線形代数とは

線形代数とは 第一回ベクトル

教科書 エクササイズ線形代数 立花俊一 成田清正著 共立出版 必要最低限のことに限る 得意な人には物足りないかもしれません

線形代数とは何をするもの? 線形関係 y 直線 yもも 次式で登場する (( 次の形 ) 線形 ただし 次元の話世の中は 3 次元 [4[ 次元 ] 次元 3 次元 4 次元 はどうやって直線を表すの? ベクトルや行列の概念 y A

ベクトルを使うと y という式は YAX X,Y が 次元以上だとベクトルになり Aは複数の数からなる行列というものになります 代数というのがついてますから ベクトルや行列の演算を扱う学問ということになります

本日の御題ーベクトル 幾つかの量をまとめて表すことを考えます りんご 3 個 これを表すには みかん 5 個 りんご 3 みかん 5 りんごみかん 3 5 世の中りんごとみかんしかないとすると 3, 5 3, 5 ( 3 5), [ 3 5] と表してあげればよい

計算する場合 かご にりんご 3 みかん 5 かご にりんご みかん 4 りんご みかんのそれぞれの合計は? 3 5 4 5 9 かご が かごある場合 りんご みかんのそれぞれの合計は? 3 5 6 0

計算する場合 () りんごの単価 こ80 円 みかんの単価 こ 30 円とするとかご の値段総額は? 3 ( 80 円 30円 ) ( 40円 50円 ) 5

個数の計算 ベクトルの和 ( 加法 ) ベクトルのスカラースカラー倍 値段の総額の計算 ベクトルの内積 数学的には

ベクトルとスカラー 物理や幾何学で現れる量の多くは ある単位とこれを用いて測った数値で表すことができる E. 質量は何 g 温度は何 こういう量をスカラーという 他に : 長さ 時間 密度 エネルギー 電気量など 方向を持っている量 重力などの力 方向は つの矢で表す AB B A

ベクトルの書き表し方, A 太字にする 手書きだと見分けにくい A, 文字の上に矢印を書く

ベクトルの相等 大きさが等しく 向きも等しい AB A B 始点の位置は関係ない 自由ベクトル束縛ベクトル 平行移動したベクトルはすべて相当の関係にある

力の合成 Oに作用する 力の合成 平行四辺形の法則 ( 三角形の法則 ) OB B C OC O A OA OC OA OB

ベクトルの和 ( 加法 ) 平行四辺形 ( 三角形 ) の法則 一方のベクトルの尻尾 ( 始点 ) をもう一方のベクトルの頭 ( 終点 ) につけることにより定義 つのベクトル A,B の和 A B はAとBによって作られる平行四辺形の対角線として表わせます

交換法則 ABBA A B AB B A

結合法則 (AB)CA( (BC) B A AB BC C ABC

ベクトルの和は次のような性質を持つ.つのベクトルの和はまたベクトルである.(. このことを和は閉じているといいます ).. 任意のベクトル AとBにおいて,AB, BAが成り立つ.(. 交換法則 ) 3.. 任意のベクトル A,B,Cにおいて,(AB), )C A(BC) が成り立つ.(. 結合法則 ) 4.. 任意のベクトル Aに対して,A0, Aとなるベクトル 0が存在する.(. 零元の存在 ) 5.. 任意のベクトル Aに対して,AB, 0 となるベクトル Bが存在する.(. 逆元の存在 ) B -A

ベクトル 0について 大きさ 0 ( 大きさはまだ定義していない ) 方向なし

スカラー倍 (-)- O A α (α>) α (α>-)

ベクトルのスカラー倍 αa は次のような性質をもつ 6.. ベクトルのスカラー倍はまたベクトルである. 7.. 任意の実数 αとβに対して, α( β A) ) (α( β) Aが成り立つ.(. 結合法則 ) 8.. 任意の実数 αとβに対して, (αβ) A α A β Aが成り立ち, 任意のベクトル AとBに対して, α (AB)) α A β Bが成り立つ.(. 分配法則 ) 9. A A ; 0 A 0 ; α 0 0が成り立つ.

ベクトル空間 線形空間ともいう 平面や空間の幾何ベクトルにおいて から 9までの性質が成り立ちます このとき 平面や空間のベクトルの集まりを幾何ベクトル空間 (gomtc vcto spc) といいます もっと抽象的に から 9を満たす もの の集まりをベクトル空間といい その集合の要素をベクトルといいます

公理とは ある数学体系の出発点となる一般的法則のこと ~9 は線形空間の公理といってよい もとは加法とスカラー倍から導き出された

ベクトルの成分表示 平面 空間の直交座標系を O-y O-yz とする 各座標軸の正方向に向かう長さ のベクトルを I, j あるいは, j, kで表す 基本ベクトル ある点 Pの平面座標を (,( y) とすると OP y j ベクトルの成分表示, ( y) y ある点 Pの空間座標を (,( y, z) とすると OP y j z k ベクトルの成分表示 y, z ( y z)

n 成分基本ベクトル n 成分基本ベクトル 0 0,, 0 0, 0 0 M L M M n 第 成分のみが でその他の成分はすべて 0

基本ベクトルを用いて基本ベクトルを用いて 任意のベクトル任意のベクトルは は n M n n n L

ベクトルの相等ベクトルの相等 成分表示において成分表示において n m M M, ( ) m n m n n n L,,,,

ベクトルの計算 ( 和 ) ベクトルの計算 ( 和 ),, ( ) ( ) ( ) ( ) 同じ成分同士を足す ( ) ( ) n n n n

ベクトルの計算 ( スカラー倍 ) ベクトルの計算 ( スカラー倍 ) : 実数, α ( ) ( ) ( ) α α α α α α α α α α ( ) n n α α α 各成分それぞれ α 倍する

連立連立 次方程式次方程式,, 和スカラー倍相等

平面 空間の位置ベクトル P O Q 原点が点 O の座標系 OP, OP の定めるベクトル OQ OP ( ) Pの座標が y, z を点 P のこの座標系に関する位置ベクトルという, ならば y z

平面 空間の位置ベクトル 任意のベクトルはある点の位置ベクトル 空間の点とベクトルが 対 にもれなく対応する P O Q PQ OQ OP

平面 空間上の点を位置ベクトルで表す 平行四辺形 ABCD と原点 O A N D 原点 O の座標系での位置ベクトル OA, OB, OC c M OM? B C OD? O ON?

OM? E Mは線分 AC(BD BD) ) の中点である 平行四辺形 OAEC の対角線 OE の中点中点になる A M N D OE OA OC c B C OM OE ( c) O

A N D OD?. O A D と経由して作るか. O C D と経由して作るか B O M C OD OA OA AD OA BC ( ) OC OB c 問 O C D で OD を作ってみよ

A N D ON? M 線分 AD の中点 B C ON ( ) ( ) OA OD c ( c) O 問 ベクトル OA, OB, OC, OD をそれぞれ,, 3, とするとき それらの終点を図示し AC, DB, BC, CA を, で表せ