 y a- に対して y - となり, 点 (, t a-t ) における接線の方程式は, y -( a- t ) - t( - t), -6- t + y -t - a 0 ここで, 接線 と原点との距離の 乗を D として, u t 0 とおくと, -t -a ( t + a) ( u+ a) D ( ) 4t + 4t + 4u + dd ( u+ a)(4u+ ) - 4( u+ a) ( u+ a)(u- a+ ) du (4u+ ) (4u+ ) このとき, dd 0 du とすると, u-a, a - となる さて, u 0 における u- a, u a - の大小関係を調べるために, グラフを書 u くと右図のようになり, a a < 0 のとき u a- a - < 0 <- a b 0 a < のとき a - <-a 0 4 4 O c a < a のとき -a a - < 0 4 - u -a d a のとき -a < 0 a - これより, 次の 3 つの場合で, u 0 において D が最小になる場合を考える (i) a < 0 のとき右の増減表より, D は u- a ( t -a) で最 u 0 - a 小になる このとき, 接線の方程式は, より, dd du - 0 + - a + y 0 また, 原点との距離は, より D 0 である (ii) 0 a < のとき 右の増減表より, D は u 0 ( t 0) で最小になる このと き, 接線の方程式は, より, y - a 0 また, 原点との距離は, より D a である (iii) a のとき 右の増減表より, D は u a - ( t a - ) で最小になる このとき, 接線 の方程式は, より, D u 0 a 0 u 0 dd du + D a a - dd du - 0 + D a 4a - 4
03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 a- + y- a- - a 0, 4a- + y- 4a - 0 4a - また, 原点との距離は, より D である [ 解説 ] 微分と増減についての問題です 非常に単純な設定にもかかわらず, 内容は驚くほど豊富です 要演習の 題です なお, 増減表を作る前に, 大小関係を把握するためにグラフを描いていますが, このときの場合分けbとcは, u 0 での D の増減につ いては同じなので, まとめて記しています -7-
03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 5 問題のページへ () C : y e に対して y e より, C 上の点 P(, e ) におけ る接線 l の方程式は, y - e e ( - ), y e - e + e また, 点 P における法線 の方程式は, - - - y - e -e ( - ), y - e + e + e () > 0 S( ) は, のとき, C と l および y 軸で囲まれる図形の面積 ò 0 S( ) ( e - e + e -e ) d e é e e ( e e ) ù êë - + - úû e -- + ( e - e ) 0 ( - + ) e - また, C と および y 軸で囲まれる図形の面積 T( ) は, ( ) - T {( e + e )-(- e + e )} - S( ) - e + ( + - - + - ) e + e - + ( - ) e + これより, T ( ) 3 e - ( ) e + - + となり, 3 T ( ) e - 3 + ( - ) e + e + ( - ) + e S( ) - ( - + ) e - ( - + ) -e - - - - e + ( - ) + e - - - - (- + )- e すると, のとき e - 0 となるので, - - T ( ) lim である S( ) y e O C l P [ 解説 ] 接線 法線と面積計算に極限が付加された微積分の総合問題です なお, 最後の行の e - 0 ( ) については, 証明なしで利用しています -8-