証明のための準備 [ 命題 1] 点 O を中心とし 半径が 1 の円周上に3 点 A B C があるとする 点 B C から直線 OA に下ろした垂線の足をそれぞれ D E とする D E が線分 OA 上にあり OE OD 1が成り立つとき が成り立つ C B O E D A G H F ( 証明 ) 直線 OA に関して点 B と対称な点を F とする 直線 OF に点 B D から下ろした垂線の足を G H とする 点 B が円 O の周上にあることと点 F の取り方より OB OF 1 BD FD (a.1.1) (a.1.) AOB AOF 点 G 点 H の取り方より DHO (a.1.4)(a.1.5) より BG // DH (a.1.)(a.1.6) より GH HF 点 D の取り方より BDO (a.1.5)(a.1.8) より (a.1.3) (a.1.4) (a.1.5) (a.1.6) (a.1.7) DHO BDO (a.1.3) より DOB HOD (a.1.9)(a.1.10) より (a.1.8) (a.1.9) (a.1.10)
DOB HOD (a.1.11) (a.1.11) より OB: OD OD : OH (a.1.1) (a.1.1) より OD OB OH (a.1.1)(a.1.13) より (a.1.13) OH OD (a.1.14) O G H F の位置関係により GH OH OG FH OF OH (a.1.7)(a.1.15)(a.1.16) より (a.1.15) (a.1.16) OH OG OF OH (a.1.17) (a.1.17) より OG OH OF (a.1.18) (a.1.1)(a.1.14)(a.1.18) より 仮定より OG OD 1 (a.1.19) OE OD (a.1.19)(a.1.0) より OG OE 1 (a.1.1) (a.1.0) 点 C は円 O の周上にあるから OC 1 (a.1.1)(a.1.) より (a.1.) OB OC (a.1.3) 点 E の取り方により CEO (a.1.4) (a.1.4)(a.1.4) より CEO (a.1.5) (a.1.1)(a.1.3)(a.1.5) より BGO CEO (a.1.6) (a.1.6) より GOB EOC (a.1.7) (a.1.3) より GOB DOB (a.1.8) (a.1.7)(a.1.8) より EOC DOB (a.1.9) (a.1.9) より ( 証明終わり )
[ 命題 ] 点 O を中心とし 半径が 1 の円周上に3 点 A B C があるとする 点 B C から直線 OA に下ろした垂線の足をそれぞれ D E とする D が線分 OA 上にあり E が線分 OA の O の側の延長上にあ って OE 1 OD が成り立つとき が成り立つ B C G E O H D A ( 証明 ) 直線 OA に関して点 B と対称な点を F とする 直線 OF に点 B D から下ろした垂線の足をそれ ぞれ G H とする 点 B が円 O の周上にあることと点 F の取り方より OB OF 1 BD FD (a..1) (a..) AOB AOF 点 G 点 H の取り方より DHO (a..4)(a..5) より BG // DH (a..)(a..6) より GH HF 点 D の取り方より BDO (a..5)(a..8) より (a..3) (a..4) (a..5) (a..6) (a..7) DHO BDO (a..3) より DOB HOD (a..9)(a..10) より (a..8) (a..9) (a..10) F
DOB HOD (a..11) (a..11) より OB: OD OD : OH (a..1) (a..1) より OD OB OH (a..1)(a..13) より (a..13) OH OD (a..14) O G H F の位置関係により GH OH OG FH OF OH (a..7)(a..15)(a..16) より (a..15) (a..16) OH OG OF OH (a..17) (a..17) より OG OF OH (a..18) (a..1)(a..14)(a..18) より 仮定より OG 1 OD (a..19) OE 1 OD (a..19)(a..0) より OG OE (a..1) (a..0) 点 C は円 O の周上にあるから OC 1 (a..1)(a..) より (a..) OB OC (a..3) 点 E の取り方により CEO (a..4) (a..4)(a..4) より CEO (a..5) (a..1)(a..3)(a..5) より BGO CEO (a..6) (a..6) より GOB EOC (a..7) (a..3) より BOF DOB (a..8) F O G はこの順に同一直線上にあるから GOB 180 BOF (a..9) (a..8)(a..9) より GOB 180 DOB (a..30) (a..7)(a..30) より
EOC 180 DOB (a..31) A O E はこの順に同一直線上にあるから EOC 180 (a..3) (a..31)(a..3) より 180 DOB 180 (a..33) (a..33) より AOC DOB (a..34) (a..34) より ( 証明終わり )
[ 命題 3] 点 O を中心とし 半径が 1 の円周上に3 点 A B C があるとする 点 B C から直線 OA に下ろ した垂線の足をそれぞれ D E とする D E が線分 OA の O の側の延長上にあって OE 1 OD が成り立つとき 優角 AOC すなわち EOC 180 が成り立つ ( 注意 ) 同一直線上にないつの半直線から作られる角はつあって 大きい方を優角 小さい方を劣角 という ABCのように書いた場合 とくに断りがないかぎり劣角を表す B G E D H O A C F ( 証明 ) 直線 OA に関して点 B と対称な点を F とする 直線 OF に点 B D から下ろした垂線の足をそれ ぞれ G H とする 点 B が円 O の周上にあることと点 F の取り方より OB OF 1 BD FD (a.3.1) (a.3.) DOB DOF 点 G 点 H の取り方より DHO (a.3.4)(a.3.5) より BG // DH (a.3.)(a.3.6) より GH HF 点 D の取り方より BDO (a.3.5)(a.3.8) より (a.3.3) (a.3.4) (a.3.5) (a.3.6) (a.3.7) (a.3.8)
DHO BDO (a.3.9) (a.3.3) より DOB HOD (a.3.10) (a.3.9)(a.3.10) より DOB HOD (a.3.11) (a.3.11) より OB: OD OD : OH (a.3.1) (a.3.1) より OD OB OH (a.3.1)(a.3.13) より (a.3.13) OH OD (a.3.14) O G H F の位置関係により GH OH OG FH OF OH (a.3.7)(a.3.15)(a.3.16) より (a.3.15) (a.3.16) OH OG OF OH (a.3.17) (a.3.17) より OG OF OH (a.3.18) (a.3.1)(a.3.14)(a.3.18) より 仮定より OG 1 OD (a.3.19) OE 1 OD (a.3.19)(a.3.0) より OG OE (a.3.1) (a.3.0) 点 C は円 O の周上にあるから OC 1 (a.3.1)(a.3.) より (a.3.) OB OC (a.3.3) 点 E の取り方により CEO (a.3.4) (a.3.4)(a.3.4) より CEO (a.3.5) (a.3.1)(a.3.3)(a.3.5) より BGO CEO (a.3.6) (a.3.6) より GOB EOC (a.3.7) (a.3.3) より BOF DOB (a.3.8) F O G はこの順に同一直線上にあるから
GOB 180 BOF (a.3.9) (a.3.8)(a.3.9) より GOB 180 DOB (a.3.30) (a.3.7)(a.3.30) より EOC 180 DOB (a.3.31) A O E はこの順に同一直線上にあるから DOB 180 AOB (a.3.3) (a.3.31)(a.3.3) より EOC 180 180 AOB (a.3.33) (a.3.33) より EOC 180 ( 証明終わり )
[ 命題 4] 点 O を中心とし 半径が 1 の円周上に3 点 A B C があるとする 点 B C から直線 OA に下ろ した垂線の足をそれぞれ D E とする D が線分 OA の O の側の延長上にあり E が線分 OA 上にあっ て OE OD 1が成り立つとき 優角 AOC すなわち DOC 180 が成り立つ B D O E A F H G C ( 証明 ) 直線 OA に関して点 B と対称な点を F とする 直線 OF に点 B D から下ろした垂線の足をそれ ぞれ G H とする 点 B が円 O の周上にあることと点 F の取り方より OB OF 1 BD FD (a.4.1) (a.4.) DOB DOF 点 G 点 H の取り方より (a.4.3) DHO (a.4.4) (a.4.5) (a.4.4)(a.4.5) より BG // DH (a.4.6) (a.4.)(a.4.6) より GH HF (a.4.7) 点 D の取り方より BDO (a.4.8) (a.4.5)(a.4.8) より DHO BDO (a.4.9) (a.4.3) より DOB HOD (a.4.10) (a.4.9)(a.4.10) より
DOB HOD (a.4.11) (a.4.11) より OB: OD OD : OH (a.4.1) (a.4.1) より OD OB OH (a.4.1)(a.4.13) より (a.4.13) OH OD (a.4.14) O G H F の位置関係により GH OH OG FH OF OH (a.4.7)(a.4.15)(a.4.16) より (a.4.15) (a.4.16) OH OG OF OH (a.4.17) (a.4.17) より OG OH OF (a.4.18) (a.4.1)(a.4.14)(a.4.18) より 仮定より OG OD 1 (a.4.19) OE OD (a.4.19)(a.4.0) より OG OE 1 (a.4.1) (a.4.0) 点 C は円 O の周上にあるから OC 1 (a.4.1)(a.4.) より (a.4.) OB OC (a.4.3) 点 E の取り方により CEO (a.4.4) (a.4.4)(a.4.4) より CEO (a.4.5) (a.4.1)(a.4.3)(a.4.5) より BGO CEO (a.4.6) (a.4.6) より GOB EOC (a.4.7) (a.4.3) より GOB DOB (a.4.8) (a.4.7)(a.4.8) より EOC DOB (a.4.9) A O D はこの順に同一直線上にあるから EOC 180 DOC (a.4.30) DOB 180 AOB (a.4.31)
(a.4.9)(a.4.30)(a.4.31) より 180 DOC 180 AOB (a.4.3) より DOC 180 ( 証明終わり ) (a.4.3)